Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

01 Задачи №20 из банка ФИПИ → 01.03 №20. Тип 3

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Разделы подтемы Задачи №20 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90590Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) (x − 2) x2+ 8x+ 16 = 7(x+ 4).$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x− 2)(x2+ 8x+ 16)= 7(x +4) (2 ) (x − 2)x + 8x +16 − 7(x+ 4)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 8x +16 =x2 +2 ⋅4 ⋅x+ 42 = (x+ 4)2

Тогда имеем

(x − 2)(x+ 4)2 − 7(x+ 4)= 0 (x− 2)(x +4)(x+ 4)− 7(x +4)= 0 (x+ 4)(((x − 2)(x+ 4)− 7)=) 0 (x+ 4)x2 +4x − 2x − 8 − 7 = 0 (x+ 4)(x2+2x − 15) =0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности

[ x+ 4= 0 x2+ 2x− 15= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 2x− 15= 0 2 2 D = 2 + 4⋅15= 64= 8 − 2± 8 x= --2--- [ x= 3 x= −5

Таким образом,

⌊ [ x =− 4 x2+4 = 0 ⇔ |⌈x =3 x + 2x− 15= 0 x =− 5

Ответ:

$− 5; −4; 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#54967Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) x x2+ 4x+ 4 = 3(x +2).$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x(x2+ 4x+ 4)= 3(x+ 2) ( 2 ) x x +4x + 4 − 3(x+ 2)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 4x+ 4= x2+ 2⋅2⋅x +22 =(x+ 2)2

Тогда имеем

x(x + 2)2− 3(x+ 2)= 0 x(x +2)(x+ 2)− 3(x+ 2)= 0 (x+ 2)((x(x + 2)− 3))= 0 (x +2) x2+ 2x− 3 = 0

[ x + 2= 0 x2 +2x − 3 = 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 2x− 3= 0 2 2 D = 2 +4 ⋅3= 16= 4 − 2± 4 x= --2--- [ x= 1 x= −3

Таким образом,

⌊ [ x= −2 x+2 2= 0 ⇔ |⌈ x= 1 x + 2x − 3= 0 x= −3

Ответ:

$− 3; −2; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22834Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $2 x(x +2x +1)= 6(x+ 1).$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x(x2+ 2x+ 1)= 6(x+ 1) ( 2 ) x x +2x + 1 − 6(x+ 1)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 2x+ 1= x2+ 2⋅1⋅x +12 =(x+ 1)2

Тогда имеем

x(x + 1)2− 6(x+ 1)= 0 x(x +1)(x+ 1)− 6(x+ 1)= 0 (x+ 1)(x((x + 1)− 6))= 0 (x+ 1)x2 +x − 6 = 0

[ x+ 1= 0 x2+ x− 6= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 6= 0 2 2 D = 1 +4 ⋅6= 25= 5 − 1± 5 x= --2--- [ x= 2 x= −3

Таким образом,

⌊ [ x = −1 x+2 1 =0 ⇔ |⌈x = 2 x + x− 6 =0 x = −3

Ответ:

$− 3; −1; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45465Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x +3).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x − 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x+ 3) ( 2 ) (x− 1) x + 6x+ 9 − 5(x +3)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 6x+ 9= x2+ 2⋅3⋅x +32 =(x+ 3)2

Тогда имеем

(x − 1)(x+ 3)2 − 5(x+ 3)= 0 (x− 1)(x +3)(x+ 3)− 5(x +3)= 0 (x+ 3)(((x − 1)(x+ 3)− 5)=) 0 (x+ 3) x2+ 3x− x− 3− 5 = 0 (x +3)(x2+ 2x− 8)= 0

[ x + 3= 0 x2 +2x − 8 = 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 2x− 8= 0 2 2 D = 2 +4 ⋅8= 36= 6 − 2± 6 x= --2--- [ x= 2 x= −4

Таким образом,

⌊ [ x= −3 x+2 3= 0 ⇔ |⌈ x= 2 x + 2x − 8= 0 x= −4

Ответ:

$− 4; −3; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49725Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) (x − 1) x2+ 8x+ 16 = 6(x+ 4).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x− 1)(x2+ 8x+ 16)= 6(x +4) (2 ) (x − 1)x + 8x +16 − 6(x+ 4)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 8x +16 =x2 +2 ⋅4 ⋅x+ 42 = (x+ 4)2

Тогда имеем

(x − 1)(x+ 4)2 − 6(x+ 4)= 0 (x− 1)(x +4)(x+ 4)− 6(x +4)= 0 (x+ 4)(((x − 1)(x+ 4)− 6)=) 0 (x+ 4) x2+ 4x− x− 4− 6 = 0 (x+ 4)(x2+3x − 10) =0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности

[ x+ 4= 0 x2+ 3x− 10= 0

Решим второе уравение совокупности:

x2+ 3x− 10= 0 2 2 D = 3 + 4⋅10= 49= 7 − 3± 7 x= --2--- [ x= 2 x= −5

Таким образом,

⌊ [ x =− 4 x2+4 = 0 ⇔ |⌈x =2 x + 3x− 10= 0 x =− 5

Ответ:

$− 5; −4; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90583Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) x x2+ 6x+ 9 = 4(x +3).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x(x2+ 6x+ 9)= 4(x+ 3) ( 2 ) x x +6x + 9 − 4(x+ 3)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 6x+ 9= x2+ 2⋅3⋅x +32 =(x+ 3)2

Тогда имеем

x(x + 3)2− 4(x+ 3)= 0 x(x +3)(x+ 3)− 4(x+ 3)= 0 (x+ 3)((x(x + 3)− 4))= 0 (x +3) x2+ 3x− 4 = 0

[ x + 3= 0 x2 +3x − 4 = 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 3x− 4= 0 2 2 D = 3 +4 ⋅4= 25= 5 − 3± 5 x= --2--- [ x= 1 x= −4

Таким образом,

⌊ [ x= −3 x+2 3= 0 ⇔ |⌈ x= 1 x + 3x − 4= 0 x= −4

Ответ:

$− 4; −3; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90588Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) x x2+ 2x+ 1 = 2(x +1).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x(x2+ 2x+ 1)= 2(x+ 1) ( 2 ) x x +2x + 1 − 2(x+ 1)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 2x+ 1= x2+ 2⋅1⋅x +12 =(x+ 1)2

Тогда имеем

x(x + 1)2− 2(x+ 1)= 0 x(x +1)(x+ 1)− 2(x+ 1)= 0 (x+ 1)(x((x + 1)− 2))= 0 (x+ 1)x2 +x − 2 = 0

[ x+ 1= 0 x2+ x− 2= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 2= 0 2 2 D = 1 + 4⋅2= 9 =3 − 1± 3 x= --2--- [ x= 1 x= −2

Таким образом,

⌊ [ x = −1 x+2 1 =0 ⇔ |⌈x = 1 x + x− 2 =0 x = −2

Ответ:

$− 2; −1; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90589Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) (x − 1) x2+ 4x+ 4 = 4(x+ 2).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x − 1)(x2+ 4x+ 4)= 4(x+ 2) ( 2 ) (x− 1) x + 4x+ 4 − 4(x +2)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 4x+ 4= x2+ 2⋅2⋅x +22 =(x+ 2)2

Тогда имеем

(x − 1)(x+ 2)2 − 4(x+ 2)= 0 (x− 1)(x +2)(x+ 2)− 4(x +2)= 0 (x+ 2)(((x − 1)(x+ 2)− 4)=) 0 (x+ 2) x2+ 2x− x− 2− 4 = 0 (x+ 2)(x2 +x − 6) = 0

[ x+ 2= 0 x2+ x− 6= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 6= 0 2 2 D = 1 +4 ⋅6= 25= 5 − 1± 5 x= --2--- [ x= 2 x= −3

Таким образом,

⌊ [ x = −2 x+2 2 =0 ⇔ |⌈x = 2 x + x− 6 =0 x = −3

Ответ:

$− 3; −2; 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90603Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) (x − 2) x2+ 6x+ 9 = 6(x+ 3).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x − 2)(x2+ 6x+ 9)= 6(x+ 3) ( 2 ) (x− 2) x + 6x+ 9 − 6(x +3)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 6x+ 9= x2+ 2⋅3⋅x +32 =(x+ 3)2

Тогда имеем

(x − 2)(x+ 3)2 − 6(x+ 3)= 0 (x− 2)(x +3)(x+ 3)− 6(x +3)= 0 (x+ 3)(((x − 2)(x+ 3)− 6)=) 0 (x+ 3)x2 +3x − 2x − 6 − 6 = 0 (x +3)(x2+ x− 12)= 0

[ x + 3= 0 x2 +x − 12 = 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ x− 12= 0 2 2 D = 1 + 4⋅12= 49= 7 − 1± 7 x= --2--- [ x= 3 x= −4

Таким образом,

⌊ [ x= −3 x+2 3= 0 ⇔ |⌈ x= 3 x + x− 12= 0 x= −4

Ответ:

$− 4; −3; 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90604Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) (x − 2) x2+ 2x+ 1 = 4(x+ 1).$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

(x − 2)(x2+ 2x+ 1)= 4(x+ 1) ( 2 ) (x− 2) x + 2x+ 1 − 4(x +1)= 0

По формуле сокращённого умножения

x2+ 2x+ 1= x2+ 2⋅1⋅x +12 =(x+ 1)2

Тогда имеем

(x − 2)(x+ 1)2 − 4(x+ 1)= 0 (x− 2)(x +1)(x+ 1)− 4(x +1)= 0 (x+ 1)(((x − 2)(x+ 1)− 4)=) 0 (x+ 1) x2+ x− 2x− 2− 4 = 0 (x+ 1)(x2 − x − 6) = 0

[ x+ 1= 0 x2− x− 6= 0

Решим второе уравнение совокупности:

x2− x− 6= 0 2 2 D = 1 +4 ⋅6= 25= 5 1± 5 x = -2-- [ x= 3 x= −2

Таким образом,

⌊ [ x = −1 x+2 1 =0 ⇔ |⌈x = 3 x − x− 6 =0 x = −2

Ответ:

$− 2; −1; 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема