Решение 1.

Сделаем поворот с центром в точке $O,$ переводящий $′ B$ в $A,$ и обозначим образ точки $C$ при этом повороте через $′′ B .$ Пусть $X$ — точка пересечения прямых $′ AA$ и $′′ BB .$ Из равенства дуг $′′ AB$ и $′ B C$ легко следует равенство углов $′′ ′ ∠AXB =∠B DBC.$ Тогда описанная окружность треугольника $′ CDBB$ при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника $′′ AXB .$ При этом точка $O,$ очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.

Аналогично, рассмотрев поворот с центром в $O,$ переводящий $′ C$ в $A$ и обозначив образ точки $B$ через $′′ C$ и точку пересечения $′ AA$ с $′′ CC$ через $Y,$ мы получим, что точка $O$ имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников $′ BDCC$ и $′′ AYC .$

Таким образом, вместо утверждения “точка $O$ лежит на прямой $P Q$ ”, эквивалентного тому, что точка $O$ имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников $CDBB ′$ и $BDCC ′,$ достаточно доказать, что точка $O$ имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников $AXB ′′$ и $AY C′′,$ т.е. что точки $X$ и $Y$ совпадают.

Заметим, что медиана треугольника $AA ′C$ лежит на прямой $A ′B′$ и $∠(AA′,A′B ′)= ∠(B′′A′,A′C ).$ Значит, $A′B ′′$ — симедиана треугольника $AA′C$ и тогда четырехугольник $AA ′CB ′′$ гармонический. Аналогично, четырехугольник $AA′BC′′$ также гармонический. Но тогда обозначив через $S$ точку пересечения прямых $AA′$ и $BC,$ мы получим равенство двойных отношений

(A,S,A′,X)= (A,C,A′,B′′)= −1 =(A,B,A′,C ′′)= (A,S,A′,Y ),

откуда $X = Y.$

Решение 2.

Пусть прямая $C ′O$ пересекает описанную окружность треугольника $BDCC ′$ в точках $C′$ и $K,$ а прямая $B ′O$ пересекает описанную окружность треугольника $CDBB ′$ в точках $B ′$ и $L.$ Тогда

∠(C′K,KB )= ∠(MCDC, DCB)

Кроме того,

′ ′ ′ ′ ′ ′ ∠(DCB,BK )= ∠(DCC ,C K )=∠(AA ,AC )= ∠(AB,BC ),

следовательно, $∠(DCB,BMC ) =∠(KB,BC ′).$ Значит треугольники $BC′K$ и $BMCDC$ подобны и одинаково ориентированы.

Из этого, учитывая, что треугольники $MCBC ′$ и $MCA ′A$ также подобны, получаем

C′K = MCDC-⋅C′D = MCDC-⋅AA′- BMC A′MC

Аналогично

′ MBDB ⋅AA′ B L= ---AMB----

Из этих равенств и параллельности $MBMC$ и $BC$ следует, что $C′K =B ′L.$

Докажем, что точка $O$ лежит на луче $C ′K$ (и, аналогично, на луче $B′L$ ). Для этого сначала заметим, что хорда $A ′C′$ окружности $ω$ пересекает во внутренних точках стороны $BC$ и $AB,$ следовательно, один конец хорды лежит на дуге $BC,$ а другой — на дуге $AB$ (здесь и далее рассматриваются дуги с концами в двух вершинах треугольника $ABC,$ не содержащие третью вершину). Аналогично один из концов хорды $A′B′$ лежит на дуге $BC,$ а другой — на дуге $CA.$ Это возможно, только если точки $A′,B ′$ и $C ′$ лежат на дугах $BC,CA$ и $AB$ соответственно. Из этого следует, что углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ острые, а также что точки $A′,DC,MC,C ′$ лежат на прямой именно в таком порядке. Далее заметим, что треугольник $BC ′K$ ориентирован так же, как треугольник $BMCDC,$ по доказанному выше; треугольник $BMCDC$ ориентирован так же, как треугольник $BC ′C,$ поскольку точки $C ′$ и $C$ лежат на продолжениях сторон $DCMC$ и $BDC$ за точки $MC$ и $DC$ соответственно; наконец, треугольник $BC ′C$ ориентирован так же, как треугольник $BC′O,$ поскольку $∠C ′CB < ∠ACB < 90∘.$ Итак, треугольники $BC ′K$ и $BC′O$ ориентированы одинаково, а это и означает, что точка $O$ лежит на луче $C′K.$ По доказанному выше имеем

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ OC ⋅OK = OC (KC − C O)= OB (LB − B O )=OB ⋅OL

Следовательно, степени точки $O$ относительно описанных окружностей треугольников $CDBB ′$ и $BDCC ′$ равны.

Планиметрия на Питергоре