Тема №22. Графики функций

06 Функции, содержащие модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40764

Постройте график функции $y = x2− |4x +7|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

{ |4x + 7|= 4x+ 7, если 4x +7 ≥ 0 −(4x+ 7), если 4x+ 7< 0 {4x + 7, если x ≥− 7 |4x +7|= 47 −4x− 7, если x< −4

Раскроем модуль в выражении $y = x2− |4x + 7|:$

{ 2 7 y = x − (4x+ 7), если x ≥ −4 x2 − (−4x − 7), если x< − 74 { 2 7 y = x2− 4x− 7, если x ≥ −47 x + 4x+ 7, если x < −4

График функции при $7 x ≥− 4$ — это парабола $2 y = x − 4x− 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-4= 2 2a 2 yв. = 22− 4⋅2− 7= −11

Построим таблицу значений для параболы при $7 x≥ − 4 :$


$x$	$7 − 4$	$− 1$	0	1	2	3	4	5	$11- 2$

$y$	$49 16$	$− 2$	$− 7$	$− 10$	$− 11$	$− 10$	$− 7$	$− 2$	$5 4$

График функции при $x <− 7 4$ — это парабола $y = x2+ 4x+ 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 4 = −2 22a 2 yв. = (−2) + 4⋅(− 2)+ 7= 3

Построим таблицу значений для параболы при $7 x< − 4 :$


$x$	$− 7 4$	$− 2$	$− 5 2$	$− 3$

$y$	$49 16$	3	$13 4$	4

Построим график функции:

$xyy110 = 3$ $49 xyy110 = 16$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 3 точки пересечения в двух случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2+ 4x+ 7:$ $(− 2;3).$ В этом случае $m = 3.$
2.: прямая $y =m$ проходит через точку $( 7 49) −4;16$ — точку стыка. В этом случае $m = 49. 16$

Получаем ответ:

{ 49} m ∈ 3;16

Ответ:

$m ∈ {3;3,0625}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46329

Постройте график функции $y = x2+ 3x− 3|x +2|+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2+ 3x − 3(x +2)+ 2, еcли x + 2≥ 0 ⇔ x + 3x + 3(x +2)+ 2, если x + 2< 0 {x2+ 3x− 3x− 6+ 2, если x ≥ −2 ⇔ y = 2 ⇔ x + 3x+ 3x+ 6+ 2, если x < −2

{ 2 ⇔ y = x − 4, если x≥ −2 x2 +6x +8, если x< −2

График функции при $x ≥− 2$ — это парабола $2 y = x − 4.$

Найдем вершину параболы:

xв. =−-b =− 0 = 0 2a 2 yв. = 02− 4= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	3

$y$	0	$− 3$	$− 4$	$− 3$	0	5

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = x2+ 6x+ 8.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 6 = −3 2a 2 2 yв. =(−3) + 6⋅(−3)+ 8= −1

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 5$	$− 4$	$− 3$	$− 2$

$y$	3	0	$− 1$	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = −01$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 6x+ 8,$ то есть через точку $(− 3;− 1).$ В этом случае $m = −1.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку $(−2;0).$ В этом случае $m =0.$

Таким образом,

m ∈{0;−1}

Ответ:

$m ∈ {0;−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#54129

Постройте график функции

2 y = x − 11x− 2|x − 5|+ 30.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 13x + 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(6,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|---|-----|----| |x-|5-|6--|-6,5--|-7--| -y--0--−2--−2,25--−-2-

Графиком квадратичной функции $y = x2− 9x+ 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-----|--| |x-|3-|4-|-4,5--|5-| -y--2--0--−0,25--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(5;0)$ — точка стыка.

$−−0−1213456746xy202,5,5,2,255$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−01154,yy(1(205==)),25−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(5;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(4,5;−0,25)$ параболы $y = x2− 9x + 20,$ следовательно, $m = −0,25.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38721

Постройте график функции

2 y = 3|x+ 8|− x − 14x− 48.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 11x− 24$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5,5;6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-8|−-7-|−6-|−5-| -y---0---4---6----6-

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 17x− 72$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8,5;0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|----| |x-|−9-|−8,5|−-8-| -y--0---0,25---0---

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−8;0)$ — точка стыка.

$xy0,6,01461−−−−−−−2525987658,5,55$

$xy0,011−−yy(2(12588==)),50,025$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−8;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−8,5;0,25)$ параболы $y = −x2− 17x− 72,$ следовательно, $m = 0,25.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;0,25}.

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#61564

Постройте график функции

2 y = 3|x + 2|− x − 3x− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--| |x-|−2-|0-|2-| -y--0---4--0--

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 6x− 8$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-4-|−3-|−2-| -y---0---1---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−2;0)$ — точка стыка.

$xy014−−1−2324$

$xy01−−1yy(2(132==)) 10$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 3;1)$ параболы $y = −x2− 6x− 8,$ следовательно, $m = 1.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;1}.

Ответ:

$m ∈ {0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#50259

Постройте график функции

y = |x|⋅(x − 1)− 5x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;− 9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

| x|0-|-2--|3--|4--|6-| |y-|0-|−-8-|−9-|−8-|0-| ----------------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 4x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|----|--| |x-|−4-|−3-|−-2|−-1-|0-| -y--0----3---4---3---0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$0134−−−124−63−−xy892431$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$0−41−13xyyy((9221==))4−9$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3;−9)$ параболы $2 y = x − 6x,$ следовательно, $m = − 9.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 2;4)$ параболы $y = −x2− 4x,$ следовательно, $m = 4.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−9;4}.

Ответ:

$m ∈ {−9;4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#61565

Постройте график функции

y = |x|⋅(x − 1)− 5x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Следовательно, $(3;− 9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

| x|0-|-2--|3--|4--|6-| |y-|0-|−-8-|−9-|−8-|0-| ----------------------

$pict$

Следовательно, $(−2;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|----|--| |x-|−4-|−3-|−-2|−-1-|0-| -y--0----3---4---3---0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$0134−−−124−63−−xy892431$

$0−41−13xyyy((9221==))4−9$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3;−9)$ параболы $2 y = x − 6x,$ следовательно, $m = − 9.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 2;4)$ параболы $y = −x2− 4x,$ следовательно, $m = 4.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−9;4}.

Ответ:

$m ∈ {−9;4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124489

Постройте график функции

y = x|x|− |x|− 2x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(1,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-1,5--|3-|4-| |y-|0-|−2,25|0-|4-| -------------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−0,5;0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|----|--| |x-|−-2|−-1-|−0,5-|0-| -y--−-2--0---0,25--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$014−−14−3−1xy2210,5,5$

$011−0−1xyyy((2,20,5==2)1),25,550−,225,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(1,5;−2,25)$ параболы $y = x2− 3x,$ следовательно, $m = − 2,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−0,5;0,25)$ параболы $y = −x2− x,$ следовательно, $m = 0,25.$

Следовательно, ответ

m ∈ {− 2,25;0,25}.

Ответ:

$m ∈ {−2,25;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124491

Постройте график функции

y = x|x|− |x|− 3x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(2;− 4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-2-|4-|5-| |y-|0-|−4-|0-|5-| ----------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 2x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|−3-|−2-|−-1-|0| -y--−3---0---1---0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$015−−−−125−4xy34312$

$01−−12xyyy((41==2)1) 1−4$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(2;−4)$ параболы $y = x2− 4x,$ следовательно, $m = − 4.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 1;1)$ параболы $y = −x2− 2x,$ следовательно, $m = 1.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−4;1}.

Ответ:

$m ∈ {−4;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124508

Постройте график функции

(x2 − x) ⋅|x| y = ---x−-1---.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x− 1 ⁄=0 ⇔ x⁄= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2− x)⋅|x| x⋅(x− 1)⋅|x| y =---x-−-1-- = ----x−-1--- = x⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= 1 ⇒ y = x2 =12 =1.

Тогда $(1;1)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = x2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|x-|0-|1-|2-| |y-|0-|1-|4-| ------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|--|--|---|---| |x-|0-|−1-|−2-| -y--0--−1--−4--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy014−−12−− 4121$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции ни одной общей точки.

$xy011y(1=)1$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(1;1).$

Следовательно, ответ

m ∈{1}.

Ответ:

$m ∈ {1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124510

Постройте график функции

(0,25x2− 0,5x)⋅|x| y = ------x−-2-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x− 2 ⁄=0 ⇔ x⁄= 2.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(0,25x2− 0,5x)⋅|x| 0,25x⋅(x− 2)⋅|x| y = -----x-− 2------= -----x−-2-----= 0,25x ⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= 2 ⇒ y = 0,25x2 = 0,25⋅22 = 1.

Тогда $(2;1)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = 0,25x2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|x-|0-|2-|4-| |y-|0-|1-|4-| ------------

Графиком квадратичной функции $y = −0,25x2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|--|--|---|---| |x-|0-|−2-|−4-| -y--0--−1--−4--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy014−−124−−4142$

$xy0121y(1=) 1$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(2;1).$

Следовательно, ответ

m ∈{1}.

Ответ:

$m ∈ {1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#57254

Постройте график функции

(0,75x2+ 1,5x)⋅|x| y = ------x+-2-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x + 2⁄= 0 ⇔ x⁄= − 2.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(0,75x2+ 1,5x)⋅|x| 0,75x⋅(x+ 2)⋅|x| y = -----x-+2-------= -----x+-2-----= 0,75x ⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= −2 ⇒ y = −0,75x2 =− 0,75⋅(−2)2 = −3.

Тогда $(−2;−3)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = 0,75x2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|x-|0-|-1--|2-| |y-|0-|0,75-|3-| --------------

Графиком квадратичной функции $y = −0,75x2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|--|--|-----|---| |x-|0-|-−1--|−-2| -y--0--−0,75--−-3-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy013−0−12−−0,7321,755$

$xy01−1−y(132=)− 3$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(−2;−3).$

Следовательно, ответ

m ∈ {−3}.

Ответ:

$m ∈ {−3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#60990

Постройте график функции

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| y = ------x+-2-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x + 2⁄= 0 ⇔ x⁄= − 2.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| 0,25x⋅(x+ 2)⋅|x| y = -----x-+2-------= -----x+-2-----= 0,25x ⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= −2 ⇒ y = −0,25x2 =− 0,25⋅(−2)2 = −1.

Тогда $(−2;−1)$ — выколотая точка.

|x-|0-|2-|4-| |y-|0-|1-|4-| ------------

|--|--|---|---| |x-|0-|−2-|−4-| -y--0--−1--−4--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy014−−124−−4142$

$xy01−1−y(112=)−1$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(−2;−1).$

Следовательно, ответ

m ∈ {−1}.

Ответ:

$m ∈ {−1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45343

Постройте график функции

2 y = |x + 2x− 3|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x− 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;−4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|−3-|−2-|−-1|-0--|1-| |y-|0--|−3-|−-4|−-3-|0-| -----------------------

Построим сначала график $y = x2+ 2x− 3,$ затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участки, находящиеся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс.

$xy01431−−−1213$

Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней, задаются уравнением $y =m.$ Найдём, какое наибольшее количество общих точек могут иметь прямая $y = m$ и график исходной функции.

$xy0411−−yyyyy31===== m04mm,,,m0 m<<m>0<4 4$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие точки с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 4 общие точки с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие точки с графиком.

Таким образом, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124541

Постройте график функции

y = |x2− x− 2|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− x− 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|−2-|−-1-|0--|-0,5--|-1-|2-|3-| |y-|-4-|-0--|−2-|−2,25-|−-2|0-|4-| ---------------------------------

Построим сначала график $y = x2− x− 2,$ затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участки, находящиеся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс.

$xy012420−2−13,,25512$

$xy02,112−yyyyy21=====502mm,2,m,50,m m<<m>02<,225,25$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие точки с графиком.
Если $0 < m < 2,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 4 общие точки с графиком.
Если $m = 2,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Если $m > 2,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие точки с графиком.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#60989

Постройте график функции

4,5|x|− 1 y = |x|−-4,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 4,5x− 1⁄= 0 4,5x ⁄= 1 9x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 4,5x9− 1⁄= 0 − 4,5x⁄= 1 −9x ⁄= 2 x ⁄=− 2 9

Таким образом, исходная задача теперь выглядит так:

( |{− 1, x> 0, x ⁄= 2 y = | x 9 ( 1x, x < 0, x⁄= − 29

График функции при $x >0, x⁄= 2 9$ — это гипербола $y = − 1. x$ Построим таблицу значений для гиперболы при $2 x > 0, x⁄= 9 :$


$x$	1	2	4	$1 2$	$1 4$

$y$	$− 1$	$− 1 2$	$− 1 4$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $2 x= 9,$ то $y = − 12-= − 9 . 9 2$

Точка $( ) 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

График функции при $2 x <0, x⁄= − 9$ — это гипербола $1 y = x.$ Построим таблицу значений для гиперболы при $x < 0, x⁄= − 2 : 9$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 4$	$− 1 2$	$− 1 4$

$y$	$− 1$	$− 12$	$− 14$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $x= − 2, 9$ то $y = -12-= − 9 . −9 2$

Точка $( ) − 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = kx$ совпадает с осью $Ox.$ В этом случае $k = 0.$
2.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 9) 9; − 2 .$ Найдём $k :$ $− 9= 2k ⇔ k = − 81 2 9 4$
3.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 2; − 9). 9 2$ Найдём $k :$ $− 9= − 2k ⇔ k = 81 2 9 4$

Таким образом, ${ } k ∈ − 81; 0; 81 . 4 4$

Ответ:

${ } k ∈ − 81; 0; 81 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124535

Постройте график функции

3,5|x|− 1 y = |x|−-3,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 3,5x− 1⁄= 0 3,5x ⁄= 1 7x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 3,5x7− 1⁄= 0 − 3,5x⁄= 1 −7x ⁄= 2 x ⁄=− 2 7

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 2 y = | x 7 ( 1x при x< 0, x ⁄= − 27

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|0,5-|-1-|-2---| |y-|−2-|−1-|−0,5-| ------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x = 7 ⇒ y = −2-= −3,5. 7

Точка $( ) 2;− 3,5 7$ является выколотой точкой.

Графиком функции $1 y = x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|−0,5-|−1-|−-2-| |y-|-−2--|−1-|−0,5| -------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x= − 7 ⇒ y = − 2-= −3,5. 7

Точка $( ) − 2;−3,5 7$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$((22 )) xy0−1234−1234−−−−124321−77;;−−3,3,55$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−2 =3) =2)=1) 2;;−−40−393,54x,5)9)x 77 44$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) −7;−3,5 .$ Найдем $k :$

7 2 49 − 2 = − 7 ⋅k ⇔ k = 4 .

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 ) 7;−3,5 .$ Найдем $k :$

7 2 49 − 2 = 7 ⋅k ⇔ k = − 4-.

Следовательно, ответ

{ 49 49} k ∈ − 4 ;0; 4 .

Ответ:

${ } k ∈ − 49;0; 49 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#28213

Постройте график функции

1 (||x 4 || x 4) y = 2 ||4 − x ||+-4 + x .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 4 ≥0 4 x x-⋅x−-4⋅4 ≥0 4x x2−-16≥ 0 4x (x−-4)(x-+4) 4x ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x− 4)(x +4)= 0 x1 = 4; x2 = − 4

Найдем нули знаменателя:

4x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−04+−+−4$

Таким образом,

$pict$

Значит,

( |{ x при x∈ [− 4;0)∪ [4;+∞ ) y = 4 |( 4 при x∈ (− ∞;− 4)∪(0;4) x

График исходной функции при $x ∈[−4;0)∪[4;+ ∞ )$ — прямая $y = x. 4$ Составим таблицу значений при $x ∈[−4;0):$

|--|---|--| |x-|−4-|0-| -y--−1--0--

Составим таблицу значений при $x∈ [4;+∞ ):$

|--|--|-| |x-|4-|8| -y--1--2-

График исходной функции при $x ∈(−∞; −4)∪ (0;4)$ — гипербола $y = 4. x$ Составим таблицу значений при $x ∈(−∞; −4):$

|--|---|-----|----| |x-|−4-|-−8--|−10-| -y--−1--−-0,5--−0,4-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;4):$

|--|--|--|--| |x-|1-|2-|4-| -y--4--2--1-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции по частям. При $x =0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ и $(4;1)$ — точки стыка.

$02481−124−−−−−((xy148100−4;0,4,54;1−)1)$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку:

$0141−−xyy(1y(214=)=)−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−4;−1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

${− 1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#61569

Постройте график функции

( | | ) y = 1 ||x − 6||+ x + 6 . 2 |6 x| 6 x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции: $x⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 6 ≥0 6 x x2− 36 --6x--≥ 0 (x− 6)(x +6) -----6x---- ≥ 0

Найдем нули числителя: $x− 6= 0$ или $x +6 = 0,$ то есть $x= 6$ или $x = −6.$

Нули знаменателя: $x= 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

$x∈ [−6; 0)∪ [6; + ∞ )$

Для того, чтобы упростить ограничения из второго случая достаточно воспользоваться той же картинкой из метода интервалов, выбрать участки с «-» и выколоть граничные точки. Тогда решение $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6).$

Исходная задача принимает следующий вид:

( || x y = { 6, x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ ) ||( 6 x, x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)

График функции при $x ∈[−6; 0)∪ [6; +∞ )$ — это прямая $x y = 6 .$

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [−6; 0):$


$x$	$− 6$	0

$y$	$− 1$	0

Точка $(0; 0)$ является выколотой точкой.

Построим таблицу значений для прямой при $x∈ [6; +∞ ):$


$x$	6	12

$y$	1	2

График функции при $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6)$ — это гипербола $6 y = x.$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (− ∞; −6):$


$x$	$− 6$	$− 8$	$− 10$

$y$	$− 1$	$− 34$	$− 35$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x∈ (0; 6):$


$x$	$1 2$	1	2	3	6

$y$	12	6	3	2	1

Построим график функции:

$xyyy110 = = −1 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 1 общую точку.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = − 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $− 1< m < 0,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.
Если $0 ≤m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $1< m,$ то прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет одну точку пересечения с графиком, когда $m ∈ {−1; 1}.$

Ответ:

$m ∈ {−1; 1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#27284

Постройте график функции $2 y = x − 3|x|− x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трех общих точек.

Показать ответ и решение

Для начала раскроем функцию модуля и запишем исходную функцию следующим образом:

{x2 − 4x при x ≥0 y = 2 x +2x при x <0

1. Исследуем функцию на интервале $(− ∞;0).$ На этом интервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2+ 2x.$

График функции $y = x2+ 2x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b 2 xв. = −2a = −2 = −1 yв. = − (− 1)2+ 2⋅(−1)= − 1

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $2 y = x$ на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 1 единицу вниз по оси $OY.$

2. Исследуем функцию на полуинтервале $[0;+ ∞ ).$ На этом полуинтервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2− 4x.$

График функции $y = x2− 4x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b − 4 xв. = −2a = −-2-= 2 yв. = 22− 4 ⋅2= −4

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $y = x2$ на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 4 единицы вниз по оси $OY.$

Отметим также, что при $x= 0$ функция примет значение $y = 0.$

Теперь мы можем построить график исходной функции:

$xyyyyyyyy110 = = = = = = = m−−mm0m,,,,41m−−m <41><<−04mm << −01$

Опираясь на построенный график, посмотрим теперь на различные положения прямой $y = m$ относительно этого графика.

При $m <− 4$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
При $m = −4$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
При $− 4< m < −1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $m =− 1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $− 1 <m < 0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно четыре общие точки.
При $m =0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $m >0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Таким образом, подходит только $− 4≤ m ≤ −1$ и $m ≥ 0.$

Ответ:

$− 4 ≤ m ≤− 1; m ≥ 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2