a) Вычислим производную нашей функции, которую мы приравниваем к нулю:

(3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x− 20)′ = 12x3 − 12x2 − 12x + 12 = 12(x3 − x2 − x + 1) =

= 12(x − 1)2(x + 1)

Следовательно, у производной есть только 2 корня: $x = 1$ и $x = − 1$ .

Притом, корень $x = 1$ - четной кратности, поэтому имеем такую табличку монотонности:

-------------------------|-----------|--------|---------|--|-|| x: | (− ∞, − 1) |(− 1,1) |(1,+ ∞ ) | | || -------------------------|-----------|--------|---------|--|--- Знак пр оизводной | < 0 |> 0 |> 0 | | | | | | | М онотонно сть ф ункци и Убы в. В озр. В озр.

Кроме того, в силу того, что многочлен $3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x − 20$ имеет чётную степень, то очевидно, что при $x → − ∞$ он стремится к $+ ∞$ , и при $x → + ∞$ он стремится к $+ ∞$ . Поэтому его график эскизно может выглядеть вот так:

И в таком случае он будет иметь два вещественных корня.

С другой стороны, конечно, график мог достичь экстремума и не пересекая оси $Ox$ и быть таким:

Однако это бы попросту означало, что наш многочлен $3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x − 20$ всегда остаётся положительным. Но это заведомо не так, поскольку если подставить в него $x = 0$ , получим значение $− 20$ . Тем самым, второй случай точно исключен, и, значит, всё таки его график выглядит примерно так:

А, следовательно, он имеет в точности 2 вещественных корня.

b) Вычислим производную нашей функции, которую мы приравниваем к нулю:

(x3 − 6x2 + 9x − 10)′ = 3x2 − 12x + 9 = 3(x2 − 4x + 3) = 3(x− 1)(x − 3)

Следовательно, у производной есть 2 корня: $x = 1$ и $x = 3$ .

Имеем такую табличку монотонности:

-------------------------|---------|--------|---------|-||-|| -x:------------------------(−-∞,-1)---(1,3-)---(3,+-∞-)-------| -------------------------|---------|--------|---------|-||-- Зна к п роизводной | > 0 | < 0 |> 0 | || М онотонн ость ф ункци и| Возр. | Убы в. |В озр. | ||

Кроме того, в силу того, что многочлен $3 2 x − 6x + 9x − 10$ имеет нечётную степень, то очевидно, что при $x → − ∞$ он стремится к $− ∞$ , и при $x → +∞$ он стремится к $+ ∞$ . Поэтому его график эскизно может выглядеть одним из следующих трёх образов:

(Случаи, когда $”$ горб $”$ графика касается оси $Ox$ исключаем, поскольку очевидно, что ни точка $1$ , ни точка $3$ не является корнем нашего многочлена $3 2 x − 6x + 9x − 10$ )

Какой же из этих случаев реализуется на самом деле?

Достаточно подставить точку $1$ в многочлен $x3 − 6x2 + 9x − 10$ и получить, что его значение в $1$ равно $− 6$ . Следовательно, на самом деле реализуется первый из трёх вариантов, а, значит, наше уравнение имеет ровно 1 корень, причем этот корень заведомо положительный.

30 Экстремумы функций одной переменной.