Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Теория чисел на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67956

Для натурального числа $N$ выписаны все его натуральные делители $p i$ в порядке возрастания $1< p <p ...<p = N. 1 2 k$

Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $σ(N ).$

Найдите все возможные значения $3 σ(N ),$ если известно, что

2 p3⋅p4⋅p1696⋅p1697 ≥N

Источники: ПВГ-2023, 10.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что можно сделать с большими по номеру делителями. Например мы знаем, что если p - наибольший делитель, а q - наименьший, то p = N/q. Как развить эту идею?

Подсказка 2

Вот пусть у N ровно n ≥ 1697 делителей. Тогда p₁₆₉₇ = N/pₙ₋₁₆₉₇₊₁, p₁₆₉₆ = N/pₙ₋₁₆₉₆₊₁. Тут уже при перемножении мы получаем N² и это хорошо. Но еще получаем в знаменателе два подряд идущих делителя. При каких n это все еще будет выполняться условие?

Подсказка 3

Если n уже ≥ 1700, то внизу будет стоять ≥ p₄⋅p₅, что больше чем p₃⋅p₄, то есть наше выражение будет уже < N². Остается n < 1700, и несложным перебором можно найти примеры на эти n и найти число делителей у N³)

Показать ответ и решение

По основной теореме арифметики $N$ представляется единственным образом в виде:

α1 α2 αn N = q1 ⋅q2 ⋅⋅⋅qn ,где qi− простое число

Тогда из правила произведения, поскольку мы каждую степень простого числа $q i$ выбираем $α +1 i$ способами, то $σ(N)= (α + 1)⋅(α + 1)⋅⋅⋅(α + 1). 1 1 n$ Из условия следует, что $σ(N)≥ 1697.$ Разберем несколько случаев:

1.

Пусть $σ(N)= 1697.$ Тогда:

N 1 =p1 < p2 < ⋅⋅⋅< p1696 = p2 < p1697 = N.

Значит, $p3⋅p4⋅p1696⋅p1697 = p3⋅p4N2 ≥ N2. p2$ То есть условие выполняется.
Так как $1697−$ простое число, то из формулы для $σ(N )$ следует, что $N = q1696$ (в противном случае 1697 было бы составным).Таким образом,

σ(N3) =(3⋅1696+ 1)= 5089.

2.

Пусть $σ(N)= 1698.$ Тогда:

N- N- 1 =p1 < p2 < ⋅⋅⋅< p1696 = p3 < p1697 = p2 < p1698 = N.

Значит, $p3⋅p4⋅p1696⋅p1697 = pp42N2 ≥ N2.$ То есть условие выполняется.
Так как $1698 =(1697+ 1)= (1 +1)(848+ 1)= (2+ 1)(565+ 1)$ и
$1698= (5+ 1)(282+ 1)= (1+ 1)(2+1)(282+ 1),$ то:

3 σ(N ) =(3⋅1697+ 1)= 5092;

σ(N3)= (3 ⋅1 +1)(3⋅848+ 1) =10180;

3 σ(N )= (3 ⋅2 +1)(3⋅565+ 1) =11872;

3 σ(N )= (3 ⋅5 +1)(3⋅282+ 1) =13552;

σ(N3 )=(3⋅1+ 1)(3⋅2+ 1)(3⋅282+ 1)= 23716.

3.

Пусть $σ(N)= 1699.$ Тогда:

1 =p1 < p2 < ⋅⋅⋅< p1696 = N-< p1697 = N-< p1698 < p1699 = N. p4 p3

Значит, $p3⋅p4⋅p1696⋅p1697 = N2 ≥ N2.$ То есть условие выполняется.
Так как $1699−$ простое число, то из формулы для $σ(N )$ следует, что $N = q1698$ (в противном случае 1699 было бы составным).Таким образом,

σ(N3) =(3⋅1698+ 1)= 5095.

4.

Пусть $σ(N)≥ 1700.$ Тогда $p1696 < Np,p1697 < Np-. 3 2$ Следовательно, $p3⋅p4⋅p1696 ⋅p1697 <N2.$ Таким образом, этот случай невозможен.

Ответ:

$5089,5092,5095,10180,11872,13552,23716$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69856

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6,7,8,9,10,...$ , если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $3 2 2 ) 8= 2 ,9 =3 ,16= 4,...$ ?

Источники: ПВГ-2022, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, чтобы найти число, которое стоит на 2022 месте, надо посчитать количество полных квадратов и кубов среди чисел от 6 до 2027. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Для начала найдем количество квадратов. Можно заметить, что 2116=46²>2027>45²=2025. Поэтому количество квадратов равно 43 (1² и 2² не лежат в нашей последовательности). А сколько кубов находится в этой последовательности...

Подсказка 3

Их 11, ведь 2197=13³>2027>12³=1728 (1³ мы не считаем). Кажется, что некоторые числа мы посчитали дважды... Какие же?

Подсказка 4

Если n=t⁶, то n мы посчитали дважды. Таких n всего 2: 64 и 729. Как завершить решение?

Подсказка 5

Так как мы вычеркнули 43+11-2=52 числа, то надо прибавить к 2027 52. Осталось только проверить, не было ли среди чисел от 2027 до 2079 точных квадратов или кубов и наслаждаться победой!

Показать ответ и решение

Так как чисел от 1 до 5 нет в последовательности, то изначально на $2022$ месте стоит число $2027.$

Среди первых $2022$ членов последовательности $43$ полных квадрата, так как $2 46 = 2116$ уже больше 2027, а $2 45 = 2025$ ещё меньше и при этом из 45 первых квадратов не учитываются $2 1$ и $2 2 .$

Среди первых $2022$ членов последовательности $11$ полных кубов, так как $3 13 =2197$ уже больше 2027, а $3 12 = 1728$ ещё меньше и при этом из 12 первых кубов не учитывается $3 1 .$

При удалении квадратов и кубов числа, являющиеся $6$ степенью натуральных чисел, были посчитаны дважды. Их среди первых $2022$ членов последовательности $2$ , а именно $6 6 2 и 3$ , так как $6 4096= 4$ уже больше, чем 2027, а $6 3 =729$ ещё меньше, и при этом $6 1$ учитывать не надо.

Итак, после удалений на $2022$ месте будет стоять число $2027+ 43+ 11 − 2= 2079.$

Ответ: 2079

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40086

Аня выписала одно за другим $2018$ чисел

1⋅2 2⋅3 3⋅4 2018-⋅2019 2 , 2 , 2 ,..., 2

и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Источники: ПВГ-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, в задаче надо выяснить, как часто последняя цифра будет 5. Давайте просто возьмем и попробуем написать последние цифры у некоторого количества чисел из последовательности.

Подсказка 2!

Так как нам нужно посчитать, как часто встречается 5, было бы здорово заметить какую-то периодичность... Можно, конечно, просто повыписывать числа, но давайте попробуем проанализировать. Нам даны числа вида N(N+1)/2 и мы хотим чтобы у этого совпала последняя цифра с каким-то (N+X)(N+1+X)/2, это будет значить, что у нас период длины Х!. Что же это может быть за Х...

Подсказка 3!

Ага, нехитрыми алгебраическими вычислениями заметим, что 20 подойдет! Ну все, самое важное мы уже сделали, осталось как-то хитро (или не очень) подсчитать 5ки!

Показать ответ и решение

Поскольку для любого натурального $n$ от $1$ до $(2018− 20)$ разность $(n+20)⋅(n+21)-− n⋅(n+1)= 20n +210 2 2$ делится на $10,$ то числа $(n+20)⋅(n+21) 2$ и $n⋅(n+1) 2$ заканчиваются на одну и ту же цифру, то есть последовательность последних цифр данных в условии чисел периодическая с периодом $T = 20.$

Также заметим, что $n⋅(n+1) 2 = 1+ ...+n.$ Можно легко выписать последние цифры первых $20$ чисел, прибавляя к предыдущему номер текущего числа и беря остаток по модулю $10:1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0.$

В группе из $20$ чисел цифра $5$ встречается $4$ раза. Среди $2018$ чисел есть $100$ групп по $20$ чисел и последняя группа на $18$ чисел, а которой также четыре пятёрки. В итоге всего пятёрок $100⋅4 +4 =404$ штуки.

Ответ:

$404$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67143

Найдите все тройки натуральных чисел $(m,n,k)$ такие, что

3 3 m +n = k!+32

Источники: ПВГ-2019, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задаче на натуральные числа внезапно начинают фигурировать кубы, то пусть у вас всегда возникает мысль, что надо работать по модулю 7 или 9. Это потому, что там очень мало остатков получается. Поработаем, к примеру, с 7. Что мы можем сказать про правую часть при k > 6?

Подсказка 2

Верно, справа по модулю 7 будет 4, так как k! делится на 7, а остаток 32 по модулю 7 это 4. А слева какие вообще выражения могут быть по модулю 7? Какие вообще значения может принимать куб числа по модулю 7?

Подсказка 3

Верно, левая часть по модулю 7 никогда не сравняется с правой, а значит, мы ограничили k сверху шестёркой. Остается перебрать все возможные k и попытаться найти для них подходящие натуральные m и n. Задача решена!

Показать ответ и решение

Посмотрим по модулю $7.$ Нетрудно проверить, что кубы натуральных могут давать только остатки $0,1,−1$ (можно для удобства заменить остаток $6$ на $− 1,$ очевидно, что разница кратна $7$ ). Поэтому если $k≥ 7,$ то правая часть даёт остаток $4$ по модулю $7$ (такой же, как $32$ ). При этом остатки левой части могут быть только ${−2,−1,0,1,2}.$ Все они отличаются от $4$ по модулю $7,$ поэтому равенство невозможно. Значит, $k ≤6.$ Остаётся перебрать случаи

$3 3 k =1.m + n = 33,$ решений нет.
$3 3 k =2.m + n = 34,$ решений нет.
$3 3 k =3.m + n = 38,$ решений нет.
$k =4.m3+ n3 = 56,$ решений нет.
$k =5.m3+ n3 = 152,$ решения $(3,5),(5,3).$
$k =6.m3+ n3 = 752,$ решений нет.

Все проверки осуществляются простым перебором (достаточно взять $n,m ≤9,$ поскольку $93 = 729$ для последнего случая, а для других намного меньше).

Замечание. Аналогичные рассуждения можно было провести для модуля $9,$ тогда не потребовалось бы рассматривать $k =6.$

Ответ:

$(5,3,5),(3,5,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86091

Решите уравнение в целых числах:

2 3xy− x− y = 2019− 3x

Показать ответ и решение

Перенесём все неизвестные в одну сторону и разложим на множители:

2 3x + 3xy− x − y =2019

3x(x +y)− (x +y)= 2019

(3x− 1)(x+ y)=2019

Заметим, что $2019 =3⋅673,$ где каждый сомножитель простой, и что выражение в первой скобке даёт остаток 2 по модулю 3, значит, оно должно быть равно числу с остатком 2 по модулю 3. Посмотрим остатки всех целых делителей числа 2019 по модулю 3: у 2019 остаток 0, у 673 остаток 1, у 3 остаток 0, у 1 остаток 1, у $− 1$ остаток 2, у $− 3$ остаток 0, у $− 673$ остаток 2, у $− 2019$ остаток 0.

Следовательно, возможно только два случая

{ { 3x − 1 =− 1 3x− 1= −673 x+y =− 2019 и x+ y = −3

{ { x= 0 и x = −224 y = −2019 y =221

Ответ:

$(0;− 2019),(−224;221)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92323

Найдите десятичную запись числа

5 ( 2) - (∘ 3√----) 10-⋅-2x− x-+ 2(3√2+ 1)(3 --2− 1) 666 3

если $x =0,999.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое слагаемое придется честно вычислить. Для этого удобно сначала вычислить 2x - x² = x(2-x), заметив, что 0,999 = 1 - 0,001. А как можно вычислить второе слагаемое?

Подсказка 2

Ясно, что простыми тождественными преобразованиями тут не обойтись. В выражении второго слагаемого фигурирует много кубических корней. Как можно уменьшить их количество?

Подсказка 3

Верно! Вместо самого второго слагаемого сначала попробуем вычислить его куб! Что тогда получится?

Показать ответ и решение

Так как $x= 1− 10−3,$ то

2 ( −3)( −3) −6 2x− x = x(2 − x)= 1− 10 1+10 = 1− 10 =0,999999

Поэтому

(2x − x2)⋅105 99999,9 ----666-----= -666--= 150,15

Обозначим второе слагаемое $3√- (∘3√32−1) 2( 2 +1) --3- = y.$ Так как

( 3√- ) √3- √3- 3√- y3 = 8(3√2+ 1)3 -2-− 1 = 8⋅ (2+3-4+3--2+-1)(-2−-1) √- 3√- √- √- √-3 =8 ⋅ 232+-3⋅2+-334+-32−-2−-334−-332−-1-=8 3

то $y = 2$ (понятно, что $y >0,$ так как все множители положительные).

Ответ:

$152,15$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#61647

Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде $49a+ 7b+c,a⁄= 0$ , а второе — что в виде $121c+ 11b+a$ . Приравняв, получим

120c+ 4b =48a ⇐⇒ 30c +b= 12a

Отсюда сразу же следует, что $b$ кратно шести, поскольку $12$ и $30$ делятся на это число. Значит, $b=0,6$ , разберём эти случаи

$b= 0 ⇐⇒ 30c= 12a ⇐⇒ 5c= 2a$ . Здесь $a= 0,5$ (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только $a =5,c= 2$ . В итоге получаем число $49⋅5+ 2= 247$ .
$b= 6 ⇐⇒ 30c+6 =12a ⇐⇒ 5c+1 =2a$ . Отсюда $a =3,c= 1$ , получаем $49⋅3+ 7⋅6+1 =190$ .

Ответ:

$190,247$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82709

Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число, удовлетворяющее условию задачи. Тогда существуют такие целые числа $p$ и $s,$ что верна система

{ 1n =p5 21 2 5n =s

Умножаем на $2$ и $5$ соответственно первое и второе уравнение. Система приобретает вид

{ n =2p5 n =5s2

Из первого получаем, что $n ... 2.$ Тогда из второго уравнения, так как числа 2 и 5 взаимно просты, следует, что $s2 ... 2,$ то есть $s ... 2,$ и, стало быть, $. n .. 4.$ Аналогично получаем, что $. 55.. n.$

Пусть $n= 22 ⋅55k.$ Подставим в систему

{ 22⋅55k = 2p5 22⋅55k = 5s2

Сокращаем на 2 и 5 уравнения соответственно

{ 2⋅55k= p5 22⋅54k= s2

Из первого уравнения получаем, что $2 ... p,$ следовательно, $k ... 24.$ Наименьшее $k,$ удовлетворяющее этому условию равно $4 2 .$ Пусть $4 k= 2 ,$ тогда $6 5 n = 2⋅5 .$ Видим, что оно удовлетворяет системе, значит, это и есть нужное минимальное число.

Ответ:

$26⋅55$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#96611

Написаны $2017$ чисел. Известно, что сумма квадратов любых $7$ из них равна $7,$ сумма любых $11$ из них положительна, а сумма всех $2017$ чисел делится на $9.$ Найдите эти числа.

Показать ответ и решение

Сумма квадратов любых 7 чисел равна 7. Отсюда следует, что все эти квадраты равны 1. Все эти числа равны $± 1$ .

Сумма 11 положительна, значит, количество не превосходит 5.

Если все будут равны 1, то сумма равна 2017 и на 9 не делится.

Если поменять знак у одной единицы, то сумма уменьшится на 2. Сделав так 5 раз, получим 2007, которое делится на 9.

Ответ:

пять чисел равны $− 1,$ остальные равны $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31498

Найдите наименьшее натуральное число $N,$ такое что число $99N$ состоит из одних троек.

Источники: ПВг-2016, 9.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва посмотрим, на что делится число 99N: на 9 и 11. Можем ли мы что-нибудь сказать про количество цифр?

Подсказка 2

В силу того, что число состоит только из троек, из признака делимости на 9 следует, что кол-во цифр делится на 3. А из признака делимости на 11 следует, что кол-во цифр должно делиться на 2. Тогда оно делится на 6. Какое тогда может быть минимальное подходящее число?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что это 333333. Отсюда находится N.

Показать ответ и решение

Заметим, что число $99N$ делится на $9$ и на $11.$ Значит, количество цифр в нём должно делиться на $3$ и на $2$ (то есть и на $6$ ), так как если число троек нечетное, то сумма на четных и нечётных местах будет отличаться на $3$ ?! Отсюда $99N ≥ 333333$ и при этом $99N =333333$ уже подходит, так что наименьшее $N =3367.$

Ответ:

$3367$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#61177

Найдите все четырёхзначные числа, которые на $7182$ меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим наше число в виде abcd, тогда в обратном порядке получится dcba. Расписываем числа через степени десятки и составляем уравнение по условию

Подсказка 2

Отлично, получилось 111(d-a) + 10(c-b) = 798. Понимая, что a, b, c, d - цифры, оценим слагаемые.

Подсказка 3

Заметим, что d-a при делении на 10 имеет остаток 8, причем a и d - первые цифры в числах, что приводит нас к единственному случаю, остается только счет)

Показать ответ и решение

Пусть это число $abcd= 1000a +100b+10c+ d$ , отсюда

(1000d +100c+10b+ a)− (1000a+ 100b+ 10c+d)= 999d+ 90c− 90b− 999a= 7182

Сокращая результат на $9$ , получаем

111d+ 10c− 10b− 111a= 111(d− a)+10(c− b)= 798

Поскольку $10(c− b)∈[−90,90]$ , то $111(d− a)∈ [708,888]$ , отсюда $111(d − a)∈ {777,888}.$

Добавляя условие, что $111(d− a)=798− 10(c− b) ≡8 10$ (то есть даёт остаток $8$ по модулю $10$ ), получаем единственный случай $d− a= 8,d= a+8.$

Поскольку $a⁄= 0$ , то остаётся $a= 1,d =9$ , отсюда

10(c − b)= 798− 888= −90 ⇐⇒ b=c +9 =⇒ c= 0,b= 9

Получаем единственное подходящее число $1909.$

Ответ:

$1909$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#70325

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$ , для которых выполнено равенство

2 x +xy = y+ 92

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс

Показать ответ и решение

Вычтем из обеих частей $y+ 1$ и разложим левую часть на скобки

x2+ xy = y+ 92⇔ x2+ xy− y − 1 =91⇔ x2− 1+ y(x − 1)= 91⇔ ⇔ (x− 1)(y+ x+ 1) =91= 7⋅13

Так как $x,y ∈ ℕ, y+ x+ 1> x− 1,$ а также обе скобки неотрицательны. Значит возможны только следующие случаи:

[ x− 1= 1 и y+x +1 =91 x− 1= 7 и y+x +1 =13

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(2,88),(8,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70327

Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ , удовлетворяющие уравнению

3 2 x +2y = 2016

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Получить хорошее разложение на скобки тут не получится, а перебор всех пар $(x,y)$ большой. Сократим его, воспользовавшись четностью:

. x.. 2⇒ x =2k, k ∈ℕ ⇒ ⇒ 8k3+ 2y2 = 2016⇔ 4k3+y2 =1008; y ... 2⇒ y =2n, n ∈ℕ ⇒ ⇒ 4k3 +4n2 = 1008 ⇔ k3+n2 =252.

Так как $73 = 343 >252,$ разберем 6 возможных значений $k$ и выберем те, при которых $n∈ ℕ.$

⌊ k= 1 и n2 = 251 || k= 2 и n2 = 244 ||| k= 3 и n2 = 225⇒ x= 6, y = 30 || k= 4 и n2 = 188 ||⌈ k= 5 и n2 = 127 k= 6 и n2 = 36⇒ x =12, y = 12

Ответ:

$(6,30),(12,12)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74216

Решите в целых числах уравнение

6 3 x =y + 217

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс(см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде $(x2− y)(x4+ x2y +y2)= 217.$ Осталось просто перебрать всевозможные варианты значений скобочек. Чтобы сократить перебор, заметим, что первая скобка меньше второй, а значит она меньше $√--- 217.$ Таким образом, возможны варианты $1,217$ и $7,31,$ так как вторая скобка всегда положительна, значит и первая должна быть положительна. Ясно, что в обоих случаях надо выразить $y$ через $x$ и подставить во второе уравнение, получится квадратное уравнение, которое нужно решить и выписать целочисленных ответы ответы.

Ответ:

$(±3,8),(±1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31219

Некоторое четырёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $4983.$ Какие числа складывали?

Источники: ПВГ-2015, 8.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите изначальное и конечное число, приведя подобные. Посмотрите на сумму по модулю 10, что вы можете сказать?

Подсказка 2

Действительно, сумма первой и последней цифры имеет остаток 3 при делении на 10. Но может ли оно быть больше 10?

Подсказка 3

Нет, не может. Значит сумма первой и последней цифры равна 3. Но ведь тогда сумма двух оставшихся цифр равна…

Подсказка 4

Равна 18. Сумма двух цифр равна 18? О чем это говорит? Как только ответите на этот вопрос-останется небольшой перебор значений первой цифры и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Пусть число было $abcd.$ Тогда $abcd-+dcba= 4983.$ Заметим, что $a+ d< 10,$ потому что иначе сумма была бы пятизначной, поэтому из последнего разряда $a +d= 3.$ Теперь посмотрим на $b+c$ — такая сумма была во втором и третьем разрядах, но цифры там разные, поэтому $b+c =18> 10,$ откуда сразу же $b=c =9.$

Мы получили необходимые условия, но они же будут и достаточными, осталось сказать, что $a > 0,$ тогда возможны случаи $a= 1$ и $a =2$ (при $a= 3$ получим $d= 0,$ тогда не получится число с теми же цифрами в обратном порядке, потому что развёрнутое число должно будет записываться с незначащим нулём), откуда и получаем ответ.

Ответ:

$1992$ , $2991$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#48590

Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее $2015$ , такое, что при умножении на $5$ сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.

Источники: ПВГ-2015, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче фигурирует число и сумма его цифр. Что мы можем сказать про эти два значения? Если мы знаем, что задача на теорию чисел, то что мы хотим чаще всего сделать?

Подсказка 2

В задаче на теорию чисел мы очень часто хотим рассмотреть некоторое значение по модулю чего-то. Но учитывая, что здесь есть сумма цифр, то мы сразу вспоминаем признак равноостаточности для числа 9. Значит хотим рассмотреть выражение по модулю 9. Нам сказано, что сумма цифр не меняется при умножении числа на 5. Значит, и остаток не меняется :)

Подсказка 3

Да, это значит что 5n=n(mod 9), где n-наше число. Значит 4n=0(mod9) => n=0(mod9). Значит, наше число точно делится на 9. Ну и поскольку нас просят найти наибольшее число, то и перебор (если мы хотим так решать) нужно делать сверху. Осталось его сделать!

Показать ответ и решение

Попробуем найти такое число среди тех, что больше $2000$ . Поскольку сумма цифр не меняется, то не меняется и остаток числа по модулю $9$ , но при этом он умножается на $5$ , то есть для первоначального остатка $d$ имеем

d≡9 5d ⇐⇒ 4d ≡9 0 ⇐ ⇒ d ≡9 0

То есть такое число обязано быть кратно $9$ . Среди больших $2000$ такое ровно одно $2007$ — оно подходит: $2007 ⋅5 =10035$ . Оценка же следует из того, что следующее кратно $9$ число уже $2016> 2015$ .

Ответ:

$2007$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#83271

На доске написаны числа $1,2,...,2015$ . Над ними последовательно проделывают 2014 операций, причём $n$ -я по счёту операция состоит в следующем: произвольные числа $a$ и $b$ (из написанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное $ab∕n$ . Что останется на доске в конце?

Источники: ПВГ - 2015, Ставрополь, 11.2 (pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что произведение после применения $k$ операций равно $2015!. k!$ Действительно, в начале произведение равно $2015!.$ После применения первой операции оно равно $2015! 1 ,$ так как два числа были стерты, а вместо них было написано $ab 1 .$

Пусть на $k−$ ом шаге произведение чисел равно $2015! k! .$ Тогда на $(k+ 1)−$ ом шаге произведение некоторые числа $c,$ $d$ становятся равны $ck+d1.$ Произведение всех чисел, кроме $c$ и $d,$ не изменилось, и оно равно $2015! k!⋅cd.$ Тогда новое произведение равно произведению всех чисел, к которым операция не применялась и нового числа $ckd+1$

2015!⋅--cd- = -2015!- k!⋅cd k +1 (k +1)!

Всего до того, как останется одно число, сделано $2014$ шагов, поэтому в конце будет

2015! 2014! = 2015

Ответ: 2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32931

Найдите все пары натуральных чисел $x,y$ , удовлетворяющие уравнению

3xy− y+3x =1008.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте получить в левой части разложение на множители, а справа — число, чтобы дальше перебрать возможные случаи, пользуясь натуральностью чисел.

Подсказка 2

Вычтите 1 из обеих частей уравнения, тогда левая часть разложится на множители, а справа будет число 1007 = 19×53. Какие случаи надо теперь рассмотреть? Можно ли сократить их число?

Подсказка 3

Конечно же, есть всего два случая: первая скобка равна 19, вторая равна 53 и наоборот. Мы воспользовались тем, что каждая скобка больше 1 в силу натуральности переменных.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

3xy+ 3x− y− 1=1008− 1

3x(y +1)− (y+ 1)= 1007

(3x − 1)(y+ 1)= 19 ⋅53

При натуральных $x,y$ каждая из скобок в левой части уравнения являются натуральными числами больше $1$ , поэтому по основной теореме арифметике равенство может выполняться только лишь в случае, когда одна из скобок равна $19$ , а другая $53.$

Имеем два случая:

3x− 1= 19,y+ 1= 53

3x− 1= 53,y+ 1= 19,

откуда и получаем ответ, выбрав из решений только пару, в которой оба числа натуральные.

Ответ:

$(18;18)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#43623

Заданы $2014$ натуральных чисел. Если выбрать из них любые $100$ чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые $1916$ чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014⋅2013$ ?

Источники: ПВГ-2014, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте подумать над тем, может ли быть в наборе, скажем 500 нечетных чисел. Или 200? Или 100? А почему может или не может?

Подсказка 2

Понятно, что в наборе не может быть больше 99, так как если их хотя бы 100, то можно выбрать из этого набора вот эти 100 чисел нечетных и получить набор, который не соответствует условию. Попробуйте теперь применить такую же логику и понять сколько максимум может быть четных и как тогда оценить кол-во нечетных(если знаете максимальное кол-во четных).

Подсказка 3

Да! Четных чисел не больше 1915, по тем же рассуждениям. Значит нечетных чисел не меньше 99… Хмм… Сколько тогда нечетных? Какую тогда четность имеет сумма?

Показать ответ и решение

Из первого условия нечётных чисел не более $99$ . Из второго условия чётных чисел не более $1915$ . Поскольку всего чисел $2014= 99 +1915$ , то нечётных должно быть ровно $99$ . Сумма всех чисел это сумма чётных и нечётного числа нечётных, следовательно, она нечётна и не может равняться $2013⋅2014.$

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#67139

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

5xy+ y− 5x =1038

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замечаем, что 5х повторяется - вынесем его за скобку и посмотрим на то, что останется в скобках. Кажется, нам чего-то не хватает, чтобы сделать еще один множитель. Чего?

Подсказка 2

Ну конечно, нам не хватает слева вычесть единичку, тогда вынесется еще и у-1. Мы получили произведение двух натуральных чисел (так как правая часть натуральная), отсюда следует посмотреть на в целом возможные делители правой части. Только им и могут равняться скобки левой части.

Подсказка 3

1037 = 17 * 61 = 1 * 1037. Отсюда получим возможные варианты и просто выберем те, в которых х и у получаются натуральными.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по единице, получим

5xy+ y− 5x − 1 =1037 ⇐⇒ (5x+ 1)(y− 1)= 1037= 17⋅61 =1 ⋅1037

Поскольку мы решаем уравнение в натуральных числах, то обе скобки неотрицательны и принимают натуральные значения. При этом $5x+ 1> 1,$ поэтому возможны только случаи

⌊ 5x+ 1= 17 и y− 1 =61 |⌈ 5x+ 1= 61 и y− 1 =17 5x+ 1= 1037 и y− 1= 1

В первом и третьем случае решений нет, поскольку $x$ получается нецелым. Получаем только решение $(12,18)$ из второго случая.

Ответ:

$(12,18)$

Предыдущий раздел

Следующий раздел