Тема Треугольники и их элементы

Средняя линия и её свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники и их элементы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119376

Основания трапеции $ABCD$ равны $a$ и $b.$ Найдите

(a) длину средней линии, параллельной основаниям;

(b) длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Показать ответ и решение

Без нарушения общности будем считать, что $a <b.$ Пусть трапеция $ABCD,$ $AD =b,$ $BC = a.$

(a) Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

$PIC$

Отметим отрезок $DK = BC = a$ на продолжении прямой $AD$ за точкой $D.$ Проведём отрезки $BN$ и $NK.$ Заметим, что $△BCN$ равен $△KDN$ по двум сторонам $(BC =KD, CN = ND )$ и углу между ними ( $∠BCN = ∠KDN$ из параллельности). Значит, $∠BNC = ∠KND.$ Из этого следует, что $B,N,K$ лежат на одной прямой. Осталось заметить, что $MN$ — средняя линия в треугольнике $△ABK,$ значит, она равна

AK a +b -2-= --2-

(b) Пусть $P,$ $T$ и $N$ — середины сторон $AC,$ $BD$ и $CD$ соответственно.

$PIC$

Заметим, что $PN$ – средняя линия в $△ACD,$ значит,

PN = AD-= b и PN ∥AD ∥CD 2 2

Аналогично $TN$ — средняя линия в $△BCD,$ значит, $TN ∥AD ∥ CD$ и

TN = BC-= a 2 2

Из точки $N$ проведены две прямые, параллельные основаниям, значит, они совпадают, то есть точки $P,T$ и $N$ лежат на одной прямой. Тогда искомый отрезок

P T = PN − TN = b− a 2

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127243

Докажите, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Показать доказательство

Пусть $M$ — середина стороны $AB,$ $K$ — середина стороны $BC$ треугольника $△ABC,$ точка $D$ симметрична точке $A$ относительно $K.$ У четырёхугольника $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, соответственно, $ABCD$ — параллелограмм.

$PIC$

Проведём $KN$ — среднюю линию треугольника $△BCD.$

Заметим, что $△MBK = △KCN$ по двум сторонам и углу между ними ( $∠MBK =∠KCN,$ $CN =MB,$ $BK =KC$ ), следовательно, $∠MKB = ∠CKN$ и точки $M,$ $K$ и $N$ лежат на одной прямой. Таким образом, $MN$ — средняя линия параллелограмма, так что $MN ∥AC,$ отсюда следует, что $MK ∥AC.$

Так как $△MBK = △KCN$ и $MN = AC,$ то

MK = KN = AC2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83839

Вершину треугольника соединили с точкой, делящей его противоположную сторону в отношении $2:1$ . Докажите, что получившийся отрезок разбивает данный треугольник на два треугольника, у которых есть по равной медиане.

Показать доказательство

Нам дан треугольник $ABC,$ в котором точка $K$ делит $AC$ в отношении $AK :KC = 2:1.$ Рассмотрим медианы $KT$ и $CP$ в треугольниках $ABK$ и $KBC$ соответственно.

$PIC$

$T$ и $P$ — середины $AB$ и $BK$ соответственно, следовательно, $TP$ — средняя линия треугольника $ABK.$ Тогда $AK :TP = 2:1$ и $AK ∥ TP,$ но $AK :KC =2:1,$ значит, $TP = KC$ и $TP ∥KC.$ Следовательно, $KTP C$ — параллелограмм, поэтому $KT = CP.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83841

Точки $P$ и $Q$ — середины сторон выпуклого четырехугольника $ABCD$ . Отрезки $AP$ и $AQ$ делят диагональ $BD$ на 3 равные части. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

Показать ответ и решение

Обозначим точки пересечения $AP$ и $AQ$ с диагональю $BD$ как $X$ и $Y$ соответственно, тогда $BX = XY = YD.$ Рассмотрим треугольник $BY C,$ заметим, что $XP$ — средняя линия, т.к. $BX =XY$ и $BP = PC.$ Следовательно $XP ∥CY.$ Аналогично получаем, что $CX ∥ YQ.$ Значит, $AXCY$ является параллелограммом.

Проведём диагональ $AC.$ $O$ — точка пересечения $AC$ и $XY,$ т.к. $AXCY$ — параллелограмм, то $O$ делит $AC$ и $XY$ пополам.

$PIC$

Но $BX = YC,$ следовательно $O$ делит и $BD$ пополам. $O$ — точка пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD,$ делящая их пополам, значит, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#60912

Точка $M$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$ , а точка $Q$ — середина медианы $BM$ . Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $AQ$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$ . Найдите отношение $MP :AQ.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть AQ пересекает BC в точке R. Так сразу найти какое-то отношение AQ к MP не выглядит простой задачей. Давайте сначала попробуем выразить AR и QR через MP.

Подсказка 2

В условии даны сразу несколько середин сторон, так еще и про параллельность что-то сказали. Возможно, стоит задуматься о каких-то средних линиях.

Подсказка 3

MP проходит через середину AC параллельно AQ, значит, MP – средняя линия треугольника ARC. QR проходит через середину BM параллельно MP, значит, QR – средняя линия треугольника MBP.

Показать ответ и решение

Пусть $AQ$ пересекается с $BC$ в точке $X$ .

Первое решение.

$PIC$

Прямая, проходящая через середину $M$ отрезка $AC$ параллельно $AQ$ , это средняя линия треугольника $ACX$ , она равна половине $AX$ . То есть $MP =y =⇒ AX = 2y.$

Прямая, проходящая через точку $Q$ отрезка $BM$ параллельно $MC$ , это средняя линия треугольника $BMP$ , она равна половине $MP$ . То есть $MP = y =⇒ QX = y∕2.$

В итоге

MP :AQ = MP :(AX − XQ)= y :(2y− y∕2)= 2:3

__________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Мы видим медиану и хочется немедленно её удвоить.

$PIC$

Тогда мы получаем параллелограмм $ABCD$ и за счёт равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых $△ADQ ∼△QBX$ с коэффициентом подобия

DQ :QB = (DM +MQ ) :QB = (2QB +QB ):QB =3 :1.

Из подобия мы выяснили, что

3 AQ :QX =3 :1 ⇐ ⇒ AQ = 4AX.

Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $AQ$ , это средняя линия треугольника $ACX$ , она равна половине $AX$ . В итоге

1 3 MP :AQ = 2AX :4AX = 2:3

__________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

$PIC$

По теореме Менелая для треугольника $BMC$ и прямой $AQ$

CX- -BQ MA- CX- 1 1= XB ⋅QM ⋅AC = XB ⋅1⋅2

2 1 CX = 3BC,BX = 3BC

По теореме Менелая для треугольника $ACX$ и прямой $BM$

1= AQ- ⋅ XB-⋅ CM = AQ-⋅ 1⋅1 QX BC MA QX 3

AQ = 3AX 4

1 3 MP :AQ = 2AX :4AX = 2:3

Ответ: 2:3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31718

Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна $c.$ Через середину $M$ его катета $AC$ провели прямую, которая делит гипотенузу в отношении $1:3,$ считая от вершины $A.$ Найдите отрезок данной прямой, заключённый внутри треугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

М - уже середина катета. Пусть точка, которая делит гипотенузу 1к3 - Е. Давайте попробуем отметить середину гипотенузы и провести среднюю линию между ними!

Подсказка 2

Она разделит AB пополам, а как разделится половина гипотенузы, содержащая точку Е?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точка $E$ на отрезке $AB$ делит его в отношении $1:3.$ Проведём среднюю линию $MN ∥ BC,$ отсюда $△AMN$ прямоугольный и $ME$ — его медиана, то есть $ME = AB ∕4 =c∕4.$

Ответ:

$c∕4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#83169

Дан остроугольный треугольник $ABC$ . Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ . Прямая, параллельная $BC$ и проходящая через точку $A$ , пересекает $l$ в точке $X$ . Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $C$ , пересекает $l$ в точке $Y$ . Оказалось, что $AX$ делит $BY$ пополам. Докажите, что высота треугольника $ABC$ , проведённая из вершины $B$ , делит $AX$ пополам.

Источники: Европейский математический турнир - 2020, автор Белов Д.А.

Показать доказательство

Пусть $M$ — середина $AC,$ и пусть $AX$ пересекает $CY$ в точке $P.$

Тогда $ABCP$ — параллелограмм(так как имеет две пары параллельных сторон). $AP$ параллельна $BC$ и проходит через середину $BY,$ а значит, является средней линией треугольника $BCY.$ Отсюда $CP = PY.$ Более того, $CP = PY = PM,$ поскольку $PM$ — медиана из прямого угла в треугольнике $CMY.$

$PIC$

Далее, поскольку $ABCP$ — параллелограмм и $AM =MC$ , то $M$ — точка пересечения диагоналей, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Отсюда, $BM = MP$ . Кроме того, $CB = AP$ как противоположные стороны параллелограмма. Таким образом, $AB = BM,$ то есть треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его высота является медианой. Получается, она делит $AM$ пополам и параллельна $MX,$ то есть является средней линией треугольника $AMX$ и делит $AX$ пополам, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79114

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD,$ а $∠C = ∠A +∠D.$ Найдите угол $ACD.$

Источники: Олимпиада Эйлера, 2015, РЭ, 8.6(см. www.matol.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $E$ — середина стороны $AD,$ а $F$ — точка пересечения $BE$ и $AC.$

$PIC$

Из условия имеем: $∘ ∠B =360 − 2(∠A +∠D ),$ откуда $∘ ∠AEB =180 − ∠A−$ $∠B∕2= ∠D.$ Значит, $BE∥CD,$ и $EF$ — средняя линия треугольника $ACD,$ то есть $AF =F C.$ Таким образом, $BF$ — биссектриса и медиана треугольника $ABC,$ а, значит, и его высота. Следовательно, прямая $CD,$ параллельная $BF,$ также перпендикулярна $AC,$ откуда и вытекает ответ.

Ответ:

$∠ACD =90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#69663

Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие факты о средней линии мы знаем?

Подсказка 2

Действительно, средняя линия параллельна стороне, равна её половине и соединяет середины двух других, а у нас три средних линии! Нужно аккуратно записать эти факты и применить признаки равенства треугольников!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $D$ , $E$ , $F$ — середины сторон $AB$ , $BC$ , $CA$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $ADF$ и $FEC$ . $AF = FC$ , так как $F$ — середина этой стороны. $EF$ — средняя линия, поэтому она параллельна $AB$ и равна ее половине, то есть $AD$ . А также $∠DAF =∠EF C$ как односторонние при параллельных $AB$ и $EF$ и секущей $AF$ . Значит, по двум сторонам и углу между ними эти треугольники равны. По аналогичным причинам получим, что треугольники $DBE$ и $ADF$ равны. А треугольник $DF A$ равен оставшимся по трем сторонам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69664

Известно, что средние линии четырехугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Что мы можем сказать о сторонах четырёхугольника (обозначим его EGFH), у которого вершинами являются середины сторон изначального четырёхугольника? Они как-то связаны с его диагоналями!

Подсказка 2.

Стороны EGFH будут являться средними линиями для треугольников, состоящих из двух сторон и диагонали изначального четырёхугольника, а значит EGFH не просто четырёхугольник, а параллелограмм!

Подсказка 3.

Параллелограмм с равными диагоналями? Это тоже какой-то признак, и нам надо доказать что-то про перпендикулярность..)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $E$ , $G$ , $F$ , $H$ — середины сторон $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ соответственно. Что можно сказать про четырехугольник $EGF H$ ? $EG$ — средняя линия в треугольнике $ABC$ , поэтому она параллельна $AC$ и в два раза ее короче. Аналогично можно сказать про $HF$ . Получается, что $AC ∥HF$ и $AC =HF$ , значит, четырехугольник $EGF H$ — параллелограмм. Но что еще про него известно? Что его диагонали равны. Значит, это прямоугольник. И его стороны перпендикулярны. Так как, например, $EG ∥AC$ как средняя линия в треугольнике $ABC$ и $EH ∥BD$ как средняя линия в треугольнике $ABD$ и $EG⊥ EH$ из доказанного выше, то $AC ⊥ BD$ , что и требовалось доказать.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#69665

В выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями. Докажите, что диагонали равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, как бы нам подступиться к диагоналям, они же пересекаются и просто так их не сравнить... А может, использовать средние линии не только четырёхугольников, но и треугольников и подступиться через них?

Подсказка 2

Нарисуем 2 средние линии (разных) треугольников, образованных с помощью диагоналей. По условию есть какие-то равные углы, связанные с диагоналями, а значит, есть равные углы и у средних линий треугольников!

Показать ответ и решение

$PIC$

Назовем середину отрезка $BC$ точкой $I$ , середину $AB$ — точкой $E$ и середину $CD$ — точкой $F$ . Проведем $EI$ и $IF$ , это средние линии в треугольниках $ABC$ и $BCD$ соответственно. Значит, $EI ∥AC$ и $IF ∥ BD$ . Тогда $∠IEF = ∠EGA$ как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $EG$ , аналогично, $∠IFE =∠F HD$ как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $HF$ , а значит, получаем, что $∠IEF = ∠IFE$ , то есть треугольник $IEF$ — равнобедренный и $IE =IF$ по определению. Ну а значит, $AC = BD$ , так как $AC = 2IE = 2IF = BD$ . Что и нужно было доказать.

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#69666

Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и равны. Докажите, что середины четырех остальных его сторон образуют параллелограмм.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в шестиугольнике ABCDEF CD и AF параллельны и равны. В какой фигуре встречаются равные параллельные противоположные стороны? Быть может, такая фигура есть и у нас на чертеже?

Подсказка 2

ACDF — параллелограмм! Что из этого следует?

Подсказка 3

AC = DF! А что тогда можно сказать про стороны четырёхугольника, которого мы построили на серединах сторон?

Подсказка 4

Стороны построенного четырёхугольника являются средними линиями в треугольниках ABC и DEF. Осталось лишь вспомнить свойства средней линии ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $ACDF$ . В нем противоположные стороны равны и параллельны по условию. Значит, он параллелограмм. Теперь посмотрим на треугольник $ABC$ . В нем $GH$ — средняя линия. Значит, $GH ∥AC$ и $GH = 12AC$ , аналогично $JI ∥DF$ и $JI = 12DF$ , но мы также знаем, что $AC =F D$ и $AC ∥DF$ , значит, $GH$ и $JI$ равны и параллельны, то есть $GHIJ$ — параллелограмм.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69667

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что $AD :DC = 1:2$ . Докажите что у треугольников $ADB$ и $CDB$ есть по равной медиане.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, нам нужно доказать равенство медиан... но каких? Давайте проводить и экспериментировать) Конечно, нам хочется как-то использовать то, что AD в два раза меньше DC.

Подсказка 2

Пусть E — середина BD, а F — середина BC. Что тогда можно провести в треугольнике BDC?

Подсказка 3

Проведём в треугольнике BCD среднюю линию EF! Что можно сказать про её длину?

Подсказка 4

EF в два раза короче DC. А что ещё мы знаем про среднюю линию?

Подсказка 5

EF параллельна DC!

Подсказка 6

Внимательно посмотрите на четырёхугольник AEFD) Как связаны его стороны EF и AD?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $E$ и $F$ — середины $BD$ и $BC$ . Тогда $EF$ — средняя линия в треугольнике $BCD$ , значит, $EF = 12DC = a= AD$ и $EF ∥DC ∥AD$ . Получаем, что $EF$ и $AD$ равны и параллельны, то есть $AEF D$ — параллелограмм, значит, $AE =DF$ , а это и есть медианы в треугольниках $ADB$ и $CDB$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69668

Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника, образует с его сторонами углы $50∘$ и $80∘$ . Докажите, что расстояние между серединами диагоналей равно половине одной из сторон четырехугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на значения углов. 50° и 80°. Что же про них можно сказать?

Подсказка 2

Нуу, например, что 50 + 50 = 180 - 80. То есть если в треугольнике углы 80° и 50°, то он равнобедренный. Как бы нам связать эти углы на чертеже? Пока что они не особо связаны...

Подсказка 3

Пусть F, G — середины диагоналей AD и ВС соответственно четырёхугольника ABCD. E — середина BD. Считаем, что FG образует угол 50° и 80° со сторонами AB и DC соответственно. Тогда что можно сказать, про FE и EG?

Подсказка 4

Верно! Они являются средними линиями, а значит перебросив углы, понимаем, что GE = GF. А теперь осталось сделать пару замечаний. Успехов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точка $E$ — середина стороны $BD$ , тогда $EF$ — средняя линия в треугольнике $ABD$ , $EG$ — средняя линия в треугольнике $CBD$ . Тогда $EG = 12DC$ , а также $∠EGF$ равен углу между прямой $F G$ и $DC$ как односторонние при параллельных прямых и равен $80∘$ , аналогично получаем, что $EFG = 50∘$ . По теореме о сумме углов в треугольнике: $∠F EG =180∘− ∠EFG − ∠EGF =50∘$ , а значит, треугольник $EFG$ равнобедренный по признаку. Получается, что $F G= GE = 12DC$ , что и требовалось доказать.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#69669

Вершина параллелограмма и середины двух его соседних сторон образуют равносторонний треугольник. Найдите углы параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, как бы подступиться к задаче, явно нужно что-то дополнительно построить, продлить! Пусть BEF — наш равносторонний треугольник в параллелограмме ABCD, какие построения можно добавить?

Подсказка 2

Просто провести диагонали нам не помогает... Если построить треугольник из прямой, содержащей EF, а также прямых AB и BD, то сможем получить несколько равных треугольников и начнем считать углы и искать равные отрезки.

Подсказка 3

Если найдем угол ABD, то задача решена. Он состоит из нескольких углов, один из которых мы знаем по условию, а два других можем получить, если заметим где-то равнобедренные треугольники.

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $EF$ до пересечения с прямыми $AB$ и $BD$ и получим точки $G$ и $H$ соответственно. Рассмотрим треугольники $FCE$ и $FDH$ . Они равны, почему? $CF = FD$ , так как $F$ — середина отрезка, $∠CFE = ∠DFH$ как вертикальные и $∠FCE = ∠FDH$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $BD$ (ведь нам дан параллелограмм) и секущей $CD$ . Значит, получается, треугольники и правда равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Аналогично получим, что треугольники $GAE$ и $FCE$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. А значит, все эти три треугольника равны. Получается, что $GE =EF = FH$ , но мы ведь знаем, что $EF B$ — равносторонний треугольник, то есть $GE =EF = FH = FB = EB$ . Значит, треугольник $FHB$ — равнобедренный по определению. Найдем его углы. $∠BF H = 180∘− ∠BF E$ как смежные, то есть $∠BF H =120∘$ , а углы $F BH$ и $F HB$ равны $180∘−∠2BHF- =30∘$ . То же самое можно сказать про углы $EGB$ и $EBG$ , а значит, $∠B = ∠ABE + ∠EBF + ∠FBD = 120∘$ . Ну а второй угол в параллелограмме равен $180∘− ∠B =60∘$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#94412

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB = c,$ $BC =a,$ причем $a> c.$ Через середину $M$ стороны $AC$ провели прямую параллельно стороне $BC.$ Эта прямая пересекает биссектрису $BK$ в точке $E.$ Найдите $ME.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме о биссектрисе получаем

AK- = AB = c⇒ KC = aAK KC AC a c

AC =AK + KC = AK + aAK = c+-aAK ⇒ AK = -c--AC c c c+ a

Поскольку $M$ — середина $AC,$ то $AM = 1AC. 2$ Тогда

1 -c-- -a−-c- KM = AM − AK = 2AC − c+aAC = 2(a+c)AC

Откуда

KAMK-= 2a(a−+ cc)AC :c+caAC = a−2cc

Пусть $N$ — точка пересечения $ME$ и $AB.$ Так как $M$ — середина $AC$ и $MN ∥BC,$ то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ отсюда $NB- 1 AB = 2$ и $BC- a MN = 2 =2 .$