Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.02 Задачи №10 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100784

Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x > 2,$ так как по условию яхта может плыть против течения, скорость которого равна 2 км/ч. Составим таблицу:

|--------------|-------------|--------|--------------| |Направление----|Скорость, км/ч|Время, ч|Р-асстояние, км-| |По течению | x+ 2 | 160-- | 160 | |--------------|-------------|--x+-2--|--------------| | | | 160 | | |Против течения| x− 2 | x−-2- | 160 | -----------------------------------------------------

Плот плывет со скоростью течения, равной 2 км/ч. Тогда на путь в 38 км плот затратил

38 -2 = 19 часов.

Так как яхта выехала на 1 час позже, то её время, затраченное на путь из А в В и обратно, на 1 час меньше времени пути плота. Составим уравнение:

-160-+ -160--= 19 − 1 x +2 x− 2 160(x-− 2)+-160(x+-2) (x + 2)(x− 2) = 18 80(x− 2)+ 80(x+ 2) ---(x+-2)(x-− 2)-- =9 80(x-− 2-+-x+-2)= 9 (x+ 2)(x − 2) ----160x---- (x+ 2)(x − 2) = 9

Так как $x> 2,$ то можем домножить обе части уравнения на $(x+ 2)(x− 2)> 0,$ получим

160x= 9(x+ 2)(x − 2) 160x= 9 (x2 − 4) 2 1260x= 9x − 36 9x − 160x− 36= 0

Найдем дискриминант:

2 2 2 2 2 D = 160 + 4⋅9 ⋅36 = 16 ⋅10 + 4 ⋅9 = = 16⋅(1600 + 81)= 42⋅412 = 1642.

Значит, корни квадратного уравнения равны

x1 = 160+-164= 18 и x2 = 160−-164< 0. 2⋅9 2⋅9

Так как $x >2,$ то скорость яхты в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100785

Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x > 3,$ так как по условию яхта может плыть против течения, скорость которого равна 3 км/ч. Составим таблицу:

|--------------|-------------|--------|--------------| |Направление----|Скорость, км/ч|Время, ч|Р-асстояние, км-| |По течению | x+ 3 | -72-- | 72 | |--------------|-------------|--x+-3--|--------------| | | | 72 | | |Против течения| x− 3 | x−-3- | 72 | -----------------------------------------------------

Плот плывет со скоростью течения, равной 3 км/ч. Тогда на путь в 24 км плот затратил

24 3-= 8 часов.

Так как яхта выехала на 1 час позже, то её время, затраченное на путь из А в В и обратно, на 1 час меньше времени плота. Составим уравнение:

-72-+ -72--= 8− 1 x+ 3 x − 3 72(x−-3)+-72(x+-3) (x+ 3)(x − 3) =7 72(x − 3 + x+ 3) -(x+-3)(x-− 3)-= 7 ----144x---- = 7 (x+ 3)(x − 3)

Так как $x> 3,$ то можем домножить обе части уравнения на $(x+ 3)(x− 3)> 0,$ получим

144x= 7(x+ 32)(x − 3) 144x = 7(x − 9) 144x= 7x2− 63 7x2− 144x− 63= 0

Найдем дискриминант:

D =1442+ 4⋅7⋅63 =44⋅34+ 4⋅72⋅32 = 2 2 2 = 4⋅9(64⋅9+ 49) =36 ⋅625 = 6 ⋅25 =150 .

Корни квадратного уравнения равны

x1 = 144+-150= 21 и x2 = 144−-150< 0. 2⋅7 2⋅7

Так как $x >3,$ то скорость яхты в неподвижной воде равна 21 км/ч.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#100786

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 15 рабочих. Через 9 дней после начала работы в первую бригаду перешли 6 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Примем всю работу, которую нужно выполнить рабочим каждой из бригад, за 1. Пусть производительность каждого из рабочих равна $1 x$ заказа в день. Пусть также $y$ — количество дней, которое бригады работали в новом составе. Составим таблицу:

|-------------|С-корость, объем работы/день|Объем-работы|В-рем-я,-дни-| |-------------|------------12------------|----9⋅12----|----------| |Первая бригада x- | -x-- | 9 | |-------------|--------------------------|------------|----------| |Вторая бригада 15 | 9⋅15 | 9 | |-------------|------------x-------------|-----x------|----------| | | 18 | y⋅18 | | |Первая бригада------------x-------------|-----x------|----y-----| | | 9 | y⋅9 | | |Вторая бригада x | -x-- | y | ------------------------------------------------------------------

По условию в результате обе бригады выполнили свои заказы, работая 9 дней в первом составе (12 человек в первой бригаде, 15 человек во второй бригаде) и $y$ дней во втором составе (18 человек в первой бригаде, 9 человек во второй бригаде). Составим систему уравнений:

$pict$

Вычтем второе уравнение из первого:

(108+ 18y)− (135+ 9y)= x− x −27 +9y =0 y =3

Тогда на выполнение всего заказа понадобилось $9+ y =9 +3 = 12$ дней.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#100787

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

|-------------|С-корость, объем работы/день|Объем-работы|В-рем-я,-дни-| |-------------|------------12------------|---10⋅12----|----------| |Первая бригада x- | --x-- | 10 | |-------------|--------------------------|------------|----------| |Вторая бригада 21 | 10⋅21 | 10 | |-------------|------------x-------------|-----x------|----------| | | 24 | y⋅24 | | |Первая бригада------------x-------------|-----x------|----y-----| | | 9 | y⋅9 | | |Вторая бригада x | -x-- | y | ------------------------------------------------------------------

По условию в результате обе бригады выполнили свои заказы, работая 9 дней в первом составе (12 человек в первой бригаде, 21 человек во второй бригаде) и $y$ дней во втором составе (24 человека в первой бригаде, 9 человек во второй бригаде). Составим систему:

$pict$

Вычтем второе уравнение из первого:

(120+ 24y)− (210+ 9y)= x− x −90+ 15y = 0 y =6

Тогда на выполнение всего заказа понадобилось $10+ y = 10+ 6= 16$ дней.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100788

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч, при этом $x> 0,$ скорость мотоциклиста равна $y$ км/ч, при этом $y > 0.$ Переведем время из минут в часы по формуле

время в часах= время-в минутах 60

Рассмотрим ситуацию, когда мотоциклист первый раз догнал велосипедиста. Составим таблицу:

--------------Скорость, км/ч-Расстояние, км-В-рем-я, ч- | | | ( 20 5 ) | 20 5 | |Велосипедист | x | 60 + 60 x | 60 + 60 | |------------|-------------|-------------|---------| |Мотоциклист | y | 5-y | -5 | ---------------------------------60----------60-----

Велосипедист и мотоциклист до первой встречи проехали равное расстояние. Составим уравнение:

( ) 20+ -5 x= -5y 60 60 60 25 5- 60x = 60 y 5x = y

Рассмотрим ситуацию, когда мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Составим таблицу:

|------------|-------------|-------------|---------| |------------|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | 46 | 46 | |Велосипедист | x | 60x | 60 | |------------|-------------|-------------|---------| |Мотоциклист | y | 46y | 46 | ---------------------------------60----------60-----

Так как мотоциклист догнал велосипедиста второй раз, то путь, пройденный мотоциклистом после первой встречи, на 46 км больше пути, пройденного за это время велосипедистом. Составим уравнение:

46x = 46y− 46 60 60 1-x= -1y− 1 60 60 x =y − 60

Подставим $x$ из второго уравнения в первое:

5(y− 60) =y 5y− 300= y 4y = 300 y = 75

Тогда скорость мотоциклиста равна 75 км/ч.

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100789

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого гонщика равна $x$ км/ч, при этом $x >0,$ скорость второго гонщика равна $y$ км/ч, при этом $y > 0.$ Составим таблицу, при этом переведем время из минут в часы по формуле

время в часах= время-в минутах 60

Рассмотрим весь путь в 22 круга по 3 км, пройденный гонщиками. Составим таблицу:

----------------Скорость, км/ч-Время, ч-Расстояние, км-| | | | 3⋅22 | | |Первый гонщ ик | x | -x-- | 3⋅22 | |--------------|-------------|--------|--------------| |Второй гонщик | y | 3⋅22 | 3⋅22 | ---------------------------------y-------------------|

На финиш первый гонщик пришёл раньше второго на 11 минут. Составим уравнение:

3⋅22+ 11 = 3⋅22 x 60 y 6 -1 6 x + 60 = y

Рассмотрим ситуацию, когда первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг. Составим таблицу:

|--------------|-------------|--------|--------------| |--------------|Скорость, км/ч|Время, ч|Расстояние, км-| | | | 10 | 10 | |Первый гонщ ик | x | 60 | x ⋅60 | |--------------|-------------|--------|--------------| |Второй гонщик | y | 10 | y ⋅ 10 | ---------------------------------60-----------60-----|

Так как первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут, то за 10 мин первый гонщик прошел на 3 км больше второго. Составим уравнение:

x⋅ 10-= y⋅ 10 +3 60 60 x⋅ 1 = y⋅ 1 + 3 6 6 x =y + 18

Подставим $x$ из второго уравнения в первое:

--6--+ -1 = 6 y+ 18 60 y 6− --6-- = 1- y y +18 60 6(y+ 18)− 6y 1 --y(y+-18)--= 60 6y+-6⋅18−-6y = 1- y(y+ 18) 60 --6⋅18--= -1 y(y+ 18) 60

Так как $y > 0,$ то можем домножить обе части уравнения на $60y(y +18)> 0,$ получим

6⋅18⋅60= y(y+ 18) 6 ⋅18 ⋅60 = y2 +18y 2 y + 18y − 6 ⋅18 ⋅60= 0

Найдем дискриминант:

2 2 2 2 2 D = 18 +4 ⋅6⋅18⋅60= 2 ⋅9 + 2 ⋅9 ⋅2⋅2⋅20= = 22⋅92(1+ 80)= 22⋅92⋅92 = 1622

Корни квадратного уравнения равны

y1 = −18-+162 = 144= 72 и y2 = −18−-162< 0. 2 2 2

Тогда скорость второго гонщика равна 72 км/ч.

Ответ: 72

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100790

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 125 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, тогда масса второго сплава $y = 125 − x$ кг. Составим таблицу для трех сплавов, при этом массу никеля в каждом сплаве найдем по формуле

масса никеля= масса сплава ⋅ концентрация-никеля- 100%

Тогда получаем

|------------|М-асса-сплава, кг|Масса никеля, кг|Концентрация-никеля, % |------------|---------------|---------------|---------------------| |Первый сплав | x | x ⋅-5- | 5 | |------------|---------------|-------100------|---------------------| |Второй сплав| y = 125 − x | (125 − x)⋅ 30 | 30 | |------------|---------------|----------100---|---------------------| | | | -25 | | -Третий сплав-------125-----------125⋅100---------------25-----------

Так как сумма масс никеля в первом и втором сплавах равна массе никеля в третьем сплаве, то получаем уравнение

x⋅-5- +(125− x)⋅-30-= 125⋅-25 |⋅100 100 100 100 5x +30(125− x)= 125 ⋅25 |:5 x+ 6(125 − x)= 125 ⋅5 x− 6x= 125⋅5− 125⋅6 − 5x= −125 |:−5 x= 25

Найдем массу второго сплава:

y = 125 − x= 125− 25= 100.

Найдем разность масс второго и первого сплавов:

y − x = 100− 25 = 75.

Тогда масса первого сплава на 75 кг меньше массы второго сплава.

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#100791

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 60 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Так как изюм содержит 5% воды, то 95% изюма — питательное вещество. Для получения 60 кг изюма нужно $60 ⋅ 95- 100$ кг питательного вещества.

Так как 90% винограда — вода, то 10% винограда — питательное вещество.

Пусть $x$ — количество винограда, которое нужно для получения 60 кг изюма. Тогда в нем $-10- x⋅100$ кг питательного вещества. Составим уравнение:

x ⋅ 10-= 60⋅-95 |⋅100 100 100 10x= 60⋅95 x= 6⋅95 x = 570

Тогда для получения 60 кг изюма понадобится 570 кг винограда.

Ответ: 570

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#100792

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Примем всю работу, которую нужно выполнить рабочим, за 1. Обозначим за $v1$ работу, которую выполняет за день первый рабочий, а за $v2$ работу, которую выполняет за день второй рабочий. Составим таблицу:

|--------------|-------------------------|-------------|----------| |--------------|Скорость, объ-ем-работы/день|О-бъем-работы-|Время, дни| | | | | | |Первый-рабочий-|-----------v1------------|----2-⋅v1-----|----2-----| | | | | | |Второй рабочий| v2 | 3 ⋅v2 | 3 | -------------------------------------------------------------------

Работая вместе со скоростью $v1+ v2,$ рабочие выполняют работу за 9 дней. Составим уравнение:

9(v1+ v2)= 1.

Объем работы, выполняемый первым рабочим за 2 дня, равен объему работы, выполняемому вторым рабочим за 3 дня. Составим уравнение:

2⋅v1 = 3 ⋅v2 v2 = 2v1 3

Подставим скорость второго рабочего в первое уравнение:

( ) 9 v + 2v = 1 1 3 1 9⋅5 -3-v1 =1 15v1 = 1 v1 =-1 15

Тогда количество дней, за которое первый рабочий выполнит работу, работая со скоростью $v1,$ равно

1- -1 v1 = 115 = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100793

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 4 дня?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

|--------------|-------------------------|-------------|----------| |--------------|Скорость, объ-ем-работы/день|О-бъем-работы-|Время, дни| | | | | | |Первый-рабочий-|-----------v1------------|----3-⋅v1-----|----3-----| | | | | | |Второй рабочий| v2 | 4 ⋅v2 | 4 | -------------------------------------------------------------------

Работая вместе со скоростью $v1+ v2,$ рабочие выполняют работу за 12 дней. Составим уравнение:

12(v1 +v2)= 1.

Объем работы, выполняемый первым рабочим за 3 дня, равен объему работы, выполняемому вторым рабочим за 4 дня. Составим уравнение:

3⋅v1 = 4 ⋅v2 v2 = 3v1 4

Подставим скорость второго рабочего в первое уравнение:

( ) 12 v + 3v = 1 1 4 1 12⋅7 -4--v1 = 1 21v1 = 1 v1 =-1 21

Тогда количество дней, за которое первый рабочий выполнит работу, работая со скоростью $v1,$ равно

1- -1 v1 = 211 = 21.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#99976

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 621 литр она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 486 литров?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту, тогда вторая труба пропускает $x+ 4$ литра воды в минуту, при этом $x> 0.$ Составим таблицу:

|------------|-----------------------|-----------|------------| |------------|Производительность, л/м-ин|В-рем-я, мин|Работа, литры | | | 621 | | |Первая труба|-----------x-----------|-----x-----|----621-----| | | | 486 | | |Вторая труба| x +4 | x-+4- | 486 | ---------------------------------------------------------------

Составим уравнение, зная, что время заполнения резервуара первой трубой на 9 минут больше:

621 486 -x-− x-+4-= 9 621(x+-4)−-486x-= 9 x(x+ 4) 135x+-621⋅4 x(x+ 4) =9

Так как $x(x+ 4)⁄= 0,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x+ 4),$ получим

135x + 621 ⋅4 = 9x(x +4) |:9 15x +69⋅4 = x(x +4) x2− 11x− 69⋅4= 0 D = 112+ 4⋅69⋅4= 121+ 1104= 1225 = 352

Корни квадратного уравнения равны

11+ 35 11− 35 x1 =--2---= 23 и x2 =--2---< 0.

Так как $x >0,$ то первая труба пропускает 23 литра воды в минуту.

Ответ: 23

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#99977

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 2 минуты быстрее, чем первая труба?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту, тогда первая труба пропускает $x− 2$ литра воды в минуту, при этом $x> 2.$ Составим таблицу:

|------------|-----------------------|-----------|------------| |------------|Производительность, л/м-ин|В-рем-я, мин|Работа, литры | | | -120- | | |Первая труба|---------x-− 2---------|---x-− 2---|----120-----| | | | 120 | | |Вторая труба| x | -x- | 120 | ---------------------------------------------------------------

Составим уравнение, зная, что время заполнения резервуара первой трубой на 2 минуты больше:

120 120 x−-2-− x--= 2 120x-− 120(x−-2)= 2 x(x− 2) -120⋅2- x(x− 2) = 2

Так как $x(x− 2)⁄= 0,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x− 2),$ получим

120 ⋅2= 2x(x − 2) |:2 120 =x(x − 2) x2− 2x− 120= 0 D = 22+ 4⋅120= 484= 222

Корни квадратного уравнения равны

2+ 22 2− 22 x1 =--2--= 12 и x2 =--2--< 0.

Так как $x >2,$ то вторая труба пропускает 12 литров воды в минуту.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#99978

На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $x − 4$ детали в час, при этом $x > 4.$ Составим таблицу:

|--------------|-----------------------|--------|-------------| |--------------|П-роизводительность, д/час|В-рем-я,-ч-Работа, детали | | | 312- | | |Первый рабочий | x | x | 312 | |--------------|-----------------------|---480---|-------------| |Второй рабочий| x − 4 | x−-4- | 480 | ---------------------------------------------------------------

Так как второй рабочий тратит на это задание на 11 часов больше, то составим уравнение:

-480-− 312= 11 x − 4 x 480x−-312(x-− 4) = 11 x(x− 4) 168x-+-312-⋅4 x(x− 4) = 11

Так как $x ⁄=0,$ $x⁄= 4,$ то домножим обе части уравнения на $x(x− 4),$ получим

168x +312⋅4 = 11x(x− 4) 11x2− 44x − 168x − 312⋅4 = 0 11x2− 212x− 312⋅4= 0

Найдем дискриминант:

D = 2122+ 4⋅11⋅312⋅4= 42(532+ 11⋅312)= 42⋅6241 = 42⋅792 = 3162

Тогда корни квадратного уравнения равны

212-+316- 528 212-−-316- x1 = 22 = 22 = 24 и x2 = 22 < 0.

Так как $x >4,$ то первый рабочий изготавливает 24 детали в час.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#99979

На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий изготавливает $x +3$ детали в час, при этом $x > 0.$ Составим таблицу:

|--------------|-----------------------|--------|-------------| |--------------|П-роизводительность, д/час|В-рем-я,-ч-Работа, детали | | | -40-- | | |Первый рабочий | x +3 | x+ 3 | 40 | |--------------|-----------------------|---70---|-------------| |Второй рабочий| x | x- | 70 | ---------------------------------------------------------------

Так как второй рабочий тратит на это задание на 6 часов больше, то составим уравнение:

70 40 -x − x+-3 = 6 70(x+-3)−-40x= 6 x(x+ 3) 30x+-70⋅3 x(x+ 3) = 6

Так как $x ⁄=− 3,$ $x⁄= 0,$ то домножим обе части уравнения на $x(x+ 3),$ получим

30x + 70 ⋅3= 6x(x + 3) |:6 5x+ 35= x(x+ 3) x2− 2x− 35= 0

Найдем дискриминант:

D = 22+ 4⋅35= 144= 122.

Тогда корни квадратного уравнения равны

x = 2-+12 = 7 и x = 2−-12-< 0. 1 2 2 2

Так как $x >0,$ то второй рабочий изготавливает 7 деталей в час.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#99980

От пристани А к пристани B, расстояние между которыми равно 240 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч больше, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого теплохода равна $x$ км/ч, при этом $x> 0.$ Составим таблицу:

|---------------|--------------|--------|-------------| |---------------|Скорость, км/ч|Время, ч|Расстояние, км| | | | 240 | | |П-ервый-теплоход-|------x-------|---x----|-----240------| | | | 240 | | |Второй теплоход | x + 8 | x-+8- | 240 | ------------------------------------------------------

Так как второй теплоход вышел на 8 часов позже, то его время на 8 часов меньше. Составим уравнение:

240 240 -x-− x-+8-= 8 240x+-240⋅8−-240x= 8 x(x+ 8) -240⋅8-= 8 x(x+ 8)

Так как $x ⁄=− 8,$ $x⁄= 0,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x+ 8,)$ получим:

240 ⋅8= 8x(x + 8) |:8 240 =x(x +8) x2+ 8x− 240= 0

Найдем дискриминант:

D = 82 +4 ⋅240 =82(1+ 15)= 82⋅42 = 322.

Тогда корни квадратного уравнения равны

−8+-32- −8-− 32 x1 = 2 = 12 и x2 = 2 < 0.

Так как $x >0,$ то скорость первого теплохода равна 12 км/ч.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#99981

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч больше, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго теплохода равна $x$ км/ч, при этом $x> 4.$ Составим таблицу:

|---------------|--------------|--------|-------------| |---------------|Скорость, км/ч|Время, ч|Расстояние, км| | | | -192- | | |П-ервый-теплоход-|----x-−-4-----|-x-− 4--|-----192------| | | | 192 | | |Второй теплоход | x | -x- | 192 | ------------------------------------------------------

Так как второй теплоход вышел на 4 часа позже, то его время на 4 часа меньше. Составим уравнение:

192 192 x−-4-− x--= 4 192x-− 192(x−-4)= 4 x(x− 4) -192⋅4- x(x− 4) = 4

Так как $x⁄= 0,$ $x ⁄= 4,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x− 4,)$ получим:

192 ⋅4= 4x(x − 4) |:4 192 =x(x − 4) x2− 4x− 192= 0

Найдем дискриминант:

D = 42 +4 ⋅192 =42(1+ 48)= 42⋅72 = 282.

Тогда корни квадратного уравнения равны

4+-28 4−-28 x1 = 2 = 16 и x2 = 2 < 0.

Так как $x >4,$ то скорость второго теплохода равна 16 км/ч.

Ответ: 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#99982

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого велосипедиста $x$ км/ч, при этом $x> 3.$ Составим таблицу:

|-------------------|-------------|---------|-------------| |-------------------|Скорость, км/-ч|В-ремя, ч|Расстояние, км | | | 88 | | |П-ервы-й велосипедист|------x------|----x----|-----88------| | | | 88 | | |В торой велосипедист | x − 3 | x−-3- | 88 | ----------------------------------------------------------

Составим уравнение, зная, что второй велосипедист проезжал это расстояние на 3 часа дольше:

88 88 x-−-3 − x-= 3 88x-− 88(x−-3)= 3 x(x− 3) --88-⋅3- x(x− 3) = 3

Так как $x⁄= 0,$ $x ⁄= 3,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x− 3),$ получим

88⋅3= 3x(x− 3) |:3 88= x(x− 3) x2− 3x− 88= 0

Найдем дискриминант:

D = 32+ 4⋅88= 361= 192.

Тогда корни квадратного уравнения равны

x = 3+-19= 11 и x = 3−-19< 0. 1 2 2 2

Так как $x >3,$ то скорость первого велосипедиста равна 11 км/ч.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#99983

Два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста $x$ км/ч, при этом $x> 0.$ Составим таблицу:

|-------------------|-------------|---------|-------------| |-------------------|Скорость, км/-ч|В-ремя, ч|Расстояние, км | | | -110- | | |П-ервы-й велосипедист|----x-+1-----|--x+-1---|----110------| | | | 110 | | |В торой велосипедист | x | -x- | 110 | ----------------------------------------------------------

Составим уравнение, зная, что второй велосипедист проезжал это расстояние на 1 час дольше:

110 110 -x-− x-+1-= 1 110(x+-1)−-110x-= 1 x(x+ 1) --110-- x(x+ 1) = 1

Так как $x ⁄=− 1,$ $x⁄= 0,$ то можем домножить обе части уравнения на $x(x+ 1),$ получим

110 =x(x +1) x2+ x− 110= 0

Найдем дискриминант:

D = 12 +4 ⋅110 = 441 = 212.

Тогда корни квадратного уравнения равны

x1 = −1+-21= 10 и x2 = −1-− 21-< 0. 2 2

Так как $x >0,$ то скорость второго велосипедиста равна 10 км/ч.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#99984

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ процент кислоты в первом растворе, за $y$ — процент кислоты во втором растворе. Составим таблицу для первого смешивания, при этом массу кислоты в каждом растворе найдем по формуле

масса в-ва= масса раствора ⋅ концентрация р-ра 100%

Тогда получаем

|------------------|Масса раствора, кг|М-асса-кислоты,-кг|К-онцентрация-раствора, % |------------------|----------------|----------------|-----------------------| |Первый раствор | 60 | 60⋅-x- | x | |------------------|----------------|--------100-----|-----------------------| |Второй раствор | 20 | 20⋅-y- | y | |------------------|----------------|--------100-----|-----------------------| | | | 76- | | -Полученный раствор--------80--------------80⋅100----------------76------------

Так как сумма масс кислоты в первом и втором растворах равна массе кислоты в полученном растворе, то получаем уравнение

60 ⋅-x-+ 20⋅-y-= 80-⋅76- |⋅10 100 100 100 6x +2y = 608 |:2 3x+ y = 304.

Рассмотрим теперь смешивание равных масс этих растворов. Пусть масса каждого из них равна $S$ кг. Составим таблицу:

|------------------|----------------|----------------|-----------------------| |------------------|Масса раствора, кг|М-асса-кислоты,-кг|К-онцентрация-раствора, % |Первый раствор | S | S ⋅-x- | x | |------------------|----------------|--------100------|-----------------------| | | | y | | |Второй раствор | S | S ⋅100- | y | |------------------|----------------|----------------|-----------------------| |Полученный раствор| 2S | 2S ⋅-82- | 82 | ---------------------------------------------100------------------------------

S ⋅-x-+ S⋅ y--= 2S⋅-82 100 100 100

Так как $S ⁄= 0,$ то разделим обе части уравнения на $S$ и умножим на 100:

x+ y = 164

Получаем систему

{ 3x+ y = 304 x+ y = 164

Вычитая из первого уравнения второе, получим

2x= 140 ⇔ x= 70.

Найдем, сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе:

60⋅-70-= 42. 100

Тогда первый сосуд содержит 42 кг кислоты.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#99986

Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй — 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение