07 Натуральные числа и нуль → 07.05 НОД и НОК

Покажем, что числа и являются взаимно простыми. Для этого убедимся, что их НОД равен единице, разложив их на простые множители и убедившись, что общих множителей нет:

значит числа и являются взаимно простыми, что и требовалось показать.

Чтобы придумать три пары взаимно простых чисел, можем взять самых маленьких простых чисел ( и ) и комбинировать их в произведения так, чтобы в числах одной пары множители не повторялись:

(a)  и

(b)  и

(c)  и

В данном примере взаимно просты не только числа каждой пары, но и вообще все числа, которые мы записали.

НОК чисел в каждой такой паре будет равен их произведению, т. к. наши числа не имеют общих множителей:

(a) 

(b) 

(c) 

для взаимно простых чисел и равно их произведению Это следует из того, что у взаимно простых чисел нет общих делителей, кроме единицы.

(a) Покажем, что Для этого разложим наши числа на простые множители, определим общие и посчитаем их НОД и НОК:

(b) Покажем, что Для этого разложим наши числа на простые множители, определим общие и посчитаем их НОД и НОК:

Произведение равно Попробуем доказать это.

Пусть Тогда где — какие-то натуральные числа. Тогда и что и требовалось доказать.

Разложим числа и на простые множители:

Поскольку это означает, что должно быть делителем и, в то же время, не может содержать больше двух двоек в разложении на простые множители, иначе НОД будет больше Таким образом, должно иметь вид где — нечётное число. Например, может быть равно и при равном и соответственно.

Разложим числа и на простые множители и определим общие из них:

Перемножим одно из данных нам чисел на уникальные множители другого:

Сопоставим каждой цифре числа свою букву. Получим слово КОАЛА.

поэтому мы можем найти, сколько яиц каждая курица снесёт за 12 дней. Первая курица снесёт яиц, вторая — яиц, а третья — яиц. Сложим получившиеся числа, чтобы узнать, сколько яиц человек получает за дней с кур:

Теперь выясним, сколько денег получит человек от продажи яиц. Он продает яиц за рублей, значит, яйцо стоит рубль. Всего за дней он получит рубля от продажи яиц.

Для того, чтобы курицы окупились, необходимо промежутков по 12 дней, то есть дней.

Разложим число на простые множители:

может принимать значения, которые являются делителями числа

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если то Этот случай подходит, т. к. числа и взаимно простые и

2. Если то Этот случай не подходит, т. к. и

3. Если то Этот случай не подходит, т. к. и

4. Если то Этот случай не подходит, т. к. и

Таким образом, единственное решение:

Покажем, что Для этого разложим наши числа на простые множители, определим общие и посчитаем их НОД и НОК:

Вообще говоря, Попробуем доказать это.

Пусть Тогда где — какие-то натуральные числа. Тогда и что и требовалось доказать.

Разложим и на простые множители:

Поскольку это означает, что 18 должно делиться на и, в то же время, должно содержать равно тройки в разложении на простые множители, иначе НОК не будет содержать в разложении две тройки. Среди делителей (то есть чисел , , , , и ) на делятся только и Несложно убедиться, что они нам подходят.

Внимательно посмотрим на числа и

Получается, не может нацело делиться на потому что оно меньше его, а значит, не может быть ему кратно.

Разложим на простые множители:

— нечётное число и имеют разную чётность. Не умаляя общности, будем считать, что — чётное, а — нечётное. Тогда будет содержать в своём разложении на простые множители две двойки.

не делится на следовательно, только одно из чисел может иметь в разложении на простые числа тройки.

Хотя бы одно из чисел и должно делиться на иначе их не будет делиться на При этом делится на Тогда оба числа и будут делиться на

Рассмотрим случая: когда делится на и когда на него не делится.

1. , — этот вариант нам не подходит.

2. — этот вариант нам подходит.

Разложим числа и на простые множители и определим общие из них:

Заметим, что и так как искомые числа не делятся друг на друга, то эти числа могут быть только и

Если в каком-то ряду НОД равен то в нем есть числа, делящихся на а значит, число, не меньшее, чем Поскольку НОД во всех строках и столбцах различны, один из них заведомо не меньше Тогда в соответствующем ему ряду должно быть число, не меньшее Приведём теперь пример таблицы, в которой все числа не больше

Наибольшие общие делители по строкам равны и а по столбцам — и

Пусть всего будет букетов, в каждом букете белых и красных роз. Тогда и Из этих равенств видно, что число является общим делителем чисел и По условию должно быть максимально возможным, поэтому — Разложим числа и на множители, определим общие из них и найдём НОД чисел:

Получается, при этом в каждом букете будет белых и красных роз.

НОД двух чисел не может быть больше какого-то из них. Наибольшее возможное значение равно и для этих чисел как раз делится на

Заметим, что должно быть кратно Тогда наименьшее значение

Несложно убедиться, что

Делителями этого числа могут быть делители числа или само число, которое больше

Тогда

Наибольшее количество подарков будет равно Разложим числа на простые множители, определим общие и найдём их НОК:

Тогда наибольшее количество подарков для детей, которое можно составить, — В каждом из этих подарках будет пряника, конфет и шоколадки.

Среди этих чисел всегда найдётся число не меньшее, чем то есть не меньшее следовательно, НОК всех этих чисел всегда не меньше Если оно равно то, ввиду простоты числа все эти числа должны быть равны или Однако этот случай нам не подходит:

Значит, НОК всех этих чисел не меньше Пример для

НОД — наибольшее число, которое делит исходные числа без остатка.

Взаимно простые числа не имеют общих делителей кроме 1.