Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.05 Банковский кредит: другие схемы платежей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2576

В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рулей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Найдите число $r$ , если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 150000 рублей, во второй год — 180000 рублей.

Показать ответ и решение

Если $r$ — количество начисляемых процентов, то

y = (100+ r) :100 = 1+ 0,01r

— коэффициент, на который умножается сумма долга после начисления процентов. Составим таблицу (ведя все вычисления в тыс. рублей):

|----|-------------------|----------------------|--------| |Год-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|В-ыплата| |1---|--------250--------|---------250y---------|---150---| -2---------250y−-150------------(250y−-150)y----------180----

Так как после второй выплаты долг банку должен быть равен нулю, то получаем уравнение

6 (250y− 150)y− 180= 0 ⇔ 25y2− 15y− 18= 0 ⇒ y = 5

Отрицательный корень мы не рассматриваем, так как $r > 0$ , следовательно, и $y >0.$

Таким образом,

1+ 0,01r = 6 ⇒ r = 20 5

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2633

В конце сентября 2016 года планируется взять кредит в банке на год. Условия его возврата таковы:

– в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на 6% по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;

– в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

|Квартал----------|-1--|2--|3-|4-| |Долг (в процентах)|100|75|40-|0-| ---------------------------------

На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Показать ответ и решение

Пусть кредит составил $A$ рублей. Тогда:

– в первый месяц первого квартала до начисления процентов долг равен $A,$ после начисления процентов долг составил $1,06A;$

– в первый месяц второго квартала до начисления процентов долг равен $0,75A,$ после начисления процентов долг составил $1,06⋅0,75A;$

– в первый месяц третьего квартала до начисления процентов долг равен $0,4A,$ после начисления процентов долг составил $1,06⋅0,4A;$

– в первый месяц четвертого квартала долг равен 0.

Таким образом, в первом квартале был сделан платеж в размере $B1 = 1,06A − 0,75A;$

во втором квартале был сделан платеж в размере $B2 =1,06⋅0,75A− 0,4A;$

в третьем квартале был сделан платеж в размере $B3 = 1,06⋅0,4A− 0.$

Следовательно, общая сумма выплат составила:

V = B1+ B2+ B3 = (1,06A − 0,75A)+ (1,06⋅0,75A− 0,4A)+ (1,06⋅0,4A − 0)

Необходимо найти, на сколько процентов общая сумма выплат больше кредита, или, что то же самое, сколько процентов составила переплата от кредита:

V-− A-⋅100% A

Тогда имеем:

V −-A A-(1,06−-0,75-+1,06⋅0,75−-0,4-+1,06⋅0,4−-1) A = A =

= 1,06(1+ 0,75 +0,4)− (1 +0,75+ 0,4)= (1 +0,75+ 0,4)(1,06 − 1)= 1,25⋅0,06= 0,129

Окончательно получаем:

0,129⋅100% =12,9%

Ответ: 12,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#19497

Андрей взял в банке кредит на 3 млн рублей сроком на 1 год. Согласно условиям договора, банк ежемесячно начисляет проценты по следующей схеме. В первый месяц банк начисляет 1% от взятой суммы, во второй месяц — 2% от взятой суммы и так далее, в последний месяц банк начисляет 12% от взятой суммы. Клиент же должен ежемесячно вносить платежи равными суммами.

Сколько рублей Андрей должен ежемесячно возвращать банку, чтобы последним платежом полностью рассчитаться с банком?

Показать ответ и решение

Заметим, что общая сумма, которую нужно выплатить в конце года, никак не зависит от выплат Андрея. Обозначим $S = 3$ млн, тогда в первый месяц проценты составят $0,01S,$ во второй — $0,02S$ и так далее. Тогда общая сумма выплат составит

S+ S ⋅(0,01+ 0,02+ ...+0,12)= -1- =S + S⋅100(1+ 2+ ...+ 12)= ( -1- 12⋅13) = S ⋅ 1+ 100 ⋅ 2 = 1,78S

Чтобы выплаты были равными, каждый месяц нужно выплачивать ровно $-1 12$ часть этой суммы.

Тогда ежемесячный платеж равен

1,78S-= 1,78⋅3000000= 445000 12 12

Ответ: 445 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#20622

Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 10%.

Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае вносятся после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 4420000$ рублей. Долг выплачен двумя равными платежами: во втором и четвертом годах, обозначим размер выплаты за $B.$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$1,1S$	$0$	$1,1S$

$2$	$1,1S$	$2 1,1S$	$B$	$2 1,1 S − B$

$3$	$1,12S − B$	$1,13S − 1,1B$	$0$	$1,13S− 1,1B$

$4$	$1,13S − 1,1B$	$1,14S− 1,12B$	$B$	$1,14S− 1,12B − B$

Кредит взят на 4 года, тогда составим уравнение:

$pict$

Подставим $S = 4420000:$

4 4 4 B = 1,1-S-= 1,1-⋅4420000 = 11-⋅442-= 2,21 2,21 2,21 = 114 ⋅200 =14641⋅200= 2928200

Таким образом, размер каждой из выплат составит 2 928 200 рублей.

Ответ: 2 928 200 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#381

В январе банк предоставляет кредиты на сумму $A$ рублей на 6 лет на следующих условиях:

— в ноябре каждого года, начиная с первого, сумма долга возрастает на некоторое целое число $y$ процентов;

— в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга;

— платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

|1 год|2-год-|3-год-|4 год|5-год--|6 год|7 год| |-A---|0,8A-|0,65A-|0,4A--|0,35A--|0,2A--|-0---| --------------------------------------------

Какой наибольший процент годовых должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

Показать ответ и решение

Введем обозначение $-y- 100+-y t= 1+ 100 = 100 .$

В ноябре первого года сумма долга составит $t⋅A$ рублей. Так как после выплаты долг должен уменьшиться до $0,8A,$ то выплата составит $t⋅A − 0,8A.$

Выпишем выплаты по кредиту в течение всех шести лет:

|-|----------|------------|------------------|------------| |-|Д-олг до %|Долг-после-%-|Долг-после-вы-платы--|--Выплата---| |1|----A-----|----At------|------0,8A--------|-A-(t−-0,8)--| |2|---0,8A----|---0,8At----|------0,65A--------|A(0,8t−-0,65)-| |3|--0,65A---|---0,65At----|------0,4A--------|A(0,65t−-0,4)-| |4|---0,4A----|---0,4At----|------0,35A--------|A(0,4t−-0,35)-| |56|--0,03,25AA---|---00,3,52AAtt----|------0,20A--------|A(0,305,t2−At0,2)-| -----------------------------------------------------------

Тогда переплата составит

(t⋅A − 0,8A +t ⋅0,8A − 0,65A +t⋅0,65A− 0,4A+ +t⋅0,4A− 0,35A+ t⋅0,35A − 0,2A + t⋅0,2A − 0)− A= = 3,4A(t− 1)= 3,4Ay 100

Так как переплата не должна превышать половины суммы кредита, то

3,4Ay A 12 -100-≤ 2- ⇒ y ≤ 1417

Отсюда наибольшее целое $y = 14.$

Ответ: 14

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#665

На последние два года обучения в университете студент взял образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:

– в сентябре каждого года в течение обучения студента банк перечисляет на счет университета сумму, равную стоимости годового обучения в университете;

– один раз в ноябре каждого года пользования кредитом банк начисляет 20% на текущий долг клиента;

– каждый год в течение обучения в декабре студент вносит некоторую неизменную сумму в счет погашения кредита;

– после окончания обучения в течение еще двух лет банк продолжает в ноябре каждого года начислять 20% на оставшуюся сумму долга, но теперь студент обязан выплачивать кредит равными платежами, в пять раз превышающими платеж во время обучения.

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту, если год обучения в университете стоит 402500 рублей?

Показать ответ и решение

Обозначим $A =402500$ рублей.

Заметим, что в итоге кредит был выдан на 4 года, причем в течение первых двух лет студент учится, а в течение последних двух — уже нет. Пусть $x$ — это платеж банку в первые 2 года, тогда $5x$ — платеж банку в последние два года. Если банк начисляет 20% на текущий долг, то этот долг увеличивается в $112000 = 1,2$ раза.

Заметим также, что в сентябре второго года долг банку увеличится на стоимость годового обучения, то есть на $A.$

Составим таблицу:

|Год-|Сумма-долга-до-|С-ум-ма долга после-----С-умма долга-----|П-латеж--| |----|-начисления-%--|--начисления %---|-----после-платеж-а-----|--------| |1---|------A-------|------1,2A--------|-------1,2A-−-x--------|---x----| |2---|-1,2A−-x-+A---|-1,2((1,2+-1)A-−-x)-|1,2((1,2+-1)A-−-x)−-x=-B-|---x----| |3---|------B-------|------1,2B--------|-------1,2B-−-5x--------|---5x----| -4-------1,2B-− 5x------1,2(1,2B−-5x)-------1,2(1,2B-−-5x)-− 5x-------5x----

Так как в конце четвертого года кредит закрыт, то долг банку будет равен нулю, то есть

1,2(1,2B − 5x)− 5x= 0 1,22B − 5x⋅2,2 = 0

Выразим через $A$ и $x$ долг $B$ в конце второго года:

B = 1,2((1,2+ 1)A− x)− x =1,2(1,2+ 1)A − x(1,2+ 1)= 1,2⋅2,2A− 2,2x

Тогда получаем уравнение на остаток долга в конце четвертого года:

1,23⋅2,2A − 1,22⋅2,2x − 5 ⋅2,2x= 0 1,23A − x(1,22+ 5)= 0 x= 1,23A--- 1,22+ 5

Заметим, что за все годы пользования кредитом студент выплатил банку $x +x + 5x + 5x = 12x$ рублей, а взял в кредит две стоимости годового обучения в университете, то есть взял $2A.$ Значит, переплата $R$ равна

( 3 ) R =12x − 2A = 2(6x − A )= 2A⋅ 6-⋅12,2-− 1 = 491000 1,2 + 5

Ответ: 491 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#666

В конце четвертого курса беспечный Алеша понял, что ему не хватает денег на обучение на следующий год, поэтому на последний, пятый год обучения в университете Алеша решил взять кредит. Условия пользования кредитом следующие:
– в августе банк выдает Алеше $976000$ рублей на последний год обучения с условием, что погасить кредит Алеша должен за $4$ года;
– в первой половине декабря каждого года банк начисляет некоторое целое число $y$ процентов на текущий долг (меньшее $100%$ );
– во второй половине декабря каждого года, начиная со второго, Алеша делает платеж в счет погашения кредита, причем все платежи одинаковые.

Под какой процент был взят кредит в банке, если известно, что в итоге Алеша заплатил банку $1875000$ рублей?

Показать ответ и решение

Обозначим за $A = 976000$ рублей, а также за $100+y t = -100-$ и за $x$ — платеж. Составим таблицу:

|-----|------------------|--------------------|----------------------|--------------| |Год |Сум ма д олга до |Су мм а д олга после| С умм а долга | П ла теж | | | нач ислени я % | н ачислен ия % | п осле платеж а | | |-----|------------------|--------------------|----------------------|--------------| |1----|-------A----------|--------tA2----------|--------2-tA-----------|нет-пл-атеж-а-| |2----|-------tA---------|--------t-A---------|-------t-A-−-x--------|------x-------| |3----|-----t2A-−--x------|-----t(t2A-−-x-)-----|----t(t2A-−--x) −-x----|------x-------| |4 | t(t2A − x) − x | t(t(t2A − x) − x) |t(t(t2A − x) − x) − x | x | ------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце четвертого года кредит погашен полностью, то

2 4 2 t(t(tA − x) − x) − x = 0 ⇔ t A − x (t + t + 1) = 0

Заметим, что за годы пользования кредитом Алеша заплатил банку $3x$ рублей, следовательно, $3x = 1875000 ⇒ x = 625000$ рублей. Значит, получаем следующее уравнение:

4 2 976t − 625(t + t + 1) = 0

Т.к. $y$ – целое количество процентов, то $t$ — конечная десятичная дробь (причем больше $1$ и меньше $2$ ). Значит, знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на $2$ и на $5$ . Подберем корень данного уравнения, пользуясь тем фактом, что если уравнение с целыми коэффициентами (а у нас именно такое) имеет рациональный корень $p q$ , то $p$ — делитель $625$ , а $q$ — делитель $976$ . Поэтому выпишем все делители этих чисел (не учитывая знак):

делители $625$ — это $1, 5,25,125,625$ ;
делители $976$ — это $1, 2,4,8,16,61,122, 244,488,976$ .

Заметим, что ни один делитель $625$ не имеет общих делителей ни с одним из делителей числа $976$ . Значит, т.к. “знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на $2$ и на $5$ ”, число $q$ может быть либо $2$ , либо $4$ , либо $8$ , либо $16$ .

Т.к. $1 < t < 2$ , то подходящие варианты: $54, 2156$ .

Проверкой убеждаемся, что $t = 5 4$ подходит в уравнение, а $t = 25 16$ – нет. Значит, это единственный рациональный корень данного уравнения.

То есть $t = 5- ⇒ y = 25% 4$ .

Ответ:

$25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1074

На развитие бизнеса в банке был взят кредит сроком на 7 лет на следующих условиях:

– раз в год в сентябре в течение первых двух лет банк выдает заемщику 10 млн рублей;

– каждый год в декабре банк начисляет на текущий долг 10%;

– в течение первых двух лет раз в год после начисления процентов заемщик вносит платеж в счет погашения кредита, равный $y%$ от текущего долга;

– начиная с третьего года, заемщик обязан выплатить кредит дифференцированными платежами, вносимыми после начисления процентов.

Известно, что переплата по такому кредиту составит 9 456 075 рублей. Найдите $y$ .

Показать ответ и решение

Составим таблицу для первых двух лет пользования кредитом, при этом все суммы будем вычислять в рублях. Для этого обозначим величину $0,01y = p.$ Пусть $107 = A$ — сумма, которую банк выдает заемщику раз в год, пусть $t= 110 = 1,1. 100$

|----|-------------------|----------------------|-----------------| |Год-|Долг до-начисления %|Долг после начисления %-----Платеж------| |1---|--------A----------|---------tA-----------|------p⋅tA-------| -2-------(1-− p)⋅tA-+A--------t((1-− p)⋅tA-+A-)----p⋅t((1−-p)⋅tA-+-A)--

Тогда после второго платежа, то есть в начале третьего года, долг будет равен

(1 − p)⋅t((1 − p)⋅tA+ A )= B

Начиная с третьего года, заемщик обязан в течение пяти лет выплатить кредит дифференцированными платежами. Составим еще одну таблицу:

|----|-----------------|---------------------|--------------| |Год-|Долг до начисления %-Долг-после начисления %---Платеж-----| | | | | 1 | |1 | B | B + (t− 1)B | (t− 1)B+ 5B | |----|-----------------|---------------------|--------------| |2 | 4B | 4B +(t− 1)⋅ 4B |(t− 1)⋅ 4B+ 1B | | | 5 | 5 5 | 5 5 | |----|-----------------|---------------------|--------------| |... | ... | ... | ... | |----|-----------------|---------------------|--------------| | | 1 | 1 1 | 1 1 | |5 | 5B | 5B +(t− 1)⋅5B |(t− 1)⋅5B+ 5B | ------------------------------------------------------------

Таким образом, за последние пять лет он заплатил банку

1 4 1 1 1 (t− 1)B + 5B +(t− 1)⋅5B + 5B + ⋅⋅⋅+ (t− 1)⋅5B + 5B = ( 4 1) 1 = (t− 1)B ⋅ 1 +5 + ⋅⋅⋅+ 5 + 5⋅5B = (t− 1)B ⋅3+ B = (3t− 2)B

За первые два года он заплатил банку

(p⋅tA)+ (p⋅t((1− p)⋅tA + A))= (2⋅tp +p(1− p)⋅t2)A

Следовательно, за все годы пользования кредитом заемщик заплатил банку

( ) 2 22 2pt+p(1− p)t + (3t− 2)((1 − p) t +(1− p)t) A = C

Обозначим $1 − p = x.$ Тогда с учетом $p= 1− x$ имеем:

( ) ( ) C = 2t− 2xt+ x(1 − x)t2+ 3x2t3− 2x2t2+ 3xt2− 2xt A = 3x2t2(t− 1)+ 4xt(t− 1)+2t A

Тогда с учетом того, что в сумме заемщик взял в банке $2A$ рублей, переплата по кредиту равна

( ) P er = C − 2A = 3x2t2(t− 1)+ 4xt(t− 1)+ 2t− 2 A =

( ) = 3(xt)2+ 4(xt)+ 2 (t− 1)A = ((3xt+-2)2+-2)(t− 1)A 3

Таким образом, мы получили уравнение:

2 Per = ((3xt+2)-+-2)(t− 1)A 3

Следовательно,

(∘ ---------- ) x = 1- --3P-er-− 2− 2 3t A (t− 1)

Теперь подставим $7 t= 1,1; A = 10; Per = 9456075$ и найдем $x$ :

( ∘--------- ) ( ) --1-- 26368-225- -1--- 5-⋅13-⋅79 -95 x = 3⋅1,1 106 − 2 = 3⋅1,1 103 − 2 = 100

Следовательно, $p= 1 − x = 0,05,$ откуда $y = p⋅100= 5.$

Ответ: 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1075

В начале марта в банке был взят кредит на 6 месяцев на следующих условиях:
— 13 числа каждого месяца, начиная с марта, на текущий долг начисляется некоторое количество процентов;
— с 14 по 29 числа каждого месяца заемщик обязан внести платеж в счет погашения кредита так, чтобы сумма долга на 13 число каждого месяца удовлетворяла следующей таблице: $|------|------|---------|-------|-------|-------|--------|------| |Д-ата-|13.03-|-13.04---|13.05--|13.06--|13.07--|-13.08--|13.09-| |Д олг |1, 1A |0, 935A |0,77A |0,66A |0,44A |0,165A | 0 | ----------------------------------------------------------------$ где $A$ – сумма, взятая в кредит.
Определите наибольший месячный платеж по такому кредиту, если известно, что переплата по кредиту составила $111000$ рублей.

Показать ответ и решение

Если в кредит было взято $A$ рублей, а в первый месяц пользования кредитом после начисления процентов долг стал равен $1, 1A$ рублей, то

100-+-y- 1,1 = 100 ,

где $y$ – процентная ставка в банке. Следовательно, решая уравнение, находим, что $y = 10%$ .
Составим новую таблицу, в которой будем следить за тем, как меняется сумма долга ДО начисления процентов (например, чему равна сумма долга 12 числа каждого месяца).

|------|-----------|------------------|---------------|---------------|----------------|-----------------|-------| |Д-ата-|--12.03----|------12.04-------|----12.05------|-----12.06-----|-----12.07------|------12.08------|-12.09--| | | | | | | | | | | |1,1A |0,935A |0,77A |0,66A | 0,44A |0,165A | | |Д олг |----- = A |--------= 0,85A |-------= 0,7A |-------= 0,6A | -------= 0,4A |--------= 0,15A | 0 | | | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1 | | -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

Следовательно, платежи в каждый месяц равны:

x1 = 0,1A + 0,15A = 0,25A x = 0,1 ⋅ 0,85A + 0,15A = 0, 235A 2 x3 = 0,1 ⋅ 0,7A + 0,1A = 0,17A x4 = 0,1 ⋅ 0,6A + 0,2A = 0,26A x5 = 0,1 ⋅ 0,4A + 0,25A = 0,29A x6 = 0,1 ⋅ 0,15A + 0,15A = 0, 165A

Тогда наибольший платеж — это $x5$ .
Для того, чтобы найти $x5$ , нужно найти $A$ . Для этого используем условие про переплату. Переплата равна:

111000 111000 = 0,1A+0, 1⋅0,85A+0, 1⋅0,7A+0, 1⋅0,6A+0, 1⋅0,4A+0, 1⋅0, 15A = 0, 37A ⇒ A = ------- = 300000 0,37

Таким образом,

x5 = 0,29A = 87000

Ответ: 87000 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1336

1 марта Евгений оплатил покупку со своей кредитной карты на 1000000 рублей. Условия пользования кредитной картой таковы:

– 9 и 27 числа каждого месяца на текущий долг начисляется 0,1%;

– 15 числа каждого месяца Евгений вносит на карту 1000 рублей;

– с 28 числа и до конца месяца Евгений должен внести обязательный платеж по карте так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину;

– долг по карте необходимо погасить в течение 5 месяцев, при этом последний платеж вносится с 28 по 30 число.

Сколько рублей составит переплата Евгения за совершенную покупку?

Показать ответ и решение

Так как сумма долга каждый месяц должна уменьшаться на одну и ту же величину, а долг необходимо погасить за 5 месяцев, то это значит, что долг разбили на 5 равных частей и каждый месяц он уменьшается на одну такую часть. То есть если долг был равен $A$ рублей, то в конце первого месяца он будет равен $1 A − 5A = A− 0,2A = 0,8A,$ в конце второго: $0,8A − 0,2A =0,6A,$ в конце третьего: $0,6A − 0,2A = 0,4A$ и так далее

Составим таблицу. Для удобства введем обозначения: $A = 1000$ тыс. рублей, $1,001 = t:$

|Долг на-1 число|Долг на-9 число|Долг-на 15 число|Долг-на 27 число|Обязат&#--------- |------A-------|-----tA-------|----tA-−-1-----|---t(tA-−-1)----|--------a1---------| |-----0,8A------|----t⋅0,8A-----|---t⋅0,8A-− 1---|--t(t⋅0,8A-−-1)--|--------a2---------| |-----0,6A------|----t⋅0,6A-----|---t⋅0,6A-− 1---|--t(t⋅0,6A-−-1)--|--------a3---------| |-----0,4A------|----t⋅0,4A-----|---t⋅0,4A-− 1---|--t(t⋅0,4A-−-1)--|--------a4---------| ------0,2A-----------t⋅0,2A---------t⋅0,2A-− 1------t(t⋅0,2A-−-1)-----------a5----------

Вычислим $ai$ платежи. Так как до первого обязательного платежа долг был равен $t(tA − 1),$ а после платежа должен стать равным $0,8A,$ то платеж, если расписать $0,8A = A− 0,2A,$

a1 = t(tA − 1)− 0,8A = t2A− t− A+ 0,2A= (t2− 1) A− t+ 0,2A

Аналогично второй платеж:

2 2 ( 2 ) a2 = t ⋅0,8A− t− 0,6A = t ⋅0,8A− t− 0,8A +0,2A= t − 1 ⋅0,8A − t+ 0,2A

Третий платеж

( ) a3 = t2− 1 ⋅0,6A − t+0,2A

Четвертый платеж

a4 =(t2− 1)⋅0,4A − t+0,2A

Пятый платеж

a5 =(t2− 1)⋅0,2A − t+0,2A

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в 1 тыс. рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

5⋅1+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5 = = 5+ (t2 − 1)⋅A ⋅(1+ 0,8+ 0,6 +0,4+ 0,2)− 5t+ 5⋅0,2A = ( 2 ) = 5 + t − 1 ⋅3A − 5t+ A

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом $A:$

( (2 ) ) ( 2 ) 5+ t − 1 ⋅3A − 5t+ A − A = 3A ⋅t − 1 − 5(t− 1) ⇒

Делая подстановку $A = 1000,$ $t= 1,001,$ получим:

⇒ 3⋅1000 ⋅2,001⋅0,001− 5⋅0,001 =5,998 тыс. рублей= 5998 рублей

Ответ: 5998 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1704

Валентина Яковлевна решила взять кредит в банке на 565000 рублей под 25% годовых сроком на три года. Каждый год Валентина Яковлевна вносит платеж по кредиту после начисления процентов. Причем платеж в первый год в два раза меньше платежа во второй год и в три раза меньше платежа в третий год. Сколько рублей составит переплата Валентины Яковлевны по кредиту?

Показать ответ и решение

Составим таблицу (суммы долга запишем в тыс. рублей):

|----|-------------------------|--------------------------------------| Год Сумма долга до начисления % С умма долга после начисления % и п& |1---|-----------565-----------|-------------1,25⋅565−-x--------------| |2---|-------1,25-⋅565-− x-------|---------1,25(1,25⋅565−-x)− 2x---------| -3------1,25(1,25⋅565−-x)−-2x---------1,25(1,25(1,25-⋅565-− x)−-2x)−-3x----

Здесь $x, 2x, 3x$ тысяч рублей — платежи по кредиту. Тогда имеем:

1,25(1,25(1,25⋅565− x)− 2x)− 3x = 0 ⇒ ----1,253⋅565--- ⇒ x= 1,252+ 2⋅1,25 +3 = 156,25

Таким образом, переплата равна

(x + 2x + 3x)− 565= 372,5 тыс. рублей

Ответ: 372 500 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1705

Студент Миша не смог поступить на бюджет в Университет и поэтому был вынужден взять образовательный кредит сроком на $10$ лет. Условия пользования образовательным кредитом таковы:
– в течение первых пяти лет (пока Миша учится в Университете) гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения банк перечисляет на счет Университета сумму в размере $327680$ рублей, равную стоимости годового обучения в Университете;
– один раз в конце года в течение первых пяти лет (после зачисления денег на счет Университета) банк начисляет $12, 5%$ на сумму, которую на этот момент клиент должен банку;
– с $6$ -ого по $10$ -ый года клиент обязан устроиться на работу и выплачивать кредит равными платежами раз в полгода.
Чему равен этот платеж?

Показать ответ и решение

Составим таблицу для первых пяти лет, обозначив за $A = 327680$ рублей:

|----|-----------------------------------|----------------------------------------| |Год-|-С-ум-ма-долга-д-о н-ачислен-ия-%--|--С-умм-а-долга-посл-е н-ачислен-ия-%---| |1 | A | 1,125A | |2---|-----------1,125A--+-A-------------|----------1,125(1,125A--+-A-)-----------| |----|-----------------------------------|----------------------------------------| |3---|-----1,125-(1,125A-+--A)-+-A-------|----1,125-(1,-125(1,125A-+--A)-+-A-)-----| |4 | 1,125(1,125(1,125A + A )+ | 1,125(1,125 (1, 125(1,125A + A)+ | -------------------+A-) +-A------------------------------+A-) +-A)----------------- |5 |1,125 (1,125(1,125 (1, 125A + A )+ |1,125(1,125(1,125 (1,125(1,125A + A )+ | | | | | ----------------+A-)-+-A-) +-A------------------------+A-)-+-A-) +-A-)-------------

Таким образом, по окончании Университета Миша будет должен банку
$1,125 (1,125(1,125(1,125 (1,125A + A) + A ) + A ) + A ) =$

$= 1,125A (1,1254 + 1, 1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = B$

Т.к. в последующие годы проценты банк не начисляет, а платежи Миша вносит каждые полгода, то каждый платеж равен $B-- 10$ . Для удобства вычисления заметим, что $1,125 = 9-⇒ 8$ (используя формулу суммы геометрической прогрессии)

$( ) 95- B 9 ⋅ 85 − 1 1 --- = -------------⋅ A ⋅---= 236529 10 8 ⋅ 1 10 8$ рублей.

Ответ:

$236529$ рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1706

На последние два года обучения в ВУЗе студент вынужден был взять образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– пока он учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет целое число $y$ процентов, причем $y$ кратно пяти;
– каждый год в течение обучения студента банк перечисляет на счет ВУЗа сумму, равную сумме годового обучения в ВУЗе;
– один раз в конце каждого года в течение обучения банк начисляет $y%$ на сумму, которую на данный момент клиент должен банку;
– по окончании обучения в течение двух лет клиент обязан выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов;
– в течение того времени, как клиент выплачивает кредит, банк увеличивает процентную ставку в два раза.
Под какое наименьшее $y%$ студент должен взять кредит, чтобы в итоге переплата банку составила $115, 6%$ от кредита.

Показать ответ и решение

Составим таблицу пользования кредит в течение $4$ лет ( $1$ и $2$ - пока студент учится, $3$ и $4$ - пока студент выплачивает кредит), обозначив за $t = 1 + 0,01y, p = 1 + 0,01 ⋅ 2y, A$ – стоимость годового обучения в ВУЗе, $x$ – ежегодный платеж в последние два года:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- |Год |С ум ма дол га д о начисл ения % |Су мм а долга посл е на числен ия % |Су& |----|---------------------------------|------------------------------------|------------------------------| |1---|---------------A-----------------|----------------tA------------------|-----не-вноси-т-платеж--------| |2---|-------------tA--+-A--------------|----------t(tA-+-A-) =-B------------|-----не-вноси-т-платеж--------| |3---|---------------B-----------------|----------------pB------------------|-----------pB-−-x-------------| |4 | pB − x | p(pB − x) | p(pB − x) − x | -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце 4-ого года кредит выплачен, то $p(pB − x) − x = 0 (∗ )$ .

Заметим, что всего у банка было взято $2A$ рублей (за $2$ года обучения), а в итоге выплачено банку было $2x$ рублей. Таким образом, переплата банку равна $2x − 2A$ рублей.

Необходимо, чтобы переплата составляла $115,6%$ от суммы кредита, т.е. $2x − 2A = 1,156 ⋅ 2A ⇒ x = 2,156A$ .

Выразим из $(∗)$ , чему равен ежегодный платеж $p2B x = p-+-1 ⇒$

$p2t(t-+-1)A p + 1 = 2,156A$ (обе части равенства можно разделить на $A$ ).

Сделав обратную замену $t = 1 + 0,01y, p = 1 + 0,01 ⋅ 2y$ , получим уравнение на $y$ :

3 2 y + 300y + 22500y − 578000 = 0.

Т.к. по условию сказано, что $y$ - целое число, кратное пяти, то возможные значения $y : 5, 10, 15, 20, 25,⋅⋅⋅$
Подставляя по очереди данные значения, находим, что наименьшее подходящее $y = 20%$ .

Ответ:

$20%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1959

Марина взяла кредит в банке на 4 года на следующих условиях:

— раз в год банк начисляет на текущий долг 12,5%, после чего Марина обязана внести платеж в счет погашения кредита;

— платеж в первый год в два раза меньше платежа во второй год и в три раза меньше платежа в третий год;

— платеж в четвертый год в два раза больше платежа во второй год.

Сколько процентов от суммы кредита Марина заплатит банку? В случае необходимости результат округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

Пусть Марина взяла в долг у банка $S$ рублей. Пусть в первый год платеж Марины равен $x$ рублям. Тогда, исходя из условия задачи, $2x$ — платеж во второй год, $3x$ — в третий, $4x$ — в четвертый. Пусть

-r- 12,5- 1 9 p= 1+ 100 =1 + 100 = 1+ 8 = 8

Составим таблицу:


Год	Долга до %	Долг после %	Платеж	Долг после платежа

1	$S$	$S ⋅ 98$	$x$	$S ⋅ 98 − x$

2	$S ⋅ 98 − x$	$( ) S ⋅ 98 − x ⋅ 98$	$2x$	$( ) S ⋅ 98 − x ⋅ 98 − 2x$

3	$( 9 ) 9 S ⋅8 − x ⋅8 − 2x$	$(( 9 ) 9 ) 9 S ⋅8 − x ⋅8 − 2x ⋅ 8$	$3x$	$(( 9 ) 9 ) 9 S ⋅8 − x ⋅8 − 2x ⋅8 − 3x$

4	$(( 9 ) 9 ) 9 S⋅8 − x ⋅8 − 2x ⋅8 − 3x$	$((( 9 ) 9 ) 9 ) 9 S ⋅8 − x ⋅8 − 2x ⋅8 − 3x ⋅ 8$	$4x$	0

Так как долг стал равен нулю после внесения платежа $4x,$ то имеем следующее уравнение:

( (( 9 ) 9 ) 9 ) 9 S ⋅8 − x ⋅8 − 2x ⋅8 − 3x ⋅8 − 4x= 0 ( )4 ( )3 ( )2 S ⋅ 9 − x ⋅ 9 − 2x ⋅ 9 − 3x ⋅ 9− 4x =0 8( ) 8( ) 8( ) 8 S⋅ 9 4 = x⋅ 9 3+ 2x⋅ 9 2+ 3x ⋅ 9+ 4x 8 8 8 8 ( )4 ( ( )3 ( )2 ) S⋅ 9 = x ⋅ 9 + 2⋅ 9 + 3⋅ 9 +4 8 8 8 8 S ⋅(98)4 S ⋅94 x= (9)3+-2⋅(9)2+-3⋅ 9-+4 = 8⋅93+-128⋅81+-83⋅27+-4⋅84 8 8 8

Заметим, что всего Марина за время пользования кредитом заплатила банку $x +2x +3x +4x = 10x$ рублей. Значит, необходимо найти величину:

10x S ⋅100%

Значит, необходимо найти:

S⋅94 10x⋅100 = 1000-⋅8⋅93+128⋅81+83⋅27+4⋅84= --------1000-⋅6561--------= 6561000 S S 8 ⋅(729+ 1296+ 1728 +2048) 46408

Выполнив деление в столбик $6561000 :46408,$ получим $141,3...$ Округляя до целого числа, получим $141%.$

Ответ: 141

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2051

В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:

— кредит выдается сроком на 5 лет под 10% годовых;

— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;

— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту.

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить 100 тысяч рублей?

Показать ответ и решение

Пусть Лера взяла в кредит $A$ тысяч рублей, а платеж, который она вносила в первый, третий и пятый годы, равен $x$ тысяч рублей. Составим таблицу:

|---|---------------|--------------------|--------------|---------------------| Год Сумма долга до Сумма долга после Сумм а платежа Сумма долга |1--|------A--------|--------1,1A---------|------x-------|-------1,1A-− x-------| |2--|----1,1A-− x----|1,1A-−-x+-0,1(1,1A-− x)|-0,1(1,1A-−-x)--|-------1,1A-− x-------| |3--|----1,1A-− x----|----1,1(1,1A-−-x)-----|------x-------|---1,1(1,1A-−-x)−-x----| |4--|1,1(1,1A−-x)−-x-|--1,1(1,1A-−-x)−-x+---|-0,1(1,1(1,1A−---|---1,1(1,1A-−-x)−-x----| |---|---------------|+0,1(1,1(1,1A−-x)−-x)-|---−x)−-x)----|---------------------| -5---1,1(1,1A−-x)−-x---1,1(1,1(1,1A-− x)-− x)-------x--------1,1(1,1(1,1A-− x)-− x)−-x

Заметим, что в те годы, когда платеж составлял $x,$ мы записывали сумму долга после начисления процентов как $1,1⋅дол г;$ а в те годы, где платеж равнялся начисленным процентам — как $долг +0,1⋅долг.$ Это было сделано лишь для удобства.

Так как в последний, пятый, год кредит был погашен, то

( ) 1,1(1,1(1,1A− x)− x)− x= 01,13A − x 1,12+ 1,1 +1 = 0

По условию задачи переплата не должна превысить 100 тысяч рублей. Вычислим переплату. Для этого нужно из общей суммы всех выплат вычесть сумму кредита:

3x+ 0,1(1,1A − x)+ 0,1(1,1(1,1A− x)− x)− A = 2,69x− 0,769A

Таким образом, получаем следующее неравенство:

2,69x− 0,769A ≤ 100

Подставим в это неравенство выраженное из уравнения $3 x= --12,1-⋅A----: 1,1 + 1,1+ 1$

1,13⋅A 66200 2,69⋅1,12-+1,1+-1 − 0,769A ≤ 100 ⇔ A≤ 207--

Делением в столбик получаем оценку $319< 66200< 320. 207$

Так как $A$ — целое число тысяч рублей, то наибольшее подходящее $A = 319$ тысяч рублей.

Ответ: 319 тысяч рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2072

4 января Валентина оплатила покупку со своей кредитной карты на $800000$ рублей. Условия пользования кредитной картой таковы:
— 10 и 30 числа каждого месяца на текущий долг начисляется $4%$ ;
— между 10 и 30 числами каждого месяца Валентина имеет возможность внести на карту любую сумму, причем эта сумма идет сначала на погашение начисленных процентов, а оставшаяся часть - на погашение части основного долга. Таким образом, основной долг уменьшается;
— если внесенная таким образом сумма не превышает сумму начисленных процентов, то основной долг не меняется, и происходит лишь погашение части суммы начисленных процентов;
— 1 числа каждого месяца, начиная с февраля, Валентина должна вносить обязательный платеж по карте так, чтобы сумма долга (в процентах от кредита) уменьшалась согласно таблице:

|----------|------------|---------|----------|------|---------| |4 я нваря |4 ф еврал я |4 мар та |4 апреля |4 мая |4 ию ня | |--100%----|----90%-----|--70%----|--50%-----|20%---|--0%-----| --------------------------------------------------------------|

Сколько процентов от стоимости покупки составит переплата Валентины за совершенную покупку, если помимо обязательных платежей 20 числа каждого месяца Валентина будет вносить на карту $10000$ рублей?

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $A = 800000$ рублей – сумма, оплаченная по кредитной карте, $t = 1,04$ , $x = 10000$ рублей.

|----------------|------------------|-----------------|------------------|----------------------| |Д олг н а 4 число|Д олг на 10 ч исло|Дол г на 20 число|Д олг на 30 чи сло|Обязат |-------A--------|-------tA---------|-----tA-−-x------|----t(tA-−-x)-----|---------a------------| |----------------|------------------|-----------------|------------------|----------1-----------| |-----0,9A-------|-----t⋅0,9A-------|---t⋅0,9A-−-x----|--t(t⋅0,9A-−-x)---|---------a2-----------| |-----0,7A-------|-----t⋅0,7A-------|---t⋅0,7A-−-x----|--t(t⋅0,7A-−-x)---|---------a3-----------| |-----0,5A-------|-----t⋅0,5A-------|---t⋅0,5A-−-x----|--t(t⋅0,5A-−-x)---|---------a4-----------| ------0,2A-------------t⋅0,2A-----------t⋅0,2A-−-x-------t(t⋅0,2A-−-x)-------------a5------------

Вычислим $ai$ обязательные платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен $t(tA − x)$ , а после платежа должен стать равным $0, 9A$ , то платеж $a1 = t(tA − x ) − 0,9A = t2A − tx − A + 0,1A = (t2 − 1)A − tx + 0,1A$ (расписали $0, 9A = A − 0,1A$ ).

Аналогично второй платеж $a = t2 ⋅ 0,9A − tx − 0,7A = t2 ⋅ 0,9A − tx − 0,9A + 0,2A = (t2 − 1) ⋅ 0,9A − tx + 0, 2A 2$ ;
третий платеж $2 a3 = (t − 1) ⋅ 0, 7A − tx + 0,2A$ ;
четвертый платеж $a4 = (t2 − 1 ) ⋅ 0,5A − tx + 0,3A$ ;
пятый платеж $a5 = (t2 − 1) ⋅ 0,2A − tx + 0, 2A$ .

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в $x$ рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

$5 ⋅ x + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5x + (t2 − 1) ⋅ A ⋅ (1 + 0,9 + 0,7 + 0,5 + 0,2) − 5tx+$

$2 + A (0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,2) = 5x + (t − 1) ⋅ 3,3A − 5tx + A$

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом $A$ , то есть переплата равна $5x + (t2 − 1) ⋅ 3,3A − 5tx$ .

Значит, относительно суммы кредита переплата составила:

$2 ( ) 5x-+-(t-−-1)-⋅ 3,3A-−-5tx-⋅ 100% = 3,3(t − 1 )(t + 1) − 5x(t −-1) ⋅ 100% = A A$

$( ) 5 ⋅ 10000 ⋅ 0,04 = 3,3 ⋅ 0,04 ⋅ 2,04 −--------------- ⋅ 100% = (26,928 − 0,25)% = 26,678% 800000$

Ответ:

$26,678%$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2173

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. По договоренности с банком в конце первого и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год. В конце второго и четвертого годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита в млн рублей, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 100 млн рублей.

Показать ответ и решение

Пусть $A$ — размер кредита в млн рублей, а $x$ — размер выплаты во второй и четвертый годы в млн рублей. Составим таблицу:

|----|-------------|----------------------|---------------|-----------| |Год |Сумма долга до| Сумм а долга после | Сумма долга | Вы плата | |1---|начислAения %-|-----начAис+лен0и,1яA-%------|-после-вAыплаты--|---0,1A-----| |2---|-----A-------|---------1,1A----------|---1,1A−-x-----|----x------| |3---|---1,1A-− x---|(1,1A-−-x)+-0,1(1,1A-− x)|---1,1A−-x-----|0,1(1,1A−-x)-| |4---|---1,1A-− x---|------1,1(1,1A-− x)-----|1,1(1,1A-−-x)−-x-|----x------| -----------------------------------------------------------------------

Так как в конце четвертого года заемщик выплатил весь кредит, то остаток долга после выплаты будет равен нулю:

121 1,1(1,1A− x)− x= 0 ⇔ x = 210A (∗)

Так как общая сумма выплат заемщика должна превысить 100 млн рублей, то получаем следующее неравенство:

0,1A + x+ 0,1(1,1A − x)+ x> 100 21A+ 190x> 10000

Подставим в это неравенство выражение $(∗)$ и получим

210000 1760 A > 2740 = 762740 ⇒ A > 76

Так как $A$ — целое число млн рублей, то наименьшее $A = 77$ млн рублей.

Ответ: 77 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2192

В банке был взят кредит под $20%$ годовых на следующих условиях:

— по нечетным годам клиент в качестве ежегодного платежа выплачивает банку только проценты, начисленные на текущий долг в этом году;
—- по четным годам клиент в качестве ежегодного платежа выплачивает половину от текущего долга в этом году после начисления процентов, причем данный платеж должен быть больше $15$ от изначальной величины кредита;
— как только платеж по четным годам становится меньше $1 5$ от кредита, то кредит полностью выплачивается одним платежом.

Сколько процентов от величины кредита составила общая сумма выплат по такому кредиту?

Показать ответ и решение

Обозначим величину кредита за $A$ рублей. Составим таблицу. Заметим, что так как в нечетные годы клиент выплачивает только начисленные проценты, то остаток долга в эти годы после выплаты становится равен величине долга в начале года (до начисления процентов).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- |Год |Д олг в нач але года |Д олг посл е н ачислен ия % | Д олг посл е вы пл ат& |----|---------------------|----------------------------|---------------------------|---------------------| |1---|---------A-----------|-----------1,2A-------------|------------A--------------|-------0,2A----------| |2---|---------A-----------|-----------1,2A-------------|--------0,5-⋅ 1,2A---------|-----0,5-⋅ 1,2A------| |3---|-----0,5-⋅ 1,2A------|-----1,2-⋅ (0,5-⋅ 1,2A-)----|--------0,5-⋅ 1,2A---------|-0,-2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2A-)| |4 | 0,5 ⋅ 1,2A | 1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2A ) | 0,5 ⋅ (0,5 ⋅ 1,22A ) |0,5 ⋅ (0,5 ⋅ 1, 22A) = | | | | | 2 | |----|---------------------|----------------------------|---------------------------|--=--(0,5 ⋅ 1,-2)A---| |...--|---------...---------|------------...-------------|------------...-------------|---------...----------| -2n------(0,5-⋅ 1,2)n−1A--------1,2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2)n−-1A---0,5 ⋅-(1,-2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2)n−1A-)-(0,5-⋅ 1,2)nA-----|

Найдем номер года, начиная с которого платеж $n (0,5 ⋅ 1,2) A$ будет меньше $1 5$ от $A$ :

(0,5 ⋅ 1,2)nA < 1-A ⇔ (0,6)n < 0, 2 5

Подбором можно определить, что $n = 4$ (так как $0,62 = 0,36; 0,63 = 0,216; 0,64 = 0,1296$ ). Таким образом, в восьмом году клиент выплачивает уже весь остаток долга (а это $1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)4−1A = 1,2 ⋅ (0, 5 ⋅ 1,2 )3A$ ), тем самым погашая кредит.

Следовательно, общая сумма выплат по кредиту равна сумме выплат по нечетным и по четным годам:

(0,2A + 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 1,2A + 0,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)2A + 0, 2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)3A )+ + (0,5 ⋅ 1,2A + (0,5 ⋅ 1,2)2A + (0,5 ⋅ 1, 2)3A + 1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)3A) = 2 3 2 3 3 = 0,2A + A ⋅ (0,2 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 1, 2 ⋅ 0,6 ) = = 0,2A + 1,2 ⋅ 0,6 ⋅ A ⋅ (1 + 0,6 + 2 ⋅ 0,62) = 1,8704A

Таким образом, общая сумма выплат составила $187,04%$ от суммы кредита.

Ответ: 187,04

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2258

В связи с невозможностью полностью оплатить свое обучение, семья Коли была вынуждена взять кредит на $4$ года, чтобы оплатить последние $2$ года его обучения. Условия пользования кредитом таковы:
– пока Коля учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения Коли банк перечисляет на счет Образовательного учреждения сумму, равную сумме годового обучения в Образовательном учреждении;
– один раз в конце каждого года в течение времени пользования кредитом банк начисляет целое кратное десяти число $y$ процентов на сумму, которую на данный момент семья Коли должна банку;
– по окончании обучения семья Коли обязана начать выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов.
Найдите наибольшее возможное число $y$ , чтобы общая переплата по кредиту не превысила $40%$ от стоимости кредита.

Показать ответ и решение

Составим таблицу для первых двух лет (пока Коля учится), обозначив за $A$ стоимость годового обучения, а за $100-+-y- t = 100$ :

|-----|--------------------------------|------------------------------------| |Год--|Сум-ма-д-олга-до-начи-сления-%--|С-умм-а-долга-по-сле-начисл-ения-%--| |1----|---------------A----------------|----------------tA------------------| -2-----------------tA-+-A-------------------------t(tA-+-A-) =-B------------|

В течение следующих двух лет семья Коли начинает вносить в банк равные ежегодные платежи, чтобы выплатить кредит. Обозначим за $x$ этот ежегодный платеж:

|----|---------------------------------|------------------------------------|------------------------------| |Год |С ум ма дол га д о начисл ения % |Су мм а долга посл е на числен ия % |Су& |3---|---------------B-----------------|----------------tB------------------|-----------tB-−-x-------------| -4-----------------tB-−-x----------------------------t(tB-−--x)----------------------t(tB-−--x) −-x---------|

Т.к. к концу $4$ -ого года семья должна выплатить кредит, то $t(tB − x ) − x = 0$ . Сделав подстановку $B = t(tA + A )$ , получим:

$(t + 1)(t3A − x) = 0 ⇒ x = t3A$ . Таким образом, всего банку семья Коли заплатит $2x$ рублей.

Заметим, что при такой системе в долг у банка семья Коли взяла $2A$ рублей (сумму за два года обучения), таким образом, переплата составила $2x − 2A$ . По условию переплата не должна превышать $40%$ от стоимости кредита, т.е.

2x − 2A ≤ 0, 4 ⋅ 2A ⇒ x ≤ 1,4A ⇒ t3 ≤ 1,4

Так как $y$ кратно десяти, то возможные варианты для $t$ – это $1,1; 1,2; 1,3$ и т.д. Заметим, что $2 1,2$ уже равно $1,44$ , то есть $3 1,2 > 1,4$ . Следовательно, единственный подходящий вариант – это $t = 1,1$ .
Проверим: $1,12 = 1,21$ , а $1,13 = 1,21 ⋅ 1,1 = 1,331$ . Следовательно, действительно, $t = 1,1$ , а значит $y = 10%$ .

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2259

Планируется выдавать кредит сроком на 3 года на следующих условиях:
— в первый и третий годы клиент обязан вносить в счет погашения кредита одну и ту же сумму;
— во второй год клиент обязан вносить в счет погашения кредита только проценты, начисленные за соответствующий текущий год.

Под какое наименьшее целое кратное десяти число процентов годовых необходимо выдавать такой кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту составляла не менее $150%$ от суммы кредита?

Показать ответ и решение

Пусть кредит выдается на сумму $A$ рублей, а платеж, который вносит клиент в первый и третий годы, равен $x$ рублей. Пусть также $y%$ – годовой процент по кредиту; тогда введем переменную $1 + 0,01y = p$ . Составим таблицу:

|----|-----------------|-------------------------|-----------------|----------------| |Год |С умм а долга до | Сум ма до лга после |С умм а плат ежа | С ум ма дол г&# |----|-нач-ислени-я-%--|-----нач-ислени-я-%------|-----------------|п-осле-плат-ежа-| |1---|-------A---------|-----------pA------------|--------x--------|-----pA-−-x-----| |2 | pA − x |pA − x + 0,01y (pA − x) | 0,01y (pA − x ) | pA − x | |3---|-----pA-−-x------|-------p-(pA--−-x)--------|--------x--------|-p(pA-−--x) −-x-| -------------------------------------------------------------------------------------

Заметим, что в таблице мы для наглядности записывали $0,01y$ , а не $p − 1$ .

Т.к. кредит в конце третьего года должен быть выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

p(pA − x ) − x = 0 ⇒ p2A − x(p + 1) = 0

По условию задачи общая сумма выплат должна составлять не менее $150%$ от суммы кредита $A$ . Значит, имеем следующее неравенство (будем писать вместо $0,01y$ выражение $p − 1$ ):

x + (p − 1)(pA − x ) + x ≥ 1,5A ⇒ A(p2 − p) + x(3 − p) ≥ 1,5A

Выразим из вышеполученного уравнения $p2A x = p +-1$ и подставим в неравенство:

2 -p2A- 6p2-−-5p-−-3- A(p − p) + (3 − p) ⋅p + 1 ≥ 1,5A ⇒ p + 1 ≥ 0

Т.к. $p + 1 > 0$ , то решение данного неравенства совпадает с решением неравенства $6p2 − 5p − 3 ≥ 0$ .

Т.к. $y$ кратно десяти, то возможные варианты для $p$ – это $1,1; 1,2; 1,3$ и т.д. Подставим по очереди каждое число и найдем наименьшее подходящее.
Таким образом, это $p = 1, 3$ : $6 ⋅ 1,32 − 5 ⋅ 1,3 − 3 = 0,64 > 0$ .

Значит, $y = 30%$ .

Ответ: 30

Предыдущий раздел

Следующий раздел