Тема Алгебра

07 Натуральные числа и нуль → 07.08 Признаки делимости на 2, 5 и 10

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Натуральные числа и нуль

Арифметические действия

Деление с остатком

Запись натуральных чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 3 и 9

Признаки делимости на степени 2 и 5

Простые и составные числа

Четность

Числовые выражения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107420

Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — $“2”,$ и оно делится на $2,$ на $5$ и на $9.$

Источники: ЯКласс, Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Наше число должно быть кратно $5,$ значит, оно оканчивается либо на $“0”,$ либо на $“5”.$ Также наше число должно делиться на $“2”,$ поэтому последняя цифра должна быть чётной. Объединим наши условия и поймем, что последняя цифра будет $“0”.$

Пока что имеем: $2?0.$

Целое число будет делиться на $9,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$ Сумма цифр нашего числа:

2 + ? + 0 = 2 + ?

Не сложно догадаться, что вместо ? следует подставить $“7”.$ Тогда искомое число — $270.$

Ответ:

$270.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107427

Запишите наименьшее:

(a) четырёхзначное число, кратное $3;$

(b) пятизначное число, кратное $9;$

(d) четырёхзначное число, кратное $5$ и $9.$

Цифры в записи числа не могут повторяться.

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 85 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Четырёхзначное число, кратное $3.$

Целое число будет делиться на $3,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $3.$ Нам нужно наименьшее четырёхзначное число, тогда пусть оно будет начинаться с $“1”.$ Чем меньше последующие цифры будут в разрядах, тем же лучше.

$1023$ — минимальное число, которое у нас получилось с условием различных цифр. Проверим его на делимость нашей тройке:

$1+0+ 2+ 3= 6...3,$ значит, $1023...3.$

(b) Пятизначное число, кратное $9.$

Целое число будет делиться на $9,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$ Нам нужно наименьшее пятизначное число, тогда пусть оно будет начинаться с $“1”.$ Чем меньше последующие цифры будут в разрядах, тем лучше:

1+ 0+ 2+ a+b =3 +a+ b

В сумме цифр мы должны получить либо $9,$ либо $18$ и т. д.

Если $3+a +b= 9,$ то $a+ b= 6.$ $6$ мы можем получить как сумму $(1 + 5),$ $(2 + 4),$ $(3 + 3),$ но в этих случаях у нас есть числа, которые будут повторяться, поэтому сумма наших цифр не может равняться $9.$

Если $3+a +b= 18,$ то $a+ b= 15.$ $15$ мы можем получить как сумму $(6 + 9),$ $(7 + 8),$ $(8 + 7),$ $(9 + 6).$ Конечно, нам выгоднее будет взять пару, где сначала идет $“6”,$ потом $“9”.$

В итоге получили число $10269.$

Чтобы число было кратно двум, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Признак делимости на $3$ мы уже знаем. Нам нужно шестизначное число $------ 102 34a$ ( $0,$ $1,$ $2,$ $3$ и $4$ расставили так, чтобы у нас было меньшее число).

$1+0+ 2+ 3+ 4+a =a +10,$ где $a$ — чётное число.

Методом подбора у нас должна получиться сумма, кратная $3.$

10 +b= 12=⇒ b= 2—повтор

10+b= 15=⇒ b= 5— нечётная

10+ b= 18 =⇒ b= 8— подходит

Получили число $102348.$

(d) Четырёхзначное число, кратное $5$ и $9.$

Чтобы число было кратно $5,$ оно должно оканчиваться на $“0”$ или $“5”.$ На первые позиции мы обычно ставим $10,$ и так как $“0”$ уже использовали, то в конце явно будет стоять $“5”:$

----- 1 0a5

Также оно должно делится на $9,$ т.е. нам нужно сделать так, чтобы сумма цифр была кратна $9.$ $1+ 0+ a+5 =6 +a.$ Вместо $“a”$ подставим $3,$ чтобы сумма равнялась $9.$

Получим число $1035.$

Ответ:

(a) $1 023;$ (b) $10269;$ (c) $102348;$ (d) $1035.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#111655

Даны числа: $159,$ $22,$ $1050,$ $6355,$ $9392,$ $19744,$ $5020.$ Укажите, какие из них:

(a) Делятся на $2;$

(b) Делятся на $5,$ но не делятся на $2;$

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Признаки делимости на 2, 5 и 10" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

С помощью признаков делимости на $2,$ $5$ и $10$ определим делимость каждого из наших чисел:

$159$ не делится ни на $2,$ ни на $5,$ ни на $10;$

$22$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$1050$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$6355$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$9392$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$19 744$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$5020$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10.$

(a) Подходят числа $22,$ $1050,$ $9392,$ $19744$ и $5020;$

(b) Подходят число $6355;$

Ответ:

(a) $22,$ $1050,$ $9392,$ $19744$ и $5020;$ (b) $6355;$ (c) $1050$ и $5 020.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#111656

Даны числа: $88,$ $166,$ $555,$ $2070,$ $8 645,$ $710,$ $325.$ Укажите, какие из них:

(a) Делятся на $2;$

(b) Делятся на $5,$ но не делятся на $2;$

Источники: По Фоксфорд.Учебнику, "Признаки делимости на 2, 5 и 10" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

С помощью признаков делимости на $2,$ $5$ и $10$ определим делимость каждого из наших чисел:

$88$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$166$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$555$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$2070$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$8645$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$710$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$325$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10.$

(a) Подходят числа $88,$ $166,$ $2070$ и $710;$

(b) Подходят числа $555,$ $8 645$ и $325;$

Ответ:

(a) $88,$ $166,$ $2070$ и $710;$ (b) $555,$ $8645$ и $325;$ (c) $2070$ и $710.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#111657

Какие чётные числа удовлетворяют неравенству?

231< x< 238

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Первое целое число, удовлетворяющее неравенству, — $232.$ Оно чётное. Последующие чётные числа можем получить посредством прибавления $2:$ $234,$ $236.$

Ответ:

$232,$ $234,$ $236.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#111658

Какие нечётные числа удовлетворяют неравенству?

432< x< 439?

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Первое целое число, удовлетворяющее неравенству, — $433.$ Оно нечётное. Последующие нечётные числа моем получить посредством прибавления $2:$ $435,$ $437.$

Ответ:

$433,$ $435,$ $437.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#111659

В числе $234∗$ замените $∗$ цифрой так, чтобы полученное число:

(a) Делилось на $5,$ но не делилось на $10.$

(b) Делилось на $2,$ но не делилось на $5.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

(a) Чтобы число делилось на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или $5.$ Чтобы число делилось на $10,$ оно должно оканчиваться на $0.$ Получается, нам подходят только вариант, когда $∗$ равна $5.$

(b) Чтобы число делилось на $2,$ оно должно оканчиваться на $0,$ $2,$ $4,$ $6$ или $8.$ Чтобы число делилось на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или $5.$ Получается, нас устраивает, если $∗$ равна $2,$ $4,$ $6$ или $8.$

(c) Чтобы число делилось на $2,$ оно должно оканчиваться на $0,$ $2,$ $4,$ $6$ или $8.$ Чтобы число делилось на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или $5.$ Получается, нас устраивает, если $∗$ равна $0.$

Ответ:

(a) $2 345;$ (b) $2 342,$ $2344,$ $2346$ или $2348;$ (c) $2340.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#111660

Запишите числа, кратные $5,$ удовлетворяющие двойному неравенству:

(a) $78< x< 87;$

(b) $305< x< 350;$

(d) $1 <x <25.$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Будем перебирать числа из отрезка, пока не найдём первое из них, делящееся на $5.$ Последующие числа можем получить посредством прибавления $5.$

Ответ:

(a) $80$ и $85;$ (b) $310,$ $315,$ $320,$ $325,$ $330,$ $335,$ $340$ и $345;$ (c) $115,$ $120,$ $125$ и $130;$ (d) $5,$ $10,$ $15$ и $20.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#111662

Не производя вычислений, определите, делится ли:

(a) На $5$ произведение $265 ⋅123;$

(b) На $2$ сумма $48 +34+ 26;$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Делится, так как $. 265..5.$

(b) Делится, так как каждое слагаемое чётное. А сумма чётных слагаемых — чётная.

Ответ:

(a) Делится; (b) делится; (c) делится.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#111663

Вася купил $10$ булочек. Мог ли он заплатить за покупку:

(a) $60$ р.;

(b) $75$ р.;

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Если Вася заплатил за покупку $60$ р., то одна булочка стоила $60÷ 10 =6$ р. Этот случай нас вполне устраивает.

(b) $75$ р. = $7500$ к. Если Вася заплатил за покупку $7500$ к., то одна булочка стоила: $7500÷ 10= 750$ к., или же $7$ р. $50$ к. Этот случай нас вполне устраивает.

(c) $80$ р. $15$ к. = $8015$ к. Но Вася не мог заплатить $8015$ к., потому что $|.. 8015 |.10,$ а копейка — самая маленькая денежная единица в России.

Ответ:

(a) Да; (b) да; (c) нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#111664

Даны числа: $40,$ $25,$ $86,$ $600,$ $13,$ $152,$ $435,$ $268.$ Укажите, какие из них:

(a) Делятся на $2;$

(b) Делятся на $5,$ но не делятся на $2;$

Источники: По Фоксфорд.Учебнику, "Признаки делимости на 2, 5 и 10" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

С помощью признаков делимости на $2,$ $5$ и $10$ определим делимость каждого из наших чисел:

$40$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$25$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$86$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$600$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$13$ не делится ни на $2,$ ни на $5,$ ни на $10;$

$152$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$435$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$268$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10.$

(a) Подходят числа $40,$ $86,$ $600,$ $152$ и $268;$

(b) Подходят числа $25$ и $435;$

Ответ:

(a) $40,$ $86,$ $600,$ $152$ и $268;$ (b) $25$ и $435;$ (c) $40$ и $600.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#111665

Даны числа: $179,$ $594,$ $7236,$ $865,$ $450,$ $790,$ $65.$ Укажите, какие из них:

(a) Делятся на $2;$

(b) Делятся на $5,$ но не делятся на $2;$

Источники: По Фоксфорд.Учебнику, "Признаки делимости на 2, 5 и 10" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

С помощью признаков делимости на $2,$ $5$ и $10$ определим делимость каждого из наших чисел:

$179$ не делится ни на $2,$ ни на $5,$ ни на $10;$

$594$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$7236$ делится на $2,$ но не делится ни на $5,$ ни на $10;$

$865$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10;$

$450$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$790$ делится на каждое из чисел $2,$ $5$ и $10;$

$65$ делится на $5,$ но не делится ни на $2,$ ни на $10.$

(a) Подходят числа $594,$ $7236,$ $450$ и $790;$

(b) Подходят числа $865$ и $65;$

Ответ:

(a) $594,$ $7236,$ $450$ и $790;$ (b) $865$ и $65;$ (c) $450$ и $790.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#111666

Петя купил $10$ карандашей. Мог ли он заплатить за покупку:

(a) $90$ р.;

(b) $105$ р.;

Источники: По Виленкину Н. Я., "Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях" (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Если Петя заплатил за покупку $90$ р., то один карандаш стоил $90÷10= 9$ р. Этот случай нас вполне устраивает.

(b) $105$ р. = $10500$ к. Если Петя заплатил за покупку $10500$ к., то один карандаш стоил $10500÷ 10 =1 050$ к., или же $10$ р. $50$ к. Этот случай нас вполне устраивает.

(c) $70$ р. $55$ к. = $7055$ к. Но Петя не мог заплатить $8015$ к., потому что $|.. 8015 |.10$ , а копейка — самая маленькая денежная единица в России.

Ответ:

(a) Да; (b) да; (c) нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#111667

Запишите числа, кратные $10$ и удовлетворяющие двойному неравенству:

(a) $120< x< 160;$

(b) $205< x< 250;$

(d) $10< x <55?$

Источники: По Виленкину Н. Я., "Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях" (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Будем перебирать числа из отрезка, пока не найдём первое из них, делящееся на $10.$ Последующие числа можем получить посредством прибавления $10.$

Ответ:

(a) $130,$ $140$ и $150;$ (b) $210,$ $220,$ $230$ и $240;$ (c) $120,$ $130$ и $140;$ (d) $20,$ $30,$ $40$ и $50.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#111668

Длина прямоугольника — $40$ метров, ширина — чётное число метров. Можно ли сказать, что значение площади прямоугольника (в квадратных метрах) кратно $5?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Да, так как $40$ кратно $5.$ Если хотя бы один из множителей кратен $5,$ то и всё произведение кратно $5$ вне зависимости от того, каким будет второй множитель.

Ответ:

Да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#111669

Укажи наименьшее число, кратное $5,$ удовлетворяющее неравенству: $435≤ x≤ 495.$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Будем перебирать числа из отрезка, пока не найдём первое из них, делящееся на $5:$ $435.$

Ответ:

$435.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#111670

Какие нечётные числа удовлетворяют неравенству: $327< x< 335?$

Источники: По Виленкину Н. Я., "Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях" (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Первое целое число, удовлетворяющее неравенству, — $328.$ Оно чётное и не подходит нам. Следующее за ним число — $329$ — уже нечётное и подходит нам. Последующиие нечётные числа можем получить посредством прибавления $2:$ $331,$ $333.$