Тема Математика для экономистов

04 Математика для экономистов - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математика для экономистов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90016

Фирма «Искра» планирует открыть сервисные центры по ремонту техники в разных городах. Известно, что стоимость строительства центра в 1-ом городе составляет 1 млн., во 2-ом городе – 2 млн. руб., в 3-ем – 3 млн. и тд. Определите оптимальное количество открытых центров, если выручка от каждого центра фиксирована и составляет 100 млн. рублей.

Для справки:

1 + 2+ 3+ ...+ n = n(n-+1). 2

Показать ответ и решение

Если выручка от каждого центра составляет 100 млн. рублей, то при открытии $n$ центров общая выручка фирмы составит $100 ∗n$ млн. рублей. Откуда получаем функцию прибыли фирмы как разница между вырученными средствами и издержками:

n(n+-1)- 2 π(n ) = 100n− 1 − 2− 3− ...− n = 100∗n − 2 = 99.5 ∗n − 0.5∗ n

Описанная выше функция – парабола с ветвями вниз, максимиум которой достигается в вершине при $n = 99.5$ . Ближайшие целочисленные точки $n = 99$ и $n = 100$ , считая значение прибыли в них мы получаем $π(99) = π(100) = 4950.$

Ответ: открываем 99 или 100 центров и получаем прибыль 4950.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94250

Карлсон идет в магазин с суммой 150 рублей для того, чтобы купить варенья и плюшек . Обозначим варенье за x, а плюшки — за y. Предпочтения "Мужчины в самом расцвете сил"описываются следующей функцией полезности: $U (x,y) = √x-+ √y-$ . Одна банка варенья стоит 20 рублей, а плюшка — 10 рублей. Сколько Карлсону варенья и плюшек нужно купить, чтобы максимизировать свою полезность.

Показать ответ и решение

Найдем бюджетное ограничение Карлсона:

150 = 20 ∗x + 10 ∗y

Выразим у:

y = 15 − 2x

Подставим в функцию полезности:

√ -- √ ------- U = x+ 15− 2x

Возьмем производную и приравняем к 0:

′ --1--- ----1--- U = 2 ∗√x-− √15-−-2x-= 0

Решим уравнение и найдем пару х и у:

x = 2,5;y = 10

Возьмем вторую производную, чтобы удостовериться, что найденный экстремум является максимумом:

1 1 U′′ = −--√--+ --------3 4 ∗ x (15 − 2x )2

U′′ = −--√1---+ -1-< 0 4∗ 2,5 10 32

Найденный экстремум действительно является максимумом функции полезности

Задача решена

Ответ: 10 Плюшек и 2,5 Варенья

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94251

Предпочтения Андрея описываются следующей функцией полезности: $------- U (x,y) = ln ∘ x2 + y2$ .Товар х стоит 2 рубля, а y — 1 рубль. У Андрея есть 20 рублей .Чего и сколько нужно купить Андрею , чтобы максимизировать свою полезность ?

Показать ответ и решение

Найдем ограничение:

Px ∗X + Py ∗y = 20

2 ∗x + 1∗y = 20

Т.к. мы максимизируем полезность, и функции натурального логарифма и квадратного корня монотонно возрастают, то в силу монотонности задача максимизации сводится к:

2 2 U2 = x + y → max

Найдем предельные полезности х и у:

M Ux = 2 ∗x

M Uy = 2 ∗y

Несложно заметить, что предельная полезность от х строго возрастает по х, а от у по у. При этом предельная полезность от х никак не зависит от у, а от у не зависит от х. Из этого следует, что максимум будет находиться на ограничении, при х=0 или у=0

При х=0:

y = 20

U2 = 400

При у=0:

x = 10

U2 = 100

Т.к. в первом случае полезность выше, то оптимальный набор х=0 и у=20

Ответ: 0 (x) и 20 (y)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94252

Предпочтения Андрея задаются функцией полезности $U = √xy-$ . У андрея нет денег, но есть запас y и x: у него есть 12 (x) и 10 (y). Товар x можно покупать и продавать по цене 4, а товар y можно покупать по цене 12, а продавать по цене 6. Найдите, сколько и каких товаров нужно Андрею в оптимуме

Показать ответ и решение

Очевидно, что невыгодно одновременно продавать и покупать у. Поэтому рассмотрим 2 случая, когда выгодно продавать или покупать у.

Случай 1:

Введем ограничение на у, т.к. мы можем только продавать:

y ≤ 10

Найдем ограничение:

6∗ 10+ 4∗ 12 = 108

6∗ y+ 4∗ x = 108

По свойству функции кобба-дугласа равновесие достигается при:

6∗y = 4∗ x

Подставим в ограничение:

12∗y = 108

y = 9 → x = 13,5

Проверим ограничение на у:

9 < 10

Ограничение не выбивается

Найдем полезность:

∘ ----- U = 121,5

Случай 2:

Введем ограничение на у, т.к. мы можем только покупать:

y ≥ 10

Найдем ограничение:

12∗10 + 4∗12 = 168

12 ∗y + 4∗x = 168

По свойству функции кобба-дугласа равновесие достигается при:

12∗ y = 4 ∗x

Подставим в ограничение:

24∗y = 108

y = 4,5 → x = 13,5

Проверим ограничение на у:

4,5 < 10

Ограничение выбивается, поэтому подставляем ближайшую точку

y = 10;x = 12

Найдем полезность:

--- U = √ 120

Полезность во втором случае ниже, чем в первом, поэтому оптимум при у=9 и х=13,5

Ответ: 13,5 (x) и 9 (y)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126163

Найдите производную функции:

4 3 f(x ) = 3x − 2x + 5x − 7

Показать ответ и решение

Используем правила дифференцирования:

$pict$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126164

Проанализируйте поведение функции, используя производную,

3 2 f(x) = x − 6x + 9x + 1

Укажите участки возрастания и убывания, а также точки максимума и миннимума.

Показать ответ и решение

1. Находим первую производную:

′ 2 f (x) = 3x − 12x + 9

2. Находим критические точки:

2 3x − 12x + 9 = 0

x2 − 4x + 3 = 0

x1 = 1, x2 = 3

3. Анализируем знаки производной:

При $x < 1$ (например, $x = 0$ ): $f′(0 ) = 9 > 0$ - функция возрастает
При $1 < x < 3$ (например, $x = 2$ ): $f′(2) = − 3 < 0$ - функция убывает
При $x > 3$ (например, $x = 4$ ): $f′(4 ) = 9 > 0$ - функция возрастает

4. Вывод:

$x = 1$ - точка локального максимума
$x = 3$ - точка локального минимума

Ответ:

Функция возрастает на $(− ∞, 1)$ и $(3,+ ∞ )$ , убывает на $(1,3)$ . Точка максимума $x = 1$ , точка минимума $x = 3$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126166

Вычислите производную функции

5 2 f(x ) = 3x − 2x + 7x − 4

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

′ 4 f (x) = 15x − 4x + 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126168

Вычислите производную функции:

2x3-+-5- f(x) = x2 − 3

Показать ответ и решение

Производная дроби (используя правило дифференцирования частного):

′ (2x3-+-5)′(x2-−-3)-−-(2x3-+-5)(x2-−-3)′ (6x2)(x2 −-3) −-(2x3-+-5-)(2x-) f (x) = (x2 − 3)2 = (x2 − 3)2 =

4 2 4 = 6x--−-18x--−-4x--−-10x- (x2 − 3)2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126170

Вычислите производную функции

2 3 f(x) = (x + 4x)(3x − 2x + 1)

Показать ответ и решение

Производная произведения (используя правило дифференцирования произведения):

′ 3 2 2 f (x) = (2x + 4)(3x − 2x + 1 ) + (x + 4x)(9x − 2) =

3 2 2 = (2x + 4)(3x − 2x + 1) + (x + 4x )(9x − 2)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126171

Исследуйте функцию на возрастание и убывание, а также найдите точки максимума/минимума:

f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1

Показать ответ и решение

Найдём производную функции:
$f ′(x) = 3x2 − 12x + 9$
Найдём критические точки (где производная равна нулю или не существует):
$2 3x − 12x + 9 = 0$

$x2 − 4x + 3 = 0$

$D = 16 − 12 = 4$

$x = 4-+-2 = 3, x = 4-−-2-= 1 1 2 2 2$
Критические точки: $x = 1$ и $x = 3$ .

Исследуем знак производной на интервалах:


Интервал	$(− ∞; 1)$	$1$	$(1;3)$	$3$	$(3;+ ∞ )$

Знак $f′(x)$	$+$	$0$	$−$	$0$	$+$

Поведение $f (x )$	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Определим точки экстремума:
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с $+$ на $−$ , значит это точка локального максимума.
  $f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5$
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с $−$ на $+$ , значит это точка локального минимума.
  $f (3 ) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1$

Ответ:

Функция возрастает на интервалах $(− ∞; 1)$ и $(3;+ ∞ )$
Функция убывает на интервале $(1;3)$
Точка максимума: $(1,5)$
Точка минимума: $(3,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126339

Прибыль от уровня производства зависит как:

P rofit(Q ) = − 2Q2 + 40Q − 100

Найти такой объём выпуска, который максимизирует прибыль, и величину максимальной прибыли.

Показать ответ и решение

Первая производная функции:

′ 2 ′ P rof it (Q) = (− 2Q + 40Q − 100 ) = − 4Q + 40

Приравниваем производную к нулю:

∗ 40- − 4Q + 40 = 0Q = 4 = 10

Проверяем условие максимума:

Вторая производная:

P rofit′′(Q) = (− 4Q + 40)′ = − 4

Так как $Π′′(Q ) = − 4 < 0$ , функция вогнута и точка $Q ∗ = 10$ действительно является точкой максимума.

Вычисляем максимальную прибыль:

Подставляем $Q ∗$ в исходную функцию:

P rof it(10) = − 2 ⋅ 102 + 40 ⋅ 10 − 100 = − 200 + 400 − 100 = 100

Ответ:

Оптимальный объём выпуска: $Q ∗ = 10$

Максимальная прибыль: $Πmax = 100$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126340

Затраты фирмы на производство $Q$ единиц описываются как $C (Q) = Q3 − 10Q2 + 36Q$ . Если себестоимость определяется как $AC (Q ) = C (Q)∕Q$ , найдите такой выпуск, который минимизирует себестоимость(средние издержки) на фирме.

Показать ответ и решение

1. Выразим функцию средних издержек

Q3-−-10Q2--+-36Q-- 2 AC (Q ) = Q = Q − 10Q + 36

2. Найдём производную средних издержек

AC ′(Q) = 2Q − 10

3. Приравняем производную к нулю:

2Q − 10 = 0,Q ∗ = 5

4. Проверим условие минимума через вторую производную

AC ′′(Q ) = 2 > 0

Так как вторая производная положительна, функция выпукла вниз и точка $∗ Q = 5$ является точкой минимума.

5. Вычислим минимальные средние издержки

AC (5) = 52 − 10 ⋅ 5 + 36 = 25 − 50 + 36 = 11

Ответ:

Объём производства, минимизирующий средние издержки: $Q ∗ = 5$ .

Минимальные средние издержки: $ACmin = 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126341

Выпуск $Q$ от уровня найма $L$ зависит следующим образом:

3 Q = 27L − L ,0 ≤ L ≤ 5.

Найдите такой уроень найма $L$ , при котором выпуск максимален.

Показать ответ и решение

1. Найдём производную

′ 3′ 2 Q (L ) = (27L − L ) = 27 − 3L .

2. Приравняем производную к нулю:

2 2 2 27 − 3L = 0 =⇒ 3L = 27 =⇒ L = 9 = ⇒ L = 3.

Конечно, отрицательный корень $L = − 3$ не рассматриваем.

3. Проверим, что это максимум, найдя вторую производную:

′′ 2 ′ Q (L) = (27 − 3L ) = − 6L

Подставим $L = 3$ :

Q ′′(3) = − 6 × 3 = − 18 < 0.

Так как вторая производная отрицательна, $L = 3$ — точка максимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126342

Найдите точку максимума функции:

$100 f(x) = 100 − x − -x-$

Показать ответ и решение

1. Найдём производную функции:

( ) ′ 100- ′ 100- f (x) = 100 − x − x = − 1 + x2

2. Найдём критические точки: Приравняем производную к нулю:

− 1 + 100 = 0 = ⇒ 100-= 1 =⇒ x2 = 100 = ⇒ x = ±10 x2 x2

3. Найдём вторую производную:

( ) ′ ′′ 100- 200- f (x) = − 1 + x2 = − x3

При $x = 10$ :

200 f′′(10 ) = −----- = − 0,2 < 0 1000

А значит $x = 10$ - точка максимума.

При $x = − 10$ :

200 f ′′(− 10) = − -------= 0,2 > 0 − 1000

А значит $x = − 10$ - точка минимума

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126343

При каком $x$ фунукция $√ ------------- f(x) = ( 7100x − 0.5x2 + 7)7$ достигает максимума, если $x$ определен на участке $0 ≤ x ≤ 200$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)$ монотонно возрастает относительно выражения под корнем, так как внешняя функция $√ -- 7 f(g) = ( 7g + 7)$ является строго возрастающей. Следовательно, максимум $f(x)$ достигается при том же $x$ , что и максимум подкоренного выражения: $g (x) = 100x − 0.5x2.$

Функция $g(x) = − 0.5x2 + 100x$ — это квадратный трёхчлен с ветвями, направленными вниз. Его максимум достигается в вершине параболы:

b 100 x ∗ = − ---= − ----------= 100. 2a 2 ⋅ (− 0.5)

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126344

Найдите минимальное значение выражения $x2 − 2xy + y2 − 10x + 10y + 10$ , если $x,y ≥ 0$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2 − 2xy + y2 − 10x + 10y + 10 = (x − y )2 − 10(x − y) + 10$ . В этом случае можно сделать замену $t = x − y$ и найти минимум выражения $2 g(t) = t − 10t$ . $g(t)$ – парабола с ветвеми, направленными вверх, а значит минимум будет в вершине, в точке $t∗ = − b∕2a = − (− 10)∕(2 ⋅ 1) = 5$ . Это означет, что минимум исходного выражения достигается при любых $x, y ≥ 0$ , удовлетворящих равенству $x − y = 5$ . Таким образом, минимальное значение исходного выражения $2 (5) − 10 ⋅ 5 + 10 = − 15$ .

Ответ: -15

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126346

Решите задачу, поставленную системой:

( |{ f(x,y) = x2 + y2 → min x,y≥0 |( x + y = 100

Показать ответ и решение

Выражаем из ограничения $y = 100 − x$ и подставляем в целевую функцию $2 2 2 2 f (x, y(x)) = x + (100 − x) = 2x − 200x + 100$ . $f (x,y(x))$ – парабола с ветвями, направленными вверх, а значит минимум находится в вершине $x ∗ = − b∕(2a ) = 50$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126347

Решите задачу, поставленную системой:

( |{ f(x, y) = − (x − 2)2 − (y − x − 2)2 → max x,y≥0 |( x2 + y2 ≤ 100

В качестве ответа укажите наибольшее $f$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x,y)$ является суммой неположительных величин, а значит максимальное значение функции достигается, когда $f = 0$ , и это возможно в точке $(x, y) = (2,4)$ . Проверим ограничение $22 + 42 ≤ 100$ – выполняется, а значит мы нашли ответ.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#126348

Решите задачу, поставленную системой:

( |{ f(x,y) = x + y → max x,y≥0 |( x2 + y2 = 100

Если $f ∗$ - максимальное значение функции при ограничениях, в качестве ответа укажите $√ -- f ∗∕ 2$ .

Показать ответ и решение

1. Выразим $y$ через $x$ из ограничения.

√ -------2- y = 100 − x

2. Подставим в целевую функцию:

√--------2 f (x ) = x + 100 − x

3. Найдем производную и критические точки:

f′(x) = 1 − √---x------ 100 − x2

Приравниваем к нулю:

x √ --------- 1 − √---------- = 0 = ⇒ 100 − x2 = x 100 − x2

2 2 2 √ -- 100 − x = x =⇒ 2x = 100 =⇒ x = 5 2

Тогда:

∘ --------√---- √ -- y = 100 − (5 2)2 = 5 2

Достаточное условие:

f′(x ) = 1 − √---x------= 1 − ∘-----1------- 100 − x2 100∕x2 − 1

Из функции видно, что с ростом $x$ первая производная падает, а это означет, что вторая производная будет отрицательной, что говорит о максиме функции в экстремальной точке.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#126384

Решите задачу, поставленную системой:

( |{ f(x,y) = (xy)2 → max x,y≥0 |( y + 2x = 100

В качестве ответа запишите максимальное значение целевой функции.

Показать ответ и решение

Заметим, что квадратичная функция $f (g) = g2$ монотонно возрастает, а значит максимизация $(xy )2$ эквивалента максимизации $xy$ . Выразим из ограничения $y = 100 − 2x$ и подставим в целевую функцию произведения $x(100 − 2x)$ . Перед нами парабола с ветвями вниз, а значит максимум находится в вершине. Парабола имеет нули в точках $x1 = 0$ , $x2 = 50$ , а значит в вершине $∗ x = (x1 + x2)∕2 = 25$ , откуда $∗ y = 100 − 2 ⋅ 25 = 50$ . Таким образом, максимальное значение функции $f max = (25 ⋅ 50)2 = 1562500$ .

Ответ: 1562500