Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2244

а) Решите уравнение $sin2x − 5 cos(x − π)− 6 =0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(−π;3π).$

Показать ответ и решение

а) Так как косинус — четная функция, то есть $cos(−x)= cosx,$ то

( π ) (π ) cos x− 2- = cos 2-− x

Кроме того, по формуле приведения имеем:

( ) cos π-− x = sinx 2

Тогда получим уравнение

2 sin x − 5sinx − 6 = 0

Сделав замену $sinx =f,$ получим квадратное уравнение

2 f − 5f − 6= 0

Корнями этого уравнения являются

f = 6, f = −1

Так как $f =sinx∈ [−1;1],$ то корень $f = 6$ не подходит. Следовательно, получаем

sin x= −1 ⇔ x= − π+ 2πk, k ∈ℤ 2

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π 1 7 − π < − 2 + 2πk <3π ⇔ −4 < k < 4 π- 3π k = 0; 1 ⇒ x = −2; 2

Ответ:

а) $− π+ 2πk, k ∈ ℤ 2$

б) $π 3π − -2;-2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2563

а) Решите уравнение $cos2x+ 13sinx +6 = 0$ .

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] − 2-;−π$ .

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение

⌊ |sinx= 7 1− 2sin2x+ 13sin x+ 6= 0 ⇔ 2sin2x− 13sinx − 7= 0 ⇔ ⌈ 1 sinx= − 2

Так как $sinx∈ [− 1;1]$ , то подходит только $sinx = −0,5$ , откуда получаем

x= − π+ 2πn, x = − 5π + 2πk, n,k ∈ ℤ 6 6

б) Отберем корни с помощью неравенств:

5π π 7 5 13π − 2-≤ − 6-+2πn ≤ −π ⇔ − 6 ≤n ≤ −12 ⇒ n= −1 ⇒ x= −-6-

− 5π≤ − 5π+ 2πk ≤− π ⇔ − 5≤ k ≤− -1 ⇒ k ∈∅ ⇒ x ∈∅ 2 6 6 12

Ответ:

а) $π- 5π x = −6 + 2πn, x = − 6 +2πk, n,k ∈ ℤ$

б) $− 13π 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2713

a) Решите уравнение $2sin2x +2 = 5sinx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π).$

Показать ответ и решение

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

2sin2x+ 2− 5sinx= 0

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $sin x.$

Сделаем замену $sinx = t,$ тогда уравнение примет вид

2t2− 5t+ 2= 0

Его дискриминант $D = 25 − 16 =9,$ тогда имеем:

t1,2 = 5±-3 ⇒ t1 = 2, t2 = 0,5 4

Сделав обратную замену, получим

sin x= 2, sin x= 0,5

Так как $sinx≤ 1,$ то уравнение $sinx =2$ не имеет корней. Следовательно, $sinx = 0,5.$

Уравнение $sinx= a$ имеет решения

x= arcsina+ 2πk, x= π − arcsina+ 2πk, k ∈ ℤ

Следовательно, уравнение $sin x= 0,5$ имеет решения

x = π-+2πk, x= 5π + 2πk, k ∈ℤ 6 6

б) Отберем корни с помощью неравенств.

π π 5π 0< 6-+ 2πk < π ⇔ − 6-<2πk < 6- − 1-< k <-5 ⇔ k = 0 12 12

При $k = 0$ получаем $π x= 6.$

5π 5π π- 0 < 6 + 2πk < π ⇔ − 6 < 2πk < 6 5 1 − 12-< k < 12 ⇔ k = 0

При $k = 0$ получаем $5π x= 6-.$

Ответ:

а) $π- 5π- 6 + 2πk; 6 + 2πk, k ∈ℤ$

б) $π-; 6$ $5π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#404

a) Решите уравнение $cos3 x+ 3cos2x +3 cosx +1 = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;2π).$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно $cosx$ . Сделаем замену $cosx =t$ :

t3+ 3t2+ 3t+ 1= 0.

Полученное уравнение равносильно

(t+ 1)3 = 0,

откуда $t= −1$ , следовательно,

cosx = −1.

Решения этого уравнения имеют вид $x = π+ 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

1 1 0< π + 2πk < 2π ⇔ −π <2πk < π ⇔ − 2 < k < 2

Но $k ∈ ℤ,$ тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0 :$ $x = π.$

Ответ:

а) $π + 2πk,$ где $k ∈ ℤ$

б) $π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#405

a) Решите уравнение

sin3 x + (1 + π )sin2x + (π − 2) sin x − 2π = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) π- 3;4π$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно $sinx$ . Сделаем замену

sin x = t.

В новых переменных уравнение примет вид:

3 2 t + (1 + π )t + (π − 2)t − 2π = 0.

Можно угадать один из корней этого уравнения $t = 1$ . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(t − 1)$ при помощи деления многочлена $t3 + (1 + π )t2 + (π − 2)t − 2π$ на $(t − 1)$ столбиком:

t3 + (1 + π)t2 + (π − 2 )t − 2π | t − 1 3 2 |--2---------------- t-−--------t2 | t + (2 + π )t + 2π (2 + π )t2 + (π − 2)t | (2 +-π-)t-−-(2-+-π)t | 2πt − 2π | 2πt-−-2π- | 0 |

Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения

t2 + (2 + π)t + 2π = 0.

По теореме Виета сумма его корней равна $− (2 + π)$ , а их произведение равно $2π$ , откуда подбираются корни $t1 = − 2, t2 = − π$ .

Таким образом,

t3 + (1 + π )t2 + (π − 2)t − 2 π = (t − 1 )(t + 2)(t + π ).

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения

t3 + (1 + π)t2 + (π − 2 )t − 2π = 0

являются $t = − 2, t = − π,t = 1 1 2 3$ .

Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те $x$ , при которых выполнено по крайней мере одно из условий: или $sinx = − 2$ , или $sinx = − π$ , или $sin x = 1$ .

Так как $− 1 ≤ sin x ≤ 1$ , то у уравнений $sin x = − 2$ и $sin x = − π$ нет корней, тогда

sin x = 1.

Решения этого уравнения имеют вид $x = π-+ 2πk 2$ , где $k ∈ ℤ$ .

б)

π- < π-+ 2 πk < 4π ⇔ 1-< 1-+ 2k < 4 ⇔ 3 2 3 2

1 1 1 1 ⇔ --− --< 2k < 4 − -- ⇔ − ---< k < 1,75, 3 2 2 12

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходят только корни при $k = 0$ и $k = 1$ : $x = π- 1 2$ , $x = 5π- 2 2$ .

Ответ:

а) $π --+ 2πk 2$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $π -- 2$ , $5π --- 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#434

а) Решите уравнение

2 −-3s√inx-−-cos-2x-= 0 2x − π

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 0; 5π- 4$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $π x > -- 2$ . Решим на ОДЗ:

2 − 3sinx − cos 2x = 0 ⇒ 2 − 3sinx − (1 − 2 sin2 x) = 0 ⇒ 2sin2x − 3 sin x + 1 = 0

Сделаем замену: $t = sinx, − 1 ≤ t ≤ 1$ :

1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇒ t1 = 1;t2 = -- 2

Сделаем обратную замену:

⌊ π ⌊ x = --+ 2πn,n ∈ ℤ sin x = 1 | 2 ⌈ ⇒ || x = π-+ 2πm, m ∈ ℤ sin x = 1- |⌈ 6 2 5π- x = 6 + 2πk,k ∈ ℤ

Пересечем полученные ответы с ОДЗ:

1) $π-+ 2πn > π-⇒ n > 0 ⇒ n ≥ 1, т.к. n − целое,⇒ x = π-+ 2πn, n ∈ ℕ 2 2 1 2$

2) $π π 1 π --+ 2πm > --⇒ m > --⇒ m ≥ 1, т.к. m − целое,⇒ x2 = --+ 2πm, m ∈ ℕ 6 2 6 6$

3) $5π π 1 5π ---+ 2πk > --⇒ k > − --⇒ k ≥ 0 ⇒ x3 = ---+ 2πk, k ∈ ℕ ∪ {0} 6 2 3 6$ или $7π x3 = − --- + 2πk,k ∈ ℕ 6$ .

б) Отберем корни:

1) $5π 1 3 0 ≤ x1 ≤ ---⇒ − --≤ n ≤ --⇒ n = 0 4 4 8$ , но т.к. $n$ — натуральное, то $n ∈ ∅$

2) $5π- -1- 13- 0 ≤ x2 ≤ 4 ⇒ − 12 ≤ m ≤ 24 ⇒ m = 0$ , но т.к. $m$ — натуральное, то $m ∈ ∅$ .

3) $0 ≤ x ≤ 5π-⇒ -7- ≤ k ≤ 29- ⇒ k = 1 ⇒ x = 5π- 3 4 12 24 6$

Ответ:

а) $π π 7π --+ 2πn, --+ 2πm, − --- + 2πk, n, m, k ∈ ℕ 2 6 6$

б) $5π- 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#435

а) Решите уравнение

2 9 −-10-sin-x-−-3-cosx 2 sin x − √ 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 35π- − 20π; − 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $√ -- sin x ⁄= --3- 2$ . Решим на ОДЗ.

2 2 9 − 10 (1 − cos x) − 3cosx = 0 ⇒ 10 cos x − 3 cosx − 1 = 0

Сделаем замену: $t = cos x, − 1 ≤ t ≤ 1$ :

2 1- 1- 10t − 3t − 1 = 0 ⇒ t1 = 2 ;t2 = − 5

Сделаем обратную замену:

⌊ π- |x = 3 + 2πn, n ∈ ℤ ⌊ 1 | π- | cosx = -- ||x = − 3 + 2πm, m ∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ || 1 cosx = − 1- |x = π − arccos --+ 2πk, k ∈ ℤ 5 |⌈ 5 x = − (π − arccos 1) + 2πl,l ∈ ℤ 5

Пересечем данные ответы с ОДЗ: по ОДЗ не подходит только одна серия корней: $π x = --+ 2πn, n ∈ ℤ 3$
(т.к. если $√-- sin x ⁄= -3-⇒ x ⁄= π-+ 2πr; 2π-+ 2 πs,r,s ∈ ℤ 2 3 3$ )

б) Отберем корни:

1) $− 20π ≤ − π-+ 2πm ≤ − 35π-⇒ − 95-≤ m ≤ − 8 7--⇒ m = − 9 ⇒ x = − 55-π 3 2 6 12 3$

2) Т.к. в первой четверти косинус убывает, то $π 1 1 π --> arccos --> arccos --= -- 2 5 2 3$ .

$1- 35π- 21- -α- 37- α-- − 20 π ≤ π − arccos 5 + 2πk ≤ − 2 ⇒ − 2 + 2 π ≤ k ≤ − 4 + 2π ⇒$

$− 10, ...≤ k ≤ − 9,...⇒ k = − 10 ⇒ x = − 19π − arccos 1- 5$

3) Аналогично второму случаю находим, что из третьей серии корней в промежуток попадает $x = arccos 1-− 19 π 5$

Ответ:

а) $π 1 1 − --+ 2πm, π − arccos -+ 2πk,− π + arccos --+ 2πl, m, k,l ∈ ℤ 3 5 5$

б) $1- 1- 55π- − 19π − arccos 5;− 19π + arccos5 ;− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#940

а) Решите уравнение

( ) ( ) 2 3-π π- sin x − 8 + cos x + 8 − 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(− 2π;2 π).$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену: $3π t = x − --- 8$ . Тогда $3 π x = t +--- 8$ , следовательно, $π 4π π x + --= t + ---= t + -- 8 8 2$ .

Следовательно, по формуле приведения $( ) ( ) π- π- cos x + 8 = cos t + 2 = − sin t$ . Тогда уравнение примет вид:

sin2t − sin t − 2 = 0

Сделав еще одну замену $sin t = f$ , получим квадратное уравнение $f 2 − f − 2 = 0$ , корнями которого являются $f = 2$ и $f = − 1$ . Так как $f = sin t ∈ [− 1;1]$ , то корень $f = 2$ не подходит. Следовательно,

( ) sin t = sin x − 3π- = − 1 ⇔ x − 3π-= − π-+ 2πn ⇔ x = − π-+ 2πn, n ∈ ℤ. 8 8 2 8

б) Отберем корни.

$π- 15- 17- π- 15-π − 2 π < − 8 + 2πn < 2π ⇔ − 16 < n < 16 ⇒ n = 0; 1 ⇒ x = − 8; 8 .$

Ответ:

а) $π − --+ 2πn, n ∈ ℤ 8$

б) $π 15π − --; ---- 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1115

а) Решите уравнение

--12- − --(--3---)-= −2 sin x cos 11π +x 2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π] −2π;− 2 .$

Источники: ЕГЭ 2017, официальный пробный

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $(11π ) cos 2 + x = sinx$ , следовательно, уравнение примет вид:

--1- − -3-+ 2= 0 sin2x sinx

Сделаем замену $t= -1-- sinx$ , тогда

t2− 3t+ 2= 0 ⇒ t1 = 1 и t2 =2.

Следовательно, $sinx= 1$ , что равносильно $π x= 2 +2πm,m ∈ ℤ$ ;

$sinx= 1 2$ , что равносильно $x = π+ 2πk 6$ и $x= 5π+ 2πn 6$ , $k,n ∈ℤ$ .

б) Отберем корни.

$π π 13 1 − 2π ≤ 6 + 2πk≤ −2 ⇒ − 12-≤k ≤− 3$ . Так как $k$ – целое, то $k= −1$ , следовательно, $11π x =− -6-$ .

$− 2π ≤ 5π-+ 2πn ≤− π ⇒ − 17 ≤n ≤− 2 6 2 12 3$ . Так как $n$ – целое, то $n= −1$ , следовательно, $x= − 7π 6$ .

$π π 5 1 − 2π ≤ 2 + 2πm≤ − 2 ⇒ −4 ≤m ≤ −2$ . Так как $m$ – целое, то $m = −1$ , следовательно, $3π x= − 2 .$

Ответ:

а) $π + 2πk;5π +2πn;π +2πm; k,n,m ∈ℤ 6 6 2$

б) $− 11π-;− 3π;− 7π 6 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1720

a) Решите уравнение

cos(2x ) + 3 √2-sin x = 3

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(π;2π)$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:

2 √-- 2 √ -- 1 − 2sin x + 3 2 sin x − 3 = 0 ⇔ 2sin x − 3 2sinx + 2 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $sin x$ .

Сделаем замену $sinx = t$ , тогда уравнение примет вид

2 √ -- 2t − 3 2t + 2 = 0.

Его дискриминант $D = 18 − 16 = 2$ , тогда $√ -- √ -- 3 2 ± 2 t1,2 = ----4-----$ , откуда $√ -- t1 = 2$ , $√-- 2 t2 = 2---$ , следовательно,
$√ -- sin x = 2$ или $√ -- 2 sinx = ---- 2$ .

Так как $sinx ≤ 1$ , то $√ -- sin x = 2$ быть не может, следовательно, $√ -- sin x = --2- 2$ .

Уравнение $sin x = a$ имеет решения $x = arcsina + 2 πk$ , $x = π − arcsina + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно уравнение $√ -- sinx = --2- 2$ имеет решения $x = π-+ 2 πk 4$ , $x = 3π-+ 2πk 4$ , где $k ∈ ℤ$ .

б)

π- 3π- 7π- 3- 7- π < 4 + 2πk < 2π ⇔ 4 < 2πk < 4 ⇔ 8 < k < 8,

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку $(π;2π )$ .

π < 3π-+ 2πk < 2π ⇔ π-< 2πk < 5π- ⇔ 1-< k < 5, 4 4 4 8 8

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку $(π; 2π)$ .

Ответ:

а) $π --+ 2πk 4$ , $3π --- + 2πk 4$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $∅$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1721

a) Решите уравнение

2 cos2(2x ) − 31,5cos(2x) = − 3.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− π; π]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево:

2 √ -- 2cos (2x) − 3 3 cos(2x ) + 3 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $cos(2x )$ .

Сделаем замену $cos(2x) = t$ , тогда уравнение примет вид

2 √ -- 2t − 3 3t + 3 = 0.

Его дискриминант $D = 27 − 24 = 3$ , тогда $√ -- √ -- 3 3 ± 3 t1,2 = ----4-----$ , откуда $√ -- t1 = 3$ , $√-- 3 t2 = 2---$ , следовательно,
$√ -- cos(2x ) = 3$ или $√ -- 3 cos(2x) = ---- 2$ .

Так как $cos(2x) ≤ 1$ , то $√ -- cos(2x ) = 3$ быть не может, следовательно, $√ -- cos(2x) = --3- 2$ .

Уравнение $cosy = a$ имеет решения $y = ±arccosa + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, уравнение $√ -- cos(2x) = --3- 2$ имеет решения, для которых выполнено $2x = ± π-+ 2πk 6$ , где $k ∈ ℤ$ , тогда

π x = ± ---+ πk,k ∈ ℤ. 12

б)

π 13 π 11π 13 11 − π < ---+ πk ≤ π ⇔ − ---- < πk ≤ ---- ⇔ − ---< k ≤ --, 12 12 12 12 12

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходят решения при $k = − 1$ и $k = 0$ : $11π- x = − 12$ и $x = π-- 12$ .

π 11 π 13π 11 13 − π < − ---+ πk ≤ π ⇔ − ---- < πk ≤ ---- ⇔ − --- < k ≤ ---, 12 12 12 12 12

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходят решения при $k = 0$ и $k = 1$ : $x = − -π- 12$ и $11π- x = 12$ .

Ответ:

а) $π ± ---+ πk 12$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $11 π − ---- 12$ , $π − --- 12$ , $π --- 12$ , $11π ---- 12$ .

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1722

a) Решите уравнение

cos4x + cos(4x) − 0,5sin2(2x) + 15 sin2 x + sin4 x = 5cos2 x + 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π)$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:

4 2 4 2 2 2 cos x − 0,5sin (2x) + sin x + (2cos (2x ) − 1) + 15 sin x − 5cos x − 1 = 0.

Используя формулу для синуса двойного угла, полученное уравнение можно переписать в виде:

4 2 2 4 2 2 2 cos x − 2sin x ⋅ cos x + sin x + (2 cos (2x) − 1) + 15 sin x − 5 cos x − 1 = 0.

Так как $2 2 2 2 4 2 2 4 cos (2x) = (cos x − sin x ) = cos x − 2sin x ⋅ cos x + sin x$ , то последнее уравнение можно переписать в виде:

cos2(2x) + (2cos2(2x) − 1) + 15sin2 x − 5cos2x − 1 = 0 ⇔ 2 2 2 2 ⇔ 3cos (2x) + 10 sin x + (5sin x − 5 cos x) − 2 = 0 ⇔ ⇔ 3cos2(2x) + (5sin2x − 5 cos2x ) + (10 sin2 x − 5) + 5 − 2 = 0.

Используя формулы для косинуса двойного угла, последнее уравнение можно переписать в виде:

3cos2(2x) − 10 cos(2x ) + 3 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $cos(2x )$ .

Сделаем замену $cos(2x) = t$ , тогда уравнение примет вид

3t2 − 10t + 3 = 0.

Его дискриминант $D = 100 − 36 = 64$ , тогда $10 ± 8 t1,2 = ------- 6$ , откуда $t1 = 3$ , $1 t2 = -- 3$ , следовательно,
$cos(2x ) = 3$ или $cos(2x) = 1- 3$ .

Так как $cos(2x) ≤ 1$ , то $cos(2x ) = 3$ быть не может, следовательно, $cos(2x) = 1- 3$ .

Уравнение $cosy = a$ имеет решения $y = ±arccosa + 2 πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, уравнение $cos(2x ) = 1- 3$ имеет решения, для которых выполнено $2x = ±arccos 1+ 2πk 3$ , где $k ∈ ℤ$ , тогда

1 1 x = ± -⋅ arccos--+ πk, k ∈ ℤ. 2 3

б)

0 < 1-⋅ arccos 1+ πk < π ⇔ − 1-⋅ arccos1-< πk < π − 1-⋅ arccos1 ⇔ 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 − --- ⋅ arccos-< k < 1 − ---⋅ arccos- 2 π 3 2π 3

Так как $1- arccos3 ∈ (0;π)$ , то $-1- 1- − 2π ⋅ arccos 3 ∈ (− 0,5; 0)$ . При этом $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $1 1 x = 2-⋅ arccos3$ .

0 < − 1-⋅ arccos1-+ πk < π ⇔ 1-⋅ arccos1-< πk < π + 1-⋅ arccos1 ⇔ 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 ---⋅ arccos-< k < 1 + ---⋅ arccos- 2π 3 2π 3

Так как $1- arccos3 ∈ (0;π)$ , то $-1- 1- 2π ⋅ arccos3 ∈ (0;0,5)$ . При этом $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k = 1$ : $1 1 x = π − --⋅ arccos-- 2 3$ .

Ответ:

а) $1 1 ± --⋅ arccos-+ πk 2 3$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $1⋅ arccos1- 2 3$ , $π − 1-⋅ arccos 1 2 3$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1723

a) Решите уравнение $sin3x +0,5cos2x + sinx =1.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− π;π).$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

sin3x+ 0,5− 0,5sin2x +sinx= 1 ⇔ sin3x − 0,5sin2x +sinx− 0,5 = 0.

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно $sinx$ . Сделаем замену $sin x= t$ :

t3− 0,5t2+t− 0,5= 0 ⇔ t2(t−0,5)+(t−0,5)= 0 ⇔ (t2+1)(t− 0,5)= 0.

Так как $2 t + 1≥ 1> 0$ при любом $t$ , то полученное уравнение равносильно

t= 0,5,

откуда

sinx = 0,5.

Решения этого уравнения имеют вид $π x= 6-+ 2πk$ , $5π x= -6 + 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

−π < π-+ 2πk < π ⇔ − 7π < 2πk < 5π ⇔ − 7-< k < 5-, 6 6 6 12 12

но $k ∈ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $x = π- 6$ .

5π 11π- π- 11 -1 −π < 6 + 2πk < π ⇔ − 6 < 2πk < 6 ⇔ −12 < k < 12,

но $k ∈ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $5π x = 6-$ .

Ответ:

а) $π+ 2πk 6$ , $5π + 2πk 6$ , где $k ∈ℤ$ .

б) $π 6-$ , $5π -6$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1753

а) Решите уравнение

2cos4x + 6, 5sin2x − 5 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-;π 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. $cos4x = (cos2x )2 = (1 − sin2x )2$ , то уравнение равносильно:

2 4 2 4 2 2(1 − 2 sin x + sin x) + 6,5sin x − 5 = 0 ⇒ 2 sin x + 2,5sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $2 sin x = t, 0 ≤ t ≤ 1$ . Имеем:

2t2 + 2,5t − 3 = 0 ⇒ t1 = − 2;t2 = 3- 4

Заметим, что $t1$ не подходит. Сделаем обратную замену:

⌊ x = π-+ 2πn1,n1 ∈ ℤ | 3 √-- || 2π- 2 3- -3-- || x = 3 + 2πn2, n2 ∈ ℤ sin x = 4 ⇒ sinx = ± 2 ⇒ | π- || x = − 3 + 2 πm1, m1 ∈ ℤ ⌈ 2π x = − ---+ 2πm2, m2 ∈ ℤ 3

Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул: $π- π- x1 = 3 + πn, n ∈ ℤ; x2 = − 3 + πm, m ∈ ℤ$

б) Отберем корни:

$π π − --< x1 < π ⇒ n = 0 ⇒ x = -- 2 3$

$π- π- 2π- − 2 < x2 < π ⇒ m = 0;1 ⇒ x = − 3 ; 3$

Ответ:

а) $π π --+ πn,n ∈ ℤ; − --+ πm, n, m ∈ ℤ 3 3$

б) $π- π- 2π- − 3 ;3 ; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1754

а) Решите уравнение

tgx − 2ctgx = 1

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) 5π- π- − 2 ;− 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $sin x ⁄= 0,cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Заметим, что в данном уравнении $tgx ⁄= 0$ , т.к. тогда $ctgx$ не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на $tgx$ :

2 2 tg x − 2ctgx ⋅ tgx − tgx = 0 ⇒ tg x − 2 − tgx = 0,т.к. ctgx ⋅ tgx = 1

Сделаем замену $tgx = t,t ∈ ℝ$ :

t2 − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1;t2 = 2

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ π tgx = − 1 ⌈x1 = − --+ πn, n ∈ ℤ tgx = 2 ⇒ 4 x2 = arctg2 + πm, m ∈ ℤ

Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.

б) Отберем корни:

1) $5π π 9 1 9π 5π − --- < x1 < − --⇒ − --< n < − --⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − ---;− --- 4 2 4 4 4 4$

2) Обозначим $arctg2 = α$ .

$− 5π-< x2 < − π-⇒ − 5-− α-< m < − 1-− α- 2 2 2 π 2 π$

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то $π π -- > α > -- 2 3$ , следовательно, $1 α 1 − --< − --< − -- 2 π 3$ , значит:

$5- α- 17- 1- α- 5- − 3 < − 2 − π < − 6 , − 1 < − 2 − π < − 6$ , следовательно, можно условно записать, что

− 2,... < m < − 0,...

Значит, $m = − 2;− 1$ , следовательно, $x = arctg2 − 2π;arctg2 − π$ .

Ответ:

а) $π − --+ πn, arctg2 + πm, n,m ∈ ℤ 4$

б) $9π- 5-π − 4 ;arctg2 − 2π;− 4 ;arctg2 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1755

а) Решите уравнение

( ) 3 2 3 13π- 3(sin x + 1) + 2 cos 2 + x − 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π]$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения $( ) 13-π cos 2 + x = − sinx$ , следовательно, уравнение примет вид:

3 2 3 3 2 3 3(sin x + 1) + 2(− sin x) − 3 = 0 ⇒ 3(sin x + 1) − 2 sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $3 sin x + 1 = t$ , тогда $3 sin x = t − 1$ :

3t2 − 2(t − 1) − 3 = 0 ⇒ 3t2 − 2t − 1 = 0 ⇒ t = 1;t = − 1- 1 2 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sin3x + 1 = 1 sin3 x = 0 ⌈ 1 ⇒ ⌈ 4 sin3x + 1 = − -- sin3 x = − -- 3 3

Т.к. $− 1 ≤ sinα ≤ 1$ при любом $α$ , следовательно, $3 − 1 ≤ sin α ≤ 1$ , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

sin3 x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

$0 < πn ≤ π ⇒ 0 < n ≤ 1 ⇒ n = 1 ⇒ x = π$ .

Ответ:

а) $πn, n ∈ ℤ$

б) $π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1756

а) Решите уравнение $2 ---1---- 2cosx + 4cosx + 2= 1+ ctg2 x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(−π;0).$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $sinx ⁄=0$ . Решим на ОДЗ.

Т.к. $2 -1--- 1+ ctg x = sin2x ⇒$ уравнение примет вид:

2cos2x+ 4cosx+ 2= --11- ⇒ 2cos2x+ 4cosx+ 2= sin2x ⇒ sin2x

2 cos2x+ 4cosx+ 2= 1 − cos2x⇒ 3cos2x +4cosx +1 = 0

С помощью замены $cosx = t$ данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут $t =− 1;t= − 1 1 2 3$ . Сделав обратную замену, получим:

⌊ ⌊ cosx = −1 x= −π(+ 2πn,n ∈ ℤ) ⌈ 1 ⇒ |⌈ 1 cosx = −3 x= ± π− arccos3 + 2πm,m ∈ ℤ

Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к. $sin(−π +2πn) =sin(− π)= 0$

б) Отберем корни.

$( 1) 1 − π <± π − arccos3 +2πm < 0 ⇒ x= − π+ arccos3$

Ответ:

а) $( 1) ± π− arccos3 + 2πm,m ∈ ℤ$

б) $1 − π +arccos 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2242

а) Решите уравнение

√ -- 2 --2- ( π- ) -1-- cos x − 2 cos x = sin 2 − x − √2--

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( π ) sin --− x = cosx 2$ . Сделаем замену $t = cosx$ :

√ -- ( √ -- ) 2 2 1 2 2 1 t − -2-t = t − √--- ⇔ t − -2--+ 1 t + √--= 0 2 2

Дискриминант уравнения

( √ -- )2 ( √ -)2 ( √ -- )2 2 4 2 √-- 2 D = ---+ 1 − √--= ---- − 2 + 12 = ----− 1 . 2 2 2 2

Следовательно, корнями будут

√- (√ - ) -2-+ 1 ± --2− 1 √ -- t = -2----------2------ ⇒ t1 = --2- и t2 = 1. 2 2

Сделаем обратную замену:

√ -- 2 π cos x = -2-- ⇔ x = ± 4-+ 2πm, m ∈ ℤ cos x = 1 ⇔ x = 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π-< π- + 2πm < π- ⇔ − 3-< m < 1- ⇒ m = 0 ⇒ x = π. 2 4 2 8 8 4$

$π π π 1 3 π − --< − --+ 2πm < -- ⇔ − --< m < -- ⇒ m = 0 ⇒ x = − --. 2 4 2 8 8 4$

$π- π- 1- 1- − 2 < 2πn < 2 ⇔ − 4 < n < 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 0.$

Ответ:

а) $π 2πn; ± --+ 2πm; n,m ∈ ℤ 4$

б) $π π − 4-; 0; 4-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2243

а) Решите уравнение $√ - 2sin2x + 2sinx − 2= 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(−π;π).$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $sin x= t$ , тогда уравнение примет вид:

2 √- 2t + 2t− 2= 0

Дискриминант уравнения $√- D = 18 =(3 2)2$ . Следовательно, корнями будут

√2 √- t1 = 2-- и t2 =− 2.

Заметим, что так как $t= sinx ∈ [−1;1]$ , то $t2$ не подходит. Следовательно,

√ - sin x= --2 ⇔ x= π+ 2πn и x = 3π +2πm, n,m ∈ ℤ. 2 4 4

б) Отберем корни.

$− π < π+ 2πn < π ⇔ − 5 < n< 3 ⇒ n= 0 ⇒ x = π. 4 8 8 4$

$− π < 3π+ 2πm < π ⇔ − 7< m < 1 ⇒ m = 0 ⇒ x= 3π . 4 8 8 4$

Ответ:

а) $π+ 2πn; 3π+ 2πm; n,m ∈ ℤ 4 4$

б) $π 3π 4-;-4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2359

а) Решите уравнение

3tg42x − 10tg22x + 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π 4 4$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $cos2x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Сделаем замену: $tg22x = t,t ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид:

2 1 3t − 10t + 3 = 0 ⇒ t1 = 3; t2 = 3-

Сделаем обратную замену:

⌊ 2 ⌊ √ -- ⌊ π- ⌊ π- π- tg 2x = 3 tg2x = ± √3- 2x = ± 3 + πn, n ∈ ℤ x = ± 6 + 2n, n ∈ ℤ ⌈ 2 1-⇒ ⌈ 3 ⇒ ⌈ π ⇒ ⌈ π π tg 2x = 3 tg2x = ± ---- 2x = ± --+ πm, m ∈ ℤ x = ± ---+ -m, m ∈ ℤ 3 6 12 2

Заметим, что для данных значений $x$ выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный ответ.

б) Отберем корни:

$π π π π 5 1 π − --< -- + --n1 < --⇒ − --< n1 < --⇒ n1 = 0 ⇒ x = -- 4 6 2 4 6 6 6$

Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: $π-- π- -π- x = − 12;− 6 ;12$ .

Ответ:

а) $π π π π ± --+ -n,± ---+ --m, n, m ∈ ℤ 6 2 12 2$

б) $− π-;− π-; π-; π 6 12 12 6$

Предыдущий раздел

Следующий раздел