Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ → 01.18 №22. Тип 18

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Разделы подтемы Задачи №22 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#28213Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 4 || x 4) y = 2 ||4 − x ||+-4 + x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 4 ≥0 4 x x-⋅x−-4⋅4 ≥0 4x x2−-16≥ 0 4x (x−-4)(x-+4) 4x ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x− 4)(x +4)= 0 x1 = 4; x2 = − 4

Найдем нули знаменателя:

4x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−04+−+−4$

Таким образом,

$pict$

Значит,

( |{ x при x∈ [− 4;0)∪ [4;+∞ ) y = 4 |( 4 при x∈ (− ∞;− 4)∪(0;4) x

График исходной функции при $x ∈[−4;0)∪[4;+ ∞ )$ — прямая $y = x. 4$ Составим таблицу значений при $x ∈[−4;0):$

|--|---|--| |x-|−4-|0-| -y--−1--0--

Составим таблицу значений при $x∈ [4;+∞ ):$

|--|--|-| |x-|4-|8| -y--1--2-

График исходной функции при $x ∈(−∞; −4)∪ (0;4)$ — гипербола $y = 4. x$ Составим таблицу значений при $x ∈(−∞; −4):$

|--|---|-----|----| |x-|−4-|-−8--|−10-| -y--−1--−-0,5--−0,4-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;4):$

|--|--|--|--| |x-|1-|2-|4-| -y--4--2--1-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ и $(4;1)$ — точки стыка.

$02481−124−−−−−((xy148100−4;0,4,54;1−)1)$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку:

$0141−−xyy(1y(214=)=)−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−4;−1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

${− 1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61569Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

( | | ) y = 1 ||x − 6||+ x + 6 . 2 |6 x| 6 x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции: $x⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 6 ≥0 6 x x2− 36 --6x--≥ 0 (x− 6)(x +6) -----6x---- ≥ 0

Найдем нули числителя: $x− 6= 0$ или $x +6 = 0,$ то есть $x= 6$ или $x = −6.$

Нули знаменателя: $x= 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

$x∈ [−6; 0)∪ [6; + ∞ )$

Для того, чтобы упростить ограничения из второго случая достаточно воспользоваться той же картинкой из метода интервалов, выбрать участки с «-» и выколоть граничные точки. Тогда решение $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6).$

Исходная задача принимает следующий вид:

( || x y = { 6, x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ ) ||( 6 x, x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)

График функции при $x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ )$ — это прямая $x y = 6 .$

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [−6; 0):$


$x$	$− 6$	0

$y$	$− 1$	0

Точка $(0; 0)$ является выколотой точкой.

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [6; +∞ ):$


$x$	6	12

$y$	1	2

График функции при $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)$ — это гипербола $6 y = x.$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (− ∞; −6):$


$x$	$− 6$	$− 8$	$− 10$

$y$	$− 1$	$− 34$	$− 35$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (0; 6):$


$x$	$1 2$	1	2	3	6

$y$	12	6	3	2	1

Построим график функции:

$xyyy110 = = −1 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 1 общую точку.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = − 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $− 1< m < 0,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.
Если $0 ≤m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $1< m,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет одну точку пересечения с графиком, когда $m ∈ {−1; 1}.$

Ответ:

$m ∈ {−1; 1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#106251Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 4,5|| x 4,5) y = 2 ||4,5-− x-||+ 4,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 4,5-≥ 0 4,5 x x⋅x-− 4,5⋅4,5 4,5x ≥ 0 2 2 x-−-4,5- ≥ 0 4,5x (x-−-4,5)(x-+4,5)≥ 0 4,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 4,5)(x +4,5)= 0 x1 = 4,5; x2 = − 4,5

Найдем нули знаменателя:

4,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−04,+−+−45,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(|2x при x∈ [− 4,5;0) ∪[4,5;+∞ ) y = {9 |(9 ⋅ 1 при x∈ (− ∞;− 4,5)∪ (0;4,5) 2 x

График исходной функции при $x ∈[−4,5;0)∪ [4,5;+∞ )$ — прямая $y = 2x. 9$ Составим таблицу значений при $x ∈[−4,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-4,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [4,5;+ ∞ ):$

|--|---|--| |x-|4,5-|9-| -y---1--2--

График исходной функции при $x ∈(−∞; −4,5)∪(0;4,5)$ — гипербола $9 1 y = 2 ⋅x .$ Составим таблицу значений при $x∈ (−∞;− 4,5):$

|--|----|------|----| |x-|−4,5|--−6--|-−9-| -y--−-1--−-0,75--−0,5-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;4,5):$

|--|---|----|---|---| |x-|0,5|-1--|3--|4,5-| -y---9--4,5--1,5---1-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции по частям. При $x= 0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−4,5;− 1)$ и $(4,5;1)$ — точки стыка.

$01234567891−−1234567891−−−−−−−−−−(−(4xy021019876543214,50,;5;1−)1)$

$01234567891023456789101−−−−−−−−−−−xyy(1y(2110987654321=)=)−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−4,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124525Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1( ||x 3|| x 3) y = 2 ||3 − x||+ 3 + x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 3 ≥0 3 x x-⋅x−-3⋅3 ≥0 3x x2−-9 ≥ 0 3x (x−-3)(x-+3) 3x ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x− 3)(x +3)= 0 x1 = 3; x2 = − 3

Найдем нули знаменателя:

3x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−03+−+−3$

Таким образом,

$pict$

Значит,

( |{ x при x∈ [− 3;0)∪ [3;+∞ ) y = 3 |( 3 при x∈ (− ∞;− 3)∪(0;3) x

График исходной функции при $x ∈[−3;0)∪[3;+ ∞ )$ — прямая $y = x. 3$ Составим таблицу значений при $x ∈[−3;0):$

|--|---|--| |x-|−3-|0-| -y--−1--0--

Составим таблицу значений при $x∈ [3;+∞ ):$

|--|--|-| |x-|3-|6| -y--1--2-

График исходной функции при $x ∈(−∞; −3)∪ (0;3)$ — гипербола $y = 3. x$ Составим таблицу значений при $x ∈(−∞; −3):$

|--|---|-----|----| |x-|−3-|-−6--|−10-| -y--−1--−-0,5--−0,3-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;3):$

|--|--|---|--| |x-|1-|2--|3-| -y--3--1,5--1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−3;−1)$ и $(3;1)$ — точки стыка.

$0236−1231−−1,−−(−(3xy16150,0,3;035;1)−1)$

$0131−−xyy(1y(213=)=)−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−3;−1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(3;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124526Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 2,5|| x 2,5) y = 2 ||2,5-− x-||+ 2,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 2,5-≥ 0 2,5 x x⋅x-− 2,5⋅2,5 2,5x ≥ 0 2 2 x-−-2,5- ≥ 0 2,5x (x-−-2,5)(x-+2,5)≥ 0 2,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 2,5)(x +2,5)= 0 x1 = 2,5; x2 = − 2,5

Найдем нули знаменателя:

2,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−02,+−+−25,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(| 2x при x∈ [− 2,5;0)∪[2,5;+∞ ) y ={ 5 |( -5 при x∈ (− ∞;− 2,5)∪ (0;2,5) 2x

График исходной функции при $x ∈[−2,5;0)∪ [2,5;+∞ )$ — прямая $y = 2x. 5$ Составим таблицу значений при $x ∈[−2,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-2,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [2,5;+ ∞ ):$

|--|---|--| |x-|2,5-|5-| -y---1--2--

График исходной функции при $x ∈(−∞; −2,5)∪(0;2,5)$ — гипербола $5 1 y = 2 ⋅x .$ Составим таблицу значений при $x∈ (−∞;− 2,5):$

|--|----|-----|-----| |x-|−2,5|-−5--|-−10-| -y--−-1--−-0,5--−0,25-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;2,5):$

|--|---|----|---| |x-|-1-|-2--|2,5| -y--2,5--1,25---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−2,5;−1)$ и $(2,5;1)$ — точки стыка.

$0251−21−−12−−((xy115,2,500−2,05,2,52,5;55;1−)1)$

$011−2,−xyy(1y(2152=)=),5−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(2,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124528Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1( ||x 2|| x 2) y = 2 ||2 − x||+ 2 + x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x :$

x 2 --− --≥ 0 2 x x-⋅x−-2-⋅2≥ 0 2x x2 − 4 --2x--≥ 0 (x−-2)(x+-2)≥ 0 2x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x− 2)(x+ 2) = 0 x1 = 2; x2 = − 2

Найдем нули знаменателя:

2x = 0 x = 0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−02+−+− 2$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(| x- при x ∈ [− 2;0)∪ [2;+ ∞ ) y = { 2 |( 2- x при x ∈ (− ∞; − 2)∪(0;2)

График исходной функции при $x ∈ [− 2;0)∪[2;+∞ )$ — прямая $x- y = 2 .$ Составим таблицу значений при $x ∈ [− 2;0) :$

|--|----|--| |x-|−-2-|0-| -y--−-1--0-

Составим таблицу значений при $x ∈ [2;+∞ ) :$

|--|--|--| |x-|2-|4-| -y--1--2--

График исходной функции при $x ∈ (− ∞; − 2)∪ (0;2)$ — гипербола $2- y = x.$ Составим таблицу значений при $x ∈ (− ∞; − 2) :$

|--|---|-----|-----| |x-|−-2|-−-4-|-− 10| -y--−-1-−-0,5--−-0,2--

Составим таблицу значений при $x ∈ (0;2) :$

|--|---|--|--| |x-|0,5|1-|2-| -y---4--2--1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x = 0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(− 2;− 1)$ и $(2;1)$ — точки стыка.

$0241−124−−−−−((xy124100−20,,2;125;−) 1)$

$0121−−xyy(y(12 =1) =2) −11$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(− 2;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(2;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {− 1;1} .

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124530Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 3,5|| x 3,5) y = 2 ||3,5-− x-||+ 3,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 3,5-≥ 0 3,5 x x⋅x-− 3,5⋅3,5 3,5x ≥ 0 2 2 x-−-3,5- ≥ 0 3,5x (x-−-3,5)(x-+3,5)≥ 0 3,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 3,5)(x +3,5)= 0 x1 = 3,5; x2 = − 3,5

Найдем нули знаменателя:

3,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−03,+−+−35,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(|2x при x∈ [− 3,5;0) ∪[3,5;+∞ ) y = {7 |(7 ⋅ 1 при x∈ (− ∞;− 3,5)∪ (0;3,5) 2 x

График исходной функции при $x ∈[−3,5;0)∪ [3,5;+∞ )$ — прямая $y = 2x. 7$ Составим таблицу значений при $x ∈[−3,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-3,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [3,5;+ ∞ ):$

|--|---|--| |x-|3,5-|7-| -y---1--2--

График исходной функции при $x ∈(−∞; −3,5)∪(0;3,5)$ — гипербола $7 1 y = 2 ⋅x .$ Составим таблицу значений при $x∈ (−∞;− 3,5):$

|--|----|-----|-----| |x-|−3,5|-−7--|-−10-| -y--−-1--−-0,5--−0,35-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;3,5):$

|--|---|---|----|----| |x-|0,5-|-1-|-2--|3,5-| -y--7---3,5--1,75---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−3,5;−1)$ и $(3,5;1)$ — точки стыка.

$0271−172−−−−13((xy17100,7,5−3,0,3,553,5;55;1−)1)$

$03,11−−xyy(1y(2513=)=),5−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−3,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(3,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124531Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 1,5|| x 1,5) y = 2 ||1,5-− x-||+ 1,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 1,5-≥ 0 1,5 x x⋅x-− 1,5⋅1,5 1,5x ≥ 0 2 2 x-−-1,5- ≥ 0 1,5x (x-−-1,5)(x-+1,5)≥ 0 1,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 1,5)(x +1,5)= 0 x1 = 1,5; x2 = − 1,5

Найдем нули знаменателя:

1,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−01,+−+−15,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(|2x при x∈ [− 1,5;0) ∪[1,5;+∞ ) y = {3 |(3 ⋅ 1 при x∈ (− ∞;− 1,5)∪ (0;1,5) 2 x

График исходной функции при $x ∈[−1,5;0)∪ [1,5;+∞ )$ — прямая $y = 2x. 3$ Составим таблицу значений при $x ∈[−1,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-1,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [1,5;+ ∞ ):$

|--|---|--| |x-|1,5-|3-| -y---1--2--

График исходной функции при $x ∈(−∞; −1,5)∪(0;1,5)$ — гипербола $3 1 y = 2 ⋅x .$ Составим таблицу значений при $x∈ (−∞;− 1,5):$

|--|----|-----|-----| |x-|−1,5|-−3--|-−10-| -y--−-1--−-0,5--−0,15-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;1,5):$

|--|----|---|---| |x-|0,5-|1--|1,5-| -y---3---1,5--1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−1,5;−1)$ и $(1,5;1)$ — точки стыка.

$031123−−−−−1((xy13100,5−1,0,1,51,5;55;1−)1)$

$01,11−−xyy(1y(2511=)=),5−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−1,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(1,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124532Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

1 (||x 5,5|| x 5,5) y = 2 ||5,5-− x-||+ 5,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 5,5-≥ 0 5,5 x x⋅x-− 5,5⋅5,5 5,5x ≥ 0 2 2 x-−-5,5- ≥ 0 5,5x (x-−-5,5)(x-+5,5)≥ 0 5,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 5,5)(x +5,5)= 0 x1 = 5,5; x2 = − 5,5

Найдем нули знаменателя:

5,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−05,+−+−55,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(| 2-x при x∈ [−5,5;0)∪ [5,5;+∞ ) y = { 11 |( 11⋅ 1 при x∈ (−∞; −5,5)∪ (0;5,5) 2 x

График исходной функции при $x∈ [−5,5;0)∪ [5,5;+∞ )$ — прямая $y =-2x. 11$ Составим таблицу значений при $x ∈[−5,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-5,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [5,5;+ ∞ ):$

|--|---|---| |x-|5,5-|11-| -y--1---2---

График исходной функции при $x ∈(−∞; −5,5)∪(0;5,5)$ — гипербола $11 1 y = 2-⋅x.$ Составим таблицу значений при $x∈ (− ∞;− 5,5):$

|--|-----|----| |x-|−5,5-|−11-| -y---−1---−0,5--

Составим таблицу значений при $x∈ (0;5,5):$

|--|---|----|---| |x-|-1-|-2--|5,5| -y--5,5--2,75---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−5,5;−1)$ и $(5,5;1)$ — точки стыка.

$021−12−1−25((xy1,,−51110,7555,55,5;;1)−1)$

$0511−−xyy(y(,12515,=)=)5−11$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−5,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(5,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема