Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

03 Уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38713Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-− 3 − 4= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1− 3x− 4x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

4x2+ 3x − 1= 0 2 D = 3 − 4 ⋅4⋅(− 1)= 9+ 16= 25 −-3±-5 x= 2 ⋅4 ⌊ 1 |x= 4 ⌈x= −1

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ |x= −1 ⌈ 1 x= 4

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

2 t − 3t− 4= 0 D = (−3)2− 4⋅(−4)= 9+ 16= 25= 52 3± 5 t = -2-- [t= 4 t= −1

Сделаем обратную замену:

⌊ 1 =4 ⌊x= 1 |⌈x ⇔ ⌈ 4 1 =− 1 x= −1 x

Ответ:

$− 1; 1 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90628Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-+ 4 − 12= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1 +4x − 12x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

12x2− 4x− 1= 0 2 D = (−4) − 4⋅12⋅(−1)= 16+ 48= 64 4±-8 x = 2⋅12 ⌊ 1 |x = −6 ⌈ 1 x = 2

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ 1 |x = −6 ⌈ 1 x = 2

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

t2+ 4t− 12 =0 D = 42− 4⋅(− 12)= 16 + 48 = 64= 82 −4 ±8 t= --2--- [ t= 2 t= −6

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ | 1= 2 |x = 1 ⌈ x1 ⇔ ⌈ 21 x = − 6 x = −6

Ответ:

$− 1; 1 6 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90633Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $---1---+ -4--− 12= 0. (x− 1)2 x− 1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x− 1⁄= 0,$ следовательно $x ⁄= 1.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= -1--. x− 1$ Следовательно, $1 t2 = (x−-1)2.$ Тогда имеем

t2+ 4t− 12 =0 D = 42− 4⋅(− 12)= 16 + 48 = 64= 82 t= −4-±8- [ 2 t= 2 t= −6

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ ⌊ --1--= 2 x − 1 = 1 x = 3 |⌈x − 1 ⇔ |⌈ 2 ⇔ |⌈ 2 --1--= −6 x − 1 = − 1 x = 5 x − 1 6 6

Ответ:

$5 ; 3 6 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90637Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $---1---+ -2--− 3= 0. (x− 1)2 x− 1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x− 1⁄= 0,$ следовательно $x ⁄= 1.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= -1--. x− 1$ Следовательно, $1 t2 = (x−-1)2.$ Тогда имеем

t2+ 2t− 3= 0 D = 22− 4 ⋅(− 3)= 4+ 12= 16= 42 t= −2-±4- [ 2 t= 1 t= −3

Сделаем обратную замену:

⌊ --1--= 1 ⌊x − 1 = 1 ⌊x = 2 |⌈x − 1 ⇔ ⌈ 1 ⇔ ⌈ 2 --1--= −3 x − 1 = −3 x = 3 x − 1

Ответ:

$2 ; 2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49727Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 4)4− 4(x− 4)2− 21= 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 4)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 4)4 = (x− 4)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 4t− 21 =0 2 2 D = (− 4) − 4⋅(−21)= 16+ 84= 100= 10 t= 4-±10 [ 2 t= 7 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x− 4)2 = 7 2 (x− 4) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 4)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 4)2 = 7 (x− 4)2 − 7 = 0 2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0 ( √-) ( √-) x− 4− 7 x− 4+ 7 = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

[ √ - [ √ - x − 4 −√ 7= 0 ⇔ x= 4+ √ 7 x − 4 + 7= 0 x= 4− 7

Ответ:

$√ - √ - 4 − 7; 4+ 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90643Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +1)4+ (x+ 1)2 − 6 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 1)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 1)4 = (x+ 1)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 6 = 0 2 2 D = 1 − 4 ⋅(− 6)= 1+ 24= 25= 5 t= −1-±5- [ 2 t= 2 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x+ 1)2 = 2 2 (x+ 1) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 1)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +1)2 = 2 (x+ 1)2 − 2 = 0 2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0 ( √-) ( √-) x+ 1− 2 x+ 1+ 2 = 0

[ √- [ √- x+ 1− √2 =0 ⇔ x = −1+ √2 x+ 1+ 2 =0 x = −1− 2

Ответ:

$√ - √- − 1 − 2; − 1+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76599Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $3x4− 13x2+ 4 =0.$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t =x2.$ Тогда получаем квадратное уравнение

3t2− 13t+ 4= 0 2 2 D =(−13) − 4⋅3⋅4= 169− 48= 121= 11 −(−13)± √D- 13± 11 t1,2 =----2⋅3---- = --6--- ⌊ ⌈t1 = 4, t2 = 1 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Ответ:

$− 2; −√1-;√1-; 2 3 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22833Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $6 3 x = −(7x+ 10).$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть как $( ) x6 = x2 3$ и в правой часть внесем минус под степень. Получим следующее уравнение:

(x2)3 = (− (7x +10))3.

Это уравнение равносильно уравнению

2 x = −(7x+ 10),

так как мы всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей уравнения.

Решим полученное уравнение через дискриминант:

x2 = −(7x+ 10) 2 x + 7x+ 10= 0 D = 72 − 4 ⋅10 = 49− 40 = 9 √- x= −-7±--9 = −7-±3- ⌊ 2 2 x= −-7+-3= −-4= − 2 || 2 2 ⌈x= −-7−-3= −-10= −5 2 2

Получили два корня: $− 5$ и $− 2.$

Ответ:

$− 5; −2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44281Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $x6 = −(12− 8x)3.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть как $( ) x6 = x2 3$ и в правой части внесем минус под степень. Получим следующее уравнение:

(x2)3 = (− (12 − 8x))3.

Это уравнение равносильно уравнению

2 x = −(12− 8x),

так как мы всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей уравнения.

Решим полученное уравнение через дискриминант:

x2 = −(12− 8x) 2 x − 8x+ 12= 0 D = (− 8)2 − 4 ⋅12 = 64 − 48 = 16 √ -- x= 8-±--16= 8-±4 ⌊ 2 2 x = 4+ 2= 6 |⌈ x = 4− 2= 2

Получили два корня: 2 и 6.

Ответ: 2; 6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76600Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $x5− 7x3 +12x = 0.$

Показать ответ и решение

Вынесем $x$ за скобки:

(4 2 ) x ⋅x − 7x + 12 = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть уравенение равносильно совокупности

[ x=4 0 2 x − 7x +12 =0

Получили корень $x= 0.$ Решим второе уравнение методом замены переменной. Пусть $t= x2,$ тогда получаем квадратное уравнение

2 t − 7t+12 =0 D = (−7)2− 4⋅1⋅12= 49− 48= 1 √ -- t1,2 = −-(−-7)±-D-= 7±-1 2⋅1 2 t1 = 4, t2 = 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом, получаем пять корней: $√ - √ - − 2; − 3; 0; 3; 2.$

Ответ:

$√- √- − 2; − 3; 0; 3; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#76601Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( )( ) x2− 5x x2 − 5x +10 + 24= 0.$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t= x2− 5x.$ Тогда получаем уравнение

t⋅(t+ 10)+ 24= 0 2 2 t+ 10t+ 24= 0 2 D = 10 − 4 ⋅1 ⋅24= 100− 96 = 4= 2 −10 ±√D-- −10 ±2 t1,2 =---2⋅1---= ---2--- t1 = −4, t2 = − 6

Сделаем обратную замену для $t : 1$

t1 = −4 x2− 5x= − 4 x2− 5x+ 4= 0 (x− 1)(x − 4)= 0 x1 = 1, x2 = 4

Для $t2 :$

t1 = −6 x2− 5x= − 6 x2− 5x+ 6= 0 (x− 2)(x − 3)= 0 x3 = 2, x4 = 3

Таким образом, получаем четыре корня: 1; 2; 3; 4.

Ответ: 1; 2; 3; 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76603Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( )( ) 2 − x2-+2x 4 − x2+-2x =3. 3 3$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t= x2+-2x. 3$ Тогда получаем уравнение

(2− t)(4 − t)= 3 t2− 6t+ 8= 3 t2− 6t+ 5= 0 D = 62 − 4 ⋅1 ⋅5= 36− 20= 16= 42 √ -- −-(−-6)±--D- 6±-4 t1,2 = 2⋅1 = 2 t1 = 1, t2 = 5

Сделаем обратную замену для $t1 :$

t1 = 1 2 x-+-2x-= 1 23 x + 2x = 3 x2+ 2x− 3= 0 (x+ 3)(x − 1)= 0 x1 = − 3, x2 = 1

Для $t2 :$

t2 = 5 x2+-2x-= 5 3 x2+ 2x =15 x2+ 2x− 15= 0 (x+ 5)(x − 3)= 0 x1 = − 5, x2 = 3

Таким образом, получаем четыре корня: $− 5; −3; 1;3.$

Ответ:

$− 5;−3;1;3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76604Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $2x2+-7x−-4= 1. x2− 16$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

2x2+ 7x − 4 --x2−-16--= 1 2 2x-+-7x−-4 − 1 = 0 x2− 16 2x2+-7x-−-4−-x2+-16- x2− 16 = 0 x2+ 7x+ 12 --x2−-16--= 0

Полученное уравнение равносильно системе:

$pict$

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#103381Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $x2+√-5x+-6= 0. x+ 3$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

√x-+3-⁄= 0 { x +3 ⁄= 0 x +3 ≥ 0 x+ 3> 0 x > −3

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $----- √ x+ 3⁄= 0 :$

Тогда исходное уравнение равносильно системе

x2+ 5x+ 6= 0 (x+ 2)(x +3)= 0 [ x= −2 x= −3

Заметим, что $x = −3$ не в ходит в ОДЗ, поэтому $x =− 2.$

Ответ:

$− 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38564Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $-x---+ x+-2= --8--. x+ 2 x− 2 x2 − 4$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

--x-- x+-2- --8-- x+ 2 + x− 2 = x2 − 4 x x +2 8 x+-2 + x-− 2-− (x-−-2)(x+-2) = 0 --x(x−-2)--+ (x+-2)(x-+2) − -----8-----= 0 (x + 2)(x− 2) (x− 2)(x +2) (x − 2)(x+ 2) x2− 2x x2+ 4x+ 4 8 (x-−-2)(x+-2) + (x−-2)(x-+2) − (x-− 2)(x+-2) = 0 2 2 x-−-2x-+-x-+-4x-+-4−-8= 0 (x− 2)(x +2) 2x2+ 2x − 4 (x−-2)(x-+2) = 0 2 --x-+-x−-2- = 0 (x− 2)(x +2) (x−-1)(x-+2) (x− 2)(x +2) = 0

Полученное уравнение равносильно системе:

$pict$

Ответ: 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31265Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $--4--- -x−-1- --2-- 4x2− 1 − 2x2+ x = 2x− 1.$

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

-----4------- -x-−-1-- --2-- (2x − 1)(2x + 1) − x(2x +1) − 2x− 1 = 0 4x-−-(x-− 1)(2x−-1)− 2x(2x+-1)= 0 x(2x +1)(2x− 1) 4x− (2x2 − 3x +1)− (4x2+ 2x) ------x(2x-+1)(2x−-1)------= 0 -−6x2+-5x−-1-- x(2x +1)(2x− 1) = 0 2 --6x-−-5x-+-1--= 0 x(2x +1)(2x− 1)

Найдем дискриминант числителя:

2 2 D = 5 − 4⋅6= 1= 1 .

Тогда

(⌊ ( ⌊ || x = 5+-1 || x= 1 ||||||⌈ 12 ||||| |⌈ 2 |{ x = 5−-1 |{ x= 1 1 |x ⁄=0 12 ⇔ | x⁄= 03 ⇔ x = 3 ||||| ||||| ||(x ⁄=0,5 ||( x⁄= 0,5 x ⁄=− 0,5 x⁄= −0,5

Ответ:

$1 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38565Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $-3x--− -42--= 1+ --7-. x+ 3 x2− 9 3− x$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

--3x--− --42- = 1+ -7--- x + 3 x2− 9 3− x --3x-- --42- -7--- x + 3 − x2− 9 = 1− x− 3 3x 42 7 x+-3-− (x-− 3)(x+-3) − 1+ x−-3-= 0 --3x(x-−-3)--− -----42---- − (x−-3)(x+-3)+ ---7(x+-3)-- = 0 (x+ 3)(x − 3) (x − 3)(x+ 3) (x− 3)(x+ 3) (x− 3)(x + 3) --3x2−-9x-- -----42---- ---x2−-9--- ---7x+-21-- (x+ 3)(x − 3) − (x − 3)(x+ 3) − (x− 3)(x+ 3) + (x− 3)(x + 3) = 0 2 2 3x-−-9x-−-42−-x-+9-+-7x-+-21-= 0 (x− 3)(x +3) 2x2−-2x−-12 (x− 3)(x +3) = 0 2 --x-−-x−-6- = 0 (x− 3)(x +3) (x−-3)(x-+2) = 0 (x− 3)(x +3)

Полученное уравнение равносильно системе:

$pict$

Ответ:

$− 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#103379Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $--3---− --15-- = 4. x2+ 4x x2− 4x x$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

---3-- --15--- 4 x2+ 4x − x2− 4x = x 3 15 4 x(x+-4) − x(x−-4) − x = 0

Найдём ОДЗ:

(|x(x+ 4)⁄= 0 (| x⁄= − 4 { ⇔ { |(x(x− 4)⁄= 0 |( x⁄= 4 x ⁄= 0 x⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x(x+ 4)(x − 4) ⁄=0 :$

3(x − 4) − 15(x+ 4)− 4(x +4)(x− 4)= 0 3x− 12− 15x− 60− 4x2+64 = 0 −4x2− 12x− 8= 0 2 x + 3x+ 2= 0 (x+ 1[)(x +2)= 0 x= −1 x= −2

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

[ x= −1 x= −2

Ответ:

$− 2; −1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#103380Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $-----1-----+ --12-- = -1--. x2− 12x+ 36 36− x2 x+ 6$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

-----1----- -12--- --1-- x2− 12x+ 36 + 36 − x2 = x+ 6 1 12 1 (x−-6)2 + (6−-x)(6-+x) − x+-6 = 0 ---1---− -----12---- − -1--= 0 (x− 6)2 (x− 6)(x +6) x+ 6

Найдём ОДЗ:

( 2 |{(x− 6) ⁄= 0 {x ⁄=6 |(x− 6)(x +6)⁄= 0 ⇔ x ⁄=− 6 (x +6 ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $2 (x− 6)(x +6)⁄= 0 :$

(x+ 6)− 12(x− 6)− (x− 6)2 =0 x+ 6− 12x+ 72− x2+ 12x − 36 = 0 2 − x2 + x+ 42= 0 x − x− 42= 0 (x+ 6)(x − 7)= 0 [x= −6 x= 7

Заметим, что $x = −6$ не в ходит в ОДЗ, поэтому $x =7.$

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#41982Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $|4x− 1|= 7.$

Показать ответ и решение

[ |4x − 1|= 7 ⇔ 4x − 1 = 7 4x − 1 = −7

Решим совокупность уравнений:

[ [ 4x= 8 ⇔ x =2 4x= −6 x =− 1,5

Ответ:

$− 1,5; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2