Тема Алгебра

07 Натуральные числа и нуль → 07.07 Переменные

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Натуральные числа и нуль

Арифметические действия

Деление с остатком

Запись натуральных чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 3 и 9

Признаки делимости на степени 2 и 5

Простые и составные числа

Четность

Числовые выражения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119046

Укажите какое-нибудь решение ребуса $2014+ ГОД= СО ЧИ.$

Источники: ММО - 2014, 5 класс, № 1 (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Под одинаковыми буквами подразумевается одна и та же цифра, а под разными — разные. Следовательно, надо подобрать пример так, чтобы в числах $ГОД$ и $С ОЧИ$ под буквой О цифры были одинаковыми, а все остальные — различными. Например, $2014+ 891 =2 905.$

Ответ:

$2014+ 891 =2 905$ и другие.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119047

Найдите любое решение ребуса $A ⋅B + A+ B =AB.$ Здесь $A$ и $B$ — две различные цифры; запись $AB-$ означает двузначное число (то есть $A ⁄=0),$ составленное из цифр $A$ и $B.$

Источники: Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант (см. vos.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Запишем $AB,$ как $AB-= 10A+ B.$

Тогда получаем уравнение:

A ⋅B + A/+/B = 10A /+/B

A⋅B =9A

A(B− 9)=0

$A⁄= 0=⇒ B = 9,$ а $A$ может быть любым числом, отличным от нуля. Приведём пример:

2 ⋅9 +2+ 9= 29

Ответ:

$2⋅9+ 2+ 9= 29.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119048

Решите ребус: $А Х⋅УХ = 2001.$

Источники: Математический праздник - 2001, 6 класс, № 1, Блинков А. Д. (см. problems.ru)

Показать ответ и решение

Разложим $2 001$ на простые множители:

2 001= 3⋅23⋅29

Тогда делители числа $2001$ — $1,$ $3,$ $23,$ $29,$ $3⋅23= 69,$ $3⋅29=87,$ $23⋅29= 529$ и $2001.$

УХ и АХ — двузначные числа, оканчивающиеся одной цифрой. Из всех делителей числа $2001$ подходят только числа $29$ и $69.$ Они дают в произведении $2 001,$ значит, подходят нам.

Ответ:

$69⋅29= 2001.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119049

Найдите наименьшее четырёхзначное число $С ЕЕМ,$ для которого существует решение ребуса $М Ы +Р ОЖ Ь$ = $СЕЕ М$ (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные).

Источники: 14-й математический праздник - 2003, 6 класс, № 2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку С и Р — разные цифры, а $СЕЕ М$ — сумма, можем сделать вывод о том, что $С > Р.$ В частности, $С >1.$

Так как мы ищем наименьшее число, возьмём следующие числа: Р $= 1,$ С $= 2,$ Е $=0$ и М $=3.$ Тогда получим уравнение:

--- ------ 3Ы +1ОЖ Ь =2 003

30+ Ы +1000+ ОЖ Ь =2003

Ы + ОЖ Ь =973

С помощью перебора подберём пример:

35+ 1968 =2 003

Ответ:

$2003.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119050

В равенстве $ТИХО +Т ИГР= СП ИТ$ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы — разными цифрами так, чтобы $ТИ ГР$ был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет).

Источники: Московская устная олимпиада для 6-7 классов - 2012, № 10, Нетрусова Н. М. (см. problems.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы число $Т ИГР$ было как можно меньше, T будет равно $1.$ Исходя из этого, $С= 2.$ Тогда И равно $3,$ Г равно $4,$ Р равно $5.$ Получаем уравнение:

----- ---- 13Х О+ 1345= 2П31

--- 1 300+ ХО +1 345= 2031+ П00

614+ ХО = П00

Тогда П $=7,$ Х $=8,$ О $= 6:$

1386+ 1345 =2 731

Ответ:

$1386+ 1345= 2731.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119051

Некоторое трёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $1777.$ Какие числа складывали?

Источники: ПВГ - 2015, № 1 (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Представим уравнение:

--- --- abc+ cba= 1777

Преобразуем:

100a+ 10b+ c+ 100c+ 10b+ a= 1777

101(a+ c)+ 20b= 1777

Если $b= 0,$ то $101(a+c)= 1777$ — не имеет целочисленного решения, т. к. $1777$ не делится на $101.$

Если $b= 1,$ то $101(a+c)= 1757$ — не имеет целочисленного решения, т. к. $1757$ не делится на $101.$

Если $b= 2,$ то $101(a+c)= 1737$ — не имеет целочисленного решения, т. к. $1737$ не делится на $101.$

Если $b= 3,$ то $101(a+c)= 1717=⇒ a+ c= 17.$ Подходят $a =8$ и $c= 9$ и наоборот.

Подставляя $b≥ 4,$ получим, что уравнение не будет иметь целочисленного решения, аналогично случаям $b= 0,$ $b= 1$ и $b= 2.$

Получается, складывали числа $839$ и $938.$

Ответ:

$839$ и $938.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119052

Решите ребус $ABCDEF ⋅3= BCDEF A.$

Источники: Курчатов - 2019, 7 класс, № 2 (см. kurchatov.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим пятизначное число $BCDEF$ через $x.$ Тогда этот ребус можно представить в виде:

(10000A+ x)⋅3= 10x+ A

Преобразуем:

29999A = 7x

42857A= x

Если $A= 1,$ то $BCDEF = 42857.$ Нас вполне устраивает этот случай. Тогда выражение выглядит следующим образом:

142857⋅3= 428571

Если $A= 2,$ то $BCDEF = 85714.$ Нас вполне устраивает этот случай. Тогда выражение выглядит следующим образом:

285714⋅3= 857142

Если $A≥ 3,$ то $BCDEF$ будет шестизначным, что противоречит условию.

Ответ:

$142857⋅3= 428571$ и $285 714⋅3 =857142.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119053

Четырёхзначное число $X$ не кратно $10.$ Сумма числа $X$ и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $N.$ Оказалось, что число $N$ делится на $100.$ Найдите $N.$

Источники: ОММО - 2015, вариант I, № 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Представим $X$ как $abcd.$ Составим уравнение, исходя из условия:

---- ---- . abcd+ dcba= N ..100

N = 1000a+ 100b +10c+d +1000d+ 100c+ 10b+ a

N = 1001a +110b+110c+1 001d

N =1 001(a+ d)+ 110(b+ c)

$N$ оканчивается на $00,$ потому что делится на $100,$ значит, поскольку мы переносим десяток при сложении:

( ( {d+ a= 10 {a+ d= 10 (c+ b+1 =10 ⇐ ⇒ (b+ c= 9

Тогда $N = 1001⋅10+110⋅9= 10010+990= 11000.$

Ответ:

$11000.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119054

В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на $3,$ вторую — на $2,$ третью — на $1.$ В итоге число увеличилось в $4$ раза. Приведите пример такого исходного числа.

Источники: Школьный этап - 2017-2018, 11 класс, № 11 (см. 4ege.ru)

Показать ответ и решение

Составим уравнение, исходя из условия:

x+ 321 =4x

Преобразуем:

3x= 321

x= 107

Ответ:

$107.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119055

Некоторое четырёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $4983.$ Какие числа складывали?

Источники: ПВГ - 2015, 8 класс, № 1 (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Представим исходное число, как $abcd.$ Запишем уравнение:

---- ---- abcd+ dcba= 4983

Заметим, что $a+ d= 3.$ Тогда возможны два варианта: $a= 1$ и $d =2$ или $a= 2$ и $d= 1.$

Во втором и третьем разрядах стоит сумма $b +c,$ при этом цифры разные. Значит, при сложении $b$ и $c$ происходит переход через разряд. Из этого следует, что $b= c= 9.$

Тогда искомые числа — $1 992+ 2991= 4983.$

Ответ:

$1992$ и $2991.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#119056

Найди все такие трёхзначные числа $N$ , что сумма цифр числа $N$ в $11$ раз меньше самого числа $N$ (не забудьте обосновать ответ).

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Представим трёхзначное число, как $abc.$ Составим уравнение:

100a+ 10b+c= 11(a +b+ c)

100a+ 10b+ c= 11a +11b+ 11c)

89a =10c+ b

Так как $c$ и $b$ — это цифры, то максимально возможное значение выражения $10c+ b$ — $99.$ Отсюда следует, что $a= 1.$ Тогда $10c+ b=89,$ значит $c= 8$ и $b =9.$

Таким образом, искомое число — $198.$

Ответ:

$198.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#119057

Найдите значения выражения $3,6k − 2,3,$ при $k= 10.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Подставим $k= 10$ в выражение:

3,6⋅10− 2,3= 36 − 2,3=33,7

Ответ:

$33,7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#119058

Запишите в виде выражения разность числа $a$ и произведения $b$ и $c.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Первым действием идет умножение, поэтому запишем сначала его как $b⋅c,$ или же $bc.$ Далее запишем разность числа $a$ и этого произведения (не выделяя скобками, так как умножение и так будет первым действием). Получаем выражение: $a− b⋅c,$ или же $a− bc.$

Ответ:

$a− b⋅c,$ или же $a− bc.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#119059

Запишите частное чисел $a$ и $b.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Частное двух чисел — это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, во сколько раз одно число больше другого.

Тогда частное чисел $a$ и $b$ — $a÷ b,$ или же $a b.$

Ответ:

$a÷ b,$ или же $a. b$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#119060

Запишите произведение суммы чисел $a$ и $b$ и разности чисел $x$ и $y.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Так как первым действием идет умножение, сумма чисел $a$ и $b$ и разность чисел $x$ и $y$ должны быть выделены скобками: $(a +b)$ и $(x− y).$ Последним действием будет умножение, отобразим это: $(a+ b)⋅(x− y),$ или же $(a+ b)(x− y).$

Ответ:

$(a+ b)⋅(x− y),$ или же $(a+ b)(x− y).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#119061

Запишите разность утроенного числа $p$ и удвоенного числа $t.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Запишем утроенное число $p:$

3p

Аналогично сделаем с $t:$

2t

Теперь запишем их разность:

3p− 2t

Ответ:

$3p− 2t.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#119062

Запишите разность произведения чисел $4$ и $k$ и квадрата числа $c.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Сначала запишем произведения чисел $4$ и $k:$

4k

Затем квадрат числа $c:$

c2

Теперь найдём их разность:

4k− c2

Ответ:

$4k− c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#119063

Запишите произведение числа $a$ и предыдущего ему числа.

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

Найдём число, предыдущее числу $a,$ это $a− 1.$ Теперь запишем произведение $a$ и предыдущего ему числа: $a⋅(a− 1),$ или же $a(a− 1).$

Ответ:

$a⋅(a− 1),$ или же $a(a− 1).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#119064

Запишите выражение, которое отличается от данного: $1)$ только коэффициентом; $2)$ только знаком; $3)$ только количеством переменных:

(a) $2x;$

(b) $− 3m3;$

(d) $2 − 5ab ;$

(e) $17t2;$

(f) $− 81abc.$

Источники: Авторская, Хоружая С. А.

Показать ответ и решение

(a) $1)$ Коэффициентом выражения $2x$ является $2,$ поменяем его на $1$ и получим выражение:

1x= x

$2)$ Знаком нашего выражения является $+,$ меняем его на $−,$ получаем:

−2x

$3)$ У нашего выражения одна переменная $x,$ чтобы изменить их количество, надо либо убрать $x$ (будет $0$ переменных), либо наоборот добавить любую переменную:

2xy

(b) $1)$ Коэффициентом выражения $− 3m3$ является $− 3,$ поменяем его на $− 2$ и получим выражение:

3 − 2m

$2)$ Знаком нашего выражения является $−,$ меняем его на $+,$ получаем:

3m3

$3)$ Наше выражение имеет $3 m ,$ чтобы изменить количество переменных, добавим $n.$ Тогда получим выражение:

−3m3n

−2k

$2)$ Знаком нашего выражения является $−,$ меняем его на $+,$ получаем: $k;$

$3)$ У нашего выражения одна переменная $k,$ чтобы изменить их количество, надо либо убрать $k$ (будет $0$ переменных), либо наоборот добавить любую переменную:

−ks

(d) $1)$ Коэффициентом выражения $2 − 5ab$ является $− 5,$ поменяем его на $− 4$ и получим выражение:

− 4ab2

$2)$ Знаком нашего выражения является $−,$ меняем его на $+,$ получаем:

5ab2

$3)$ У нашего выражения две переменных $a$ и $b2,$ чтобы изменить их количество, надо либо убрать одну из них, либо добавить любую переменную:

2 −5b

(e) $1)$ Коэффициентом выражения $12 7t$ является $1 7,$ поменяем его на $2 7$ и получим выражение:

2 2 7t

$2)$ Знаком нашего выражения является $+,$ меняем его на $−,$ получаем:

− 1t2 7

$3)$ У нашего выражения переменная $t2,$ чтобы изменить количество переменных, добавим $m.$ Получим выражение:

1t2m 7

(f) $1)$ Коэффициентом выражения $− 81abc$ является $− 81,$ поменяем его на $− 25$ и получим выражение:

−25abc

$2)$ Знаком нашего выражения является $−,$ меняем его на $+,$ получаем:

81abc

$3)$ У нашего выражения несколько переменных: $a,b,c,$ чтобы изменить их количество, надо либо убрать одну из них, либо добавить любую переменную:

− 81ac

Ответ:

(a) $1)$ $x,$ $2)$ $− 2x,$ $3)$ $2xy;$ (b) $1)$ $3 − 2m ,$ $2)$ $3 3m ,$ $3)$ $3 − 3m n;$ (c) $1)$ $− 2k,$ $2)$ $k,$ $3)− ks;$ (d) $1)$ $2 − 4ab,$ $2)$ $2 5ab,$ $3)$ $2 − 5b;$ (e) $1)$ $22 7t,$ $2)$ $12 − 7t,$ $3)$ $12 7tm;$ (f) $1)$ $− 25abc,$ $2)$ $81abc,$ $3)$ $− 81ac.$