Тема Текстовые задачи

02 Делимость

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124806

Определите, верное ли утверждение: Если число делится на $10,$ то оно делится и на $2$ и на $5.$

Источники: «Облако знаний» (см. oblakoz.ru)

Показать ответ и решение

Верно, так как $10= 2⋅5,$ а если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это же число

Ответ: Верно

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124807

В числе $32 58∗$ не хватает последней цифры. Какое может быть это число, если оно делится на $3?$

Источники: «Облако знаний» (см. oblakoz.ru)

Показать ответ и решение

Число делится на $3,$ если сумма его цифр делится на $3.$

$3+2+ 5+ 8= 18.$ Так как $18$ делится на $3,$ то и неизвестная цифра должна делиться на $3.$ Таким свойством обладают цифры $3,6,9.$ Таким образом, речь идёт о числах $32583,32586,32589$

Ответ: 32 583, 32 586, 32 589

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124808

Даны цифры $1,0$ и $6.$ Используя каждую цифру по одному разу в записи числа, составьте все трёхзначные числа, которые делятся на $2.$

Источники: «Облако знаний» (см. oblakoz.ru)

Показать ответ и решение

Любое чётное число делится на $2.$ Подходят числа: $106,160,610.$ Нечётные числа не делятся на $2.$

Ответ: 106, 160, 610.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124809

Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось на $225.$

Источники: Инфоурок, Задачи на делимость (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

Чтобы число делилось на $225,$ оно должно делиться на $25$ и на $9,$ так как $225= 25 ⋅9$ .

Делимость на $25:$ Число делится на $25,$ если две его последние цифры $00.$ Значит, число должно заканчиваться на $00.$
Делимость на $9:$ Число делится на $9,$ если сумма его цифр делится на $9.$

Минимизируем число.

1.: Две последние цифры - $00.$
2.: Сумма остальных цифр должна делиться на $9.$
3.: Чтобы число было наименьшим, надо использовать наименьшее количество цифр.
4.: Чтобы получить сумму $9,$ используя цифры $1$ и $2,$ нужно использовать как можно больше двоек, а затем добавить единицу, если необходимо.

Разложим $9$ на слагаемые $1$ и $2$ так, чтобы двоек было больше: $9=2 +2+ 2+ 2+ 1$ . Чтобы число было наименьшим, единица должна стоять в начале, а затем двойки.

Получаем число $1222200.$

Проверим:

Заканчивается на $00,$ значит, делится на $25.$
Сумма цифр $1+ 2+ 2+ 2+2 +0+ 0= 9$ , значит, делится на $9.$

Следовательно, число $1222200$ делится на $225.$

Ответ: 1222200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124810

При делении некоторого числа на $13$ и $15$ получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком $8,$ а второе деление без остатка. Найти это число.

Источники: Инфоурок, Задачи на делимость (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

Пусть $A$ - искомое число, а $x$ - одинаковое частное.

Тогда:

При делении $A$ на $13$ получается частное $x$ и остаток $8$ : $A= 13x+ 8$
При делении $A$ на $15$ получается частное $x$ и остаток $0$ : $A= 15x$

Приравниваем оба выражения для $A$ :

13x+ 8= 15x

Решаем уравнение:

2x= 8

x= 4

Подставляем значение $x$ в любое из уравнений для $A$ :

A =15⋅4 =60

Проверка:

$60:13= 4$ (ост. $8)$
$60:15= 4$ (ост. $0)$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124811

Любитель арифметики перемножил первые 2002 простых числа. На сколько нулей заканчивается произведение? (A) $0;$ (B) $1;$ (C) $10$ ; (D) $20$ ; (E) $100$ ;

Источники: Инфоурок, Задачи на делимость (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

Простое число — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: $1$ и само себя.(пример: $2,3,5,7,11,13,17,19...)$

Произведение заканчивается на ноль, если оно делится на $10.$ Чтобы произведение делилось на $10,$ оно должно делиться на $2$ и на $5.$ Среди первых 2002 простых чисел обязательно есть $2$ и $5.$ Это значит, что произведение заканчивается как минимум на один ноль. Для того, чтобы произведение заканчивалось на большее количество нулей, необходимо, чтобы в разложении на простые множители числа были пары $2$ и $5.$ Так как у нас даны только простые числа, то других пар $2$ и $5$ быть не может. Следовательно, произведение заканчивается ровно на один ноль.

Ответ: $1$

Ответ: B

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124812

Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно $78,$ а наибольший общий делитель равен $13.$

Источники: Инфоурок, Задачи на делимость (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $b$ - искомые натуральные числа. Известно, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ :

НО К(a,b)⋅НОД(a,b)= a⋅b

Подставим данные значения:

78⋅13 =a ⋅b

1014= a⋅b

Также известно, что НОД $(a,b)= 13$ . Это означает, что $a$ и $b$ делятся на $13.$ Представим $a$ и $b$ в виде:

a =13m

b= 13n

где $m$ и $n$ - взаимно простые числа (НОД $(m,n)=1$ ).

Подставим эти выражения в уравнение:

1014= (13m)⋅(13n)

1014= 169mn

mn = 1014-=6 169

Теперь нам нужно найти такие взаимно простые числа $m$ и $n$ , произведение которых равно 6. Возможные варианты:

* $m =1,n= 6$ .

Тогда $a = 13⋅1 =13$ и $b= 13⋅6= 78$ .

НОД $(13,78)= 13$ , НОК $(13,78)= 78$ .

* $m =6,n= 1$ .

Тогда $a= 13 ⋅6 =78$ и $b= 13⋅1= 13$ . НОД $(78,13)=13$ , НОК $(78,13)=78$ . * $m = 2,n= 3$ . Тогда $a= 13 ⋅2 =26$ и $b= 13⋅3= 39$ . НОД $(26,39)= 13$ , НОК $(26,39)= 78$ . * $m= 3,n= 2$ . Тогда $a= 13 ⋅3 =39$ и $b= 13⋅2= 26$ . НОД $(39,26)=13$ , НОК $(39,26)=78$ .

Таким образом, искомые пары: $(13,78),(78,13)$

Ответ: (39, 26) и (26, 39)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124813

Какую цифру можно написать вместо звёздочки так, чтобы число

(a) $269∗6$ делилось на $4?$

(b) $2∗ 45$ делось на $9?$

(d) $5417∗$ делилось на $6?$

Во всех пунктах этой задачи необходимо найти все возможные ответы и доказать, что других ответов нет.

Источники: livejournal, Задачи на признаки делимости (см. klarissa45.livejournal.com)

Показать ответ и решение

(a) $269 ∗6$ делится на $4$ .

Число делится на $4$ , если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на $4$ . Значит, $∗6$ должно делиться на $4$ . Проверяем все возможные цифры:

$06= 6$ - не делится на $4$ .
$16$ - делится на $4$ .
$26$ - не делится на $4$ .
$36$ - делится на $4$ .
$46$ - не делится на $4$ .
$56$ - делится на $4$ .
$66$ - не делится на $4$ .
$76$ - делится на $4$ .
$86$ - не делится на $4$ .
$96$ - делится на $4$ .

Значит, * может принимать значения: $0,2,4,6,8$ .

(b) $2∗ 45$ делится на $9$ ?

Число делится на $9$ , если сумма его цифр делится на $9$ .

Сумма цифр $2+∗ +4+ 5= 11+∗$ должна делиться на $9$ .

Наименьшее число, большее $11$ и делящееся на $9$ , это $18$ . Тогда $∗ =18− 11= 7$ . Других вариантов нет, так как следующее число, делящееся на $9$ , это $27$ , и тогда $∗= 27− 11= 16$ , что невозможно, так как * - цифра. Значит, $∗= 7.$

Число делится на $3$ , если сумма его цифр делится на $3$ . Сумма цифр $2+∗ +4+ 5= 11+ ∗$ должна делиться на $3$ . Перебираем возможные варианты для *:

$∗ =0$ : $11+ 0= 11$ - не делится на $3$ .
$∗ =1$ : $11+ 1= 12$ - делится на $3$ .
$∗ =2$ : $11+ 2= 13$ - не делится на $3$ .
$∗ =3$ : $11+ 3= 14$ - не делится на $3$ .
$∗ =4$ : $11+ 4= 15$ - делится на $3$ .
$∗ =5$ : $11+ 5= 16$ - не делится на $3$ .
$∗ =6$ : $11+ 6= 17$ - не делится на $3$ .
$∗ =7$ : $11+ 7= 18$ - делится на $3$ .
$∗ =8$ : $11+ 8= 19$ - не делится на $3$ .
$∗ =9$ : $11+ 9= 20$ - не делится на $3$ .

Значит, * может принимать значения: $1,4,7$ .

(d) $5417∗$ делилось на $6$ ?

Число делится на $6$ , если оно делится на $2$ и на $3$ .

Делимость на $2$ : Число должно быть чётным. Значит, $∗ ∈{0,2,4,6,8}$ . Делимость на $3$ : Сумма цифр $5+ 4+ 1+ 7+∗ =17+ ∗$ должна делиться на $3$ . Перебираем возможные значения из множества ${0,2,4,6,8}$ :

$∗ =0$ : $17+ 0= 17$ - не делится на $3$ .
$∗ =2$ : $17+ 2= 19$ - не делится на $3$ .
$∗ =4$ : $17+ 4= 21$ - делится на $3$ .
$∗ =6$ : $17+ 6= 23$ - не делится на $3$ .
$∗ =8$ : $17+ 8= 25$ - не делится на $3$ .

Только при $∗= 4$ выполняются оба условия (делимость на $2$ и на $3$ ). Значит, $∗= 4.$

Ответ:

(a) $0,2,4,6,8$

(b) $7$

(d) $4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124814

Туристов можно посадить в лодки по $12$ человек или по $8$ человек в каждую. В том и другом случае свободных мест не останется. Сколько было туристов, если их больше $80,$ но меньше $100?$

Источники: Инфоурок, Делимость чисел (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ - количество туристов. По условию задачи, $x$ делится на $12$ и на $8.$ Значит, $x$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел $12$ и $8.$

Найдём НОК( $12,8$ ):

$2 12 =2 ⋅3$

$3 8= 2$

НОК( $12,8$ ) $3 =2 ⋅3 =24$

Значит, количество туристов $x$ должно быть кратно $24.$

Кратные числа $24$ : $24,48,72,96,120,...$ По условию задачи, $80 <x <100.$ Единственное число из полученной последовательности, удовлетворяющее этому условию, - это $96.$

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124815

Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы число $67∗$ делилось на $2,$ но не делилось на $4?$

Источники: Инфоурок, Делимость чисел (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы число $67∗$ делилось на $2,$ последняя цифра (звёздочка) должна быть чётной. Возможные значения: $0,2,4,6,8.$

Чтобы число $67∗$ не делилось на $4,$ число, образованное двумя последними цифрами ( $7∗$ ), не должно делиться на $4.$

Проверим каждый из вариантов:

Если $∗ =0,$ получаем $70$ . $70÷ 4= 17.5$ (не делится на $4$ )
Если $∗ =2,$ получаем $72$ . $72÷ 4= 18$ (делится на $4$ )
Если $∗ =4,$ получаем $74$ . $74÷ 4= 18.5$ (не делится на $4$ )
Если $∗ =6,$ получаем $76$ . $76÷ 4= 19$ (делится на $4$ )
Если $∗ =8,$ получаем $78$ . $78÷ 4= 19.5$ (не делится на $4$ )

Подходят цифры $0,4,8.$

Ответ: 0, 4, 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124816

Запишем подряд цифры от $1$ до $9,$ получим число $123456789.$ Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?

Источники: Малый мехмат МГУ, Признаки делимости (см. mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

Легко проверить, что сумма цифр этого числа равна $45$ и делится на $9.$ Значит, в силу признака делимости на $9$ и само число делится на $9$ и потому составное. При любой перестановке цифр числа сумма этих цифр не изменяется, поэтому число будет по-прежнему делиться на $9$ (а значит, будет составным).

Ответ: Составное, не изменится.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124817

Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?

Источники: Малый мехмат МГУ, Признаки делимости (см. mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

У Тани есть следующая выигрышная стратегия: после очередного хода Даши она должна дописать к числу такую цифру, чтобы в результате сумма цифр числа делилась на $3$ . Это всегда можно сделать (более того, для этого Тане достаточно использовать цифры $0,1$ и $2).$ Тогда после каждого хода Тани (в том числе после последнего) написанное на доске число будет делиться на 3, и Таня выиграет.

Ответ: Таня выиграет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124818

В стране Цифра есть $9$ городов с названиями $1,2,3,4,5,6,7,8,9.$ Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на $3.$ Можно ли добраться из города $1$ в город $9?$

Источники: Малый мехмат МГУ, Признаки делимости (см. mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

Решение

Город $9$ соединён авиалиниями только с городами $3$ и $6,$ а города $3$ и $6$ соединены только между собой и с городом $9.$ (Это можно проверить непосредственно, а можно упростить проверку, пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города $9$ нельзя добраться до города $1.$ Стало быть, невозможно добраться и из города $1$ в город $9.$

Ответ: Добраться из города 1 в город 9 нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124819

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на $3,$ и на $4.$ Какой код может открывать сейф?

Источники: Малый мехмат МГУ, Признаки делимости (см. mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

В силу признака делимости на $4$ код может оканчиваться только цифрами $32$ (другие двузначные числа, составленные из цифр $2$ и $3,$ не делятся на $4).$

Двоек в коде больше, чем троек; значит, двоек не меньше четырёх, а троек не больше трёх. Если в коде четыре двойки и три тройки, то сумма цифр кода равна $2⋅4+ 3⋅3= 17$ и не делится на $3,$ поэтому и сам код не делится на $3.$ По аналогичной причине код не может состоять из пяти двоек и двух троек (тогда сумма цифр была бы равна $2⋅5+ 3⋅2= 16).$ Значит, код может состоять только из одной тройки и шести двоек (тогда сумма цифр равна $2⋅6+ 3⋅1= 15$ и код делится на $3).$

Положение единственной тройки в коде мы уже определили, а остальные цифры умножим двойки. Значит, подходит только код $2222232.$

Ответ: 2222232

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124820

Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться $4704?$

Источники: Малый мехмат МГУ, Признаки делимости (см. mmmf.msu.ru)

Показать ответ и решение

Если число делится на $3,$ то в силу признака делимости и его сумма цифр делится на $3.$ Тогда произведение числа и суммы его цифр делится на $9.$ Если же число не делится на $3,$ то и сумма его цифр не делится на $3,$ значит, и произведение числа и суммы его цифр не делится на $3.$

Таким образом, произведение числа на сумму его цифр либо делится на $9,$ либо не делится на $3.$ А число $4704$ делится на $3,$ но не делится на $9.$

Ответ: Не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124821

$1)$ При делении одного и того же числа на $5$ и на $9$ получаются одинаковые частные, но при делении на $5$ получается остаток $4,$ а деление на $9$ выполняется без остатка. Какое число делили?

$2)$ При делении одного и того же двузначного числа на $13$ и на $14$ получаются одинаковые частные, но при делении на $13$ получается остаток $8,$ а при делении на $14$ - остаток $4.$ Какое число делили?

Источники: М.И.Моро, Математика 3 кл, 2 часть (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Решение задачи 1

Пусть $x$ - делимое число, а $q$ - частное. Тогда можем записать следующие уравнения:

$pict$

Приравниваем правые части уравнений:

5q+ 4= 9q

Решаем уравнение относительно $q$ :

4 =9q− 5q

4= 4q

q = 1

Подставляем значение $q$ во второе уравнение, чтобы найти $x$ :

x= 9⋅1= 9

Ответ: Делили число $9.$

Решение задачи 2

Пусть $x$ - делимое число, а $q$ - частное. Тогда можем записать следующие уравнения:

$pict$

Приравниваем правые части уравнений:

13q+ 8= 14q+ 4

Решаем уравнение относительно $q$ :

8− 4= 14q− 13q

4= q

Подставляем значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $x$ :

x= 13 ⋅4 +8= 52+ 8= 60

Проверяем по второму уравнению:

x= 14 ⋅4 +4= 56+ 4= 60

Число $60$ подходит, и оно является двузначным.

Ответ: Делили число $60.$

Ответ: 1) 9; 2) 60

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124822

Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел всегда делится на $6.$

Источники: Учи.ру (см. uchi.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первое четное число равно $2n.$

Тогда следующие два четных числа $⇒ 2n +2$ и $2n+ 4.$ Их сумма равна:

$2n +(2n+ 2)+(2n+ 4)= 6n+ 6= 6(n +1).$

Так как сумма выражается как $6,$ умноженное на целое число $(n+1),$ то сумма всегда делится на $6.$

Ответ: Делится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124823

Найдите наибольшее трехзначное число, которое делится на $15.$

Источники: Учи.ру (см. uchi.ru)

Показать ответ и решение

Наибольшее трехзначное число - это $999.$ Разделим $999$ на $15$ с остатком: $999 =15⋅66+ 9.$

Значит, наибольшее трехзначное число, которое делится на $15,$ это $999− 9= 990.$

Ответ: 990

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#124824

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на $2,3,4,5$ и $6$ дает в остатке $1,$ и кроме того, делится на $7$ .

Источники: Ответы mail.ru (см. otvet.mail.ru)

Показать ответ и решение

Искомое число имеет вид $N =60k+ 1$ , где $k$ - целое число (так как любое число, дающее остаток $1$ при делении на $2,3,4,5$ и $6,$ можно представить в таком виде, а $60$ - это НОК $(2,3,4,5,6)).$ Нам нужно найти наименьшее $k$ такое, что $N$ делится на $7$ . Иначе говоря, нам нужно найти наименьшее $k$ , для которого $60k+ 1$ делится на $7$ .

Можно проверить несколько значений $k$ :

$k =1 :60(1)+1= 61$ . $61$ не делится на $7$ .
$k =2 :60(2)+1= 121$ . $121$ не делится на $7$ .
$k =3 :60(3)+1= 181$ . $181$ не делится на $7$ .
$k =4 :60(4)+1= 241$ . $241$ не делится на $7$ .
$k =5 :60(5)+1= 301$ . $301 :7 =43$ .

Значит, $301$ делится на $7$ .

Следовательно, наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям - это $301.$

Ответ: 301

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124825

Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, кратна $11.$

Источники: dzen, Делимость чисел (см. dzen.ru)

Показать ответ и решение

Пусть двузначное число имеет вид $ab,$ где $a$ - цифра десятков, а $b$ - цифра единиц. Тогда число $ab$ можно представить как $10a+ b.$ Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $ba$ и может быть представлено как $10b+ a.$ Сумма этих двух чисел равна:

$(10a+ b)+ (10b+ a)=10a+ a+ 10b+ b= 11a+11b= 11(a+ b).$

Так как сумма выражается как $11,$ умноженное на целое число $(a+ b),$ то сумма всегда делится на $11.$ Следовательно, сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, кратна $11.$

Ответ: Получившееся сумма будет кратна 11