Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ → 01.02 №22. Тип 2

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Разделы подтемы Задачи №22 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105936Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x + 2x+ 1 при x ≥− 2, x+ 6 при x <− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--1---0---1--4--

Графиком линейной функции $y = x +6$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−2-| -y---2---4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 2$ функция терпит разрыв, $(−2;4)$ — выколотая точка, $(− 2;1)$ — не выколотая точка.

$0xy124−−−1 421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$0xyy(y(y(14−−1321=)=)=)21 410$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {0} ∪(1;4).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ (1;4)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124450Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x + 4x− 1 при x ≥− 4, x при x <− 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 4x− 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;−5)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-4|−-3-|−2-|−1-| -y--−-1-−-4--−5--−4-

Графиком линейной функции $y = x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−5-| -y--−-4--−5-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −4$ функция терпит разрыв, $(−4;− 4)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy−−−1−−−−−154154321$

$0xyy(y(y(−1−−−−1 =3) =2) =1)15442 −−− 145$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 2 и 3, включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−2;−5),$ значит, $m = −5.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−4;− 4),$ значит, $m = −4.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(−4;−1),$ значит, $m = − 1.$

Следовательно,

m ∈ {−5}∪ [−4;− 1].

Ответ:

$m ∈ {−5}∪ [− 4;− 1]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124452Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x + 6x+ 7 при x ≥− 4, x+ 10 при x <− 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 6x+ 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3;−2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-4|−-3-|−2-|−1-| -y--−-1-−-2--−1---2-

Графиком линейной функции $y = x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−5-| -y---6---5--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −4$ функция терпит разрыв, $(− 4;6)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy6521−−−−−−−11254321$

$0xyy(y(y(−16−−−1 =3) =2) =1)1243 6−− 12$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−3;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−4;−1),$ значит, $m =− 1.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 4;6),$ значит, $m = 6.$

Следовательно,

m ∈ {−2} ∪(−1;6).

Ответ:

$m ∈ {−2}∪ (−1;6)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124454Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 4x +5 при x≥ 1, x + 3 при x< 1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4x+ 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(2;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|1-|2-|3|-4| -y--2--1--2--5-

Графиком линейной функции $y = x +3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|1-|0| -y--4--3-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 1$ функция терпит разрыв, $(1;4)$ — выколотая точка, $(1;2)$ — закрашенная точка.

$0xy123452341$

$0xyy(3y(2y(124112 =) =) =) 421$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(1;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {1} ∪(2;4).

Ответ:

$m ∈ {1}∪ (2;4)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124456Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 6x+ 10 при x ≥1, x+ 2 при x <1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 6x+ 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|1-|2-|3|-5| -y--5--2--1--5-

Графиком линейной функции $y = x +2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|1-|0| -y--3--2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 1$ функция терпит разрыв, $(1;3)$ — выколотая точка, $(1;5)$ — закрашенная точка.

$0xy12351235$

$0xyy(3y(2y(131513 =) =) =) 531$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 2 и 3, включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;3),$ значит, $m = 3.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(1;5),$ значит, $m = 5.$

Следовательно,

m ∈ {1} ∪[3;5].

Ответ:

$m ∈ {1}∪ [3;5]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124458Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 6x+ 11 при x ≥2, x+ 3 при x <2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 6x+ 11$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|2-|3-|4|-5| -y--3--2--3--6-

Графиком линейной функции $y = x +3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|2-|1| -y--5--4-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 2$ функция терпит разрыв, $(2;5)$ — выколотая точка, $(2;3)$ — закрашенная точка.

$0xy12345612345$

$0xyy(y(y(3251123321=)=)=) 532$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(3;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(2;3),$ значит, $m = 3.$

Положение 3 (одна общая точки): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;5),$ значит, $m = 5.$

Следовательно,

m ∈ {2} ∪(3;5).

Ответ:

$m ∈ {2}∪ (3;5)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124459Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 10x +25 при x≥ 4, x− 2 при x< 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 10x+ 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|4-|5-|6|-7| -y--1--0--1--4-

Графиком линейной функции $y = x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|4-|3| -y--2--1-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 4$ функция терпит разрыв, $(4;2)$ — выколотая точка, $(4;1)$ — закрашенная точка.

$0xy124134567$

$0xyy(y(y(12145321=)=)=) 210$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(5;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(4;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3 (одна общая точки): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(4;2),$ значит, $m = 2.$

Следовательно,

m ∈ {0} ∪(1;2).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ (1;2)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124460Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 10x +27 при x≥ 4, x при x< 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 10x+ 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|4-|5-|6|-7| -y--3--2--3--6-

Графиком линейной функции $y = x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|4-|3| -y--4--3-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 4$ функция терпит разрыв, $(4;4)$ — выколотая точка, $(4;3)$ — закрашенная точка.

$0xy12346134567$

$0xyy(y(y(341145321=)=)=) 432$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(5;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(4;3),$ значит, $m = 3.$

Положение 3 (одна общая точки): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(4;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {2} ∪(3;4).

Ответ:

$m ∈ {2}∪ (3;4).$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42831Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 8x+ 14 при x ≥3, x− 2 при x <3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 23 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 8x+ 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4;− 2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|-3-|-4-|-5--|6| -y--−1--−2--−-1--2-

Графиком линейной функции $y = x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|3-|2| -y--1--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ функция терпит разрыв, $(3;1)$ — выколотая точка, $(3;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy21−−12345612$

$0xyy(3y(2y(1−1−134 =) =) =)12 1−−12$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(4;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(3;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 3 (одна общая точки): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(3;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−2} ∪(−1;1).

Ответ:

$m ∈ {−2}∪ (−1;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40765Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = x − 6x +6 при x≥ 2, x − 3 при x< 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 24 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 6x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;− 3)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|-2-|-3-|-4--|5| -y--−2--−3--−-2--1-

Графиком линейной функции $y = x − 3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|-2--|1--| -y--−-1--−2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 2$ функция терпит разрыв, $(2;−1)$ — выколотая точка, $(2;−2)$ — закрашенная точка.

$0xy1−−−23451123$

$0xyy(3y(2y(1−1−−123 =) =) =)321 −−−123$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(3;−3),$ значит, $m = −3.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(2;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;−1),$ значит, $m = − 1.$

Следовательно,

m ∈{− 3}∪(−2;− 1).

Ответ:

$m ∈ {−3}∪ (−2;−1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема