Тема Математика для экономистов

04 Математика для экономистов - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математика для экономистов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90016

Фирма «Искра» планирует открыть открыть сервисные центры по ремонту техники в разных городах. Известно, что стоимость строительства центра в 1-ом городе составляет 1 млн., во 2-ом городе – 2 млн. руб., в 3-ем – 3 млн. и тд. Определите оптимальное количество открытых центров, если выручка от каждого центра фиксирована и составляет 100 млн. рублей.

Для справки:

1 + 2+ 3+ ...+ n = n(n-+1). 2

Показать ответ и решение

Если выручка от каждого центра составляет 100 млн. рублей, то при открытии $n$ центров общая выручка фирмы составит $100 ∗n$ млн. рублей. Откуда получаем функцию прибыли фирмы как разница между вырученными средствами и издержками:

n(n+-1)- 2 π(n ) = 100n− 1 − 2− 3− ...− n = 100∗n − 2 = 99.5 ∗n − 0.5∗ n

Описанная выше функция – парабола с ветвями вниз, максимиум которой достигается в вершине при $n = 99.5$ . Ближайшие целочисленные точки $n = 99$ и $n = 100$ , считая значение прибыли в них мы получаем $π(99) = π(100) = 4950.$

Ответ: открываем 99 или 100 центров и получаем прибыль 4950.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94250

Карлсон идет в магазин с суммой 150 рублей для того, чтобы купить варенья и плюшек . Обозначим варенье за x, а плюшки — за y. Предпочтения "Мужчины в самом расцвете сил"описываются следующей функцией полезности: $U (x,y) = √x-+ √y-$ . Одна банка варенья стоит 20 рублей, а плюшка — 10 рублей. Сколько Карлсону варенья и плюшек нужно купить, чтобы максимизировать свою полезность.

Показать ответ и решение

Найдем бюджетное ограничение Карлсона:

150 = 20 ∗x + 10 ∗y

Выразим у:

y = 15 − 2x

Подставим в функцию полезности:

√ -- √ ------- U = x+ 15− 2x

Возьмем производную и приравняем к 0:

′ --1--- ----1--- U = 2 ∗√x-− √15-−-2x-= 0

Решим уравнение и найдем пару х и у:

x = 2,5;y = 10

Возьмем вторую производную, чтобы удостовериться, что найденный экстремум является максимумом:

1 1 U′′ = −--√--+ --------3 4 ∗ x (15 − 2x )2

U′′ = −--√1---+ -1-< 0 4∗ 2,5 10 32

Найденный экстремум действительно является максимумом функции полезности

Задача решена

Ответ: 10 Плюшек и 2,5 Варенья

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94251

Предпочтения Андрея описываются следующей функцией полезности: $------- U (x,y) = ln ∘ x2 + y2$ .Товар х стоит 2 рубля, а y — 1 рубль. У Андрея есть 20 рублей .Чего и сколько нужно купить Андрею , чтобы максимизировать свою полезность ?

Показать ответ и решение

Найдем ограничение:

Px ∗X + Py ∗y = 20

2 ∗x + 1∗y = 20

Т.к. мы максимизируем полезность, и функции натурального логарифма и квадратного корня монотонно возрастают, то в силу монотонности задача максимизации сводится к:

2 2 U2 = x + y → max

Найдем предельные полезности х и у:

M Ux = 2 ∗x

M Uy = 2 ∗y

Несложно заметить, что предельная полезность от х строго возрастает по х, а от у по у. При этом предельная полезность от х никак не зависит от у, а от у не зависит от х. Из этого следует, что максимум будет находиться на ограничении, при х=0 или у=0

При х=0:

y = 20

U2 = 400

При у=0:

x = 10

U2 = 100

Т.к. в первом случае полезность выше, то оптимальный набор х=0 и у=20

Ответ: 0 (x) и 20 (y)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94252

Предпочтения Андрея задаются функцией полезности $U = √xy-$ . У андрея нет денег, но есть запас y и x: у него есть 12 (x) и 10 (y). Товар x можно покупать и продавать по цене 4, а товар y можно покупать по цене 12, а продавать по цене 6. Найдите, сколько и каких товаров нужно Андрею в оптимуме