Тема 18. Задачи с параметром

18.06 Алгебра. Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13558

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 (a− 3)x − 2ax + 5a = 0

имеет решения, и все решения этого уравнения положительны.

Показать ответ и решение

Сразу возникает два случая: $a − 3 = 0$ и уравнение вырождается в линейное, либо уравнение квадратное.

1.

$a− 3 = 0 ⇒ a = 3$

Получаем

5 − 6x + 15 = 0 ⇔ x = 2 > 0

При таком $a$ корень существует и положителен.

2.

$a− 3 ⁄= 0 ⇒ a ⁄= 3$

Далее возможны два случая.

2.1.

Уравнение имеет ровно один корень, т.е. $D = 0$ . Найдем $a$ , при которых $D = 0$ :

$pict$

При $a = 0$ получаем уравнение $− 3x2 = 0 ⇔ x = 0$ , корень неположителен.

При $a = 154$ корень положителен:

2a 15 15 x = -------= -15-4-- = -------= 5 > 0 2(a − 3) 4 − 3 15− 12

2.2.

Уравнение имеет ровно два корня, т.е. $D > 0$ . Найдем $a$ , при которых $D > 0$ :

( ) D = − 16a2 + 60a > 0 ⇔ a ∈ 0; 15 4

По теореме Виета

( {x1 + x2 = a2−a3 ( -5a- x1x2 = a−3

Заметим, что два числа положительны $⇔$ их сумма и произведение положительны, т.е. должна выполняться система

$pict$

Пересекая с промежутком $( 15) 0;-- 4$ , получаем $( 15) a ∈ 3;-- 4$ .

Объединив все подходящие $a$ , получаем

[ ] a ∈ 3; 15 4

Ответ:

$[ 15] a ∈ 3;4-$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36434

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (a− 3)x − 2ax+ 5a= 0

имеет решения и все решения этого уравнения положительные.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратного типа и вырождается в линейное при $a= 3.$ Рассмотрим этот случай отдельно. Тогда уравнение примет вид

−2x+ 5= 0,

откуда $x =2,5> 0,$ следовательно, данное значение $a$ нам подходит.

Пусть $a ⁄= 3.$ Тогда уравнение квадратное и дискриминант

D = 4a2− 20a(a − 3)≥ 0,

откуда $a∈ [0;3,75].$

Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были положительны, необходимо, чтобы их сумма и произведение были положительны. Следовательно, по теореме Виета:

( || -2a-> 0 { a− 3 ||( -5a-> 0 a− 3 a∈ (−∞; 0)∪ (3;+ ∞ )

С учетом положительности дискриминанта получаем

a∈ (3;3,75]

В ответе не забудем рассмотренный ранее случай $a= 3.$

Ответ:

$a ∈[3;3,75]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36448

При каких $a$ уравнение

2 (a+ 1)x − (2a+1)x+ a− 2= 0

имеет два положительных корня?

Показать ответ и решение

Уравнение должно быть квадратным, чтобы иметь два корня. Следовательно, $a +1 ⁄=0$ , откуда $a⁄= −1$ .

Чтобы оба корня были положительными, их произведение и сумма должны быть положительными. Тогда по теореме Виета с учетом положительности дискриминанта имеем:

(| ||||{D2a>+01 a+-1->0 ||||| a− 2 ( a+1-> 0

Решая систему, получаем ответ $( ) a∈ − 98;− 1∪ (2;+∞ )$ .

Ответ:

$a ∈(− 9;−1)∪ (2;+∞ ) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36435

Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36436

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения

2 x − 2ax+ 2a− 5= 0

будет наименьшей?

Показать ответ и решение

Уравнение квадратное, чтобы оно имело корни, нужно $D ≥0$ , следовательно,

2 4a − 4(2a − 5)≥ 0 ⇔ a ∈R

Сумма квадратов корней $x1$ и $x2$ равна

2 (x1+ x2)− 2x1x2

По теореме Виета

x2+ x2= 4a2− 2(2a − 5)= 4a2 − 4a+ 10= (2a− 1)2 +9≥ 9 1 2

Наименьшее значение достигается при $a= 12$ .

Ответ:

$a = 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#569

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

25x5 + 25(a − 1)x3 − 4(a − 7)x = 0

имеет ровно пять различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Показать ответ и решение

Заметим, что данное уравнение при любых значениях $a$ всегда имеет как минимум один корень $x= 0$ . Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение

4 2 25x + 25(a − 1)x − 4(a − 7) = 0 (∗)

имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с $x = 0$ арифметическую прогрессию.

Заметим, что функция $y = 25x4+ 25(a − 1)x2− 4(a− 7)$ является четной, значит, если $x0$ является корнем уравнения $(∗)$ , то и $− x0$ является его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями уравнения $(∗)$ были упорядоченные по возрастанию числа $− 2d,−d,d,2d$ (тогда $d> 0$ ). Именно тогда данные пять чисел $− 2d,−d,0,d,2d,$ будучи корнями исходного уравнения, будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью $d$ ).

Чтобы корнями уравнения $(∗)$ являлись числа $− 2d,−d,d,2d$ , нужно, чтобы числа $d 2,4d2$ являлись корнями уравнения

2 25t + 25(a− 1)t− 4(a− 7)= 0(∗∗)

(сделали замену $x2 = t).$

Тогда по теореме Виета для уравнения $(∗∗):$

( ( ( ||{− 4(a-−-7)-= d2⋅4d2 ||{d4 = 7−-a ||{ d4 = 7-− a 25 ⇔ 25 ⇔ 25( ) ||(− 25(a-− 1)-= d2+ 4d2 ||(d2 = 1−-a ||( 7−-a = 1−-a 2 25 5 25 5

Решим второе уравнение:

⌊ 2 ⌈a = −2 a − a− 6= 0 ⇔ a= 3

Причем при $a = −2$ имеем $d= ± ∘-3 5$ , а при $a= 3$ имеем $d ∈∅$ . Значит, подходит значение $a= − 2$ и $∘ -- d= 35$ (т.к. должно быть $d> 0$ ).

Ответ:

$a ∈ {− 2}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#875

Найдите все возможные значения параметра $a$ , при которых уравнение

(x2 − 6x + a − 10)(x2 − 6x − 2a + 3) = 0

имеет четыре различных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Показать ответ и решение

Для того, чтобы данное уравнение имело 4 различных корня, нужно, чтобы каждое из уравнений $x2 − 6x + a − 10 = 0$ и $x2 − 6x − 2a + 3 = 0$ имело 2 корня, причем все 4 корня были различны. Пусть $x1 < x2$ – корни первого уравнения, $x3 < x4$ – корни второго. Следовательно, дискриминанты обоих уравнений положительны:

{ D1 = 76 − 4a > 0 ⇔ − 3 < a < 19. D2 = 24 + 8a > 0

Рассмотрим функции $2 y1 = x − 6x + a − 10$ и $2 y2 = x − 6x − 2a + 3$ . Графиками этих функций являются параболы, причем обе параболы имеют абсциссу вершины $x0 = 3$ . Тогда существует только два возможных варианта расположения корней.

1) График $y1$ находится выше графика $y2$ .

$PIC$

Тогда $x < x < x < x 3 1 2 4$ . Т.к. обе параболы симметричны относительно прямой $x = 3$ , то точки $x 1$ и $x2$ находятся на одинаковом расстояние от точки $x = 3$ . Аналогично с точками $x3$ и $x4$ . Учитывая еще то, что они должны образовывать арифметическую прогрессию (то есть расстояние между двумя соседними точками должно быть одинаково, например, $d > 0$ ), то

(| x = 3 − 3d ||{ 3 21 x1 = 3 − 2d || x2 = 3 + 1d |( 23 x4 = 3 + 2d

Т.к. из квадратных уравнений следует, что $x1x2 = a − 10$ , $x3x4 = 3 − 2a$ , то получаем систему:

{ ( ) ( ) 3 − 1d ⋅ 3 + 1d = a − 10 ( 23 ) ( 23 ) 3 − 2d ⋅ 3 + 2d = 3 − 2a

Решая данную систему, находим, что $a = 15$ – входит в промежуток $(− 3;19)$ .

2) График $y 1$ находится ниже графика $y 2$ .

$PIC$

Тогда $x1 < x3 < x4 < x2$ . Рассуждая аналогично пункту 1, находим $35- a = − 19$ – входит в промежуток $(− 3;19 )$ .

Ответ:

${ } a ∈ − 3519;15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18407

Найдите все значения $a,$ при которых модуль разности корней уравнения

2 2 x − 6x+ 12+ a − 4a= 0

принимает наибольшее значение.

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение и у него должно быть два корня, следовательно,

( 2 ) D = 36− 4 12+ a − 4a > 0 ⇔ 1< a< 3

Пусть $x1$ и $x2$ — его корни. Тогда нужно найти наибольшее значение выражение $|x1− x2|.$

Воспользуемся теоремой Виета. Выражение $|x1− x2|$ принимает наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение принимает выражение

(x1− x2)2 =(x1+ x2)2− 4x1x2 = = −4 (a2 − 4a +3)= − 4(a − 2)2+ 4

Здесь принимается наибольшее значение при $a = 2,$ что подходит под условие на дискриминант.

Ответ:

$a ∈{2}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Найдены два корня или без нахождения корней верно наложено условие наибольшего значения с помощью теоремы Виеты, но из-за ошибки верные $a$ не найдены	2

Наложено условие существования двух решений	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18413

Найдите все значения $a,$ при которых уравнение

2 ax + 2(a +2)x+ a+ 5= 0

имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.

Показать ответ и решение

При $a =0$ уравнение становится линейным и не может иметь два корня. Следовательно, для того, чтобы уравнение было квадратное и имело два корня, нужно:

{ { a ⁄=0 ⇔ a⁄= 0 D = 4(a+ 2)2− 4a(a+ 5)> 0 a< 4

Пусть $x1$ и $x2$ — корни. Воспользуемся теоремой Виета. Тогда $|x1− x2|> 1$ , что равносильно тому, что $(x1− x2)2 >$ 1 :

( )2 (x1+ x2)2− 4x1x2 >1 ⇒ 2(a+-2) − 4⋅ a+-5 > 1 a a

Преобразуем неравенство и получим:

4(4− a) 2 √- √- --a2---> 1 ⇒ (a+ 2) <20 ⇔ − 2− 2 5 <a < −2+ 2 5

Учитывая, что $a ⁄= 0$ и $a< 4$ , получаем итоговый ответ:

√ - √- −2 − 2 5< a <0; 0< a< − 2+ 2 5

Ответ:

$( √ - ) ( √-) a ∈ − 2− 2 5;0 ∪ 0;−2+ 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18563

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

2 x + (a+ 2)x+ 3a− 1= 0

имеет два корня, причем один из них положительный, а второй отрицательный.

Показать ответ и решение

Имеем приведенное квадратное уравнение

2 x + (a+ 2)x+ 3a− 1= 0

Оно имеет два корня, если его дискриминант положителен, то есть

(a +2)2− 4⋅(3a− 1)> 0 a2+4a +4 − 12a +4 > 0 ⌊ √- 2 ⌈a > 4+ 2 2 a − 8a+ 8> 0 ⇔ a < 4− 2√2

Если два числа имеют разные знаки, то произведение этих двух чисел отрицательно. По теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Тогда так как корни уравнения должны иметь разные знаки, то свободный член должен быть отрицателен, то есть

1 3a− 1< 0 ⇒ a < 3

Оба рассмотренных выше условия должны выполняться одновременно, значит, имеем систему

⌊( √- (| 1 |{a > 4+ 2 2 ||{ a⌊< 3 √ - ||(a < 1 | a> 4+ 2 2 ⇔ ||( 3 √- ||( ⌈a< 4− 2√2- |⌈{a < 4− 2 2 (a < 13

Решим первую систему неравенств. Заметим, что числа 4 и $2√2$ больше 1, поэтому выполнено следующее:

1 < 1< 4+ 2√2 3

Отсюда получаем

({ √ - a >4 + 2 2 ⇒ a∈ ∅ (a < 13

Решим вторую систему неравенств. Оценим снизу число $4 − 2√2 :$

√ - √ - 2 < 2,25 ⇒ 2< 1,5 ⇒ − 2> −1,5 √ - √- 1 − 2 2> − 3 ⇒ 4− 2 2> 1 > 3

Отсюда получаем

( √ - {a <4 − 2 2 ⇒ a< 1 (a < 13 3

Тогда решим совокупность двух систем:

( ⌊{ a> 4+ 2√2 ||( 1 ⌊ ||( a< 3 ⇒ ⌈a∈ ∅ ⇒ a < 1 ||{ a< 4− 2√2 a< 13 3 ⌈( 1 a< 3

Ответ:

$( 1) a ∈ −∞; 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верно найдены значения параметра $a,$ при которых уравнение имеет два корня	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#19499

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых среди корней уравнения

2 ax + (a + 4)x + a+ 1 = 0

имеется ровно один отрицательный.

Показать ответ и решение

Данное уравнение обращается в линейное при $a = 0$ , при всех остальных значениях $a$ оно будет квадратным. Рассмотрим по отдельности эти случаи.

Пусть $a = 0.$ Тогда уравнение примет вид $4x+ 1 = 0$ , откуда $x = − 14$ . Получили один корень, и он отрицательный, как нам и нужно. Значит, это значение параметра нам подходит.
Пусть $a ⁄= 0$ . Тогда уравнение квадратное. Нам подойдут два случая: либо оно имеет один корень, и этот корень отрицательный, либо оно имеет два корня, и один из них отрицательный, а другой неотрицательный.
Найдем дискриминант $D = (a + 4)2 − 4a(a + 1) = − 3a2 +4a + 16$ .
- Если $D = 0$ , то $2 √ -- a = 3(1± 13)$ .
  Тогда единственный корень этого уравнения равен
  $xB = − a+-4- 2a$
  Чтобы он был отрицательный, должно выполняться
  $a+-4- − 2a < 0 ⇒ a ∈ (− ∞; − 4) ∪(0;+∞ )$
  Из чисел $a = 2(1 ± √13) 3$ этому условию удовлетворяет лишь $a = 2(1+ √13) 3$ . Это число пойдет в ответ.
- Если $D > 0$ , то $a ∈ (2(1 − √13); 2(1+ √13)) 3 3$ .
  В этом случае уравнение имеет два корня. Случай, когда один из них будет отрицательным, а другой положительным, соответствует ситуации, когда их произведение будет отрицательным. По теореме Виета произведение корней равно
  $a+-1-< 0 ⇒ a ∈ (− 1;0) a$
  Также нам подойдет случай, когда один из корней равен нулю, а второй отрицателен. Квадратный трехчлен имеет корень, равный нулю, когда его свободный член равен нулю, то есть $a = − 1$ . При этом значении $a$ уравнение примет вид $2 − x + 3x = 0$ и будет иметь корни $x = 0;3$ , среди них нет отрицательного, значит, такое $a$ нам не подойдет. Пересекая $a ∈ (− 1;0)$ с условием на дискриминант, получим $a ∈ (− 1;0)$ .

Объединив все подходящие значения, получим итоговый ответ

{ } a ∈ (− 1;0]∪ 2 (1 + √13) 3

Ответ:

${ √ -} a ∈ (− 1;0]∪ 2+23-13-$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#36437

При каких значениях $p$ уравнение

∘ ---p p 4(x − p⋅7)x+ p+ 7(7 − 1)=0

имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях $p$ ?

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным. Приведем его к стандартному виду:

2 ∘ ---p p 4x − 4 p⋅7 x+(p+ 7(7 − 1))= 0

Чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы

p D >0 ⇒ (7 − 1)(p− 7)> 0 ⇒ p >7

Заметим, что при $p< 0$ уравнение не имеет смысла.

1) При $p= 0$ уравнение примет вид $x2 =0$ , откуда $x= 0$ .

2) При $p> 0$ имеем произведение и сумму корней по теореме Виета:

({ x + x =√p-⋅7p ( 1 2 p x1x2 =p +7(7 − 1)

Так как из-за дискриминанта $p >7$ , то и сумма, и произведение положительны.

Ответ:

$p >7 ⇒$ два положительных корня

$74 p= 7 ⇒ x= 2$ – положительный

$p= 0 ⇒ x= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#36438

Пусть $x ,x 1 2$ – корни квадратного трехчлена $(a− 1)x2− (2a+ 1)x +2+ 5a$ . Найдите все $b$ , для каждого из которых величина $(x1− b)(x2 − b)$ принимает постоянное значение при всех $a$ , при которых она определена.

Показать ответ и решение

Так как многочлен квадратичный, то $a⁄= 1$ . Следовательно, если $x 1$ и $x 2$ – его корни, то

2 (a− 1)x − (2a +1)x+2 +5a= (a− 1)(x− x1)(x − x2)

Заметим, что величина

(a−-1)x2-− (2a+1)x+-2+-5a-|x=b (x1 − b)(x2− b)= a − 1

То есть

(a− 1)b2 − (2a+ 1)b+ 2+5a (b2− 2b+5)a− b2− b+ 2 (x1− b)(x2 − b)=---------a− 1---------= -------a-− 1-------

Для того, чтобы получившееся выражение относительно $a$ было константным, нужно, чтобы числитель нацело делился на знаменатель, то есть

( {b2− 2b+ 5= k (−b2− b+2 =− k

Решая данную систему, получаем, что $b= 7 3$ .

Ответ:

$b= 7 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#36439

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

(| ||{ 2x+ y = a− 1 | 2xy = a2− 3a+ 1 ||( 2 2 2 4x + y ≤ −a + 5a− 4

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Пусть $2x= t.$ Тогда первые два уравнения системы есть ничто иное, как уравнения из теоремы Виета. Следовательно, будут существовать такие $y$ и $t,$ если по обратной теореме Виета будут корни у квадратного уравнения

x2− (a − 1)x+ (a2− 3a+ 1) = 0

Следовательно, для его дискриминанта имеем:

2 2 2 D = (a− 1) − 4(a − 3a+ 1)= −(3a − 10a +3) 1 D ≥ 0 ⇒ 3 ≤ a≤ 3

Тогда будет существовать и выражение $t2+ y2 = 4x2 +y2,$ причем оно равно

2 2 2 t+ y = (t+ y)− 2ty = = (a − 1)2− 2(a2 − 3a +1)= − a2+4a − 1

Тогда для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно

−a2 +4a − 1 ≤− a2+ 5a− 4 ⇔ a≥ 3

При условии на дискриминант получаем лишь $a = 3.$

Ответ:

$a = 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#36441

При каких $a$ уравнение

logax+ logx(17− 10a)=2

имеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не меньше $1∕10.000$ ?

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения на параметр

(| ⌊ ||{ a> 0 0< a< 1 || a⁄= 1 ⇔ ⌈1< a< 1,7 |( 17− 10a> 0

Выпишем ограничения на $x$ :

( {x >0 (x ⁄=1

Перейдем к новому основанию $a$ во втором логарифме и перепишем уравнение в виде

log x+ loga(17−-10a)= 2 a logax

Заметим, что $loga(17− 10a)= const.$

Сделаем замену $logax = t$ . Так как $x⁄= 1$ , то $t⁄= 0$ . Для каждого другого $t$ существует ровно один корень $x$ (так как каждому корню $t=t0$ соответствует ровно один $t0 x0 = a ,$ находимый из уравнения $logax0 = t0).$

Тогда уравнение можно привести к виду (не забываем про условие $t⁄= 0$ )

2 t − 2t+loga(17− 10a)= 0

Данное квадратное относительно $t$ уравнение может иметь максимум два корня, следовательно, исходное уравнение может иметь максимум два корня $x$ .

Поставим условие на то, что это уравнение имеет два корня, то есть на его дискриминант:

D = 4− 4loga(17− 10a)> 0 ⇒ (a− 1)(17− 10a− a)< 0 ⇔ ( ) a ∈(−∞;1)∪ 17;+∞ 11

Следовательно, $xx ≥ 10−4 1 2$ , следовательно, $at1 ⋅at2 ≥ 10−4$ , откуда $at1+t2 ≥ 10−4$ . Значит, так как по теореме Виета сумма корней $t + t= 2, 1 2$ получаем $a2 ≥10−4$ и $|a|≥ 10−2$ .

Поставим условие на то, чтобы ни один из корней $t$ не был равен нулю. Это условие равносильно тому, что произведение корней не равно нулю, то есть $Π= t1t2 = loga(17− 10a)⁄=0$ , откуда $8 a⁄= 5$ .

Таким образом, для получения итогового ответа нужно найти значения $a$ из следующей системы

(| ⌊ ||||| ⌈0< a< 1 |||{ 1< a< 1,7 | a∈(−∞; 1)∪(1171;+ ∞) ||||| |a|≥10−2 |||( 8 a⁄= 5

Тогда ответ $[ 1- ) (17 8) (8 17) a∈ 100;1 ∪ 11;5 ∪ 5;10$ .

Ответ:

$a ∈[-1;1)∪(17;8)∪(8;17) 100 11 5 5 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#36442

Числа $p$ и $q$ подобраны так, что уравнение

1+x 1−x 2 + p+q ⋅2 = 0

имеет ровно два различных корня, а их сумма равна $4$ . Найдите при этом условии произведение всех различных корней уравнения

2 2 (x − 5x− 300)(x − px− q)=0

Показать ответ и решение

1) Сделаем замену $2x = t$ в первом уравнении. Причем заметим, что каждому $t> 0$ соответствует ровно один $x$ , всем $t≤0$ не соответствует ни одного $x$ . Получим квадратное уравнение

2 2t + pt+ 2q = 0

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы

2 D = p − 16q > 0

Сумма корней $x1+x2 =4$ , следовательно, $24 =2x1+x2 = 2x1 ⋅2x2 = q$ , то есть $q =16$ . Тогда из дискриминанта имеем условие $p2 > 162$ , откуда $p< −16$ (так как $− p2$ – сумма корней $t1+ t2$ , а эти корни должны быть положительные, следовательно, и их сумма).

2) Корни первой скобки $x1 = −15$ , $x2 = 20$ . Проверим, может ли первый корень являться корнем второй скобки:

152+15p− 16= 0 ⇒ p> 0

Невозможно.
Проверим второй.

202− 20p− 16= 0 ⇒ p> 0

Невозможно.

Следовательно, все четыре корня второго уравнения различны, значит, их произведение равно $− 300⋅(−q)= 4800$ .

Ответ:

4800

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#36443

Числа $x,y,a$ таковы, что

({ x +1 =a +y (xy +a2+ 14− 7a =0

При каких значениях $a$ сумма $2 2 x +y$ максимальна?

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде

({ x − y = a− 1 (−yx =a2− 7a+ 14

Следовательно, если существуют числа $x$ и $− y$ , удовлетворяющие системе, то эти числа являются корнями уравнения

t2− (a − 1)t+(a2− 7a +14)= 0

(по обратной теореме Виета)

Значит, $2 2 D =(a− 1)− 4(a − 7a+ 14)≥ 0$ , откуда $11- 3 ≤a ≤5$ .

Тогда

x2+y2 =(x− y)2+ 2xy = (a − 1)2− 2(a2− 7a +14)= −(a − 6)2+9 ≤9

Максимальное значение равно $9$ и достигается при $a =6$ . Но при этом значении параметра $a$ дискриминант $D < 0$ .
Значениям $11 3 ≤ a≤ 5$ соответствует левая ветвь параболы $2 y = −(a− 6) + 9$ , следовательно, функция возрастает, значит, наибольшее значение достигается при $a= 5$ .

Ответ:

$a =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#36445

При каких $a$ уравнение

2 2 2 log2(2x + (2a +1)x− 2a)− 2log4(x + 3ax +2a )= 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

2 2 2 log2(2x + (2a + 1)x− 2a)= log2(x + 3ax+ 2a) ⇔ ( { 2x2+ (2a +1)x− 2a= x2+ 3ax+ 2a2 ⇔ ( x2+ 3ax+ 2a2 > 0 ({ 2 2 x + (1 − a)x − 2a− 2a = 0 (⋆) ( x2+ 3ax+ 2a2 > 0 (⋆⋆)

По теореме Виета из уравнения $(⋆)$ определяем сумму и произведение корней:

( { x1+ x2 = a− 1 ( 2 x1x2 = −2a− 2a = 2a(−1− a)

Следовательно, корнями уравнения $(⋆)$ являются числа $x1 = 2a$ , $x2 = −1 − a,$ поскольку они удовлетворяют системе выше. Они различны при $2a⁄= − 1− a,$ то есть при $1 a⁄= − 3.$

Оба корня должны удовлетворять неравенству $(⋆⋆):$

( { 4a2+ 3a⋅2a+ 2a2 > 0 ( 2 2 ⇔ a< 1,a⁄= 0 (a+ 1)− 3a(1+ a)+2a >0

Чтобы сумма квадратов корней была больше 4, нужно

x21+ x22 = (x1+ x2)2 − 2x1x2 = (a− 1)2 − 2(−2a − 2a2)> 4

Отсюда

a ∈(−∞; −1)∪ (0,6;+∞ )

Пересекая это с условиями $a < 1,a ⁄= 0$ и $1 a⁄= − 3,$ получаем окончательно

a ∈ (− ∞;−1)∪ (0,6;1)

Ответ:

$a ∈(−∞; −1)∪ (0,6;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33957

Корни уравнения

3 2 ||5 || 15 x − x ⋅logp8 p +||2log4p||− 8 = 0

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения

x3− 2x2√p-+ 2px-− -p---=0 3 15 p+14

есть длины высот этого же треугольника. Найдите площадь $S$ треугольника, периметр которого из всех возможных треугольников, удовлетворяющих условию, минимален.

Показать ответ и решение

Пусть корни первого уравнения — числа $a,b,c$ (стороны треугольника), а корни второго уравнения — числа $h ,h ,h a b c$ (высоты треугольника). тогда

2S = aha =bhb = chc

Тогда по теореме Виета для обоих уравнений

(| (|log pp= a+ b+c ||||| logp8 p=a +b+ c ||||| 8 ||||| |52log4p|=ab+ bc+ac ||||||52log4p|= ab+bc+ ac ||||| 15 |||||15= abc { 8 = abc ⇒ { 8 |||| 23√p =ha +hb+ hc ||||23√p-= 2S ⋅ ab+ac+-bc ||||| 2p |||||2p 2 a-+ba+bcc ||||| 15 = hahb+hahc+ hbhc |||||15 =4S ⋅ abc ||( pp+14 = hahbhc ||(p+p14 = 8S3⋅-1 abc

Отсюда

(||2√p-= 2S ⋅ 8-⋅|5 log p| (||√p =4S|log p| ||{3 15 2 4 ||{ 4 ||21p5 = 4S2⋅185 ⋅logp8 p ⇔ ||p= 16S2logp8 p ||(--p-= 8S3⋅ 8 ||(--p-= 64S3 p+14 15 p+14 15

Из первых двух уравнений получаем

2 ( 1 )2 1 log4p= logp8 p ⇔ 2log2p = logpp-− logp8 ⇔ ( 1 2 1 { t3− 3t2 − 4t= 0 1 4log2p = 1−--3-- ⇔ ( t=log p ⇒ p= 2;1;16 log2p 2

Подставим найденные $p$ во второе и третье уравнения системы и найдем $S$ .

1.: при $p= 12$ получаем $(|1 2 1 ||{2 =16S log116 2 ||--12-- 64-3 ⇒ S ∈∅ |(12 +14 = 15S$
2.: при $p= 1$ получаем $( ||{ 1= 16S2log18 1 | 1 64 ⇒ S ∈∅ |( 1+-14 = 15S3$
3.: при $p= 16$ получаем $( ||{16= 16S2 log216 | 16 64 ⇒ S = 12 |(16+-14 = 15S3$

Следовательно, получаем при $p =16$ площадь $S = 12.$

Проверим, что при найденном $p$ существуют корни первого уравнения и они могут являться сторонами некоторого треугольника. При $p =16$ первое уравнение выглядит как

8x3− 32x2+ 40x − 15= 0

Подбором находим, что один из корней равен $x = 3. 2$ Разделив в столбик $8x3− 32x2+ 40x − 15$ на $2x − 3,$ получим

3 5 √5 8x3− 32x2+ 40x − 15= 0 ⇔ (2x− 3)(4x2− 10x+ 5)= 0 ⇔ x= 2;4 ± 4--

Следовательно, ${ √- √-} {a;b;c}∈ 32;54 −-54 ;54 +-54 .$ Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для этих чисел:

√- √- 1) 3 < 5−-5-+ 5+ -5- ⇔ 3< 5 — верно 2 4 4 4 4 2 2 5 √5- 3 5 √5- √5- 3 2)4 − 4 < 2 + 4 + 4 ⇔ − 2 < 2 — верно √- √- √- 3) 5 +-5< 3 + 5− -5- ⇔ -5< 3 — верно 4 4 2 4 4 2 2

Все верно, следовательно, параметр $p= 16$ нам подходит. Значит, ответ $S = 1. 2$

Ответ:

$S = 1 2$ при $p =16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#36440

Найдите все значения параметра $a$ , при которых сумма длин интервалов, составляющих множество решений неравенства

-x2+-(2a2-+6)x− a2-+2a−-3- x2+ (a2+ 7a− 7)x− a2+ 2a − 3 <0

не меньше $1$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $2a2+6 =A$ , $a2 +7a− 7= B$ , $− a2+ 2a− 3 =C$ . Тогда $A≥ 6$ , $B$ может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю, а $2 C =− (a− 1) − 2 ≤−2$ . Неравенство тогда принимает вид

x2 +Ax +C x2+-Bx-+C-< 0

Дискриминант числителя равен $D1 = A2− 4C >0$ , так как $A2 >0$ и $− C > 0$ . Аналогично дискриминант знаменателя положителен. Следовательно, и числитель, и знаменатель имеют по два корня.

Предположим, что какой-то корень числитель совпал с корнем знаменателя (обе пары совпасть не могут, так как тогда $A =B$ , что невозможно, ибо получаем уравнение $a2− 7a +13= 0$ , не имеющее корней). Пусть корни числителя $x1$ и $x2$ , а знаменателя $x1$ $x3$ . Заметим, что ни один из них не может быть равен нулю, так как их произведение $C <0$ . Тогда имеем

x1x2 = C = x1x3 ⇒ x3 = x2

Противоречие. Следовательно, корни числителя отличаются от корней знаменателя. Пусть корни знаменателя будут называться $x3$ и $x4$ . Тогда уже на методе интервалов рисунок будет следующий:

$PIC$

Где $X,Y,T,Z$ – какие-то из чисел $x1,x2,x3,x4$ . Значит, нам нужно, чтобы $Z− T + Y − X ≥ 1$ .
Заметим, что так как произведение корней числителя/знаменателя отрицательно, то они разных знаков. Без ограничения общности примем $x1 < 0< x2$ , $x3 < 0< x4$ . Тогда уже $X,Y$ – это $x1$ или $x3$ , а $T,Z$ – это $x2$ или $x4$ .

Рассмотрим все возможные расстановки корней (а также в эту последовательность добавим число $0$ для наглядности):
$x ,x,0,x,x 1 3 2 4$
$x ,x,0,x,x 1 3 4 2$
$x3,x1,0,x2,x4$
$x3,x1,0,x4,x2$

Из первой расстановки следует, что $|x3|< |x1|$ , $|x2|< |x4|$ , что не противоречит $|x1|≥|x2|$ , $|x4|> |x3|$ и $x1x2 = x3x4$ .
Из второй расстановки следует, что $|x3|<|x1|$ , $|x4|< |x2|$ , откуда следует, что $|x3x4|< |x1x2|$ , что противоречит тому, что $x1x2 = x3x4$ .
Аналогично для третьей расстановки.
Из четвертой расстановки следует, что $|x3|> |x1|$ , $|x2|> |x4|$ . Но по доказанному выше: $|x1|≥|x2|$ , $|x4|> |x3|$ , следовательно, получаем следующую цепочку: $|x3|> |x1|≥|x2|>|x4|$ . Отсюда получаем, что $|x3|> |x4|$ , что противоречит доказанному выше.

Таким образом, мы заключаем, что возможна только единственная расстановка корней – первая. Тогда решением неравенства будет $x ∈(x1;x3)∪(x2;x4)$ . Следовательно, нужно, чтобы

x4− x2 +x3− x1 ≥ 1 ⇒ (x4+ x3)− (x1 +x2)≥ 1 ⇒ a2+7a − 7− (2a2+ 6)≥ 1 ⇒ a∈ (−∞;3]∪[4;+∞ )

Ответ:

$a ∈(−∞;3]∪[4;+ ∞)$

Предыдущий раздел

Следующий раздел