Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ → 01.09 №22. Тип 9

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Разделы подтемы Задачи №22 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106167Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

x4− 13x2+ 36 y = (x−-3)(x-+2) .

Определите, при каких значениях $c$ прямая $y =c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

(x− 3)(x +2)⁄= 0 x⁄= −2; x⁄= 3

Преобразуем выражение в числителе. Сделаем замену $x2 = t,$ получим:

4 2 2 x − 13x + 36= t − 13t+ 36.

Найдем корни квадратного уравнения

t2− 13t+ 36= 0 D = 169 − 4⋅1⋅36= 169− 144 = 25 t1 = 13+-5 =9 2 t2 = 13−-5 =4 2

Тогда

t2 − 13t+ 36= (t− 9)(t− 4).

Сделаем обратную замену:

x4− 13x2+ 36= (x2− 9)(x2− 4) .

Тогда на области определения функция примет вид:

(x2− 9)(x2− 4) (x− 3)(x +3)(x− 2)(x+ 2) y =-(x−-3)(x-+-2)--= -----(x-− 3)(x+-2)----= = (x+ 3)(x − 2) =x2 +x − 6.

Тогда график исходной функции — это парабола с двумя выколотыми точками. Найдем координаты выколотых точек:

$pict$

Итого, $(− 2;−4)$ и $(3;6)$ — выколотые точки.

Графиком квадратичной функции $y = x2+ x− 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−0,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−2-|−-1|-−0,5-|-0-|-1-| -y--−4--−-6-−-6,25--−6--−4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$16−−12−−xy0−14216,25$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = c,$ при которых она не имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$1−−612−−xy0−y(1y(2y(314216,=)=)=)25−−6 6,425$

Нам подходят положения 1, 2 и 3 прямой $y = c.$

Положение 1: прямая $y = c$ проходит через вершину параболы $(− 0,5;−6,25),$ значит $c =− 6,25.$

Положение 2: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(−2;−4)$ значит $c =− 4.$

Положение 3: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(3;6)$ значит $c =6.$

Следовательно, ответ

c∈ {−6,25;−4;6}.

Ответ:

$c ∈{−6,25;− 4;6}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема