Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ → 01.10 №22. Тип 10

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Разделы подтемы Задачи №22 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46329Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции $y = x2+ 3x− 3|x +2|+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2+ 3x − 3(x +2)+ 2, еcли x + 2≥ 0 ⇔ x + 3x + 3(x +2)+ 2, если x + 2< 0 {x2+ 3x− 3x− 6+ 2, если x ≥ −2 ⇔ y = 2 ⇔ x + 3x+ 3x+ 6+ 2, если x < −2

{ 2 ⇔ y = x − 4, если x≥ −2 x2 +6x +8, если x< −2

График функции при $x ≥− 2$ — это парабола $2 y = x − 4.$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 2 yв. = 02− 4= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	3

$y$	0	$− 3$	$− 4$	$− 3$	0	5

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 8.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 6 = −3 2a 2 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 8= −1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 5$	$− 4$	$− 3$	$− 2$

$y$	3	0	$− 1$	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = −01$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 6x+ 8,$ то есть через точку $(− 3;− 1).$ В этом случае $m = −1.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(−2;0).$ В этом случае $m =0.$

Таким образом,

m ∈{0;−1}

Ответ:

$m ∈ {0;−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#54129Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x − 11x− 2|x − 5|+ 30.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 13x + 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(6,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|-----|----| |x-|5-|6--|-6,5--|-7--| -y--0--−2--−2,25--−-2-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 9x+ 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-----|--| |x-|3-|4-|-4,5--|5-| -y--2--0--−0,25--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(5;0)$ — точка стыка.

$−−0−1213456746xy202,5,5,2,255$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−01154,yy(1(205==)),25−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(5;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(4,5;−0,25)$ параболы $y = x2− 9x + 20,$ следовательно, $m = −0,25.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#106091Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x + 14x− 3|x + 8|+ 48.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 11x + 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−8-|−-6|-−5,5-|−5-|−3-| -y---0--−-6-−-6,25--−6---0--

Графиком квадратичной функции $2 y = x + 17x + 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|-----|----| |x-|−10-|−9-|−-8,5-|−-8-| -y---2---0---−0,25--0---

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(−8;0)$ — точка стыка.

$−−012−−−−−1−xy 6,0,10865392255$

Изобразим график функции положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−012−−−−1−yy((018653==1)2),205−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−8,5;− 0,25)$ параболы $y = x2+17x +72,$ следовательно, $m = −0,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−8;0),$ то есть $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124440Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x + 11x− 4|x + 6|+ 30.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 7x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-6|−-5-|−4-|−3-| -y---0--−-4--−6--−6-

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 15x + 54$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−7,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|------|---|---| |x-|−8-|-−7,5--|−7-|−6-| -y--−2--−-2,25--−2---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−6;0)$ — точка стыка.

$−−01−−−−−−−−−−−1xy 6,2,4266875433,7,225555$

$xy−01−1−yy((26712,,==))255−02,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−6;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−7,5;− 2,25)$ параболы $y = x2+15x +54,$ следовательно, $m = −2,25.$

Следовательно,

m ∈ {−2,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−2,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124442Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x − 8x − 4|x− 3|+ 15.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 12x + 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(6;− 9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|---|---| |x-|3-|4--|-5-|-6-| -y--0--−5--−8--−-9-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4x+ 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(2;− 1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|---|--| |x-|0-|1-|-2-|3-| -y--3--0--−1--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(3;0)$ — точка стыка.

$−−031−−234561xy9158$

$xy0−1231yy((1==12))−01$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(3;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(2;−1)$ параболы $y = x2− 4x + 3,$ следовательно, $m = − 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;0}.

Ответ:

$m ∈ {−1;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124446Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x + 3x− 4|x + 2|+ 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− x− 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|------|---| |x-|−2-|-0-|--0,5--|-1-| -y---0--−-6--−6,25--−6--

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 7x+ 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|------|---|---| |x-|−4-|-−3,5--|−3-|−2-| -y--−2--−-2,25--−2---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−2;0)$ — точка стыка.

$−01−−−−−−1−0,xy222664335,2,2,555$

$xy−01−1−yy(1(22,23,==))255−0 2,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−3,5;− 2,25)$ параболы $2 y = x +7x + 10,$ следовательно, $m = −2,25.$

Следовательно,

m ∈ {−2,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−2,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124449Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x + 13x− 3|x + 7|+ 42.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 10x + 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5;−4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-7|−-6-|−5-|−4-| -y---0--−-3--−4--−3-

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 16x + 63$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8;−1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-9-|−8-|−7-| -y---0---−1--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−7;0)$ — точка стыка.

$−−0−1−−−−−1−xy413876549$

$xy01−−−1−yy((121879==))−01$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−7;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−8;−1)$ параболы $y = x2+16x +63,$ следовательно, $m = −1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;0}.

Ответ:

$m ∈ {−1;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124451Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x − 7x − 5|x− 3|+ 12.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Следовательно, $(6;− 9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|---|---| |x-|3-|4--|-5-|-6-| -y--0--−5--−8--−-9-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 2x− 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(1;− 4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|-0-|-1-|-2--|3| -y--−3--−4--−-3--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(3;0)$ — точка стыка.

$−−0−1−−123456xy 94358$

$xy01−13yy((4==1)2) −04$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(3;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(1;−4)$ параболы $y = x2− 2x − 3,$ следовательно, $m = − 4.$

Следовательно,

m ∈ {−4;0}.

Ответ:

$m ∈ {−4;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124453Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x − 5x− 5|x − 2|+ 6.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 10x + 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5;− 9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|---|---| |x-|2-|3--|-4-|-5-| -y--0--−5--−8--−-9-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|−1-|-0-|-1--|2| -y--−3--−4--−-3--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(2;0)$ — точка стыка.

$−−01−−−−12345xy 943581$

$xy−0112yy((4==1)2) −04$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(2;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(0;−4)$ параболы $y = x2− 4,$ следовательно, $m = − 4.$

Следовательно,

m ∈ {−4;0}.

Ответ:

$m ∈ {−4;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124455Максимум баллов за задание: 2

Постройте график функции

2 y = x − 9x − 2|x− 4|+ 20.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 11x + 28$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|-----|----| |x-|4-|5--|-5,5--|-6--| -y--0--−2--−2,25--−-2-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 7x+ 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-----|--| |x-|2-|3-|-3,5--|4-| -y--2--0--−0,25--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(4;0)$ — точка стыка.

$−−0−121234563,5,xy2,0,2552525$

$xy−01143yy((0,512,==))25−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3,5;−0,25)$ параболы $y = x2− 7x + 12,$ следовательно, $m = −0,25.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема