Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

03 Уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22835

Решите уравнение $3 2 x + 4x − x − 4= 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

3 2 x +4x − x − 4 = 0 x2(x+ 4)− (x+ 4)= 0 (2 ) (x+ 4)x − 1 = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(2 ) (x+ 4)x − 1 =(x+ 4)(x − 1)(x+ 1).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому уравнение

(x + 4)(x− 1)(x +1)= 0

равносильно совокупности:

⌊ ⌊ |x+ 4= 0 | x= −4 ||x− 1= 0 ⇔ || x= 1 ⌈ ⌈ x+ 1= 0 x= −1

Ответ:

$− 4; −1; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#54965

Решите уравнение $x3+ 3x2 − 4x − 12 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x3+ 3x2− 4x− 12= 0 2 x (x +3)− 4(x+ 3)= 0 (x +3)(x2− 4)= 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x +3)(x2− 4)= (x+ 3)(x − 2)(x+ 2).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому уравнение

(x +3)(x− 2)(x+ 2)= 0

равносильно совокупности:

⌊ ⌊ |x+ 3 =0 |x = −3 ⌈x− 2 =0 ⇔ ⌈x = 2 x+ 2 =0 x = −2

Ответ:

$− 3; −2; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#49724

Решите уравнение $x3+ 5x2 = 4x + 20.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x3+ 5x2 = 4x+ 20 3 2 x + 5x − 4x− 20= 0 x2(x +5)− 4(x+ 5)= 0 ( 2 ) (x +5) x − 4 = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

( 2 ) (x +5) x − 4 = (x+ 5)(x − 2)(x+ 2).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому уравнение

(x +5)(x− 2)(x+ 2)= 0

равносильно совокупности:

⌊ ⌊ x+ 5 =0 x = −5 |⌈x− 2 =0 ⇔ |⌈x = 2 x+ 2 =0 x = −2

Ответ:

$− 5; −2; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90578

Решите уравнение $x3+ 6x2 = 9x + 54.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x3+ 6x2 = 9x+ 54 3 2 x + 6x − 9x− 54= 0 x2(x +6)− 9(x+ 6)= 0 ( 2 ) (x +6) x − 9 = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x +6)(x− 3)(x+ 3)= 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

⌊ ⌊ |x+ 6 =0 |x = −6 ⌈x− 3 =0 ⇔ ⌈x = 3 x+ 3 =0 x = −3

Ответ:

$− 6; −3; 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45465

Решите уравнение $(x − 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x +3).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x − 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x+ 3) ( 2 ) (x− 1) x + 6x+ 9 − 5(x +3)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 6x+ 9= x2+ 2⋅3⋅x +32 =(x+ 3)2

Тогда имеем

(x − 1)(x+ 3)2 − 5(x+ 3)= 0 (x− 1)(x +3)(x+ 3)− 5(x +3)= 0 (x+ 3)(((x − 1)(x+ 3)− 5)=) 0 (x+ 3) x2+ 3x− x− 3− 5 = 0 (x +3)(x2+ 2x− 8)= 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности

[ x + 3= 0 x2 +2x − 8 = 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 2x− 8= 0 2 2 D = 2 +4 ⋅8= 36= 6 − 2± 6 x= --2--- [ x= 2 x= −4

Таким образом,

⌊ [ x= −3 x+2 3= 0 ⇔ |⌈ x= 2 x + 2x − 8= 0 x= −4

Ответ:

$− 4; −3; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90588

Решите уравнение $( ) x x2+ 2x+ 1 = 2(x +1).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x(x2+ 2x+ 1)= 2(x+ 1) ( 2 ) x x +2x + 1 − 2(x+ 1)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 2x+ 1= x2+ 2⋅1⋅x +12 =(x+ 1)2

Тогда имеем

x(x + 1)2− 2(x+ 1)= 0 x(x +1)(x+ 1)− 2(x+ 1)= 0 (x+ 1)(x((x + 1)− 2))= 0 (x+ 1)x2 +x − 2 = 0

[ x+ 1= 0 x2+ x− 2= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 2= 0 2 2 D = 1 + 4⋅2= 9 =3 − 1± 3 x= --2--- [ x= 1 x= −2

Таким образом,

⌊ [ x = −1 x+2 1 =0 ⇔ |⌈x = 1 x + x− 2 =0 x = −2

Ответ:

$− 2; −1; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90607

Решите уравнение $x4 = (x − 20)2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что $( ) x4 = x22.$ Тогда

x4 = (x − 20)2 ( )2 x2 = (x− 20)2 ( 2)2 2 x − (x− 20) = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x2 − (x− 20))(x2+(x − 20))= 0 ( )( ) x2− x+ 20 x2+x − 20 = 0

[ x2 − x +20 = 0 x2 +x − 20 = 0

Решим первое уравнение совокупности:

x2− x+ 20= 0 2 D = (−1) − 4 ⋅1⋅20= 1− 80= −79 <0

Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений.

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 20= 0 D = 12− 4⋅1⋅(−20)= 1+ 80= 81 =92 −-1±-9 x= 2 [x= 4 x= −5

Таким образом,

[ 2 [ x − x+ 20= 0 ⇔ x= 4 x2+ x− 20= 0 x= −5

Ответ:

$− 5; 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90609

Решите уравнение $x4 = (2x − 8)2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что $( ) x4 = x22.$ Тогда

x4 = (2x − 8)2 ( )2 x2 = (2x − 8)2 ( 2)2 2 x − (2x− 8) = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x2 − (2x− 8))(x2+(2x− 8))= 0 ( )( ) x2− 2x+ 8 x2+2x − 8 = 0

[ x2 − 2x +8 = 0 x2 +2x − 8 = 0

Решим первое уравнение совокупности:

x2− 2x+ 8= 0 2 D = (−2) − 4⋅1⋅8 =4 − 32 = −28< 0

Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений.

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 2x− 8= 0 D = 22 − 4 ⋅1⋅(− 8)= 4+ 32= 36= 62 −-2±-6 x= 2 [x= 2 x= −4

Таким образом,

[ 2 [ x − 2x + 8= 0 ⇔ x= 2 x2+ 2x − 8= 0 x= −4

Ответ:

$− 4; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90618

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 92 + x2− 2x− 15 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 (2 )2 x − 9 ≥ 0 и x − 2x − 15 ≥ 0

Сумма квадратов двух выражений равна 0, когда квадраты обоих выражений равны 0, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

{( 2 )2 (x2− 9 = 0)2 x − 2x− 15 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( ) { (x2− 92 = 0) ⇔ x2− 9= 0 x2− 2x − 15 2 = 0 x2− 2x− 15= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 9= 0 x2 = 9 x = ±3

Решим второе уравнение системы:

x2− 2x− 15= 0 2 2 D = (−2) − 4 ⋅(− 15) =4 +60 = 64 = 8 2± 8 x = -2-- [ x= 5 x= −3

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 3 x2− 9= 0 { x= − 3 x2− 2x− 15= 0 ⇔ || [x= 5 ⇔ x = −3 ||( x= − 3

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90619

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 162+ x2+ x− 12 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 )2 ( 2 )2 x − 16 + x + x− 12 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ x − 12 =0.$ По теореме Виета

{ [ x1+ x2 = −1 ⇒ x= 3 x1x2 = −12 x= −4

Тогда

x2+ x− 12 =(x− 3)(x + 4)

Следовательно,

( )2 ( )2 x2− 16 + x2+ x− 12 = 0 ((x− 4)(x +4))2+ ((x− 3))(x+ 4)2 = 0 2 2 2 2 (x− 4)(x+ 4) + (x − 3) (x+ 4) =0 (x+ 4)2((x − 4)2+ (x− 3)2)= 0 2(2 2 ) (x+ 4) x − 8x +16 +x − 6x +9 = 0 (x + 4)2(2x2− 14x+ 25)= 0

[ (x+ 4)2 = 0 2x2− 14x+ 25= 0

Решим первое уравнение совокупности:

(x +4)2 = 0 x+ 4= 0 x = −4

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 14x + 25 = 0 D = (−14)2 − 4 ⋅2 ⋅25 = 196 − 200 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 4)2 = 0 2x2− 14x+ 25= 0 ⇔ x= −4

Ответ:

$− 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90624

Решите уравнение $√----- √ ----- x2− 2x + 4− x = 4− x+ 15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому

4− x≥ 0 x ≤4

Решим уравнение на ОДЗ:

2 √----- √ ----- x − 2x +2 4− x = 4− x+ 15 x − 2x− 15= 0 D = (−2)2 − 4 ⋅(− 15) =4 +60 = 64 = 82 2± 8 x = -2-- [ x= 5 x= −3

Из ОДЗ $x ≤4,$ значит, $x= − 3$ — единственный корень.

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90625

Решите уравнение $√----- √ ----- x2− 2x + 5− x = 5− x+ 24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому

5− x≥ 0 x ≤5

Решим уравнение на ОДЗ:

2 √----- √ ----- x − 2x +2 5− x = 5− x+ 24 x − 2x− 24= 0 D = (−2)2− 4⋅(− 24) = 4+ 96 = 100 = 102 2 ±10 x= --2-- [ x= 6 x= −4

Из ОДЗ $x ≤5,$ значит, $x= − 4$ — единственный корень.

Ответ:

$− 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38713

Решите уравнение $1-− 3 − 4= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

2 t − 3t− 4= 0 D = (−3)2− 4⋅(−4)= 9+ 16= 25= 52 3± 5 t = -2-- [t= 4 t= −1

Сделаем обратную замену:

⌊1 ⌊ |x =4 x= 1 ⌈1 ⇔ ⌈ 4 x =− 1 x= −1

Ответ:

$− 1; 1 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90628

Решите уравнение $1-+ 4 − 12= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

1- 4 x2 + x − 12= 0 1 4x 12x2 x2 + x2 −-x2-= 0 2 1-+4x-− 12x =0 x2

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Тогда полученное уравнение равносильно системе

{ 2 { 2 1+2 4x− 12x = 0 ⇔ 12x − 4x − 1= 0 x ⁄= 0 x⁄= 0

Решим первое уравнение системы:

12x2− 4x− 1= 0 D = (−4)2− 4⋅12⋅(−1)= 16+ 48= 64= 82 4± 8 x = -24- ⌊ x = 1 |⌈ 21 x = −6

Ответ:

$− 1; 1 6 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90633

Решите уравнение $---1---+ -4--− 12= 0. (x− 1)2 x− 1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

---1--- --4-- (x− 1)2 + x− 1 − 12 = 0 2 --1--2-+ 4(x−-1)2 − 12(x−-1)2 = 0 (x − 1) (x − 1) (x− 1) 1+-4(x-−-1)-− 12(x−-1)2 (x − 1)2 = 0 2 1-+4x-− 4-− 12x-+2-24x−-12 =0 (x − 1) −12x2+-28x−-15 (x − 1)2 = 0

{ { −12x2+ 28x − 15= 0 12x2− 28x+ 15= 0 (x − 1)2 ⁄= 0 ⇔ x⁄= 1

Решим первое уравнение системы:

12x2− 28x+ 15= 0 D = (−28)2 − 4 ⋅12 ⋅15 = 784 − 720 =64 = 82 28 ±8 x= --24- ⌊ x = 3 |⌈ 25 x = 6

Ответ:

$5 ; 3 6 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90637

Решите уравнение $---1---+ -2--− 3= 0. (x− 1)2 x− 1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x− 1⁄= 0,$ следовательно $x ⁄= 1.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= -1--. x− 1$ Следовательно, $1 t2 = (x−-1)2.$ Тогда имеем

t2+ 2t− 3= 0 D = 22− 4 ⋅(− 3)= 4+ 12= 16= 42 t= −2-±4- [ 2 t= 1 t= −3

Сделаем обратную замену:

⌊ --1--= 1 ⌊x − 1 = 1 ⌊x = 2 |⌈x − 1 ⇔ ⌈ 1 ⇔ ⌈ 2 --1--= −3 x − 1 = −3 x = 3 x − 1

Ответ:

$2 ; 2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49727

Решите уравнение $(x − 4)4− 4(x− 4)2− 21= 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 4)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 4)4 = (x− 4)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 4t− 21 =0 2 2 D = (− 4) − 4⋅(−21)= 16+ 84= 100= 10 t= 4-±10 [ 2 t= 7 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x− 4)2 = 7 2 (x− 4) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 4)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 4)2 = 7 (x− 4)2 − 7 = 0 2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0 ( √-) ( √-) x− 4− 7 x− 4+ 7 = 0

[ √ - [ √ - x − 4 −√ 7= 0 ⇔ x= 4+ √ 7 x − 4 + 7= 0 x= 4− 7

Ответ:

$√ - √ - 4 − 7; 4+ 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90643

Решите уравнение $(x +1)4+ (x+ 1)2 − 6 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 1)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 1)4 = (x+ 1)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 6 = 0 2 2 D = 1 − 4 ⋅(− 6)= 1+ 24= 25= 5 t= −1-±5- [ 2 t= 2 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x+ 1)2 = 2 2 (x+ 1) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 1)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +1)2 = 2 (x+ 1)2 − 2 = 0 2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0 ( √-) ( √-) x+ 1− 2 x+ 1+ 2 = 0

[ √- [ √- x+ 1− √2 =0 ⇔ x = −1+ √2 x+ 1+ 2 =0 x = −1− 2

Ответ:

$√ - √- − 1 − 2; − 1+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76599

Решите уравнение $3x4− 13x2+ 4 =0.$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t =x2.$ Тогда получаем квадратное уравнение

3t2− 13t+ 4= 0 2 2 D =(−13) − 4⋅3⋅4= 169− 48= 121= 11 −(−13)± √D- 13± 11 t1,2 =----2⋅3---- = --6--- ⌊ ⌈t1 = 4, t2 = 1 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Ответ:

$− 2; −√1-;√1-; 2 3 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#22833

Решите уравнение $6 3 x = −(7x+ 10).$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть как $( ) x6 = x2 3$ и в правой часть внесем минус под степень. Получим следующее уравнение:

(x2)3 = (− (7x +10))3.

Это уравнение равносильно уравнению

2 x = −(7x+ 10),

так как мы всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей уравнения.

Решим полученное уравнение через дискриминант:

x2 = −(7x+ 10) 2 x + 7x+ 10= 0 D = 72 − 4 ⋅10 = 49− 40 = 9 √- x= −-7±--9 = −7-±3- ⌊ 2 2 x= −-7+-3= −-4= − 2 || 2 2 ⌈x= −-7−-3= −-10= −5 2 2

Получили два корня: $− 5$ и $− 2.$

Ответ:

$− 5; −2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2