Тема Алгебра

07 Натуральные числа и нуль → 07.10 Признаки делимости на степени 2 и 5

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Натуральные числа и нуль

Арифметические действия

Деление с остатком

Запись натуральных чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 3 и 9

Признаки делимости на степени 2 и 5

Простые и составные числа

Четность

Числовые выражения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#117969

Делится ли $216$ на $4?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $4= 22,$ воспользуемся признаком делимости на степени $2.$ Две последние цифры числа $216$ образуют число $16,$ которое делится на $4,$ следовательно и всё число $216$ делится на $4.$

Ответ:

Да.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#117970

Делится ли $1500$ на $125?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $125 =53,$ воспользуемся признаком делимости на степени $5.$ Три последние цифры числа $1500$ образуют число $500,$ которое делится на $125,$ следовательно и всё число $1500$ делится на $125.$

Ответ:

Да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#117971

Делится ли $2625$ на $8?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $8= 23,$ воспользуемся признаком делимости на степени $2.$ Три последние цифры числа $2625$ образуют число $625,$ которое не делится на $8,$ следовательно и всё число $2625$ не делится на $8.$

Ответ:

Нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#117972

Делится ли $10000$ на $16?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $16=24,$ воспользуемся признаком делимости на степени $2.$ Четыре последние цифры числа $10000$ — это нули, следовательно число $10000$ делится на $16.$

Ответ:

Да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#117973

Делится ли $3200$ на $25?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $25= 52,$ воспользуемся признаком делимости на степени $5.$ Две последние цифры числа $3200$ — нули, следовательно, число $3200$ делится на $25.$

Ответ:

Да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#117974

В автосалон привезли новые автомобили. На каждом автовозе было по $4$ автомобиля. Сколько автомобилей привезли в автосалон?

(a) $115;$

(b) $112;$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Из приведённых чисел подходит только $112,$ так как только это число кратно $4$ (по признаку делимости на $2$ в степени $n).$

Ответ:

$(b).$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#117975

Корабль привез в порт груз. Портовый кран за один рейс разгружал по $125$ тонн. Сколько тонн груза мог привезти корабль?

(a) $3750;$

(b) $3 400;$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Из приведённых чисел подходит только $3750,$ так как только это число делится на $125$ (по признаку делимости на $5$ в степени $n).$

Ответ:

$(a).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#117976

Делится ли $2865$ на $8?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $8= 23,$ воспользуемся признаком делимости на степени $2.$ Три последние цифры числа $2865$ образуют число $865,$ которое не делится на $8.$ Следовательно и $2865$ не делится на $8.$

Ответ:

Нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#117977

Делится ли $4600$ на $25?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку $25= 52,$ воспользуемся признаком делимости на степени $5.$ Две последние цифры числа $4600$ — нули, следовательно $4600$ делится на $25$ (по признаку делимости на $2 5 ).$

Ответ:

Да.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#117978

В театре в каждом ряду по $25$ кресел. Сколько всего кресел может быть в театре?

(a) $270;$

(b) $320;$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Из приведенных чисел подходит только $350,$ так как только оно делится на $25$ (по признаку делимости на $5$ в степени $n).$

Ответ:

$(c).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#117979

Число кратно $4,$ его предпоследняя цифра — чётная. Какие последние цифры возможны для этого числа?

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Поскольку предпоследняя цифра нашего числа чётная, она — одно из чисел $0,$ $2,$ $4,$ $6$ или $8.$ При этом, по свойству делимости на $4,$ число, образованное предпоследней и последней цифрами нашего числа, должно также делиться на $4.$ Рассмотрим всевозможные комбинации двух последних цифр:

(a) Если предпоследняя цифра — $0,$ то последние две цифры могут быть равны $00,$ $04,$ $08.$ Пример для каждого из случаев:

100:4= 25

104:4= 26

108:4= 27

(b) Если предпоследняя цифра — $2,$ то последние две цифры могут быть равны $20,$ $24,$ $28.$ Пример для каждого из случаев:

120:4= 30

124:4= 31

128:4= 32

(c) Если предпоследняя цифра — $4,$ то последние две цифры могут быть равны $40,$ $44,$ $48.$ Пример для каждого из случаев:

140:4= 35

144:4= 36

148:4= 37

(d) Если предпоследняя цифра — $6,$ то последние две цифры могут быть равны $60,$ $64,$ $68.$ Пример для каждого из случаев:

160:4= 40

164:4= 41

168:4= 42

(e) Если предпоследняя цифра — $8,$ то последние две цифры могут быть равны $80,$ $84,$ $88.$ Пример для каждого из случаев:

180:4= 45

184:4= 46

188:4= 47

Теперь видно, что последняя цифры может быть равна только $0,$ $4$ или $8.$

Ответ:

$0,$ $4,$ $8.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#117980

Даны числа $144,$ $358,$ $624,$ $740,$ $536,$ $422,$ $1472,$ $2 906,$ $37164,$ $4 220.$ Какие из них:

(a) Не кратны $4;$

(b) Кратны $8?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

(a) По признаку делимости на степени $2,$ заключаем, что из приведённых чисел не кратны $4$ следующие числа: $358,$ $422$ и $2906.$

(b) Также по признаку делимости на степени $2,$ заключаем, что из приведенных чисел кратны $8$ следующие числа: $144,$ $624,$ $536$ и $1472.$

Ответ:

(a) $358,$ $422$ и $2 906;$ (b) $144,$ $624,$ $536$ и $1472.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#117981

В числе $8095 ∗7∗$ некоторые цифры заменены звёздочками. Замените их цифрами так, чтобы полученное число делилось на $125.$ Запишите все такие числа.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Согласно признаку делимости на $125$ (на $53),$ три последние цифры заданного числа должны образовывать число, которое делится на $125.$ Так же мы видим, что средняя цифра из этих трёх — $7.$ Следовательно нам нужно подобрать такие трёхзначные числа, которые делятся на $125$ и в разряде десятков имеют цифру $7.$

Рассмотрим все трёхзначные числа, которые делятся на $125:$ $125,$ $250,$ $375,$ $500,$ $625,$ $750,$ $8754.$ Из этих чисел в разряде десятков цифру $7$ имеют только $375$ и $875.$ Они нам вполне подходят:

8095375:125 =64763

8095875 :5= 64 767

Ответ:

$8095375$ и $8095 875.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#117982

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от $12$ до $34.$ Получилось число $121416182022242 628303234.$ Делится ли оно на $8?$ Почему?

Источники: Задания олимпиадного типа для 6 класса на тему "Признаки делимости на 4, на 8 и на 25" (см. www.prodlenka.org)

Показать ответ и решение

Согласно признаку делимости на $8$ (на $23),$ последние $3$ цифры заданного числа должны делиться на $8.$ $234$ на $8$ не делится, следовательно и всё число не делится на $8.$

Ответ:

Нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#117983

Гонец должен был доставить царский указ не позже $6$ часов вечера. В $6$ часов утра он оседлал коня и помчался по дороге со скоростью $32$ км/ч. В $12$ часов он пересел в лодку и грёб без устали $2$ ч, при этом его скорость составила $8$ км/ч. Оставшийся участок пути он проходил через дремучий лес. С какой скоростью придётся гонцу пробираться через заросли, чтобы успеть, если весь его путь составляет $220$ км?

Источники: "Признаки делимости на 4 и 25, 8 и 125", московская школа на Юго-Западе № 1543 (см. live.1543.msk.ru)

Показать ответ и решение

(a) Рассчитаем расстояние, пройденное на коне. Гонец ехал на лошади $6$ часов (с $6$ утра до $12$ дня) со скоростью $32$ км/ч, следовательно он прошел расстояние, равное $32⋅6= 192$ км.

(b) Рассчитаем расстояние, пройденное на лодке. Гонец плыл на лодке $2$ часа со скоростью $8$ км/ч, а значит прошел $8⋅2= 16$ км.

(d) У гонца осталось $4$ часа, за которые он должен пройти $12$ км, следовательно он должен двигаться со скоростью $12:4= 3$ км/ч.

Ответ:

$3$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#117984

Число кратно $25.$ Какими могут быть две его последние цифры? Запишите все варианты ответа.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

По признаку делимости на степени $5,$ две последние цифры должны быть нулями или образовывать число, кратное $25.$ Это цифры $00,$ $25,$ $50,$ $75.$

Ответ:

$00,$ $25,$ $50,$ $75.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#117985

В магазин привезли товары. На каждую полку положили по $8$ товаров. Сколько всего товаров могли привезти в магазин?

(a) $886;$

(b) $993;$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Из приведённых чисел подходит только $1000,$ так как только оно кратно $8$ (по признаку делимости на $2$ в степени $n).$

Ответ:

$(c).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#117986

Чтобы отвезти всех ребят в детский лагерь, было заказано несколько автобусов. В каждый автобус посадили по $25$ детей. Сколько всего детей могло быть отправлено в лагерь?

(a) $415;$

(b) $450;$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Из приведённых чисел подходит только $450,$ так как только это число кратно $25$ (по признаку делимости на $5$ в степени $n).$

Ответ:

$(b).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#117987

Делится ли $12835$ на $16?$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$16= 24,$ поэтому воспользуемся признаком делимости на $2$ в степени $n.$ Четыре последние цифры числа $12 835$ образуют число, которое не делится на $16,$ поэтому и всё число не делится на $16.$

Ответ:

Нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#117988

Даны числа: $52,$ $680,$ $328,$ $75,$ $144,$ $1250.$ Выпишите числа, которые делятся:

(a) на $2;$

(b) на $5;$

(d) на $10;$

(e) на $5$ и на $10;$

(f) на $25.$

Источники: Авторская, Борзова Д. М.

Показать ответ и решение

(a) По признаку делимости на $2,$ число делится на $2,$ если оно оканчивается чётной цифрой, т. е. одной из цифр $0,$ $2,$ $4,$ $6$ или $8.$ Среди приведённых нам чисел подходят все числа, кроме числа $75:$ $52,$ $680,$ $328,$ $144,$ и $1250.$

(b) По признаку делимости на $5,$ число делится на $5,$ если оно оканчивается одной из цифр $0$ или $5.$ Среди приведённых нам чисел подходят числа $680,$ $75$ и $1250.$

(c) По признаку делимости на степени $2,$ число делится на $4,$ если число, образованное его последними двумя цифрами, также делится на $4.$ $52$ делится на $4.$ $680$ делится на $4,$ потому что $80$ делится на $4.$ $328$ делится на $4,$ потому что $28$ делится на $4.$ $75$ не делится на $4.$ $144$ делится на $4,$ потому что $44$ делится на $4.$ $1250$ не делится на $4,$ потому что $50$ не делится на $4.$

(d) По признаку делимости на $10,$ число делится на $10,$ если оно оканчивается на $0.$ Среди приведённых нам чисел подходят числа $680$ и $1250.$

(e) Если число делится на $10,$ то оно точно делится на $5,$ т. к. $10= 2⋅5.$ Так что подходят все числа, делящиеся на $10,$ т. е. числа из предыдущего пункта.

(f) По признаку делимости на степени $5,$ число делится на $25,$ если число, образованное его последними двумя цифрами, также делится на $25.$ $52$ не делится на $25.$ $680$ не делится на $25,$ потому что $80$ не делится на $25.$ $328$ не делится на $25,$ потому что $28$ не делится на $25.$ $75$ делится на $25.$ $144$ не делится на $25,$ потому что $44$ не делится на $25.$ $1250$ делится на $25,$ потому что $50$ делится на $25.$

Ответ:

(a) $52,$ $680,$ $328,$ $144,$ и $1250;$ (b) $680,$ $75$ и $1250;$ (c) $52,$ $680,$ $328,$ $144$ и $1250;$ (d) $680$ и $1250;$ (e) $680$ и $1250;$ (f) $75$ и $1250.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема