Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

01 Задачи №20 из банка ФИПИ → 01.07 №20. Тип 7

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Разделы подтемы Задачи №20 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90631Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-− 1 − 6= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1− x − 6x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

6x2+ x− 1= 0 2 D = 1 − 4 ⋅6⋅(− 1)= 1+ 24= 25 −-1±-5 x= 2 ⋅6 ⌊ 1 |x = 3 ⌈ 1 x = −2

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ 1 |x = −2 ⌈ 1 x = 3

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

t2− t− 6 = 0 D = (−1)2− 4⋅(−6)= 1+ 24= 25= 52 1± 5 t = -2-- [ t= −2 t= 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ | 1= − 2 |x = − 1 ⌈ x1 ⇔ ⌈ 12 x = 3 x = 3

Ответ:

$− 1; 1 2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38713Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-− 3 − 4= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1− 3x− 4x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

4x2+ 3x − 1= 0 2 D = 3 − 4 ⋅4⋅(− 1)= 9+ 16= 25 −-3±-5 x= 2 ⋅4 ⌊ 1 |x= 4 ⌈x= −1

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ |x= −1 ⌈ 1 x= 4

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

2 t − 3t− 4= 0 D = (−3)2− 4⋅(−4)= 9+ 16= 25= 52 3± 5 t = -2-- [t= 4 t= −1

Сделаем обратную замену:

⌊ 1 =4 ⌊x= 1 |⌈x ⇔ ⌈ 4 1 =− 1 x= −1 x

Ответ:

$− 1; 1 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90628Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-+ 4 − 12= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1 +4x − 12x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

12x2− 4x− 1= 0 2 D = (−4) − 4⋅12⋅(−1)= 16+ 48= 64 4±-8 x = 2⋅12 ⌊ 1 |x = −6 ⌈ 1 x = 2

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ 1 |x = −6 ⌈ 1 x = 2

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

t2+ 4t− 12 =0 D = 42− 4⋅(− 12)= 16 + 48 = 64= 82 −4 ±8 t= --2--- [ t= 2 t= −6

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ | 1= 2 |x = 1 ⌈ x1 ⇔ ⌈ 21 x = − 6 x = −6

Ответ:

$− 1; 1 6 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90629Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-+ 3 − 10= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1 +3x − 10x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

10x2− 3x− 1= 0 2 D = (− 3) − 4 ⋅10 ⋅(− 1) = 9+ 40 = 49 3±-7 x = 2⋅10 ⌊ 1 |x = 2 ⌈ 1 x = −5

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ 1 |x = −5 ⌈ 1 x = 2

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

t2+ 3t− 10 =0 D = 32− 4⋅(−10)= 9+ 40= 49= 72 −3 ±7 t= --2--- [ t= 2 t= −5

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ | 1= 2 |x = 1 ⌈ x1 ⇔ ⌈ 21 x = − 5 x = −5

Ответ:

$− 1; 1 5 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90630Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $1-+ 2 − 3= 0. x2 x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Найдем ОДЗ:

{x2 ⁄= 0 x ⁄=0 ⇒ x ⁄= 0

Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на $x2 ⁄=0 :$

2 1+ 2x− 3x = 0

Домножим обе части уравнения на $− 1 :$

3x2− 2x − 1= 0 2 D = (−2) − 4⋅3⋅(−1)= 4+ 12= 16 2±-4 x = 2 ⋅3 ⌊x = 1 | ⌈x = − 1 3

Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

⌊ 1 |x = −3 ⌈ x = 1

Способ 2

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому $x ⁄= 0.$

Вернемся к уравнению. Сделаем замену $t= 1 . x$ Следовательно, $t2 = 1-. x2$ Тогда имеем

2 t + 2t− 3= 0 D = 22− 4 ⋅(− 3)= 4+ 12= 16= 42 −2 ±4 t= --2--- [t= 1 t= −3

Сделаем обратную замену:

⌊ 1= 1 ⌊x = 1 |⌈ x ⇔ ⌈ 1 1= − 3 x = −3 x

Ответ:

$− 1; 1 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема