Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения величины

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2348

На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $t$ товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $2t$ товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн рублей.

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции. Пусть на втором заводе рабочие трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $2p$ товаров. Тогда по условию $600 = t+2p.$ Так как заработная плата в час составляет $300$ рублей, то сумма, которую должен заплатить Александр в неделю на зарплату рабочим, равна

2 2 A = 300(t + p )

Выразим $t= 600− 2p$ и подставим в выражение для зарплаты:

2 2 A = A(p)= 300(5p − 4⋅600⋅p+ 600 )

Таким образом, необходимо найти минимальное значение функции $A(p),$ если $2p$ — целое неотрицательное число товаров. При этом $2p$ не превышает 600, так как иначе количество товаров $t$ будет отрицательным.

Заметим, что $A (p)$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке

4⋅600 p0 = 2⋅5 =240

Следовательно, $p0$ и есть точка минимума, причем $2p0 ∈[0;600]$ — подходит. Следовательно, при $p = 240$ значение функции будет наименьшим. Тогда имеем:

t= 600 − 2p = 600 − 480 =120

Таким образом, наименьшая сумма в рублях равна

2 2 Amin = 300⋅(240 +120 )= 21600000

Ответ: 21,6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2349

Андрей владеет двумя заводами. Если на заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $t$ товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет 200 рублей, а на втором — 300 рублей. Андрей хочет выделять на заработную плату рабочим в неделю 2,7 млн рублей и при этом получать наибольшее количество произведенных товаров. Определите, сколько в этом случае должно быть произведено товаров на каждом заводе.

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции; пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $p$ продукции. Следовательно, необходимо найти такие целые неотрицательные $p$ и $t$ , чтобы значение величины $T = t+ p$ было наибольшим. Так как заработная плата в час на первом заводе составляет 200 рублей, а на втором — 300 рублей, то $2700000 = 200t2+ 300p2.$

Выразим $t= T − p$ и подставим в уравнение:

2 2 2 2 2700000= 200(T − p) +300p ⇔ 5p − 4T p+ 2T − 27000= 0

Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант неотрицателен:

2 2 2 D =16T − 4 ⋅5(2T − 27000)= 4⋅5⋅27000− 24T ≥ 0

Отсюда получаем, что

2 5 ⋅27000 2 2 2 T ≤ ---6--- = 5 ⋅10 ⋅3

Следовательно, $T ∈[0;150],$ учитывая, что $T ≥ 0,$ так как это количество продукции. Следовательно, наибольшее возможное $T = 150.$

Тогда

p= 4⋅150 =60 ⇒ t =150− 60 =90 2⋅5

Ответ: 60 и 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2766

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на первом заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $t$ единиц продукции. Если на втором заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $2t$ единиц продукции. Заработная плата на обоих заводах для одного рабочего составляет $300$ рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в день оба завода, если на зарплату в день рабочим выделяется $2166000$ рублей.

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции; пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $2p$ продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины $T = t + 2p$ . Так как заработная плата в час составляет $300$ рублей, то $2 2 2166000 = 300(t + p )$ .
Выразим $t = T − 2p$ и подставим в уравнение:

2166000 = 300((T − 2p)2 + p2) ⇔ 5p2 − 4Tp + T 2 − 7220 = 0

Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

2 2 2 D = 16T − 4 ⋅ 5 (T − 7220) = 4 ⋅ 5 ⋅ 7220 − 4T ≥ 0

Отсюда получаем, что $T 2 ≤ 5 ⋅ 7220 = 52 ⋅ 22 ⋅ 192$ , следовательно, $T ∈ [0; 190]$ (учитывая, что $T ≥ 0$ , так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное $T$ – это $T = 190$ .
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для $t$ и $2p$ (так как это количество продукции).
При $T = 190$ дискриминант $D = 0$ , следовательно,

4 ⋅ 190 p = --2 ⋅ 5-= 76 ⇒ 2p = 152 ⇒ t = 190 − 152 = 38.

Таким образом, проверка удалась и ответом является $T = 190$ .

Ответ: 190

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1018

В прямоугольной комнате площадью 42 $м2$ требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 280 рублей. При каких целых линейных размерах комнаты в метрах затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть ширина комнаты равна $a$ м, а длина — $b$ м. Тогда $a⋅b= 42$ и $42 a= b .$ Запишем, сколько составят затраты в рублях на плинтус:

( ) Sum = 280⋅2(a+ b)= 280 ⋅2 b+ 42 b

Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения $b+ 42. b$ Рассмотрим функцию $f(x)= x+ 42. x$ Найдем ее производную: $f′(x) =1 − 422. x$ Приравняем производную к нулю:

′ √ -- f (x) =0 ⇒ x= ± 42

Так как $0< x ≤ 42,$ потому что это ширина комнаты площадью 42 $м2,$ то при $-- 0< x < √42$ функция $f(x)$ убывает, а при $√ -- 42< x≤ 42$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в точке $√ -- x= 42.$ Но так как $x$ — целое, а $√ -- 6 < 42< 7,$ то наименьшее значение будет достигаться либо при $x= 6,$ либо при $x= 7.$

Если $x = 6,$ то есть $b =6,$ то $a= 7.$ И наоборот, если $x= b= 7,$ то $a= 6.$ Следовательно, размеры комнаты $6 ×7.$

Второй способ.

Разложим 42 на простые множители: $42= 2⋅3 ⋅7.$

Так как ширина и длина — целые числа, то возможные варианты:

2× 21, 3× 14, 6× 7, 1 ×42

Тогда затраты на плинтус в рублях в этих случаях составят соотвественно:

280⋅2(2+ 21), 280 ⋅2(3+ 14), 280⋅2(6 + 7), 280⋅2(1+ 42)

Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты $6× 7.$

Ответ:

$6 ×7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2352

Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство.

При этом через год эффективность инвестирования ожидается в размере 250%, то есть вложенная в производство сумма $x$ млн рублей оборачивается в капитал $2,5x$ млн рублей. После этого отчисляются деньги на издержки производства, которые задаются квадратичной зависимостью $0,0022x2$ млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%.

Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?

Показать ответ и решение

Пусть в банк было вложено $A$ млн рублей, а в производство — $B$ млн рублей. Тогда $A + B = 400.$

Через год на счету в банке будет $1,12A$ млн рублей, а вложенная в производство сумма обернется в $2,5B$ млн рублей. На издержки отдадут $0,0022B2$ млн рублей, тогда останется $2,5B − 0,0022B2$ млн рублей. Эта сумма облагается налогом в 20%, то есть остается от этой суммы только 80%, или $0,8⋅(2,5B − 0,0022B2).$

Таким образом, доход по истечении одного года будет равен

2 P = 1,12A+ 0,8 ⋅(2,5B− 0,0022B )

Необходимо найти максимальное значение этого выражения, зная, что $A + B =400.$ Тогда прибыль будет равна $P − 400.$ Выразим $A = 400− B$ и подставим в выражение для $P :$

P = −0,8⋅0,0022B2+ 0,88B + 448

Данная функция является квадратичной, ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, максимальное значение функция принимает в вершине параболы:

----−-0,88----- B0 = 2⋅(−0,8⋅0,0022) = 250

Следовательно, при $B = 250$ и $A = 150$ выражение $P$ принимает наибольшее значение $P(250)= 558.$ Тогда максимальная прибыль равна $558− 400= 158$ млн рублей.

Ответ:

В банк 150 млн рублей, в производство 250 млн рублей

Прибыль составит 158 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2374

Компания изготавливает и продает изделия. Если одно изделие стоит 2000 рублей, то реализуется 1000 штук изделий. При снижении средней цены одного изделия на 50 рублей объемы реализации возрастают на 50 штук. При какой цене фирма получит максимальный доход и каково его значение?

Показать ответ и решение

Пусть цена изделия снижалась $k$ раз. Тогда цена изделия равна $2000− 50k$ рублей, а количество изготовленных изделий равно $1000+ 50k.$ Тогда доход фирмы равен

2 D (k) =(1000+ 50k)(2000− 50k) =50 (20+ k)(40− k)

Нужно найти наибольшее значение функции $D(k).$ Заметим, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине $k0 = 10.$ Тогда максимальный доход в рублях равен

2 Dmax = 50(20+ 10)(40− 10)= 2250000

При этом цена изделия в рублях равна

2000 − 50 ⋅10 = 1500

Ответ:

1500 рублей и 2250000 рублей

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2561

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y2$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Показать ответ и решение

В сумме в каждой области имеется 200 человеко-часов труда. Заметим, что в первой области производительность алюминия и никеля одинаковая.

В первой области суммарно в день можно произвести максимум 40 кг металла.

Если $x2$ и $y2$ — количество человеко-часов, затраченных во второй области на производство алюминия и никеля соотвественно, то $x2+ y2 = 200$ и во второй области производится $√------- x + 200− x2$ кг металла.

Заметим, что вне зависимости от того, сколько кг алюминия и никеля будет произведено во второй области, мы сможем в таких пропорциях произвести никель и алюминий в первой области, что суммарная масса алюминия в обеих областях и суммарная масса никеля в обеих областях будут одинаковыми. Например, если во второй области произвели $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля, то в первой области можно произвести $((40+ x+ y):2− x)$ кг алюминия и $((40+ x+ y):2− y)$ кг никеля. При этом оба выражения заведомо положительны, поскольку $x$ и $y$ принимают значения не более $√ --- 200.$

Пример в числах: если во второй области произведут 3 кг алюминия и 5 кг никеля, то в первой области нужно произвести 21 кг алюминия и 19 кг никеля. Тогда у нас не останется лишнего алюминия или никеля при производстве сплава, так как пропорции алюминия и никеля для производства сплава одинаковы.

Следовательно, наибольшее количество сплава будет произведено тогда, когда во второй области суммарная масса произведенных металлов будет наибольшей.

Следовательно, нужно найти наибольшее значение выражения

f(x)= x+ ∘200-−-x2

Найдем производную:

′ ----x---- f = 1− √ 200− x2

Тогда $′ f = 0 ⇒ x = 10.$

$x= 10$ — точка максимума функции $f(x),$ следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно

∘ -------- f(10)= 10 + 200− 102 = 20

Таким образом, всего в обеих областях будет произведено $20+ 40 = 60$ кг металлов, из которых получится сплав массой 60 кг.

В этом случае во второй области произведут 10 кг алюминия и 10 кг никеля, тогда в первой области произведут 20 кг алюминия и 20 кг никеля.

Ответ: 60 кг

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#11188

Федор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. Если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $25t3$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ изделий. Если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t3$ часов в неделю, то они производят $t$ изделий. За каждый час работы на каждом из заводов Федор платит рабочему 360 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 изделий. Какую наименьшую в млн рублей сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Показать ответ и решение

Час работы стоит одинаково независимо от того, на каком заводе он выполнен, следовательно, минимизация затрат равносильна минимизации общего числа часов работы. Обозначим через $x$ количество изделий, которые производит первый завод, тогда второй завод должен производить $30 − x$ изделий. Тогда количество часов, необходимое для производства этих изделий, составит

f(x)= 25x3 +(30− x)3 = 24x3 +90x2− 2700x+ 27000

Нам нужно минимизировать эту функцию на отрезке $[0;30],$ так как $x$ может принимать только целые значения из этого отрезка. Найдем производную $f′$ и ее нули:

f′(x)= 72x2+ 180x − 2700 2 72x +⌊ 180x− 2700= 0 x = −7,5 ⌈ x = 5

При $x∈ (−7,5;5)$ производная отрицательна, следовательно, $f$ убывает; при $x >5$ производная положительна, следовательно $f$ возрастает. Таким образом, на отрезке $[0;30]$ функция $f$ убывает на $[0;5)$ и возрастает на $(5;30],$ значит, ее минимум достигается при $x= 5.$ Тогда минимальные еженедельные затраты на зарплату составляют

3 2 360⋅f(5) =360⋅(24⋅5 + 90⋅5 − 2700 ⋅5+ 27000)= 6750000

Ответ: 6,75 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#11189

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 26 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах.

Если на строительстве первого дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $3t2$ денежных единиц. Если на строительстве второго дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $4t2$ денежных единиц. Дополнительные суточные накладные расходы, то есть транспорт, питание и тому подобное, обходятся в 4 денежных единицы в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 денежных единицы при строительстве второго дома.

Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание, то есть суточная зарплата и суточные накладные расходы, оказались наименьшими? Сколько денежных единиц в сумме при таком распределении составят все суточные затраты, то есть зарплата и накладные расходы?

Показать ответ и решение

Обозначим через $x$ количество рабочих, отправленных на строительство первого дома, тогда оставшиеся $26 − x$ будут отправлены на строительство второго дома. Тогда суточные затраты на первую бригаду составят

S1 = 3x2+ 4x

Суточные затраты на вторую бригаду составят

2 2 S2 = 4(26− x) + 3(26 − x) =4x − 211x+ 2782

Нам нужно минимизировать суммарные суточные расходы на две бригады, то есть минимизировать сумму

2 2 2 f(x)= S1+ S2 =(3x + 4x)+ (4x − 211x+ 2782) =7x − 207x+ 2782

на отрезке $[0;26],$ так как $x$ может принимать только целые значения из этого отрезка. График функции $f(x)= 7x2− 207x + 2782$ — это парабола ветвями вверх с вершиной в точке

x0 = − −-207= 207 =1411 2⋅7 14 14

Точка $x0$ принадлежит интересующему нас отрезку, она является глобальным минимумом параболы. Нас же интересует минимум в целой точке, он достигается в одной из двух ближайших к $x0$ целых точек: 14 (ближайшая слева) или 15 (ближайшая справа).

Расстояние от 14 до $x0$ равно $1114,$ расстояние от 15 до $x0$ равно $134.$ Мы знаем, что чем дальше от вершины мы отклонимся, тем больше будет значение функции $f,$ следовательно, наименьшее значение достигается в точке 15, которая ближе к $x0.$ Можно было просто подставить обе точки в $f$ и найти наименьшее значение. Получаем, что минимальные суммарные суточные затраты составляют

2 f(15)= 7⋅15 − 207 ⋅15 +2782= 1252

Ответ:

15 рабочих на первый дом, 11 рабочих — на второй

Суточные затраты составят 1252 денежные единицы

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#11191

На трех заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе в течение месяца будут трудиться $t$ рабочих, то первый завод выпустит $3t2$ единиц продукции, а второй и третий по $t2$ единиц. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет 40 тыс. рублей в месяц, на втором заводе — 20 тыс. рублей в месяц, на третьем — 30 тыс. рублей в месяц. Также известно, что на втором заводе рабочих вдвое меньше, чем на первом, а суммарное число рабочих на трех заводах равно 40. Определите, какое наибольшее количество единиц продукции может быть выпущено на заводах за месяц, учитывая, что общий бюджет на зарплаты составил не более 1400000 рублей.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ количество рабочих на втором заводе, тогда на первом заводе $2x$ рабочих, а на третьем заводе $40− 3x$ рабочих. Причем количество рабочих на каждом из заводов должно быть целым неотрицательным, то есть

( ||| x∈ ℤ |||{ 2x≥ 0 ⇔ 0≤ x ≤13, x∈ ℤ ||||| x≥ 0 |( 40− 3x≥ 0

Запишем условие, что суммарные зарплаты по всем рабочим не превышают указанного бюджета в 1400 тыс. рублей:

$pict$

Запишем функцию $f$ зависимости суммарного количества единиц выпущенного товара при заданном распределении рабочих по заводам:

f(x)= 3⋅(2x)2+ x2+ (40 − 3x)2 = 22x2− 240x+ 1600

Графиком этой функции является парабола. От нас требуется найти ее максимальное значение при условии, что

(| ||{x ∈ℤ |0≤ x ≤ 13 ⇔ 0≤ x≤ 13, x ∈ℤ ||(x ≤20

Абсцисса вершины параболы равна

−240- 60 x0 =− 2⋅22 = 11

Она принадлежит отрезку $[0;13],$ ветви параболы направлены вверх, значит, максимум функции достигается в одном из концов отрезка:

$pict$

Получаем, что наибольшее возможное количество произведенных единиц товара равно

max(f(0),f(13)) =2198

Ответ: 2198

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#11463

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5x2 + 2x+ 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

px − (0,5x2 +2x + 6).

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.

При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Показать ответ и решение

По условию прибыль

D = px− (0,5x2 + 2x+ 6) = − 0,5x2 + x(p− 2)− 6.

Так как $D (x)$ — квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом при квадрате переменной, наибольшее значение достигается в его вершине, т. е. $x = -p−-2-= p− 2 2⋅0,5$ При этом ежегодная прибыль

2 2 (p − 2)2 D = − 0,5(p− 2) + (p− 2) − 6 =--2----− 6

Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если

$( ) (p-−-2)2- 2 − 6$ ⋅ 3 ≥ 78 ⇔ p² − 4p − 60 ≥ 0 ⇔ p ∈ (−∞;−6] ∪ [10;+∞).

Отсюда следует, что наименьшее значение $p = 10$ .

Ответ: 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#12302

На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления $t$ деталей (и А, и В) требуется $t2$ человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна или 1 деталь А, или 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Показать ответ и решение

Заметим, что на первом комбинате производительность труда одного рабочего в три раза выше при изготовлении детали В, чем при изготовлении детали А, и поскольку детали А и В взаимозаменяемы, то поэтому всех рабочих целесообразно направить на изготовление деталей В. Тогда получим количество деталей В, изготовленных на первом комбинате $200 ⋅3 = 600$ шт.

На втором комбинате рабочих надо распределить таким образом, чтобы количество изготавливаемых деталей было максимальным. Пусть $x$ — количество деталей А и на их изготовление потребуется $x2$ человеко-смен, $y$ — количество деталей В и на их изготовление потребуется $y2$ человеко-смен, тогда $x2+ y2 = 200,$ так как на втором комбинате тоже работает 200 человек. Надо найти наибольшее значение выражения $(x+ y)$ — количество изготавливаемых деталей на втором комбинате.

Решим задачу графически. Пусть $x +y = a,$ тогда $y = −x + a.$ Таким уравнением задаётся множество всех прямых, параллельных биссектрисе II и IV четвертей графика. Уравнение $x2+ y2 = 200$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $√ --- 200.$

$PIC$

Наибольшее значение a достигается, когда прямая $x+ y = a$ касается окружности. Треугольник $OHA$ — прямоугольный и равнобедренный:

√- √--- √- OA = 2OH = 200⋅ 2 = 20

Получили, что на втором комбинате изготавливают максимальное количество деталей А и В в количестве 20 шт.

Значит, в сумме рабочие будут делать $600 +20 = 620$ деталей за смену и поставлять их на комбинат, чтобы собрать 620 изделий.

Ответ: 620 изделий

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#12303

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Показать ответ и решение

Пусть в первой шахте алюминий добывают $x$ человек, а во второй — $y$ человек.

|------|---------------------------------|--------------------------------------------| | | Алюм иний | Никель | |------|-------------------|-------------|--------------------|-----------------------| | |Кол- во человеко- часов |Кол-во металла Кол- во человеко- часов | Кол-в | I | 5x | 5x ⋅2= 10x | 5(60 − x) | 5(60− x)⋅3= 900− 15x | |------|-------------------|-------------|--------------------|-----------------------| |-II---|--------5y---------|--5y⋅3=-15y--|------5(260−-y)------|-5(260−-y)⋅2=-2600−-10y-| |I + II| | 10x +15y | |(900−=1355x0)0+− (12650x0−−1100yy)= | ---------------------------------------------------------------------------------------

Для производства сплава требуется алюминий и никель в пропорции $2:1,$ тогда имеем:

---10x+-15y---= 2 ⇒ x = 1400-− 7y 3500− 15x− 10y 8

Учитывая, что $0 ≤ x≤ 60,$ получим

1400−-7y x= 8 ≥0 ⇒ y ≤ 200

Чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава, шахты должны поставлять наибольшее количество алюминия и никеля. Составим выражение для общего количества производимых металлов:

NА +Н = NА + NН =10x +15y+ 3500− 15x− 10y = 1400− 7y 21000+ 75y = 3500+ 5y− 5x= 3500+ 5y− 5⋅---8----= -----8----

Выражение $21000+-75y- 8$ принимает наибольшее значение при максимальном значении $y =200$ и равно 4500.

Таким образом, 200 человек во второй шахте добудут 3000 кг алюминия, а в первой шахте никто алюминий не добывает, то есть $x= 0.$ Никеля в первой шахте 60 человек добудут 900 кг, а во второй шахте 60 человек добудут 600 кг. Наибольшее количество сплава из такого количества поставляемого алюминия и никеля будет произведено 4500 кг.

Ответ: 4 500 кг

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#12946

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x2+2x +6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы в млн рублей за один год составит $( ) px− 0,5x2+ 2x+ 6 .$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p= 10,$ а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Показать ответ и решение

Найдем такое количество производимой продукции $x,$ при котором прибыль фирмы будет наибольшей при фиксированном $p.$ Для этого нам мужно найти максимум выражения $( ) px − 0,5x2 +2x +6 .$

( 2 ) 2 px − 0,5x + 2x+ 6 = −0,5x +(p− 2)x− 6= = − 0,5(x2− 2(p − 2)x+ 12)= ( 2 2 2 ) = −0,5 x − 2(p − 2)x+ (p− 2)− (p− 2) +12 = = − 0,5(x− p+ 2)2 +0,5(p− 2)2− 6

Заметим, что $− 0,5(x − p+ 2)2 ≤ 0,$ поэтому

− 0,5(x− p+ 2)2+0,5(p − 2)2− 6≤ 0,5(p− 2)2− 6

Значит, максимальное значение выражения $( ) px− 0,5x2+ 2x+ 6$ равно $0,5(p− 2)2− 6$ и достигается при $x− p+ 2= 0.$ Отсюда $x =p − 2,$ то есть за каждый год фирма будет зарабатывать $0,5(p− 2)2− 6$ млн рублей.

В первый год $p = 10.$ Тогда прибыль фирмы за этот год составит $0,5(10− 2)2 − 6 = 26 < 159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за второй год составит $2 0,5(11− 2) − 6= 34,5$ млн рублей, так как $p= 11.$ Значит, за первые два года фирма заработает $26 +34,5= 60,5 <159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за третий год составит $0,5(12− 2)2− 6= 44$ млн рублей, так как $p = 12.$ Значит, за первые три года фирма заработает $60,5+ 44= 104,5$ млн рублей.

Прибыль фирмы за четвертый год составит $0,5(13− 2)2 − 6 = 54,5$ млн рублей, так как $p = 13.$ Всего за первые четыре года фирма заработает $104,5+ 54,5= 159$ млн рублей. Значит, строительство окупится за 4 года.

Ответ: 4 года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#14097

Зависимость количества $Q$ в шт. при условии $0≤ Q ≤ 15000$ купленного у фирмы товара от цены $P$ в руб. за шт. выражается формулой $Q = 15000 − P.$ Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей при условии $0< t< 10000$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ − 3000Q − 1000000− tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Показать ответ и решение

Из условия $Q = 15000− P,$ то есть $P = 15000− Q,$ подставим $P = 15000− Q$ в формулу прибыли фирмы:

P Q − 3000Q − 1000000− tQ = =(15000− Q)Q− 3000Q − 1000000− tQ = = −Q2 + 15000Q − 3000Q − tQ − 1000000 = 2 = −Q + Q⋅(12000 − t)− 1000000

Получили, что функция прибыли — квадратичная функция от $Q.$ Из условия прибыль максимальна. График функции — парабола, ветви которой направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы. Найдем её:

Qверш. = −(12000−-t)= 6000− t − 2 2

Таким образом, прибыль максмальна при

t Q = Qверш. = 6000− 2.

Подставим это значение в формулу для общей суммы налогов:

2 tQ = 6000t− t- 2

Нам нужно найти $t,$ при котором сумма налогов, собранных государством, максимальна, то есть надо найти точку максимума функции $6000t− t2. 2$ Это квадратичная функция, график которой — парабола, её ветви направлены вниз, то есть максимум достигается в вершине параболы

− 6000 tверш. = 2⋅(− 1) 2

Получили, что максимум суммы налогов достигается при $t =tверш. = 6000,$ что удовлетворяет условию $0< t< 10000.$

Ответ: 6000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#15892

Необходимо из круглого бревна радиусом $R$ выпилить прямоугольную балку таким образом, чтобы количество отходов было наименьшим.

Показать ответ и решение

Посмотрим на бревно на срезе: отметим, что для минимизации отходов необходимо, чтобы вершины прямоугольника торца балки принадлежали окружности бревна. Обозначим стороны торца балки $a$ и $b$ .

$PIC$

Посмотрим на рисунок: минимальные отходы мы получим, очевидно, когда соотношение площадей прямоугольника и круга будет максимальным. Иначе говоря, тогда балка будет занимать как можно больший объем бревна.

Площадь круга равна $πR2$ , запишем соотношение площадей:

a⋅b πR2-→ max

В новой задаче нам неизвестны стороны бревна, значит выразим площадь прямоугольника иначе: $Sпрямоуг. = R2 sinα + R2 sin(π− α) = 2R2sinα$ .

Теперь наше соотношение:

$pict$

Максимальное значение синуса - единица, оно достигается при $α = π- 2$ . Получается, угол между диагоналями прямоугольника прямой, значит это квадрат и $b = a$ . Осталось выразить $a$ через радиус бревна: $√--2---2 √ - a = R + R = R 2$ .

Ответ:

Торец балки должен быть квадратом со стороной $R√2-$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#15893

Дан кусок стальной проволоки длиной $2P$ . Какую наибольшую площадь прямоугольного участка земли можно огородить данным куском проволоки?

Показать ответ и решение

Обозначим стороны прямоугольного участка как $a$ и $b$ : $2P = 2a + 2b ⇒ P = a + b ⇒ b = P − a$ . Площадь прямоугольного участка тогда будет равна $S = a⋅b = a ⋅(P − a) = − a2 + aP$ . Это квадратичная функция, при этом ветви ее графика-параболы направлены вниз за счет отрицательного коэффициента при $a2$ . Значит, ее максимум находится в точке:

′ P S = − 2a + P = 0 ⇒ a = 2.

Весь периметр — это $2P$ , значит сторона $a$ — это одна четвертая периметра. Отсюда следует, что участок земли квадратный, и его максимальная площадь

( )2 ( )2 S = a2 = 2P- = P- . 4 2

Ответ:

$P 2 -4-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#22954

Консервный завод выпускает фруктовые компоты в таре двух видов — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров компотов в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, в таре каждого из видов должно быть выпущено не менее 20 центнеров продукции. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.


Вид тары	Себестоимость, 1 ц.	Отпускная цена, 1 ц.

Стеклянная	1500 руб.	2100 руб.

Жестяная	1100 руб.	1750 руб.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — доля мощностей завода, занятых под производство компотов в стеклянной таре, а $y$ — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяной таре. Тогда $x+ y = 1$ , при этом компотов в стеклянной таре производится $90x$ центнеров, а в жестяной таре — $80y$ центнеров.

По условиям ассортиментности $90x≥ 20$ и $80y ≥ 20$ , то есть $x ≥ 29$ и $y ≥ 14$ .

Дополним таблицу из условия столбцом «Прибыль на 1 ц.», причём значение в каждой ячейке этого столбца равно разности соотвествующих значений в ячейках столбцов «Отпускная цена, 1 ц.» и «Себестоимость, 1 ц.»:


Вид тары	Себестоимость, 1 ц.	Отпускная цена, 1 ц.	Прибыль на 1 ц.

Стеклянная	1500 руб.	2100 руб.	600 руб.

Жестяная	1100 руб.	1750 руб.	650 руб.

Тогда прибыль завода в день равна $90x ⋅600 +80y⋅650$ рублей. Найдём максимальное значение этого выражения, если $x +y = 1$ , $x≥ 29$ и $y ≥ 14$ . Для начала преобразуем выражение $90x ⋅600 +80y⋅650$

90x⋅600+ 80y⋅650= 54000x +52000y = 2000⋅(27x +26y)= 2000⋅(27(1 − y)+ 26y)= 2000⋅(27 − y)

Значит, нам нужно найти максимум выражения $27− y$ при условии, что $x + y = 1$ , $x ≥ 29$ и $y ≥ 14$ . Выражение $27− y$ принимает максимальное значение, когда значение $y$ минимально, то есть при $y = 1 4$ . При $y = 1 4$ имеем $x= 1− y = 3> 2 4 9$ . Значит, условия $x+ y =1$ , $2 x≥ 9$ и $1 y ≥ 4$ выполняются. Тогда максимальная возможная прибыль завода равна

3 90x ⋅600+ 80y⋅650= 2000⋅(27− y)= 2000⋅264 = 52000 +1500= 53500

рублей.

Ответ: 53500 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#44713

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Показать ответ и решение

Пусть в отеле $x$ стандартных номеров и $y$ номеров класса «люкс». Тогда стандартные номера будут занимать площадь в $27x$ квадратных метров, а номера класса «люкс» — площадь в $45y$ квадратных метров. Так как общая площадь, которую мы можем отвести под номера, составляет 981 квадратный метр, то

27x+ 45y ≤ 981 ⇔ x≤ 981-− 45y 27

Доход, полученный предпринимателем за одни сутки, составит

2000x+ 4000y = 2000(x +2y)

Так как требуется найти наибольшую сумму, которую предприниматель сможет заработать за одни сутки, то нужно максимизировать значение выражения $2000(x + 2y),$ то есть $x+ 2y.$

Тогда

981−-45y- 981−-45y+-54y- 981+-9y x +2y ≤ 27 + 2y = 27 = 27

Оценим $y.$ Заметим, что площадь всех номеров класса «люкс» не может превышать общую площадь, которую можно отвести под номера, то есть

45y ≤ 981 ⇒ y ≤ 981-= 21,8 45

Значит,

981+ 9⋅21,8 1177,2 x+ 2y ≤----27-----= --27- = 43,6

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x +2y$ тоже целое, то есть $x +2y ≤ 43.$

При этом равенство достигается при $x = 3,$ $y = 20.$ Заметим, что общая площадь при этом составляет ровно 981 квадратный метр:

27⋅3+ 45⋅20= 81+ 900= 981

Значит, максимальный доход составляет

2000 ⋅(x +2y)= 2000⋅43= 86000 рублей

Ответ: 86 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#44714

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Показать ответ и решение

Пусть в отеле $x$ стандартных номеров и $y$ номеров класса «люкс». Тогда стандартные номера будут занимать площадь в $30x$ квадратных метров, а номера класса «люкс» — площадь в $40y$ квадратных метров. Так как общая площадь, которую мы можем отвести под номера, составляет 940 квадратных метров, то

30x+ 40y ≤ 940 ⇔ x≤ 940−-40y= 94-− 4y 30 3

Доход, полученный предпринимателем за одни сутки, составит

4000x+ 5000y = 1000(4x+ 5y)

Так как требуется найти наибольшую сумму, которую предприниматель сможет заработать за одни сутки, то нужно максимизировать значение выражения $1000(4x +5y),$ то есть $4x + 5y.$

Тогда

94−-4y- 376−-16y+-15y 376−-y 4x+ 5y ≤ 4 ⋅ 3 + 5y = 3 = 3

Заметим, что $y$ — целое неотрицательное число, поэтому

376−-y ≤ 376= 1251 3 3 3

Значит,

376− y 1 4x+ 5y ≤---3-- ≤ 1253

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $4x+ 5y$ тоже целое, то есть $4x+ 5y ≤ 125.$

При этом равенство достигается при $x = 30,$ $y = 1.$ Заметим, что общая площадь при этом составляет ровно 940 квадратных метров:

30⋅30+ 40⋅1= 900+ 40= 940

Значит, максимальный доход составляет

1000⋅(4x+ 5y)= 1000 ⋅125 = 125000 рублей

Ответ: 125 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел