Тема Алгебра

07 Натуральные числа и нуль → 07.09 Признаки делимости на 3 и 9

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Натуральные числа и нуль

Арифметические действия

Деление с остатком

Запись натуральных чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 3 и 9

Признаки делимости на степени 2 и 5

Простые и составные числа

Четность

Числовые выражения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107331

Не считая столбиком, определите, разделится ли $86421$ нацело на $3.$

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Вспомним признак делимости на 3:

Целое число будет делиться на $3$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $3.$

Посчитаем сумму цифр числа $86421:$

8+6 +4+ 2+ 1= 21

Число $21$ делится на $3$ без остатка:

21:3= 7

Поэтому $86421$ делится нацело на $3.$

Довольно просто в этом убедиться:

86421:3= 28807

Ответ:

Да, разделится.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107332

Не считая столбиком, определите, разделится ли $768951$ нацело на $9.$

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Вспомним признак делимости на 9:

Целое число будет делиться на $9$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$

Посчитаем сумму цифр числа $768951:$

7+ 6+ 8+ 9+5 +1= 36

Число $36$ делится на $9$ без остатка:

36:9= 4

Поэтому $768951$ делится нацело на $9.$

Довольно просто в этом убедиться:

768951:9= 85439

Ответ:

Да, разделится.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107333

Какие из чисел $57243,$ $3672528,$ $7105050$ делятся на $3?$ Какие из них делятся на $9?$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.380 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму цифр каждого из чисел:

5 +7+ 2+ 4+ 3= 21;

3+6 +7+ 2+ 5+ 2+8 =33;

7+1 +0+ 5+ 0+ 5+0 =18.

Рассмотрим получившиеся числа: $21,$ $33,$ $18.$ Попытаемся разделить их на $3$ и на $9:$

$1)$ $21$ : $3$ = $7$ и $21$ : $9$ = $2$ (ост. $3).$ Число $57243$ делится нацело на $3,$ но не делится на $9.$

$2)$ $33$ : $3$ = $11$ и $33$ : $9$ = $3$ (ост. $6).$ Число $3672528$ делится нацело на $3,$ но не делится на $9.$

$3)$ $18$ : $3$ = $6$ и $18$ : $9$ = $2.$ Число $7105050$ делится нацело и на $3,$ и на $9.$

На $3$ делятся числа $57243,$ $3672528,$ $7105050.$ На $9$ делится число $7105050.$

Ответ:

На $3$ делятся числа $57243,$ $3672528,$ и $7105050;$ на $9$ делится число $7105050.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#107334

Определите цифру, которую можно подставить вместо $*,$ чтобы число $3*468$ делилось на $3.$ В ответ запиши все возможные варианты этой цифры.

Источники: ЯКласс, Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно подобрать такую цифру, которая поможет нам сделать сумму, кратную $3.$

Пока сложим известные нам цифры:

3+ 4+ 6+8 =21

Видим, что $21$ уже делится на $3,$ поэтому вместо $*$ поставим $0.$ Следующие варианты будем получать посредством прибавления $3$ к предыдущему варианту. Подставим вместо * цифру $“3”$ — сумма цифр будет равна $.. 24.3.$ Подставим вместо * цифру $“6”$ — сумма цифр будет равна $27 ...3.$ Подставим вместо * цифру $“9”$ — сумма цифр будет равна $30...3.$

Таким образом, вместо * можно подставить цифры: $0,$ $3,$ $6,$ $9$ и получить числа $30468,$ $33468,$ $36468,$ $39468$ соответственно.

Ответ:

$30468,$ $33468,$ $36468,$ $39468.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107335

Театральная студия получила $963$ приглашений на участие в новогодних утренниках. Можно распределить эти приглашения между девятью коллективами артистов поровну?

Источники: ЯКласс, Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Всего у нас $9$ коллективов, между которыми мы должны разделить $963$ приглашения. Воспользуемся признаком делимости, чтобы определить, сможем ли мы разделить нацело $963$ на $9:$

9 +6+ 3= 18

$18$ делится на $9$ без остатка, поэтому число $963$ разделится на $9:$

963:9= 107

Каждому коллективу достанется по $107$ приглашений.

Ответ:

Можно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#107336

Какие цифры можно записать вместо знака вопроса, чтобы получившееся число делилось на $3?$

(a) $5?2;$

(b) $37?;$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.382 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Нам нужно подобрать такую цифру, которая поможет нам сделать сумму, кратную $3.$ Пока посчитаем сумму с неизвестной:

(a) $5+ ?+ 2= 7+ ?;$

(b) $3 +7+ ?= 10+ ?;$

Теперь подберём подходящие цифры.

(a) Рассмотрим число $5?2.$ Сумма цифр этого числа равна $7+ ?.$ Первое число после $7,$ делящееся на $3,$ — $9.$ Для суммы, равной $9,$ нам не хватает $2.$ Подставим $2$ вместо знака вопроса и получим один из возможных вариантов. Последующие цифры будем получать посредством прибавления $3$ к предыдущему результату. Подойдут также числа $5$ (сумма цифр $12)$ и $8$ (сумма цифр $15).$

(b) Аналогично предыдущему пункту, можем подставить в число $37$ ? цифры $2,$ $5,$ и $8:$

3+ 7+ 2= 12;

3+ 7+ 5= 15;

3+ 7+ 8= 18;

1+3 +2= 6;

4+3 +2= 9;

7+ 3+ 2= 12.

Ответ:

(a) $522,$ $552,$ $582;$ (b) $372,$ $375,$ $378;$ (c) $132,$ $432,$ $732.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#107337

Запишите по два числа:

(a) содержащие только цифру $2,$ и делящиеся на $3;$

(b) содержащие только цифру $6,$ и делящиеся на $9.$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., №383 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $222:2 + 2 + 2= 6$ — делится на $3.$

$222222:2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 12$ — делится на $3.$

(b) $666:$ 6 + 6 + 6 = $18$ — делится на $3.$

$666666:$ 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = $36$ — делится на $3.$

Ответ:

(a) $222$ и $222222;$ (b) $666$ и $666666.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#107338

Всегда ли верно:

(a) любое число, у которого $3$ единицы в разряде единиц, делится на $3;$

(b) если число делится на $3,$ то оно делится и на $9?$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.384 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Неверно, что любое число, у которого $3$ единицы в разряде единиц, делится на $3.$ На $3$ делятся числа, сумма цифр которых делится на $3,$ а сумма цифр почти никак не связана с последней цифрой. Например, число $143$ не делится на $3,$ так как $1+ 4+ 3= 8.$

(b) Неверно, что если число делится на $3,$ то оно делится и на $9.$ Из делимости на $3$ не следует делимость на $9,$ т. к. $9= 3⋅3.$ Например, число $123$ делится на $3,$ так как $1+ 4+ 3= 6,$ но не делится на $9.$

Ответ:

(a) Неверно; (b) неверно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#107340

Можно ли разделить на три одинаковые команды:

(a) $37$ ребят;

(b) $76$ ребят;

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.385 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Нельзя разделить $37$ ребят на $3$ одинаковые команды, так как число $37$ не делится на $3:$

3+7 =10.

(b) Нельзя разделить $76$ ребят на $3$ одинаковые команды, так как число $76$ не делится на $3:$

7+ 6= 13

(c) Можно разделить $36$ ребят на $3$ одинаковые команды, так как число $36$ делится на $3:$ $3+6 =9.$ Получаем по $36:3 =12$ человек в каждой команде.

Ответ:

(a) Нельзя; (b) нельзя; (c) можно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#107341

Можно ли разделить на девять одинаковых команд:

(a) $125$ ребят;

(b) $126$ ребят;

Источники: По "Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я.", № 3.385 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Нельзя разделить $125$ ребят на $9$ одинаковых команд, так как число $125$ не делится на $9:$

1+2 +5= 8.

(b) Можно разделить $126$ ребят на $9$ одинаковых команд, так как число $126$ делится на $9:$

1+2 +6= 9.

1+3 +0= 4.

Ответ:

(a) Нельзя; (b) можно; (c) нельзя.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#107342

Для экскурсии заказано $9$ автобусов. Можно ли разделить

(a) $267$ экскурсантов;

(b) $369$ экскурсантов

так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек?

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.386 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Нельзя разделить $267$ экскурсантов так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек, так как $267$ не делится на $9:$ $2 +6+ 7= 15.$

(b) Можно разделить $369$ экскурсантов так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек, так как $369$ делится на $9:$ $3 +6+ 9= 18.$ В каждом автобусе будет $369:9= 41$ человек.

Ответ:

(a) Нельзя; (b) можно.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#107343

Из $100$ кг золота выплавили $9$ одинаковых слитков. Могло ли остаться:

(a) $750$ г золота;

(b) $270$ г золота?

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.387 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

100кг= 100000г

(a) $100000$ г $− 750$ г $= 99250$ г — золота нужно было израсходовать на $9$ слитков, чтобы осталось $750$ г.

. . 9+ 9+2+ 5+ 0= 25, 25 ||..9=⇒ 99250||..9=⇒ 750г золота остаться не м огло;

(b) $100000$ г $− 270$ г $= 99730$ г — золота нужно было израсходовать на $9$ слитков, чтобы осталось $270$ г;

9+ 9+7+ 3+ 0= 28, 28 |...9=⇒ 99730|...9=⇒ 270г золота остаться не м огло. | |

Ответ:

(a) Не могло; (b) не могло.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#107344

Профессор Почемучкин решил выплавить $3$ слитка из $107$ кг серебра. Могло ли остаться:

(a) $960$ г серебра;

(b) $250$ г серебра?

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

107кг= 107000г

(a) $107000$ г $− 960$ г $= 106 040$ г — серебра нужно было израсходовать на $3$ слитка, чтобы осталось $960$ г.

. . 1+0 +6+ 0+ 4+ 0=11, 11|..|3=⇒ 106040||..3=⇒ 960г серебра остаться не могло;

(b) $107000$ г $− 250$ г $= 106750$ г — нужно было израсходовать на $3$ слитка, чтобы осталось $250$ г.

1+0 +6+ 7+ 5+ 0=19, 19...|3=⇒ 106750|...3=⇒ 250г серебра остаться не могло. | |

Ответ:

(a) Не могло; (b) не могло.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#107345

Какую цифру можно записать вместо знака вопроса, чтобы полученное число делилось на $9:$

(a) $111?22145;$

(b) $?73104560;$

(d) $3970836??$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.388 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Посчитаем сумму цифр числа $111?22145:$

1+1 +1+ ?+ 2+ 2+1 +4+ 5= 17+ ?

Чтобы число делилось на $9,$ сумма цифр в числе должна делиться на $9.$

17 +1= 18=⇒ 111?22145 =111122145

(b) Посчитаем сумму цифр числа $?73104560 :$

?+7 +3+ 1+ 0+ 4+5 +6+ 0= 26+ ?

Чтобы число делилось на $9,$ сумма цифр в числе должна делиться на $9.$

26 +1= 27=⇒ ?73104560 =173104560

4+7 +8+ 9+ 2+ ?+3 +2+ 4= 39+ ?

Чтобы число делилось на $9,$ сумма цифр в числе должна делиться на $9.$

39 +6= 45=⇒ 47892?324 =478926324

(d) Посчитаем сумму цифр числа $3970836?:$

3970836?= 3+ 9+7+ 0+ 8+ 3+6 +?= 36+ ?

Чтобы число делилось на $9,$ сумма цифр в числе должна делиться на $9.$ Заметим, что $36$ уже делится на $9,$ поэтому к $36$ прибавим $0.$ Но так же к $36$ мы сможем прибавить $9,$ чтобы получилось число $45,$ которое также кратно $9.$

[ [ 36+ 0= 36 =⇒ 3970836? =39708360 36+ 9= 45 3970836? =39708369

Ответ:

(a) $111122145;$ (b) $173 104560;$ (c) $478926 324;$ (d) $39708360$ или $39 708369.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#107346

Вычеркните три цифры из числа $5483 674$ что бы число делилось на $9.$

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на $9,$ то и само число делится на $9.$

5+ 4+8 +3+ 6+ 7+ 4= 37

Ищем меньшие числа, кратные $9 :$ $27,$ $18,$ $....$

37− 27 =10

К сожалению, в нашем числе трёх цифр, которые бы в сумме дали $10,$ потому что минимальная сумма трёх цифр нашего числа равна $3+ 4+ 4= 11.$

37− 18 =19

Нужно вычеркнуть три числа, в сумме дающих $19.$ Можно вычеркнуть цифры $“8”,$ $“7”$ и $“4”$ — останется число $5364.$ А можно вычеркнуть цифры $“5”,$ ” $“8”$ и $“6”$ — останется число $4374.$

Ответ:

Можно вычеркнуть цифры $“8$ $“7”$ и $“4”$ — останется число $5364,$ $5364:9= 596,$ а можно вычеркнуть цифры $“5”,$ $“8”$ и $“6”$ — останется число $4374,$ $4374 :9= 486.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#107418

Из числа $73 264871$ вычеркните три цифры так, чтобы получилось число, кратное:

(a) $9;$

(b) $6;$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.392 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму цифр числа $73264871:$

7 +3+ 2+ 6+ 4+8 +7+ 1= 38

(a) Кратное $9:$

Вычеркнув ненужное, мы должны получить число, сумма цифр которого будет делиться на $9.$

Нужно вычеркнуть три цифры, сумма которых будет равна $38− 27 =11,$ так как $27$ делится на $9.$ Значит, можно вычеркнуть $7+ 3+ 1= 11$ или $6+ 4+ 1= 11.$ Получим числа $26487$ и $73287$ соответственно.

(b) Кратное $6:$

Признак делимости на $6:$

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на $2,$ и на $3$ (то есть если оно чётное и сумма его цифр делится на $3$ ).

Чтобы число делилось на два, оно должно оканчиваться чётным числом, поэтому вычеркнем последние цифры $“7”$ и $“1”.$

Чтобы число делилось на $3,$ сумма цифр должна делиться на $3.$ А сейчас она равна:

7+ 3+ 2+ 6+4 +8= 30

Осталось вычеркнуть ещё одну цифру и не испортить этим делимость на $3.$ Можем вычеркнуть цифру $3$ и получить число $72648.$ А можем вычеркнуть цифру $6$ и получить число $73 248.$

Чтобы число делилось на $3,$ сумма цифр должна делиться на $3.$ Можем вычеркнуть $“3”,$ $“4”$ и $“1”,$ получить число $72687.$

Ответ:

(a) Можно вычеркнуть цифры $“7”,$ $“3”$ и $“1”$ — останется число $26487,$ $26 487:9 =2943,$ можно вычеркнуть цифры $“6”,$ $“4”$ и $“1”$ — останется число $73287,$ $73 287 :9 =8143;$ (b) можно вычеркнуть цифры $“3”,$ $“7”$ и $“1”$ — останется число $72648,$ $72648:6= 12108,$ можно вычеркнуть цифры $“6”,$ $“7”$ и $“1”$ — останется число $73 248,$ $73248:6= 12208;$ (c) можно вычеркнуть цифры $“3”,$ $“4”$ и $“1”$ — останется число $72687,$ $72687:3= 24229.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#107419

Укажи наименьшее натуральное число, кратное $9,$ удовлетворяющее неравенству: $128< x< 145.$

Источники: По "Математика, 6 класс, дидактические материалы, Мерзляк А. Г., вариант 4, № 11" (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Целое число будет делиться на $9$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$

Нам нужно наименьшее число, поэтому будем рассматривать число, которое ближе к $128.$ Сумма цифр числа $128:$ $1+2 +8 =11.$ Сколько единиц нам не хватает до ближайшего к $11$ наименьшего числа, кратного $9?$ Верно, нам не хватает $18− 11 =7$ единиц, прибавим их к $128:$ $128+ 7=135,$ $135:9= 15.$

Ответ:

$135.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#107420

Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — $“2”,$ и оно делится на $2,$ на $5$ и на $9.$

Источники: ЯКласс, Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Наше число должно быть кратно $5,$ значит, оно оканчивается либо на $“0”,$ либо на $“5”.$ Также наше число должно делиться на $“2”,$ поэтому последняя цифра должна быть чётной. Объединим наши условия и поймем, что последняя цифра будет $“0”.$

Пока что имеем: $2?0.$

Целое число будет делиться на $9,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$ Сумма цифр нашего числа:

2 + ? + 0 = 2 + ?

Не сложно догадаться, что вместо ? следует подставить $“7”.$ Тогда искомое число — $270.$

Ответ:

$270.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#107421

Три мальчика: Максим, Кирилл и Никита, — собрали в лесу грибы и решили разделить их поровну. Кирилл собрал $246$ шт., Никита — в $2$ раза больше, а Максим — на $69$ шт. меньше, чем Кирилл. Сколько грибов собрали мальчики? Удастся ли им разделить грибы поровну? Если да, то сколько грибов достанется каждому мальчику?

Источники: ЯКласс, Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Найдем, сколько грибов собрал Никита. В условии сказано, что у него в $2$ раза больше грибов, чем у Кирилла, $=⇒$ у Никиты $246⋅2= 492$ шт. грибов.

Найдём, сколько грибов собрал Максим. В условии сказано, что у него на $69$ грибов меньше, чем у Кирилла, $=⇒$ у Максима $246− 69 =177$ шт. грибов.

Всего мальчики собрали: $246 +492+ 177= 915$ грибов.

Чтобы определить, смогут ли мальчики разделить $915$ грибов поровну, воспользуемся признаком делимости на $3.$ Сумма цифр числа $915$ — $9+1 +5 =15,$ $. 15..3$ , значит $915$ разделится на $3.$

$915:3 =305$ (шт.) грибов досталось каждому мальчику.

Ответ:

Мальчики собрали $915$ шт. грибов; им удалось разделить это количество поровну; каждому досталось по $305$ шт. грибов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#107422

Обозначьте верное утверждение буквой «И» (истинно), неверное утверждение буквой «Л» (ложно).


$(a)$	Все чётные числа, которые делятся на $3,$ делятся и на $6.$

$(b)$	Все числа, которые делятся на $9,$ делятся и на $3.$

$(c)$	Все числа, которые оканчиваются цифрой $3,$ не делятся на $3.$

$(d)$	Все числа, которые не делятся на $3.$ не делятся и на $9.$

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.417 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) “Все чётные числа, которые делятся на $3,$ делятся и на $6$ ” — истинно. Для того чтобы число делилось на $6,$ оно одновременно должно делиться и на $2,$ и на $3.$ Наше число делится на $2,$ т. к. оно чётное, и на $3.$

(b) “Все числа, которые делятся на $9,$ делятся и на $3$ ” — истинно. Все числа, которые делятся на $9,$ делятся и на $3,$ потому что $9 =3⋅3.$

(c) “Все числа, которые оканчиваются цифрой $3,$ не делятся на $3$ ” — ложно. Контрпример к высказыванию — число $63.$ Оно оканчивается цифрой $3$ и делится на $3:$ $63:3 =21.$

(d) Все числа, которые не делятся на $3,$ не делятся и на $9$ — истинно. Если число не делится на $3,$ значит, оно не содержит множитель $3,$ и, следовательно, не может делиться на $9,$ поскольку для делимости на $9$ требуется два множителя $3.$

Ответ:

(a) И; (b) И; (c) Л; (d) И.

Предыдущая подтема

Следующая подтема