16 Предел и непрерывность функций многих переменных.

Вначале заметим, что если стремиться к точке по траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении предел будет браться от тождественного ноля, то есть

С другой стороны, если идти по траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет

Следовательно, раз при разных стремлениях получаются различные пределы, то никакого общего предела нет, то есть

С другой стороны,

А с третьей стороны,

Если рассмотреть траекторию то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет

С другой стороны, если пойти по параболической траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет

Следовательно, раз при разных стремлениях получаются различные пределы, то никакого общего предела нет, то есть

Поскольку то где и

Таким образом, (по таблице эквивалентностей).

Тогда получается:

Тогда, сделав замену получим, что условие эквивалентно условию (потому что если не стремится к 0, то к 0 должен стремиться чтобы Но тогда будет стремиться либо к 1, либо к поскольку не стремится к 0, то уже тоже не будет стремиться к 0. Значит, обязано стремиться к 0.)

После замены получаем:

Так как - ограничена, а Следовательно,

Выберем вновь так, чтобы:

;


Тогда, если взять то при всех таких, что будет одновременно и и

Тогда оценим разность :

Далее, поскольку а то найдётся такое, что в какой-то проколотой окрестности (в данном случае проколотые окрестности - это шары с выколотым центром) точки (В противном случае, если бы такого не нашлось, то это означало бы, что для любого сколь угодно малого числа можно было бы найти хотя бы одну точку в сколь угодно малом шаре с центром такую, что то есть можно было бы построить последовательность такую, что - а это противоречило бы тому, что ). Значит, пересекая этот шар с шаром в котором и и будем иметь, что

Так как

Далее:

И каждое слагаемое в последней сумме может быть для любого сделано меньше, чем и соответственно. Следовательно, может быть сделано сколь угодно маленьким, а, значит, и

- тоже Таким образом, мы доказали, что при

Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть, наоборот, но при этом
Поскольку то их можно отделить непересекающимися окрестностями. А именно, пусть - расстояние между числами и (напомним, что ). Ясно, что именно из-за того, что - различные числа.

Тогда понятно, что если мы их окружим, например, окрестностями радиуса то эти окрестности не будут пересекаться:

Далее, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при всех таких, что будет выполнено то есть содержится в окрестности числа

Аналогично, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при всех таких, что будет выполнено то есть содержится в окрестности числа

Тогда, взяв получим, что все из проколотого -шара точки должны целиком лежать и в -окрестности числа и в -окрестности числа Но эти окрестности не пересекаются, поскольку расстояние между числами и равно Получили противоречие. Следовательно, предел у функции в точке всегда единственный.

Действительно, воспользуемся определением непрерывности в терминах предела по Коши.

- непрерывна в точке означает, что

Но тогда, если в качестве взять, например, число 1 (не суть важно, что это именно 1, но этого нам хватит для доказательства), то при всех из шара с центром в точке мы будем иметь, что

Или, расписывая это неравенство с модулем в двойное неравенство:

Это как раз и означает, что мы нашли окрестность, а именно, этот самый шара с центром в точке , в котором ограничена сверху числом , а снизу числом . То есть, просто ограничена в этой окрестности.

Числитель нашей функции будет непрерывен во всех точках области определения логарифма, т.е. в таких точках , что .

В эти точках непрерывна как композиция непрерывного логарифма, синуса, и многочлена от двух переменных - теорема о непрерывности композиции непрерывных функций.

Знаменатель непрерывен в каждой точке , как многочлен от двух переменных.

Следовательно, по теореме о непрерывности частного, дробь будет непрерывна в точках, где знаменатель отличен от 0.

В конце концов, получаем, что непрерывна в точках таких, что

Числитель нашей функции будет непрерывен во всех точках - это следует из непрерывности синуса, многочлена, и теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций.

Знаменатель непрерывен в каждой точке , как композиция непрерывного многочлена от двух переменных и всюду непрерывного корня.

Следовательно, по теореме о непрерывности частного, дробь будет непрерывна в точках, где знаменатель отличен от 0. То есть, мы заведомо можем сказать, что во всех точках таких, что наша дробь непрерывна. А что же будет происходить в точке ?

Для этого нужно отдельно вычислить .

Заметим, что при близких к . Значит:

Тогда имеем:

Но при , значит, и тем более . А значит и просто при .

Следовательно, предел при стремлении к началу координат равен её значению в точке. А, значит, непрерывна во всех точках

Сделаем такое нехитрое преобразование при : . Тогда, ввиду того, что при любом :

Будем иметь, что

Распишем функцию у которой берем предел:

Но .

А тогда и тем более

Поскольку при :

Непрерывность всюду в , где следует из непрерывности суммы, отношения и непрерывности многочленов, поскольку всюду за пределами множества, где , функция является суммой многочлена и дроби из многочленов, а поэтому непрерывна.

Что происходит при , то есть на прямой ?

1 случай. Пусть . Пусть , то есть лежит на прямой , но при этом отлична от начала координат. Тогда, если вдоль прямой , то при .

Однако если вдоль прямой , то при .

Следовательно, при стремлениях к точке вдоль прямых предел нашей функции отличен от значения в этой точке. Следовательно, всюду на прямой , кроме начала координат, функция - разрывна.

2 случай. Пусть - начало координат.

Тогда, с учётом того, что

А также, что

Имеем, что при функция .

Следовательно, функция - непрерывна в точке .

Значит, множеством точек разрыва функции является вся ось , кроме начала координат.

Поскольку и числитель и знаменатель - многочлены, то по теореме об отношении непрерывных функций, их отношение заведомо будет непрерывно во всех тех точках плоскости , в которых знаменатель , то есть для всех , не лежащих на прямой .

А что же будет при , то есть при ?

В точках этой прямой наша функция вообще не определена (на ноль делить нельзя), а раз не определена, то заведомо разрывна.

Однако можно даже уточнить, как именно она разрывна в точках прямой .

1 случай. Пусть , но при этом . То есть рассмотрим случай, когда точка лежит на прямой , но при этом эта точка - не начало координат.

Тогда:

(т.к. точка лежит на прямой )

Таким образом, во всех точках прямой , кроме начала координат, у нашей функции есть конечный предел, несмотря на то, что в самих этих точках она не определена. Так что, если бы мы доопределили её этим пределом в этих точках, получилась бы вообще непрерывная функция. Поэтому мы можем сказать, что в точках прямой , кроме начала координат, наша функция имеет устранимый разрыв.

2 случай. Точка . А вот в ней все ббудет совсем плохо, потому что

То есть, поскольку при стремлении к началу координат знаменатель - очевидно, бесконечно мал, а числитель равен единице, то наша функция расходится к бесконечности и можем сказать, что в начале координат у неё разрыв II рода.

Действительно, фиксируем . Тогда наша функция при таком фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что

то есть при фиксированном наша функция по вообще константа, а поэтому непрерывна по в нуле.

По совершенно аналогичным соображениям можно сказать, что наша функция при фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что

Но по совокупности переменных, то есть в смысле обычного определения непрерывности функции многих переменных, наша функция не будет непрерывна в точке . Более того, в этой точке она даже не будет иметь предела.

Действительно, рассмотрим траекторию . Тогда вдоль этой траектории

В то же самое время, если мы рассмотрим траекторию , то вдоль этой траектории

Тогда получается, что у нас есть две траектории, вдоль которых наша функция при стремлении к началу координат стремится к двум разным пределам. Но это означает, что никакого предела у при нет. Потому что в любой окрестности нуля обязательно найдутся точки как первой, так и второй траектории.