Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

01 Задачи №20 из банка ФИПИ → 01.09 №20. Тип 9

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Разделы подтемы Задачи №20 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55282Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 3)4− 3(x− 3)2− 10= 0.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 3)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 3)4 = (x− 3)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 3t− 10 =0 2 2 D = (−3) − 4 ⋅(− 10) =9 +40 = 49 = 7 t = 3±-7 [ 2 t= 5 t= −2

Сделаем обратную замену:

[(x− 3)2 = 5 2 (x− 3) = −2

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 3)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 3)2 = 5 (x− 3)2 − 5 = 0 2 (√ -)2 (x − 3) − 5 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 3) − 5 = 0 ( √-) ( √-) x− 3− 5 x− 3+ 5 = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

[ √ - [ √ - x − 3 −√ 5= 0 ⇔ x= 3+ √ 5 x − 3 + 5= 0 x= 3− 5

Ответ:

$√ - √ - 3 − 5; 3+ 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90645Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +2)4+ (x+ 2)2 − 12 =0.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 2)4 = (x+ 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 12= 0 2 2 D = 1 − 4⋅(−12)= 1+ 48= 49= 7 t= −1-±7- [ 2 t= 3 t= −4

Сделаем обратную замену:

[(x+ 2)2 = 3 2 (x+ 2) = −4

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +2)2 = 3 (x+ 2)2 − 3 = 0 2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0 ( √-) ( √-) x+ 2− 3 x+ 2+ 3 = 0

[ √- [ √- x+ 2− √3 =0 ⇔ x = −2+ √3 x+ 2+ 3 =0 x = −2− 3

Ответ:

$√ - √- − 2 − 3; − 2+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40195Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 2)4+ 3(x− 2)2− 10= 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 2)4 = (x− 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ 3t− 10 =0 2 2 D = 3 − 4⋅(−10)= 9+ 40= 49= 7 t= −3-±7- [ 2 t= 2 t= −5

Сделаем обратную замену:

[(x− 2)2 = 2 2 (x− 2) = −5

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 2)2 = 2 (x− 2)2 − 2 = 0 2 (√ -)2 (x − 2) − 2 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 2) − 2 = 0 ( √-) ( √-) x− 2− 2 x− 2+ 2 = 0

[ √ - [ √ - x − 2 −√ 2= 0 ⇔ x= 2+ √ 2 x − 2 + 2= 0 x= 2− 2

Ответ:

$√ - √ - 2 − 2;2 + 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49727Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 4)4− 4(x− 4)2− 21= 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 4)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 4)4 = (x− 4)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 4t− 21 =0 2 2 D = (− 4) − 4⋅(−21)= 16+ 84= 100= 10 t= 4-±10 [ 2 t= 7 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x− 4)2 = 7 2 (x− 4) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 4)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 4)2 = 7 (x− 4)2 − 7 = 0 2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 4) − 7 = 0 ( √-) ( √-) x− 4− 7 x− 4+ 7 = 0

[ √ - [ √ - x − 4 −√ 7= 0 ⇔ x= 4+ √ 7 x − 4 + 7= 0 x= 4− 7

Ответ:

$√ - √ - 4 − 7; 4+ 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#54966Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +3)4+ 2(x+ 3)2− 8 =0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 3)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 3)4 = (x+ 3)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ 2t− 8= 0 2 2 D = 2 − 4 ⋅(− 8)= 4+ 32= 36= 6 t= −2-±6- [ 2 t= 2 t= −4

Сделаем обратную замену:

[(x+ 3)2 = 2 2 (x+ 3) = −4

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 3)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +3)2 = 2 (x+ 3)2 − 2 = 0 2 (√ -)2 (x + 3) − 2 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 3) − 2 = 0 ( √-) ( √-) x+ 3− 2 x+ 3+ 2 = 0

[ √- [ √- x+ 3− √2 =0 ⇔ x = −3+ √2 x+ 3+ 2 =0 x = −3− 2

Ответ:

$√ - √- − 3 − 2; − 3+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90641Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 1)4− 2(x− 1)2− 3 =0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 1)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 1)4 = (x− 1)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 2t− 3= 0 2 2 D = (−2) − 4⋅(−3)= 4+ 12= 16= 4 t = 2±-4 [ 2 t= 3 t= −1

Сделаем обратную замену:

[(x− 1)2 = 3 2 (x− 1) = −1

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 1)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 1)2 = 3 (x− 1)2 − 3 = 0 2 (√ -)2 (x − 1) − 3 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 1) − 3 = 0 ( √-) ( √-) x− 1− 3 x− 1+ 3 = 0

[ √ - [ √ - x − 1 −√ 3= 0 ⇔ x= 1+ √ 3 x − 1 + 3= 0 x= 1− 3

Ответ:

$√ - √ - 1 − 3; 1+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90642Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x − 2)4− (x− 2)2 − 6 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 2)4 = (x− 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− t− 6 = 0 2 2 D = (−1) − 4⋅(−6)= 1+ 24= 25= 5 t = 1±-5 [ 2 t= 3 t= −2

Сделаем обратную замену:

[(x− 2)2 = 3 2 (x− 2) = −2

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 2)2 = 3 (x− 2)2 − 3 = 0 2 (√ -)2 (x − 2) − 3 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 2) − 3 = 0 ( √-) ( √-) x− 2− 3 x− 2+ 3 = 0

[ √ - [ √ - x − 2 −√ 3= 0 ⇔ x= 2+ √ 3 x − 2 + 3= 0 x= 2− 3

Ответ:

$√ - √ - 2 − 3; 2+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90643Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +1)4+ (x+ 1)2 − 6 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 1)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 1)4 = (x+ 1)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 6 = 0 2 2 D = 1 − 4 ⋅(− 6)= 1+ 24= 25= 5 t= −1-±5- [ 2 t= 2 t= −3

Сделаем обратную замену:

[(x+ 1)2 = 2 2 (x+ 1) = −3

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 1)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +1)2 = 2 (x+ 1)2 − 2 = 0 2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 1) − 2 = 0 ( √-) ( √-) x+ 1− 2 x+ 1+ 2 = 0

[ √- [ √- x+ 1− √2 =0 ⇔ x = −1+ √2 x+ 1+ 2 =0 x = −1− 2

Ответ:

$√ - √- − 1 − 2; − 1+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90644Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +2)4− 4(x+ 2)2− 5 =0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 2)4 = (x+ 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 4t− 5= 0 2 2 D = (−4) − 4 ⋅(− 5) = 16 +20 = 36 = 6 t = 4±-6 [ 2 t= 5 t= −1

Сделаем обратную замену:

[(x+ 2)2 = 5 2 (x+ 2) = −1

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +2)2 = 5 (x+ 2)2 − 5 = 0 2 (√ -)2 (x + 2) − 5 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 2) − 5 = 0 ( √-) ( √-) x+ 2− 5 x+ 2+ 5 = 0

[ √- [ √- x+ 2− √5 =0 ⇔ x = −2+ √5 x+ 2+ 5 =0 x = −2− 5

Ответ:

$√ - √- − 2 − 5; − 2+ 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90647Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $(x +4)4− 6(x+ 4)2− 7 =0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 4)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 4)4 = (x+ 4)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 6t− 7= 0 2 2 D = (−6) − 4 ⋅(− 7) = 36 +28 = 64 = 8 t = 6±-8 [ 2 t= 7 t= −1

Сделаем обратную замену:

[(x+ 4)2 = 7 2 (x+ 4) = −1

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 4)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +4)2 = 7 (x+ 4)2 − 7 = 0 2 (√ -)2 (x + 4) − 7 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 4) − 7 = 0 ( √-) ( √-) x+ 4− 7 x+ 4+ 7 = 0

[ √- [ √- x+ 4− √7 =0 ⇔ x = −4+ √7 x+ 4+ 7 =0 x = −4− 7

Ответ:

$√ - √- − 4 − 7; − 4+ 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема