Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20788

а) Решите уравнение $( ) log 1 2sin2x− 3cos2x+ 6 = − 2. 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;−2π .$

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Проведём отбор с помощью двойного неравенства в каждой серии по отдельности.

$pict$

Получим корни: при $k = −3$ имеем $x = −31π, 3$ при $k = − 2$ имеем $x = −21π. 3$

$pict$

Получим корни: при $k = −3$ имеем $2 x= − 23π.$

Ответ:

а) $± π+ πk, k ∈ ℤ 3$

б) $10π 8π 7π − 3 ;− 3 ;− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1200

а) Решите уравнение

log7(2cos2 x + 3cos x − 1) = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .

Показать ответ и решение

а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид $log7 f(x) = 0$ , что в свою очередь равносильно:

{ f(x) = 70 ⇔ f(x) = 1 f(x) > 0

Таким образом,

2 2 2cos x + 3cos x − 1 = 1 ⇔ 2 cos x + 3cos x − 2 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно $t = cosx$ :

2t2 + 3t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 2, t2 = 1- 2

Так как $|cosx| ≤ 1$ , то корень $t1$ не подходит, следовательно,

1- π- cosx = 2 ⇔ x = ± 3 + 2πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни. 1) $− 7π-≤ π-+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − 23-≤ n ≤ − 7- ⇒ n = ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 3 12 6$ 2) $7π π 19 5 7π − ---≤ − --+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − ---≤ n ≤ − -- ⇒ n = − 1 ⇒ x = − --- 2 3 12 6 3$

Ответ:

а) $π ± --+ 2πn, n ∈ ℤ 3$

б) $7π − --- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1201

а) Решите уравнение

( ) 36sin x − cosx = 6sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .

Показать ответ и решение

а) Так как $(ax)y = axy$ , то данное уравнение равносильно:

36− sinxcosx = 6sinx ⇔ 6− 2sinxcosx = 6sinx

Таким образом, уравнение приняло вид $6x = 6y$ , что равносильно $x = y$ . Таким образом:

⌊ sin x = 0 ⌈ − 2sin xcos x = sin x ⇔ sinx (2cosx + 1) = 0 ⇔ 1- cosx = − 2

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = πn, n ∈ ℤ$ .
Второе: $x = ± 2π-+ 2πk,k ∈ ℤ 3$ .

б) Отберем корни. 1) $7π − --- ≤ πn ≤ − 2 π ⇒ n = − 3;− 2 ⇒ x = − 3π; − 2 π 2$ 2) $7π 2π 25 4 10 π − --- ≤ ---+ 2πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − -- ⇒ k = − 2 ⇒ x = − ---- 2 3 12 3 3$ 3) $7π 2π 17 2 8π − --- ≤ − ---+ 2 πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − -- ⇒ k = − 1 ⇒ x = − --- 2 3 12 3 3$

Ответ:

а) $2π πn, ± ---+ 2πk; k,n ∈ ℤ 3$

б) $10-π 8π- − 3 ; − 3π; − 3 ; − 2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1205

а) Решите уравнение

20cosx = 4cosx ⋅ 5− sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 9π-;− 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) Так как $(ab)x = ax ⋅ bx$ , то уравнение можно переписать в виде:

( ) 4cosx ⋅ 5cosx − 4cosx ⋅ 5− sinx = 0 ⇔ 4cosx ⋅ 5cosx − 5− sin x = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. $4cosx > 0$ по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно:

5cosx = 5− sin x ⇔ cosx = − sin x

Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на $sin x$ или $cos x$ . Разделим на $cosx$ :

π 1 = − tgx ⇔ tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни.

$9π π 17 11 17π 13π − ---≤ − --+ πn ≤ − 3π ⇔ − ---≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 4;− 3 ⇒ x = − ---; − ---- 2 4 4 4 4 4$

Ответ:

а) $π − --+ πn, n ∈ ℤ 4$

б) $17-π 13π- − 4 ;− 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1206

а) Решите уравнение $log√2(sinx) ⋅log√2(− cosx)+log√2(− sinx cosx)+ 1 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − π;2π . 2$

Показать ответ и решение

а) Так как $loga(bc)= loga b+logac,$ если выполнено ОДЗ, то на ОДЗ: $sinx > 0$ и $cosx < 0$ имеем:

log√2(sin x)⋅log√2(− cosx)+ log√2(sinx)+ log√2(− cosx)+ 1= 0

Сделаем замену

√- √- log 2(sin x)= b, log 2(− cosx)= c

Тогда уравнение принимает вид

bc+ b+ c+ 1= 0 b(c+ 1)+ c+ 1= 0 (b+ 1)(c+ 1)= 0

Следовательно, или $b= −1,$ или $c= −1.$

Пусть $b =− 1.$ Сделаем обратную замену:

- log√2(sin x)=√−1 sin x= √1-= --2 2 2 ⌊x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 4 x = 3π +2πk, k ∈ℤ 4

Решение $x = π-+2πk 4$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в первой четверти, а в ней $cosx> 0,$ следовательно,

3π x = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

Пусть $c =− 1.$ Сделаем обратную замену:

c = −1 log√2(− cosx)= −1 √- cosx= − -2- 3π 2 x = ±-4 + 2πk, k ∈ ℤ

Решение $3π x = −-4 + 2πk$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в третьей четверти, а в ней $sinx < 0,$ следовательно,

x = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4

Заметим, что в обоих случаях итоговые серии корней совпадают, то есть ответом будет серия

x = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни с помощью неравенств:

− π-≤ 3π +2πk ≤ 2π 2 4 − 5π ≤2πk ≤ 5π 4 5 54 − 8 ≤k ≤ 8 k =0 x = 3π 4

Ответ:

а) $3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $3π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1207

а) Решите уравнение

√- 4sin-2x-−-22-3sinx √ ------ = 0 7sin x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 13 π − --2-;− 5π .$

Показать ответ и решение

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю:

( √- { 4sin2x − 22 3sin x = 0 √ ------ ( 7sinx ⁄= 0

Так как ОДЗ выражения $√7--sin-x$ — это $sinx ≥ 0$ , но $√7-sinx-⁄= 0$ , то есть $sin x ⁄= 0$ , то данная система равносильна:

({ sin2x 2√3sin x 4 − 2 = 0 ( sin x > 0

Назовем неравенство ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы:

2sin2x 2√3sinx √ -- √ -- 2 = 2 ⇔ 2 ⋅ 2 sin x cosx = 2 3 sin x ⇔ sinx (2 cosx − 3) = 0

Следовательно:

1) $sin x = 0$ . Данное уравнение не удовлетворяет ОДЗ $sin x > 0$ .

или

2) $√ -- --3- cosx = 2$ , что равносильно $π- x = 6 + 2πn$ или $π- x = − 6 + 2 πm$ , $n,m ∈ ℤ$ .
Так как по ОДЗ $sin x > 0$ , то серия корней $π- x = − 6 + 2πm$ нам не подходит, так как эти углы находятся в четвертой четверти, где $sinx < 0$ .

Следовательно, ответом будут: $π x = --+ 2πn 6$ , $n ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

$13π π 10 31 35π − ----≤ --+ 2πn ≤ − 5π ⇔ − ---≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 3 ⇒ x = − ---- 2 6 3 12 6$

Ответ:

а) $π --+ 2πn 6$ , $n ∈ ℤ$

б) $35-π − 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1208

а) Решите уравнение $(2 cos2x+ 11cosx+ 5)⋅log18(sinx)= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;π].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения $sinx > 0.$ Решим уравнение на ОДЗ:

[ 2 [ 2 2cosx + 11 cosx +5 = 0 ⇒ 2 cos x+ 11cosx+ 5= 0 log18(sin x)= 0 sinx= 1

Решим первое уравнение совокупности. Сделаем замену $t =cosx,$ получим

[ 2t2+ 11t+ 5= 0 ⇔ (2t+1)(t+ 5) =0 ⇔ t= −5 t= − 12

Так как согласно замене $− 1≤ t≤ 1,$ то корень $t= − 5$ нам не подходит. Следовательно, получаем только корень $1 t= −2.$ Учитывая ОДЗ, получаем

( ( |||| si⌊nx> 0 ⌊ ||{s⌊in x> 0 1 |||{ x= 2π + 2πk, k ∈ ℤ x = 2π +2πk, k ∈ ℤ ⌈cosx =− 2 ⇔ || 32π ⇔ |⌈ π3 ||( ||||| ||⌈x= − 3-+ 2πk, k ∈ℤ x = 2-+ 2πk, k ∈ ℤ sinx= 1 ||( x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности.

$PIC$

Следовательно, на отрезке $[0;π]$ лежат точки $π; 2π-. 2 3$

Ответ:

а) $2π π- 3 + 2πn,2 +2πk;k,n∈ ℤ$

б) $π-; 2π 2 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1254

а) Решите уравнение

√- (81cosx)sinx = 9− 3 cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 2π;− π- 2$ .

Показать ответ и решение

а) Решим уравнение

⌊ cosx = 0 2cosx⋅sinx −√3cosx √ -- || 9 = 9 ⇔ cosx(2 sin x + 3) = 0 ⇔ ⌈ √3-- sin x = − ---- 2

Решениями первого уравнения будут $π- x = 2 + πn, n ∈ ℤ$ .
Решениями второго будут $π- 2π- x = − 3 + 2πm, − 3 + 2 πk,m, k ∈ ℤ$

б) Отберем корни. $π- π- 3π- π- − 2π ≤ 2 + πn ≤ − 2 ⇔ − 2,5 ≤ n ≤ − 1 ⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − 2 ;− 2$ $π π 5 1 − 2π ≤ − --+ 2πm ≤ − -- ⇔ − --≤ m ≤ − --- ⇒ m ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 3 2 6 12$ $2π π 2 1 2π − 2π ≤ − ---+ 2πk ≤ − -- ⇔ − --≤ k ≤ --- ⇒ k = 0 ⇒ x = − --- 3 2 3 12 3$

Ответ:

а) $π π 2π --+ πn,− --+ 2πm, − ---+ 2 πk,n, m,k ∈ ℤ 2 3 3$

б) $− 3π-;− 2π-;− π- 2 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1255

а) Решите уравнение

10sinx = 2sin x ⋅ 5− cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π-;− π 2$ .

Показать ответ и решение

а) Так как $10 = 2 ⋅ 5$ , а $(ab)n = an ⋅ bn$ , то уравнение равносильно

⌊ ( ) 2sinx = 0 5sinx ⋅ 2sinx = 2sin x ⋅ 5− cosx ⇔ 2sinx ⋅ 5sinx − 5− cosx = 0 ⇔ ⌈ 5sinx = 5− cosx

Первое уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, $2sin x > 0$ при любых $x$ . Значит:

5sin x = 5− cosx ⇔ sin x = − cos x

Получили однородное уравнение первой степени, которое решается делением на синус или косинус обеих частей уравнения. Разделим обе части равенства на $cosx$ :

π tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни. $5π- π- 9- 3- 9π- 5π- − 2 ≤ − 4 + πn ≤ − π ⇔ − 4 ≤ n ≤ − 4 ⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − 4 ;− 4$

Ответ:

а) $π − --+ πn, n ∈ ℤ 4$

б) $9π- 5π- − 4 ;− 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1256

а) Решите уравнение

16cosx + 16cos(π−x) = 17- 4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π- 2$ .

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения $cos(π − x) = − cos x$ . Следовательно, уравнение можно свести к виду

cosx − cosx 17- 16 + 16 = 4

Сделаем замену $cosx 16 = t$ , $t > 0$ . Тогда

1 17 t +--= --- t 4

Можно умножить обе части уравнения на $4t$ (так как $t ⁄= 0$ ):

4t2 − 17t + 4 = 0

По теореме Виета корнями уравнения будут $t = 4$ и $1 t = -- 4$ . Следовательно,

⌊ ⌊ ⌊ π 16cosx = 4 cosx = 1- x = ± --+ 2πn, n ∈ ℤ | || 2 || 3 ⌈ 1 ⇔ ⌈ ⇔ ⌈ 16cosx = -- cosx = − 1- x = ± 2π-+ 2πm, m ∈ ℤ 4 2 3

б) Отберем корни. $π 5 π 1 13 7π π ≤ --+ 2πn ≤ --- ⇔ --≤ n ≤ --- ⇒ n = 1 ⇒ x = --- 3 2 3 12 3$ $π ≤ − π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ 2-≤ n ≤ 17- ⇒ n = 1 ⇒ x = 5π- 3 2 3 12 3$ $π ≤ 2π-+ 2πm ≤ 5π- ⇔ 1-≤ m ≤ 11- ⇒ m ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 3 2 6 12$ $π ≤ − 2π-+ 2πm ≤ 5π- ⇔ 5-≤ m ≤ 19- ⇒ m = 1 ⇒ x = 4π- 3 2 6 12 3$

Ответ:

а) $π 2π ± --+ 2πn, ± ---+ 2πm, n,m ∈ ℤ 3 3$

б) $4π- 5π-7-π 3 ; 3 ; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1257

а) Решите уравнение

2 log23(2cosx ) − 5 log3(2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- π; 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения: $cosx > 0$ .
С помощью замены $log3(2 cosx) = t$ уравнения сведется к виду

2t2 − 5t + 2 = 0

По теореме Виета корнями будут $t = 2$ и $t = 1- 2$ . Следовательно,

⌊ ⌊ 9- log3(2 cosx) = 2 | cosx = 2 |⌈ ⇔ || ⇔ x = ± π-+ 2πn, n ∈ ℤ 1- ⌈ √3-- 6 log3(2 cosx) = 2 cosx = ---- 2

(заметим, что уравнение $√- cosx = -3- 2$ удовлетворяет ОДЗ)

б) Отберем корни. $π ≤ π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ -5-≤ n ≤ 7- ⇒ n = 1 ⇒ x = 13π- 6 2 12 6 6$ $π ≤ − π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ -7-≤ n ≤ 4- ⇒ n = 1 ⇒ x = 11π- 6 2 12 3 6$

Ответ:

а) $π ± --+ 2πn, n ∈ ℤ 6$

б) $11π- 13π- 6 ; 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1258

а) Решите уравнение

4 ⋅ 16sin2x − 6 ⋅ 4cos2x = 29

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π-;3π 2$ .

Показать ответ и решение

а) Так как $cos 2x = 1 − 2 sin2 x$ , то уравнение можно записать в виде

4 ⋅ 16sin2x − 6 ⋅ 4 ⋅ 16− sin2x = 29

Сделаем замену $sin2x 16 = t$ , $t > 0$ :

24 4t − ---= 29 t

Умножим обе части равенства на $t$ , так как $t ⁄= 0$ :

4t2 − 29t − 24 = 0

Дискриминант $2 D = 35$ , следовательно, корни $t = 8$ и $3 t = − 4$ . Так как $t > 0$ , то второй корень не подходит. Значит,

√ -- 16sin2x = 8 ⇔ 24sin2 x = 23 ⇔ sin2 x = 3- ⇔ sin x = ± --3- 4 2

Решениями полученного уравнения будут $π 2π π 2π x = --+ 2πn; ---+ 2πn; − --+ 2πn; − ---+ 2πn, n ∈ ℤ 3 3 3 3$ .
Все данные серии корней можно объединить в одну серию $π x = ± --+ πn, n ∈ ℤ 3$ .

б) Отберем корни. $3π-≤ π-+ πn ≤ 3π ⇔ 7-≤ n ≤ 8- ⇒ n = 2 ⇒ x = 7π- 2 3 6 3 3$ $3 π π 11 10 5π 8π --- ≤ − --+ πn ≤ 3π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n = 2;3 ⇒ x = --; --- 2 3 6 3 3 3$

Ответ:

а) $π ± --+ πn, n ∈ ℤ 3$

б) $5π 7π 8 π --; --;--- 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1259

а) Решите уравнение

(10cos2x − 7cosx − 6 ) ⋅ log8(− sin x) = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π- 2π; 2$ .

Показать ответ и решение

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла:

( [ ( [ | 10 cos2x − 7 cosx − 6 = 0 | 10 cos2x − 7 cosx − 6 = 0 { { | log8(− sinx ) = 0 ⇔ | sin x = − 1 ( − sin x > 0 ( sinx < 0

Назовем $sin x < 0$ – ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой $cos x = t$ , $− 1 ≤ t ≤ 1$ , данное уравнение сводится к квадратному $2 10t − 7t − 6 = 0$ . Корнями будут $1 t = − 2$ и $6 t = 5$ . Видим, что второй корень не подходит. Таким образом:

cos x = − 1- ⇔ x = ± 2π-+ 2πn, n ∈ ℤ 2 3

Заметим, что углы $2π x = ---+ 2πn 3$ , $n ∈ ℤ$ находятся во второй четверти, где $sinx > 0$ , следовательно, не подходят по ОДЗ. Углы $2π x = − --- + 2πn 3$ , $n ∈ ℤ$ находятся в третьей четверти, где $sin x < 0$ , следовательно, подходят по ОДЗ. Итог:

2π- x = − 3 + 2πn,n ∈ ℤ

2) Рассмотрим второе уравнение: $sinx = − 1$ (подходит по ОДЗ). Решением будут

x = − π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2

б) Отберем корни. $2π 7π 4 25 10π 2π ≤ − ---+ 2πn ≤ --- ⇔ --≤ n ≤ --- ⇒ n = 2 ⇒ x = ---- 3 2 3 12 3$ $π 7π 5 7π 2π ≤ − --+ 2πk ≤ --- ⇔ --≤ k ≤ 2 ⇒ k = 2 ⇒ x = --- 2 2 4 2$

Ответ:

а) $2π π − ---+ 2 πn,− --+ 2πk,n, k ∈ ℤ 3 2$

б) $10π- 7π- 3 ; 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1260

а) Решите уравнение

2 log2(sinx)-+log√2(sin-x)= 0 2cosx + 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π 0;2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения: $sinx> 0$ и $cosx ⁄= − √3 2$ .
Решим уравнение на ОДЗ:

⌊ log (sinx)⋅(log (sinx)+ 1) [log2(sin x)= 0 | sinx = 1 --2---2cosx+2√3-------= 0 ⇒ log(sin x)= −1 ⇒ ⌈ 1 2 sinx = 2

Видим, что оба уравнения подходят под условие $sinx> 0$ из ОДЗ.
Таким образом, нам нужно отобрать корни, которые подходят под условие $√ - cosx ⁄= −--3 2$ . Сделаем это по окружности:

$PIC$

Таким образом, видим, что отбрасывается только одна серия корней: $5π 6 + 2πk$ . Итоговый ответ:

x= π-+ 2πn; π-+ 2πm; n,m ∈ ℤ 2 6

б) Отберем корни. $0 ≤ π-+2πn ≤ 3π ⇔ − 1 ≤n ≤ 1 ⇒ n = 0 ⇒ x= π- 2 2 4 2 2$ $π- 3π -1 2 π- 0 ≤ 6 + 2πm ≤ 2 ⇔ −12 ≤ m ≤ 3 ⇒ m = 0 ⇒ x = 6$

Ответ:

а) $π+ 2πn, π-+ 2πm, n,m ∈ℤ 2 6$

б) $π-; π 6 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2536

а) Решите уравнение

log4(sinx + sin2x + 16 ) = 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- − 4π;− 2 .$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид $log4 f(x) = 2$ . Таким образом, уравнение равносильно:

{ sin x + sin 2x + 16 > 0 2 ⇔ sin x+sin 2x+16 = 16 ⇔ sin x+2 sin xcos x = 0 ⇔ sinx(1+2 cosx) = 0 sin x + sin 2x + 16 = 4

Полученное уравнение выполняется, если:

1) $sin x = 0 ⇔ x = πn,n ∈ ℤ$ или

2) $1 2π cosx = − -- ⇔ x = ± ---+ 2πk,k ∈ ℤ 2 3$

б) Отберем корни:

1) $5 π − 4π ≤ πn ≤ − --- ⇔ − 4 ≤ n ≤ − 2,5 ⇒ n = − 4;− 3 ⇒ x = − 4π;− 3π 2$

2) $− 4π ≤ 2π-+ 2πk ≤ − 5π- ⇔ − 7-≤ k ≤ − 19- ⇒ k = − 2 ⇒ x = − 10-π 3 2 3 12 3$

3) $− 4π ≤ − 2π-+ 2πk ≤ − 5π- ⇔ − 5-≤ k ≤ − 11- ⇒ k = − 1 ⇒ x = − 8π- 3 2 3 12 3$

Ответ:

а) $2 π πn, ± --- + 2πk, n, k ∈ ℤ 3$

б) $10-π 8π- − 4π; − 3 ; − 3π; − 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2538

а) Решите уравнение

8 ⋅ 16sin2x − 2 ⋅ 4cos2x = 63

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π-;5π . 2$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $cos2x = 1 − 2 sin2 x$ , следовательно, $2 2 2 41−2sin x = 41 : 42sinx = 4 : 16sin x$ . Сделаем замену $16sin2 x = t$ , тогда уравнение примет вид:

1- 8t2-−-63t −-8 8t − 2 ⋅ 4 ⋅ t − 63 = 0 ⇔ t = 0

Так как $t > 0$ , то данное уравнение равносильно

2 8t − 63t − 8 = 0

$2 2 D = 63 + 4 ⋅ 8 ⋅ 8 = 3969 + 256 = 4225 = 65$ . Следовательно, $1- t1 = − 8$ и $t2 = 8$ . Сделаем обратную замену, учитывая, что корень $t1$ нам не подходит, так как он отрицателен:

√-- sin2x 4⋅sin2x 3 2 -3-- 16 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ 4 sin x = 3 ⇔ sinx = ± 2

Решениями данных двух уравнений будут: $x = ± π- + 2πm 3$ и $x = ± 2π-+ 2πn 3$ , $m, n ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $7π π 19 7 13 π ---≤ --+ 2 πm ≤ 5π ⇔ ---≤ m ≤ -- ⇒ m = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 3 3$ 2) $7 π π 23 8 11 π --- ≤ − --+ 2πm ≤ 5π ⇔ ---≤ m ≤ -- ⇒ m = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 3 3$ 3) $7π 2π 17 13 14π --- ≤ --- + 2πn ≤ 5π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 6 3$ 4) $7 π 2π 25 17 --- ≤ − ---+ 2πn ≤ 5π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n ∈ ∅ ⇒ x =∈ ∅ 2 3 12 6$

Ответ:

а) $π 2π ± --+ 2πm, ± ---+ 2πn 3 3$ , $m, n ∈ ℤ$

б) $11π- 13-π 14π- 3 ; 3 ; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2539

а) Решите уравнение

16sinx + 16sin(x+π) = 17- 4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 3π-;3π . 2$

Показать ответ и решение

а) Так как по формуле приведения $sin(π + x ) = − sin x$ , то заменой $16sinx = t$ уравнение сводится к виду:

1- 17- 4t2 −-17t +-4 t + t = 4 ⇔ 4t = 0

Так как $t > 0$ как показательная функция, то $4t2 − 17t + 4 = 0$ , откуда $t = 4 1$ и $t = 1- 2 4$ . Делаем обратную замену:

1) $16sinx = 4 ⇔ 42sinx = 4 ⇔ 2sinx = 1 ⇔ sin x = 1- 2$ .
Корнями такого уравнения будут $π- x = 6 + 2πn$ и $5π- x = 6 + 2πm$ , $m, n ∈ ℤ$ .

2) $1 16sinx = 4−1 ⇔ 2 sin x = − 1 ⇔ sinx = − -- 2$ .
Корнями такого уравнения будут $x = − π-+ 2πk 6$ и $x = − 5π-+ 2πl 6$ , $k,l ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $3π 5π 1 13 17 π ---≤ ---+ 2πm ≤ 3π ⇔ --≤ m ≤ --- ⇒ m = 1 ⇒ x = ---- 2 6 3 12 6$ 2) $3 π π 2 17 13π --- ≤ -- + 2πn ≤ 3π ⇔ --≤ n ≤ --- ⇒ n = 1 ⇒ x = ---- 2 6 3 12 6$ 3) $3π 5π 7 23 --- ≤ − ---+ 2πl ≤ 3π ⇔ --≤ l ≤ --- ⇒ l ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 6 6 12$ 4) $3 π π 5 19 11 π --- ≤ − --+ 2πk ≤ 3π ⇔ --≤ k ≤ --- ⇒ k = 1 ⇒ x = ---- 2 6 6 12 6$

Ответ:

а) $π --+ 2πn 6$ , $5 π --- + 2πm 6$ , $5π − ---+ 2πl 6$ , $π − --+ 2πk 6$ ; $m, n,k,l ∈ ℤ$

б) $11π- 13-π 17π- 6 ; 6 ; 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2540

а) Решите уравнение

21− sinx = 3− sinx ⋅ 7cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π-;0 . 2$

Показать ответ и решение

а) Так как $(ab)x = ax ⋅ bx$ , то уравнение можно переписать в виде:

( ) 3− sinx ⋅ 7− sin x − 3 − sinx ⋅ 7cosx = 0 ⇔ 3− sin x ⋅ 7− sinx − 7cosx = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. $3− sinx > 0$ по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно:

7− sinx = 7cosx ⇔ − sin x = cos x

Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на $sin x$ или $cos x$ . Разделим на $cosx$ :

π tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни.

$3π π 5 1 5π π − ---≤ − --+ πn ≤ 0 ⇔ − --≤ n ≤ -- ⇒ n = − 1;0 ⇒ x = − --; − -- 2 4 4 4 4 4$

Ответ:

а) $π − --+ πn, n ∈ ℤ 4$

б) $5π- π- − 4 ; − 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2541

а) Решите уравнение $(√- ) √ - ( ) 3sinx⋅log2 2 ⋅cosx = 3⋅log4 2cos2x .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 0; 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ данного уравнения: $cosx >0.$ Решим на ОДЗ.

По формуле

log (2cos2x)= log ||√2-⋅cosx||, 4 2| |

но так как по ОДЗ $cosx> 0,$ то

( 2 ) (√- ) log42 cos x = log2 2⋅cosx

Следовательно, уравнение принимает вид:

( ) ( ) 3sinx ⋅log2 √2 ⋅cosx − √3 ⋅log2 √2-⋅cosx = 0 (√- ) ( √ -) log2 2 ⋅cosx ⋅3sinx − 3 = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Следовательно есть два случая:

1.: $(√- ) log2 2⋅cosx = 0 √2⋅cosx= 20 √- 2 ⋅cosx = 1 √2- cosx= -2-> 0 π- x= ± 4 + 2πk, k ∈ℤ$
2.: $√ - 3sinx − 3= 0 sinx 12 3 = 3 sinx = 1 ⌊ 2 x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 65π x = -6 +2πk, k ∈ℤ$
Но заметим, что корень $x = 5π+ 2πk 6$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы находятся во второй четверти, а там $cosx< 0.$

Следовательно, решением уравнения являются

⌊ π |x = ±4-+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π x = 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Рассмотрим серию решений $x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ : 4$
$0≤ π-+ 2πk ≤ 3π 4 2 − π-≤ 2πk ≤ 5π 4 4 − 1 ≤k ≤ 5 8 8 k =0 π x= 4-$
Рассмотрим серию решений $π x= − 4-+2πk, k ∈ℤ :$
$0 ≤− π-+2πk ≤ 3π 4 2 π≤ 2πk ≤ 7π 4 4 1 ≤ k ≤ 7 8 8 k ∈ ∅ x∈ ∅$
Рассмотрим серию решений $π x= -6 + 2πk, k ∈ ℤ :$
$π 3π 0≤ 6-+ 2πk ≤-2 − π-≤ 2πk ≤ 4π 6 3 − 1-≤ k ≤ 2 12 3 k =0 π x= 6-$

Ответ:

а) $± π+ 2πk; 4$ $π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $π 4-;$ $π 6-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2542

а) Решите уравнение

2 log-2(sinx-) +-log2(sin-x) 2cos x − √3-- = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] π-;2π . 2$

Показать ответ и решение

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю:

( { log2(sinx) + log (sin x) = 0 2 √ -- 2 ( 2 cosx − 3 ⁄= 0

Неравенство $√3-- cos x ⁄= ---- 2$ назовем ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: $2 log 2(sinx ) + log2(sinx) = 0$ .
Сделаем замену $log2 (sin x) = t$ . Тогда уравнение примет вид

[ 2 t = 0 t + t = 0 ⇔ t(t + 1) = 0 ⇔ t = − 1

Следовательно,

⌊ π x1 = --+ 2πn ⌊ 0 | 2 [ sin x = 2 = 1 || π log2(sin x) = 0 ⇔ ⌈ ⇔ || x2 = --+ 2πm log2(sin x) = − 1 sin x = 2− 1 = 1- | 6 2 |⌈ x = 5-π + 2πk 3 6

$n, m, k ∈ ℤ$ .
Вернемся к ОДЗ. По ОДЗ $π- x ⁄= 6 + 2πl$ и $π- x ⁄= − 6 + 2πp$ , $l,p ∈ ℤ$ .
Таким образом мы видим, что серия корней $x2$ не подходит под ОДЗ, значит, не будет входить в ответ.
Ответом будут являться серии $x1$ и $x3$ .

б) Отберем корни. 1) $π- π- 3- π- 2 ≤ 2 + 2 πn ≤ 2π ⇔ 0 ≤ n ≤ 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 2$ 2) $π- 5π- 1- -7- 5π- 2 ≤ 6 + 2πk ≤ 2π ⇔ − 6 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 0 ⇒ x = 6$

Ответ:

а) $π 5π --+ 2πn, ---+ 2πk 2 6$ , $n,k ∈ ℤ$

б) $π- 5π- 2; 6$

13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа