07 Натуральные числа и нуль → 07.03 Запись натуральных чисел

Для записи числа использовано цифр, из которых различны: и

Заметим, что в каждом разряде ненулевая цифра встречается не более одного раза. Тогда мы можем сложить эти числа поразрядно.

(a) Разряд десятков тысяч: цифра Разряд тысяч: Рязряд сотен: Разряд десятков: Разряд единиц: Итого получается число

(b) Разряд миллионов: цифра Разряд десятков тысяч: Разряд тысяч: Разряд сотен: Разряд единиц: Итого получается число

(c) Разряд сотен тысяч: Разряд тысяч: Рязряд сотен: Разряд десятков: Итого получается число

(d) Разряд тысяч: Разряд сотен: Разряд единиц: Итого получается число

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

Заметим, что первое число должно иметь на конце так как иначе сумма цифр изменится на и новая сумма цифр не будет делиться на Если происходит добавление к числу, содержащему цифр на конце (а цифра с конца не то сумма цифр уменьшается на Если сумма цифр делилась на то и новая сумма цифр, уменьшаемая на должна делиться на то есть должно делиться на Наименьшее для которого это верно, Отсюда наименьшее число с указанным выше свойством —

Запишем заданное шестизначное число как После переноса в конец получаем число Так как оно в раза больше первоначального, то имеем уравнение:

Заметим, что Кощей задумал не любые числа, а именно цифры. Поэтому Иван-Царевич может назвать, например, числа и Тогда

Заметим, что первое число должно иметь на конце так как иначе сумма цифр изменится на и новая сумма цифр не будет делиться на Если происходит добавление к числу, содержащему цифр на конце (а цифра с конца не то сумма цифр уменьшается на Если сумма цифр делилась на то и новая сумма цифр, уменьшаемая на должна делиться на то есть должно делиться на Зная это, нетрудно найти пары чисел, подходящих под условие задачи: например, и и и и и т. д. Таких чисел будет бесконечно много.

Сделаем некоторые выводы про хорошие числа:

• Все числа, делящиеся на оканчиваются или на или на но хорошие числа не могут оканчиваться на Значит, они оканчиваются на
• Произведение цифр хороших чисел кратно Значит, в них содержится или не менее двух троек, или не менее одной девятки.
• Однозначных хороших чисел не существует, т. к. хорошие числа содержат не менее двух цифр: и Двузначных хороших чисел также не существует: если хорошее число является двузначным, то это может быть только число но значит, оно не подходит. Получается, хорошие числа как минимум трёхзначные.

Переберём всевозможные трёхзначные числа, которые могут оказаться хорошими:

• Трёхзначное число, оканчивающееся на и содержащее в записи две тройки: Оно нам не подходит, т. к.
• Трёхзначные числа, не содержащие , оканчивающиеся на и содержащие в разряде сотен Из них нам подходят числа и
• Трёхзначные числа, оканчивающиеся на и содержащие в разряде десятков Из них нам подходят числа и

Получается, существует ровно трёхзначных хороших числа: и Значит, пятое хорошее число содержит не менее четырёх разрядов.

Постараемся найти минимальное четырёхзначное хорошее число. Временно запишем его, как Чтобы минимизировать число, минимизируем его разряд тысяч: Цифры на месте двух звёздочек — или две тройки (чего не может быть, т. к. тогда у числа будет сумма или девятка и любая другая ненулевая цифра, при этом их порядок не имеет значения. В сумме они должны давать или (больше не могут, т. к. сумма двух цифр не может быть больше чтобы сумма нашего числа позволяла ему быть хорошим. Суммы и не подходят, т. к. сумма девятки и любой другой ненулевой цифры строго больше Сумму можно получить с помощью цифры Логично поставить её перед девяткой, чтобы итоговое число было наименьшим. Итак, искомое число —

Последняя цифра исходного числа была не меньше и при его увеличении на произошёл переход через разряд, иначе бы сумма цифр не уменьшилась, а увеличилась.

Обозначим исходное трёхзначное число, как Сумма его цифр равна Рассмотрим случая:

• Произошёл переход через разряд десятков, а разряд сотен остался таким же. Тогда сумма цифр стала равна По условию:

  
  
  
  

  Если то Подходят числа и

  Если то Подходит число

  не подходит, т. к. тогда и исходное число не может быть трёхзначным.

• Произошёл переход через разряд сотен, а разряд тысяч остался таким же. Это возможно при Тогда сумма цифр была равна , а стала равна По условию:

  
  
  

  Это уравнение не имеет решений в натуральных числах, т. к. левая его часть чётная, а правая — нечётная.

• Произошёл переход через разряд тысяч. Это возможно при и Тогда сумма цифр была равна а стала равна По условию:

  
  
  
  

  Этот вариант нам не подходит, т. к. — цифра, а значит,

Запишем вычитание в столбик:

Получилось число Сумма его цифр:

Натуральные числа возникают естественным образом при подсчёте объектов.

Разложим и назовем разряды шестизначного числа —

— разряд единиц

— разряд десятков

— разряд сотен

— разряд тысяч

— разряд десятков тысяч

— разряд сотен тысяч

Тогда можем заметить, что высшим разрядом шестизначного числа является разряд сотен тысяч — вариант под номером

Число без нулей стало бы равно что полностью меняет его значение.

Десятки тысяч — пятый разряд справа: → десяток тысяч.

Для начала разложим число на разряды:

Чтобы найти предыдущее число, надо вычесть из изначального единицу:

Примечание: Мы знаем, что Поэтому, вычитая из тысячи единицу, мы получаем

Чтобы найти число, следующие за данным, нужно прибавить к нему

Для полного понимания разложим число на разряды:

млн = тыс = ед = →

Запишем число двести сорок миллионов:

двести миллионов —

сорок миллионов —

Сложим разряды и получим: Посчитаем нули — цифр.

Разложим число на разряды:

— является разрядом сотен тысяч.

Одна сотня тысяч равняется Получается, что в числе всего сотни тысяч:

Чтобы найти, в каком числе содержится сотен тысяч, нужно понять, что сотен тысяч — это

Теперь посмотрим на варианты:

Обозначим количество сотен тысяч: имеет сотен тысяч, в числах это , так что здесь есть сотен тысяч.

Здесь нет сотен тысяч, поскольку это число меньше

Это число тоже меньше и, соответственно, не содержит сотен тысяч.

Это число содержит сотен тысяч, так что оно больше чем необходимо.