Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

01 Задачи №20 из банка ФИПИ → 01.11 №20. Тип 11

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Разделы подтемы Задачи №20 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90661Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 5x2 − 11x =y, 5x − 11 = y.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 5x − 11x= 5x − 11 5x2− 11x − 5x + 11 = 0 5x2− 16x + 11 = 0 2 2 D =(−16) − 4⋅5⋅11= 256− 220= 36= 6 x= 16-±6 ⌊ 2 ⋅5 x= 1 ⌈x= 11 5

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 1 | x = 1 |{ ⌈ 11 ||(5x− 11= y || x = 5- ⇔ ||{x = 11 ( 5x− 11= y ⌈( 5 5x − 11 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x= 1 x= 1 x= 1 5x − 11 = y ⇔ y = 5⋅1− 11 ⇔ y = −6

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 11 (| 11 ( 11 { x= -5 ⇔ { x= 5- ⇔ { x= -5 ( 5x− 11= y |( y = 5⋅ 11-− 11 ( y = 0 5

Следовательно, $(1;− 6);$ $( ) 11 5 ;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−6); 11;0 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49732Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 4x2 − 5x = y, 8x − 10 = y.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 4x − 5x = 8x− 10 4x2− 5x− 8x+ 10= 0 4x2− 13x + 10 = 0 2 2 D = (− 13) − 4 ⋅4 ⋅10 = 169 − 160 =9 = 3 x= 13-±3 ⌊ 2 ⋅4 x =2 ⌈x = 5 4

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 2 | x = 2 |{ ⌈ 5 ||(8x− 10= y || x = 4 ⇔ ||{x = 5 ( 8x− 10= y ⌈( 4 8x − 10 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 2 x = 2 x = 2 8x− 10= y ⇔ y =8 ⋅2− 10 ⇔ y = 6

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 5 (| 5 ( 5 { x= 4 ⇔ { x= 4 ⇔ { x= 4 ( 8x− 10= y |( y = 8⋅ 5 − 10 ( y = 0 4

Следовательно, $(2;6);$ $( ) 5 4;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$(2;6),$ $( ) 5;0 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90657Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 4x2 − 3x = y, 8x − 6 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 4x − 3x= 8x − 6 4x2− 3x − 8x + 6= 0 4x2− 11x+ 6= 0 2 2 D = (−11) − 4⋅4⋅6= 121− 96= 25= 5 x= 11-±5 ⌊ 2 ⋅4 x =2 ⌈x = 3 4

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =2 | x = 2 |{ ⌈ 3 ||(8x− 6 =y || x = 4 ⇔ ||{x = 3 ( 8x− 6= y ⌈( 4 8x − 6 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x= 2 x= 2 x =2 8x− 6= y ⇔ y = 8⋅2− 6 ⇔ y = 10

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 3 (| 3 ( 3 { x= 4 ⇔ { x= 4 ⇔ { x= 4 ( 8x − 6= y |( y = 8⋅ 3 − 6 ( y = 0 4

Следовательно, $(2;10);$ $( ) 3 4;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (2;10); 3;0 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90658Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 7x2 − 5x = y, 7x − 5 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 7x − 5x= 7x − 5 7x2− 5x − 7x + 5= 0 7x2− 12x+ 5= 0 2 2 D = (−12) − 4⋅7⋅5= 144− 140= 4= 2 x= 12-±2 ⌊ 2 ⋅7 x =1 ⌈x = 5 7

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 5 ||(7x− 5 =y || x = 7 ⇔ ||{x = 5 ( 7x− 5= y ⌈( 7 7x − 5 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x =1 x = 1 x = 1 7x− 5= y ⇔ y =7 ⋅1− 5 ⇔ y = 2

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 5 (| 5 ( 5 { x= 7 ⇔ { x= 7 ⇔ { x= 7 ( 7x − 5= y |( y = 7⋅ 5 − 5 ( y = 0 7

Следовательно, $(1;2);$ $( ) 5 7;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;2); 5;0 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90659Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 2x2 − 5x = y, 2x − 5 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 2x − 5x= 2x − 5 2x2− 5x − 2x + 5= 0 2x2− 7x + 5= 0 2 2 D = (− 7)− 4⋅2 ⋅5 = 49− 40 = 9= 3 x = 7±-3 ⌊ 2 ⋅2 x =1 ⌈x = 5 2

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 5 ||(2x− 5 =y || x = 2 ⇔ ||{x = 5 ( 2x− 5= y ⌈( 2 2x − 5 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 1 x= 1 x= 1 2x − 5 = y ⇔ y = 2⋅1− 5 ⇔ y = −3

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 5 (| 5 ( 5 { x= 2 ⇔ { x= 2 ⇔ { x= 2 ( 2x − 5= y |( y = 2⋅ 5 − 5 ( y = 0 2

Следовательно, $(1;− 3);$ $( ) 5 2;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−3); 5 ;0 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90660Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 2x2 − x = y, 2x − 1 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 2x − x = 2x− 1 2x2− x− 2x+ 1= 0 2x2− 3x + 1= 0 2 2 D =(− 3) − 4⋅2⋅1 = 9− 8= 1= 1 x = 3±-1 ⌊ 2 ⋅2 x =1 ⌈x = 1 2

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 1 ||(2x− 1 =y || x = 2 ⇔ ||{x = 1 ( 2x− 1= y ⌈( 2 2x − 1 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x =1 x = 1 x = 1 2x− 1= y ⇔ y =2 ⋅1− 1 ⇔ y = 1

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 1 (| 1 ( 1 { x= 2 ⇔ { x= 2 ⇔ { x= 2 ( 2x − 1= y |( y = 2⋅ 1 − 1 ( y = 0 2

Следовательно, $(1;1);$ $( ) 1 2;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;1); 1;0 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90662Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 3x2 − 4x = y, 3x − 4 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 3x − 4x= 3x − 4 3x2− 4x − 3x + 4= 0 3x2− 7x + 4= 0 2 2 D = (− 7)− 4⋅3 ⋅4 = 49− 48 = 1= 1 x = 7±-1 ⌊ 2 ⋅3 x =1 ⌈x = 4 3

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 4 ||(3x− 4 =y || x = 3 ⇔ ||{x = 4 ( 3x− 4= y ⌈( 3 3x − 4 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 1 x= 1 x= 1 3x − 4 = y ⇔ y = 3⋅1− 4 ⇔ y = −1

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 4 (| 4 ( 4 { x= 3 ⇔ { x= 3 ⇔ { x= 3 ( 3x − 4= y |( y = 3⋅ 4 − 4 ( y = 0 3

Следовательно, $(1;− 1);$ $( ) 4 3;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−1); 4 ;0 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90664Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 5x2 − 9x = y, 5x − 9 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 5x − 9x= 5x − 9 5x2− 9x − 5x + 9= 0 5x2− 14x+ 9= 0 2 2 D = (− 14) − 4 ⋅5 ⋅9= 196− 180 = 16 = 4 x= 14-±4 ⌊ 2 ⋅5 x =1 ⌈x = 9 5

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 9 ||(5x− 9 =y || x = 5 ⇔ ||{x = 9 ( 5x− 9= y ⌈( 5 5x − 9 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 1 x= 1 x= 1 5x − 9 = y ⇔ y = 5⋅1− 9 ⇔ y = −4

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 9 (| 9 ( 9 { x= 5 ⇔ { x= 5 ⇔ { x= 5 ( 5x − 9= y |( y = 5⋅ 9 − 9 ( y = 0 5

Следовательно, $(1;− 4);$ $( ) 9 5;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−4); 9 ;0 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90665Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 3x2 − 2x = y, 3x − 2 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

3x2 − 2x = 3x− 2 2 3x − 2x− 3x+ 2 = 0 3x2 − 5x+ 2 = 0 D = (− 5)2 − 4 ⋅3⋅2 = 25 − 24 = 1 = 12 x = 5-±-1 ⌊ 2⋅3 x = 1 ⌈ 2 x = 3

Вернемся к системе:

⌊{ (⌊ x = 1 ||{⌈x = 1 || 3x− 2 = y x = 2 ⇔ ||({ 2 ||( 3 |⌈ x = 3 3x − 2 = y ( 3x − 2 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 1 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 3x− 2 = y y = 3⋅1 − 2 y = 1

Решим вторую систему полученной совокупности:

( ( ( {x = 2 |{ x = 2 {x = 2 3 ⇔ 3 2 ⇔ 3 (3x − 2 = y |( y = 3⋅- − 2 (y = 0 3

Следовательно, $(1;1);$ $( ) 2;0 3$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) 2 (1;1); 3;0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90666Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ 9x2 − 14x =y, 9x − 14 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 9x − 14x= 9x − 14 9x2− 14x − 9x + 14 = 0 9x2− 23x + 14 = 0 2 2 D =(−23) − 4⋅9⋅14= 529− 504= 25= 5 x= 23-±5 ⌊ 2 ⋅9 x= 1 ⌈x= 14 9

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 1 | x = 1 |{ ⌈ 14 ||(9x− 14= y || x = 9- ⇔ ||{x = 14 ( 9x− 14= y ⌈( 9 9x − 14 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x= 1 x= 1 x= 1 9x − 14 = y ⇔ y = 9⋅1− 14 ⇔ y = −5

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 14 (| 14 ( 14 { x= -9 ⇔ { x= 9- ⇔ { x= -9 ( 9x− 14= y |( y = 9⋅ 14-− 14 ( y = 0 9

Следовательно, $(1;− 5);$ $( ) 14 9 ;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−5); 14;0 9$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема