Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.06 Правильная и прямоугольная пирамиды

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#578

Объем правильной треугольной пирамиды равен $24$ . Найдите объем пирамиды, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $SKLM$ – пирамида, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды $SABC$ . $SKLM$ тоже является правильной пирамидой, так как вершины треугольника $△KLM$ являются серединами сторон треугольника $△ABC$ , а значит стороны треугольника $△KLM$ являются средними линиями треугольника $△ABC$ $⇒$ стороны треугольника $△KLM$ относятся к соответствующим сторонам треугольника $△ABC$ как $1 : 2$ $⇒$ их площади состоят в отношении $1 : 4$ . Высота искомой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды $⇒$ их объемы относятся также, как их площади $⇒$ объем искомой пирамиды равен $24 : 4 = 6$ .

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1882

В прямоугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $SB$ — высота пирамиды, $ABCD$ — прямоугольная трапеция с прямыми углами $∠BAD$ и $∠ABC.$ Найдите объем пирамиды, если $∠SAB = 60∘,$ $∠SCB = 30∘,$ $AD = 2⋅AB,$ а $AB = √3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$△ABS$ и $△CBS$ — прямоугольные треугольники, следовательно,

∘ √ - √- SB = AB ⋅tg60 = 3⋅ 3 =3

Таким образом,

√ - BC = SB ⋅ctg 30∘ = 3 3

Тогда можем найти площадь основания:

√- √ - √ - SABCD = 1⋅(AD + BC) ⋅AB = 1⋅(2 3+ 3 3)⋅ 3= 7,5 2 2

Значит,

1 1 Vпир. = 3 ⋅SB ⋅SABCD = 3 ⋅3⋅7,5= 7,5

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1883

Найдите объем правильного тетраэдра, если одна из его апофем равна $√ - 3--6 2$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Высота тетраэдра падает в точку пересечения медиан равностороннего треугольника (она же является точкой пересечения биссектрис, высот и т.д.; далее в решении задачи нас будет интересовать точка пересечения медиан), лежащего в основании.

$PIC$

Пусть $SABC$ – правильный тетраэдр, $SK$ – апофема, лежащая в грани $ABS$ . Она же является медианой, проведенной к стороне $AB$ . Тогда, если ребро тетраэдра обозначить за $x$ , то высота $SK$ в равностороннем треугольнике выразится как $√- -3- 2 ⋅x$ $⇒$ $√- √- -3- 3-6- 2 ⋅x = 2$ $⇒$ $√ - x = 3 2$ . $AL$ и $CK$ – медианы в треугольнике $△ABC$ , $H$ – точка пересечения $AL$ и $CK$ , $SH$ – высота в тетраэдре. Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, состоящие в отношении $2:1$ , где больший отрезок лежит между соответствующей вершиной треугольника и точкой пересечения медиан. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник $△AHS$ : $2 2 2 3√6- √- AH = 3 ⋅AL = 3 ⋅SK = 3 ⋅-2-= 6$ , т.к. все равносторонние треугольники равны между собой и следовательно также равны между собой их высоты. $√ - AS = 3 2$ , тогда найдем $SH$ по теореме Пифагора: $2 2 2 AS = SH + AH$ $⇒$ $√ - SH = 2 3$ . Наконец, найдем объем правильного тетраэдра:

√ - V = 1 ⋅SH ⋅ 1⋅CK ⋅AB = 1⋅2√3-⋅ 1⋅ 3-6⋅3√2-= 9. 3 2 3 2 2

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2616

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна $4√3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В основании правильной пирамиды лежит правильный треугольник. Значит, площадь основания равна

√- S = -3a2 =9√3- 4

Тогда объем пирамиды равен

1 1 √- √ - V = 3Sh = 3 ⋅9 3 ⋅4 3= 36

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17754

Объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен 12. Точка $E$ — середина ребра $SB.$ Найдите объем треугольной пирамиды $EABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $SABCD$ — площадь квадрата $ABCD,$ $SABC$ — площадь треугольника $ABC.$ Тогда $SABCD = 2SABC.$

Пусть $SH$ — высота пирамиды $SABCD$ и $SH = y,$ а $ET$ — высота пирамиды $EABC.$

Далее заметим, что

SH ⊥ ABCD, ET ⊥ ABCD ⇒ SH ∥ ET

Тогда $ET$ — средняя линия треугольника $BSH,$ так как $E$ — середина $SB.$ Отсюда $△ BET ∼ △BSH$ по углу и отношению сторон

BE :BS = BT :BH = 1 :2

Тогда имеем:

ET :SH = 1:2 ⇒ ET = 1SH = 1 y 2 2

$PIC$

Объем пирамиды вычисляется по формуле

1 V = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.

Тогда по условию имеем:

1SABCD ⋅y =12 3

Вычислим объем $V$ пирамиды $EABC :$

1 y 1 SABCD- y V = 3 ⋅SABC ⋅2 = 3 ⋅ 2 ⋅2 = 1 SABCD ⋅y 1 = 3 ⋅---4----= 12⋅ 4 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#871

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если стороны основания равны $√ -- 6 2$ , а плоский угол при вершине пирамиды равен $60∘$ .

Показать ответ и решение

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида. Значит, в ее основании лежит квадрат, а высота $SO$ пирамиды падает в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
$∠DSC = ∠CSB = ∠BSA = ∠ASD = 60 ∘$ , $-- AB = 6√ 2$ .

$PIC$

Найдем объем пирамиды, если $AB = a$ , а затем подставим вместо $a = 6√2--$ .

Т.к. объем пирамиды равен

V = 1-⋅ SABCD ⋅ SO = 1-⋅ a2 ⋅ SO, 3 3

то необходимо найти $SO$ .

$△CSD$ — равнобедренный ( $SD = SC$ ), следовательно, $∠D = ∠C = 1(180∘ − 60∘) = 60∘ 2$ .

Следовательно, он равносторонний и $SD = SC = CD = a$ .

Т.к. $√-- √ - BD = AB 2 ⇒ OD = 0,5BD = -22⋅ a$ .

Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOD$ ( $∠SOD = 90 ∘$ ):

( √ -- )2 √-- 2 2 2 2 --2- a2- -2-- SO = SD − OD = a − 2 ⋅ a = 2 ⇒ SO = 2 ⋅ a.

Тогда объем равен

√ -- √ -- 1- 2 --2- -a3-- 63 ⋅-2-2 V = 3 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = √ --= √ -- = 144. 3 2 3 2

Ответ: 144

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#959

Дана прямоугольная пирамида $SABCD$ , в основании которой лежит параллелограмм со сторонами $AD$ и $AB$ , соответственно равными $2$ и $3$ , и углом между ними $√ -- 3 arcsin-4--$ , а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если $SD = 4$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $-- √ 3 ∠DAB = arcsin ---- 4$ , следовательно, $-- √ 3 sin ∠DAB = ---- 4$ .

Так как $SA$ перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно любой прямой из основания, следовательно, $△SAD$ – прямоугольный. Также по определению $SA$ является высотой пирамиды. Следовательно, по теореме Пифагора

√ ------------ √ -- SA = SD2 − AD2 = 2 3.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, следовательно, объем пирамиды равен

1 V = --⋅ SA ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin∠DAB = 3. 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#960

Дана прямоугольная пирамида $SABCD$ , причем $SA$ – высота пирамиды, а $ABCD$ – ромб. Диагональ $BD$ ромба равна $√ -- 8 3$ , а боковое ребро $SC$ равно $5$ . Найдите объем пирамиды, если также известно, что угол между $SC$ и плоскостью основания равен $30∘$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $SA$ – высота, то она перпендикулярна плоскости основания, следовательно, по определению $AC$ является проекций $SC$ на плоскость основания. А так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, то $∠SCA$ – угол между $SC$ и основанием.
Так как $SA$ перпендикулярна основанию, то она перпендикулярна любой прямой из основания, следовательно, $△SAC$ прямоугольный. Значит, $AS$ как катет, лежащий против угла $∘ 30$ , равен половине $SC$ , то есть $AS = 2,5$ .
По теореме Пифагора из этого же треугольника

√ ------------ √ -- AC = SC2 − SA2 = 2,5 3.

Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем

1 1 V = -⋅ SA ⋅ --⋅ AC ⋅ BD = 25. 3 2

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1049

Высота правильной треугольной пирамиды равна $√ -- 3 3$ , а двугранный угол при основании равен $60 ∘$ . Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то высота $SO$ падает в точку пересечения медиан (которые являются также высотами и биссектрисами) основания. Пусть $CK ⊥ AB$ . Тогда $OK ⊥ AB$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SK$ , проекцией которой является $OK$ , также будет перпендикулярна $AB$ . Следовательно, $∠SKC$ – линейный угол двугранного угла при основании, то есть $∘ ∠SKC = 60$ .

$PIC$

Из прямоугольного $△SKO$ :

√ -- √ -- tg∠K = 3 = -SO- ⇒ OK = 3√--3-= 3. OK 3

Так как $OK$ – медиана, а $O$ – точка пересечения медиан, и медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $CK = 3OK = 9$ .
Пусть $KB = x$ , тогда $BC = 2x$ . Рассмотрим прямоугольный $△CKB$ :

√ -- √ -- BC2 = KB2 + CK2 ⇒ 4x2 = x2 + 81 ⇒ x = 3 3 ⇒ BC = 6 3 = AB.

Следовательно, объем пирамиды равен

1- 1- 1- √ -- 1- √ -- V = 3 ⋅ SO ⋅2 AB ⋅ CK = 3 ⋅ 3 3 ⋅2 ⋅ 6 3 ⋅ 9 = 81.

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1884

Найдите апофему в правильной шестиугольной пирамиде, если сторона шестиугольника равна $7$ , а тангенс угла наклона бокового ребра к основанию равен $1- 2$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

$SABCDEF$ – правильная шестиугольная пирамида, $SO$ – высота пирамиды, $ABCDEF$ – правильный шестиугольник. $△AOF$ – равносторонний треугольник $⇒$ $F O = 7$ . Рассмотрим треугольник $SOF$ : $SO$ – перпендикуляр, $SF$ – наклонная к плоскости шестиугольника, $OF$ – проекция наклонной $SF$ $⇒$ $1 tg∠SF O = -- 2$ $⇒$ $7 SO = F O ⋅ tg ∠SF O = -- 2$ . $OH$ – высота в равностороннем треугольнике $△AOF$ $⇒$ $√ -- √ -- OH = --3-⋅ AF = --3-⋅ 7 2 2$ . Тогда апофему можно найти из прямоугольного треугольника $△SOH$ по теореме Пифагора: $( -- ) ( 7)2 √ 3 2 SH2 = SO2 + OH2 = -- + ----⋅ 7 = 7 2 2$ .

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2265

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$ , сторона которого равна $√ --- 18$ . Найдите объем пирамиды, если угол $SAB$ равен $60∘$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис). Также боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Так как в равнобедренном $△ASB$ угол при основании равен $60 ∘$ , то треугольник равносторонний, следовательно, $√ --- AS = AB = 18$ .
Пусть $AA 1$ – высота основания. Следовательно,

√3-- AA1 = ---AB. 2

Так как $AA1$ – медиана, а медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

√ -- 2 3 AH = 3-AA1 = -3-AB.

Следовательно, по теореме Пифагора

√ ------------ √ -- SH = AS2 − AH2 = --6AB. 3

Тогда объем пирамиды равен

√ -- √ -- 1- 1- --6- 1- --3- V = 3 ⋅ SH ⋅ SABC = 3 ⋅ 3 AB ⋅ 2 ⋅ AB ⋅ 2 AB = 9.

Ответ: 9

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2266

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Известно, что сторона основания пирамиды равна $√ -- 3 3$ , а угол между ее высотой и боковым ребром равен $60∘$ . Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть $CC1$ – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

√ -- --3- CC1 = 2 AB.

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

2 √3-- CH = --CC1 = ----AB. 3 3

Из прямоугольного $△SHC$ :

tg60∘ = CH-- ⇒ SH = CH√---= 1AB. SH 3 3

Следовательно, объем пирамиды равен

-- -- √ -- -- V = 1-⋅ SH ⋅ S = 1-⋅ 1-⋅ 3√ 3 ⋅ 1-⋅ 3√ 3 ⋅-3-⋅ 3√ 3 = 27 = 6,75. 3 ABC 3 3 2 2 4

Ответ: 6,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2267

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Известно, что боковое ребро пирамиды равно $√ --- 48$ , а угол между боковым ребром и плоскостью основания $30∘$ . Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Заметим, что $√ --- √ -- 48 = 4 3$ .
Пусть $CC1$ – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

√ -- 3 CC1 = ---AB. 2

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

√ -- CH = 2-CC1 = --3-AB. 3 3

Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а $CH$ – проекция $SC$ на плоскость основания, то $∠SCH = 30∘$ .
Из прямоугольного $△SHC$ :

√ -- ∘ CH ∘ √-- 3 cos30 = -SC- ⇒ CH = SC ⋅ cos30 ⇒ CH = 4 3 ⋅-2--= 6.

Так как еще $√ -- --3- CH = 3 AB$ , то можно найти $AB$ :

√ -- --3- √-- 6 = 3 AB ⇒ AB = 6 3.

Также из прямоугольного $△SHC$ :

∘ SH 1 √ -- sin 30 = SC-- ⇒ SH = 2SC = 2 3.

Следовательно, объем пирамиды равен

√ -- 1 1 √ -- 1 3 √ -- √ -- V = 3-⋅ SH ⋅ SABC = 3-⋅ 2 3 ⋅2-⋅ -2-⋅ 6 3 ⋅ 6 3 = 54.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2268

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ . Угол между боковым ребром и стороной основания равен $60∘$ , а $√ -- AB = 43$ . Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как пирамида правильная, то все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Так как у них угол при основании равен $∘ 60$ , то они являются равносторонними, то есть все боковые ребра пирамиды равны стороне основания. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $√ -- 3 2 ----a 4$ , следовательно, площадь боковой поверхности

√-- -3-- 2 √ -- 2 √ -- √ -- Sбок. пов-ти = 4 ⋅ 4 AS = 3AS = 3 ⋅ 3 = 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2296

Пирамида $SABC$ прямоугольная, $SB$ – высота пирамиды. Точки $A1$ , $S1$ , $B1$ лежат соответственно на сторонах $AC$ , $SC$ , $BC$ , причем $S1B1 ||SB$ , $A1B1 ||AB$ , а $BB1 : B1C = 3 : 1$ . Найдите площадь поверхности пирамиды $SABC$ , если площадь поверхности пирамиды $S1A1B1C$ равна $10$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $△A1B1C$ и $△ABC$ подобны, т.к. у них общий угол $∠C$ и по теореме Фалеса параллельные стороны $AB$ и $A1B1$ отсекают пропорциональные отрезки. Аналогичным образом подобны треугольники $△B1S1C$ и $△BSC$ . Тогда из пропорциональности соответствующих сторон вытекает подобие треугольников $△A1S1C$ , $△A1B1S1$ , соответственно треугольникам $△ASC$ , $△ABS$ . Коэффициент подобия $B1C- --B1C--- 1 k = BC = BB1+B1C = 4$ . Тогда $S △A1B1C : S △ABC = S△A1S1C : S△ASC = S △A1B1S1 : S△ABS = S △B1S1C : S △BSC = k2 = 116$ $⇒$

S△A1B1C--+-S△A1S1C--+-S△A1B1S1-+-S-△B1S1C- S пов.S1A1B1C : Sпов.SABC = S △ABC + S△ASC + S△ABS + S △BSC = -116-⋅ S-△ABC-+-116 ⋅ S-△ASC-+-116 ⋅ S-△ABS-+-116 ⋅ S-△BSC = S + S + S + S = △ABC △ASC △ABS △BSC 116-⋅ (S△ABC + S △ASC + S△ABS + S△BSC ) = ---------------------------------------- = 1 : 16 S △ABC + S△ASC + S△ABS + S△BSC

$⇒$ $S пов.SABC = 16 ⋅ 10 = 160$ .

Ответ: 160

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2397

Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен $7$ . Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Пусть $SABCD$ – исходная пирамида, $′ ′ ′ ′ A ,B ,C ,D$ – середины отрезков $AB, BC,CD, DA$ соответственно. $SO$ – высота пирамиды $SABCD$ .

VSABCD = 1⋅SO ⋅AB2 3

Заметим, что $SO$ – также высота пирамиды $SA′B′C′D ′$ .
Так как $ABC$ – прямоугольный треугольник, то $√ ---------- √ - AC = AB2 + BC2 = 2AB$ . Так как $A ′B ′$ – средняя линия в $△ABC$ , то

′ ′ 1 √2 A B = 2 AC = -2 AB

Так как $′ ′ ′ ′ A B ∥ AC,A D ∥ BD$ , а $AC ⊥ BD$ , то $′ ′ ′ ′ A B ⊥ A D$ , следовательно, $′ ′′ ′ A B C D$ – квадрат. Следовательно,

1 1 1 1 VSA′B′C′D′ = 3 ⋅SO ⋅A′B′2 = 3 ⋅SO ⋅2AB2 = 2VSABCD = 3,5.

Ответ: 3,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38824

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO =12,$ $BD = 18.$ Найдите боковое ребро $SA.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Центр основания — середина диагонали $BD,$ тогда

BO = OD = BD :2 = 18 :2= 9

Также в правильной четырехугольной пирамиде высота, проведенная из вершины $S,$ падает в центр основания точку $O.$

Необходимо найти боковое ребро $SA,$ и так как в правильной четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны, то $SA = SB.$

Так как $SO$ — высота пирамиды, то она перпендикулярна плоскости $(BCD ),$ значит, $SO$ перпендикулярна $BD.$ Отсюда по теореме Пифагора находим $SB :$

∘---2-----2 SB = SA = SO + BO = = ∘122+-92 = √144-+81-=√225-= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#46554

В правильной четырехугольной пирамиде с высотой $h$ через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии $1 3h$ от плоскости основания, проведена плоскость, параллельная плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен 54.

Показать ответ и решение

Пусть плоскость провели через точку $A ′$ на ребре $AS.$ Так как эта плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым $′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ A B , BC , C D , D A$ , параллельным соответственно прямым $AB, BC, CD, DA.$ При этом $SA′B′C′D′$ — тоже правильная четырехугольная пирамида.

Рассмотрим плоскость $(ASO).$ Проведем $A′H ∥SO,$ где $SO$ — высота исходной пирамиды. Тогда $A′H ⊥ (ABC ).$ Следовательно, это и есть расстояние, равное $1 3 SO,$ на котором от плоскости основания проведена плоскость $′ ′ ′ (AB C ).$