Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ → 01.03 №22. Тип 3

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Разделы подтемы Задачи №22 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105937Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +1 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|--|----| |x-|−3-|−2-|−-1|0-|-1--| -y--−2---1---2--1--−-2-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 3$ функция терпит разрыв, $(−3;1)$ — выколотая точка, $(− 3;− 2)$ — не выколотая точка.

$10xy21−−−−−24321$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$10xyy(y(y(12−−−−− =3 =2 =124321)))21− 2$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(−3;−2),$ значит, $m = − 2.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;2),$ значит, $m = 2.$

Следовательно,

m ∈ [− 2;1]∪ {2} .

Ответ:

$m ∈ [− 2;1]∪ {2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124462Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +2 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +2$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;3)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|--|----| |x-|−3-|−2-|−-1|0-|-1--| -y--−1---2---3--2--−-1-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −3$ функция терпит разрыв, $(− 3;1)$ — выколотая точка, $(−3;−1)$ — закрашенная точка.

$10xy231−−−−−14213$

$10xyy(3y(2y(13−1−− =) =) =)113 31−1$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(−3;−1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;3),$ значит, $m = 3.$

Следовательно,

m ∈ [− 1;1]∪ {3} .

Ответ:

$m ∈ [− 1;1]∪ {3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124464Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +3 при x≥ −2, −x − 1 при x< −2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +3$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--3---4---3--0--

Графиком линейной функции $y = −x − 1$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-3-|−2-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −2$ функция терпит разрыв, $(− 2;1)$ — выколотая точка, $(−2;3)$ — закрашенная точка.

$10xy1342−−−1321$

$10xyy(y(y(134−−1 =3 =2 =121)))431$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;3),$ значит, $m = 3.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈(1;3)∪{4}.

Ответ:

$m ∈ (1;3)∪ {4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124465Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x − 3 при x≥ −2, −x − 7 при x< −2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x − 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;−2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-2|−-1-|0--|-1-| -y--−-3-−-2--−3--−6-

Графиком линейной функции $y = −x − 7$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-3-|−2-| -y--−-4--−5-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −2$ функция терпит разрыв, $(−2;− 5)$ — выколотая точка, $(−2;−3)$ — закрашенная точка.

$10xy1−−−−−−−−1 23456321$

$10xyy(y(y(−−−1−−132135221=)=)=)−−− 235$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 2;− 5),$ значит, $m = −5.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;−3),$ значит, $m =− 3.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−1;−2),$ значит, $m = −2.$

Следовательно,

m ∈(−5;−3)∪ {−2}.

Ответ:

$m ∈ (−5;−3)∪ {− 2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124466Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 4x +1 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 4x +1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;5)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|−3-|−2-|−-1-|0| -y---4---5---4---1-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −3$ функция терпит разрыв, $(− 3;1)$ — выколотая точка, $(−3;4)$ — закрашенная точка.

$10xy1245−−−−14321$

$10xyy(y(y(145−−1321=)=)=)32 541$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−3;4),$ значит, $m = 4.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 2;5),$ значит, $m = 5.$

Следовательно,

m ∈(1;4)∪{5}.

Ответ:

$m ∈ (1;4)∪ {5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124467Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 4x − 1 при x≥ −3, −x − 3 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 4x − 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;3)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-3|−-2-|−1-|-0-| -y---2---3---2---−1-

Графиком линейной функции $y = −x − 3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---1---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −3$ функция терпит разрыв, $(− 3;0)$ — выколотая точка, $(−3;2)$ — закрашенная точка.

$10xy−123−−−−114321$

$10xyy(y(y(231−−1321=)=)=)32 320$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 3;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−3;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 2;3),$ значит, $m = 3.$

Следовательно,

m ∈(0;2)∪{3}.

Ответ:

$m ∈ (0;2)∪ {3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124468Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x +2x +3 при x≥ −1, −x + 1 при x< −1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 +2x +3$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(1;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--|--|-| |x-|−1-|0-|1-|2-|3| -y--0---3--4--3--0-

Графиком линейной функции $y = −x + 1$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-2-|−1-| -y---3---2--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −1$ функция терпит разрыв, $(− 1;2)$ — выколотая точка, $(−1;0)$ — закрашенная точка.

$10xy12343−−221$

$10xyy(y(y(241− =3 =2 =11)))420$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 : прямая $y = m$ проходит через точку $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 : прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−1;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ [0;2]∪ {4}.

Ответ:

$m ∈ [0;2]∪{4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124470Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x + 6x− 9 при x ≥ 2, −x при x < 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 +6x − 9$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|---|---| |x-|-2-|3-|-4-|-5-| -y--−1--0--−1--−-4-

Графиком линейной функции $y = − x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|-1--|2--| -y--−-1--−2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 2$ функция терпит разрыв, $(2;−2)$ — выколотая точка, $(2;−1)$ — закрашенная точка.

$10xy1−−−2345 124$

$10xyy(y(y(−−12332112=)=)=)0−− 12$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;−2),$ значит, $m = − 2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(2;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(3;0),$ значит, $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ (−2;−1)∪ {0} .

Ответ:

$m ∈ (−2;−1)∪ {0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124472Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = − x + 8x − 17 при x≥ 2, − x− 2 при x< 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 +8x − 17$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4;− 1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---|---| |x-|-2-|-3--|4--|5--|-6-| -y--−5--−-2--−1--−2--−5--

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|-1--|2--| -y--−-3--−4-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 2$ функция терпит разрыв, $(2;−4)$ — выколотая точка, $(2;−5)$ — закрашенная точка.

$10xy1−−−−−23456 12345$

$10xyy(y(y(−−1−124321154=)=)=)−−− 145$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(2;− 5),$ значит, $m = − 5.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(2;−4),$ значит, $m = −4.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(4;−1),$ значит, $m = −1.$

Следовательно,

m ∈ [−5;−4]∪ {−1}.

Ответ:

$m ∈ [− 5;− 4]∪{−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124473Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

{ 2 y = −x + 10x− 21 при x ≥ 3, −x +5 при x < 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 +10x− 21$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|--|--|--| |-x|3-|4-|5-|6-|7-| --y-0--3--4--3--0-

Графиком линейной функции $y = −x + 5$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|2-|3| -y--3--2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ функция терпит разрыв, $(3;2)$ — выколотая точка, $(3;0)$ — закрашенная точка.

$10xy1234234567$

$10xyy(3y(2y(141235 =) =) =) 420$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(3;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(5;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ [0;2]∪ {4}.

Ответ:

$m ∈ [0;2]∪{4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема