Тема Алгебра

07 Натуральные числа и нуль → 07.09 Признаки делимости на 3 и 9

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Натуральные числа и нуль

Арифметические действия

Деление с остатком

Запись натуральных чисел

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 3 и 9

Признаки делимости на степени 2 и 5

Простые и составные числа

Четность

Числовые выражения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#107423

В некотором царстве, тридевятом государстве жил был царь, и было у него три сына. Повадился в то царство Змей Горыныч многоголовый прилетать, мирных жителей пугать. Отправил царь своих сыновей со Змеем Горынычем сражаться. Долго бились братья, прежде чем все его головы одолели. Сколько голов было у Змея Горыныча, если каждая голова погибала после третьего удара мечом и больше всех ударов нанёс младший брат — $14,$ меньше всех — старший, а именно $10,$ а остальные удары нанес средний брат?

Источники: Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., № 3.425 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Выделим для себя важную информацию: $“$ если каждая голова погибала после третьего удара мечом $”.$ Общее количество ударов должно делиться на $3,$ так как по условию каждая голова Змея Горыныча погибала после третьего удара.

Младший брат нанес $14$ ударов, старший — $10,$ всего они нанесли $14+10 =24$ удара.

Средний брат мог нанести больше $10,$ но меньше $14$ ударов (по условию), при этом количество его ударов должно делиться на $3$ (сумма делится на $3,$ если оба слагаемых делятся на $3).$ Значит, средний брат нанес $12$ ударов мечом.

Тогда, всего было нанесено $24+ 12= 36$ ударов мечом. Следовательно, у Змея Горыныча было $36:3 =12$ голов.

Ответ:

$12$ голов.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#107424

Известно, что трёхзначное число делится на $9$ и состоит из одинаковых цифр. Выпишите все такие числа.

Источники: По "Математика, 5 класс, учебник в 2-х частях, Виленкин Н. Я., "19. Свойства и признаки делимости", проверочная работа № 2, № 3" (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вспомним признак делимости на $9 :$

Целое число будет делиться на $9$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$

Перебираем трёхзначные числа, у которых все цифры одинаковые:

111:1+ 1+1 =3 ||...9— не подходит;

|.. 222:2+ 2+2 =6 |.9— не подходит;

333:3+ 3+ 3= 9...9— подходит;

|.. 444:4 +4+ 4= 12|.9—не подходит;

|. 555:5 +5+ 5= 15|..9—не подходит;

666:6+6 +6= 18...9— подходит;

|. 777:7 +7+ 7= 21|..9—не подходит;

888:8 +8+ 8= 24||...9—не подходит;

. 999:9+9 +9= 27..9— подходит;

Таким образом, получаем числа: $333,$ $666,$ $999.$

Второе решение.

Сказано, что наше число состоит из одинаковых цифр, значит, одна и та же цифра будет повторяться в нём три раза. Тогда, сумма цифр нашего числа — $3⋅N,$ где $N$ — число от $1$ до $9.$ Полученная сумма цифр позволит нам сразу увидеть, разделится оно на $9$ или нет (пример: число $111,$ $N= 1$ , сумма его цифр равна $. 3 ⋅1 =3 ||..9 =⇒ 111$ не разделится на $3).$

$3⋅$ N должно быть кратно $9$ , значит, может принимать следующие значения: $9;$ $18;$ $27;$ $....$

Решим несколько уравнений:

$3⋅N= 9⇐ ⇒ N =9 :3⇐⇒ N = 3=⇒$ нам подходит число $333.$

$3⋅N= 18⇐ ⇒ N =18:3⇐ ⇒ N =6 =⇒$ нам подходит число $666.$

$3⋅N= 27⇐ ⇒ N =27:3⇐ ⇒ N =9 =⇒$ нам подходит число $999.$

Сумма цифр не может быть больше, т. к. максимальная сумма цифр — $3⋅9= 27.$ Получается, мы перебрали все возможные варианты.

Ответ:

$333,$ $666,$ $999.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#107425

Известно, что двузначное число делится на $3$ и состоит из одинаковых цифр. Выпишите все такие числа.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вспомним признак делимости на $3 :$

Целое число будет делиться на $3$ без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на $3.$

Перебираем трёхзначные числа, у которых все цифры одинаковые:

11:1+ 1= 2||...3—не подходит;

|.. 22:2+ 2= 4|.3—не подходит;

33:3+ 3= 6...3—подходит;

|.. 44:4+ 4= 8|.3—не подходит;

|. 55:5 +5 =10|..3— не подходит;

66:6+6 =12...3— подходит;

|. 77:7 +7 =14|..3— не подходит;

88:8 +8 =16||...3— не подходит;

. 99:9+9 =18..3— подходит;

Таким образом, получаем числа: $33,$ $66,$ $99.$

Второе решение.

$2⋅$ N должно быть кратно $3$ и при этом оно кратно $2$ , значит, оно может принимать следующие значения: $6;$ $12;$ $18;$ $....$

Решим несколько уравнений:

$2⋅N= 6⇐ ⇒ N =6 :2⇐⇒ N = 3=⇒$ нам подходит число $33.$

$2⋅N= 12⇐ ⇒ N =12:2⇐ ⇒ N =6 =⇒$ нам подходит число $66.$

$2⋅N= 18⇐ ⇒ N =18:2⇐ ⇒ N =9 =⇒$ нам подходит число $99.$

Сумма цифр не может быть больше, т. к. максимальная сумма цифр — $2⋅9= 18.$ Получается, мы перебрали все возможные варианты.

Ответ:

$33,$ $66,$ $99.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#107426

Найдите все значения у, кратные:

(a) числу $3,$ при которых верно неравенство $143< y < 162;$

(b) числу $9,$ при которых верно неравенство $92< y < 128.$

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 77 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обращаем внимание на наши знаки: они строгие, значит крайние числа не будут включены в ответ.

(a) Вспомним признак делимости на $3:$

Целое число будет делиться на $3,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $3.$

Сумма цифр числа $143:$ $1+ 4+3 =8 ||...3,$ значит $143$ не делится на $3.$ Сколько не хватает единиц, чтобы сумма цифр была кратна трём? Верно, $1.$

$143+ 1= 144$ , $.. 1 +4+ 4= 9.3.$ Число $144$ пойдёт в ответ.

Далее мы можем просто к числу $144$ прибавлять $3$ и т.д. и всегда будем получать числа, кратные $3:$

144+ 3= 147

147+ 3= 150

150+ 3= 153

153+ 3= 156

156+ 3= 159

$159+ 3= 162$ уже не пойдет в ответ, так как у нас строгое двойное неравенство $143 <y <162.$

Получается, $y$ может быть равен $144,$ $147,$ $150,$ $153,$ $156,$ $159.$

(b) Вспомним признак делимости на $9 :$

Целое число будет делиться на $9,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$

Сумма цифр числа $92:$ $. 9+ 2= 11 ||..9,$ значит $92$ не делится на $9.$ Сколько не хватает единиц, чтобы сумма цифр была кратна девяти? Верно, $7.$

$92 +7= 99,$ $.. 9+ 9= 18 .9.$ Число $99$ пойдёт в ответ.

Далее мы можем просто к числу $99$ прибавлять $9$ и т.д. и всегда будем получать числа, кратные $9.$

99+ 9= 108

108+ 9= 117

117+ 9= 126

Больше не прибавляем, так как выйдем за границы неравенства.

Получается, $y$ может быть равен $99,$ $108,$ $117,$ $126.$

Ответ:

(a) $144,$ $147,$ $150,$ $153,$ $156,$ $159;$ (b) $99,$ $108,$ $117,$ $126.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#107427

Запишите наименьшее:

(a) четырёхзначное число, кратное $3;$

(b) пятизначное число, кратное $9;$

(d) четырёхзначное число, кратное $5$ и $9.$

Цифры в записи числа не могут повторяться.

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 85 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Четырёхзначное число, кратное $3.$

Целое число будет делиться на $3,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $3.$ Нам нужно наименьшее четырёхзначное число, тогда пусть оно будет начинаться с $“1”.$ Чем меньше последующие цифры будут в разрядах, тем же лучше.

$1023$ — минимальное число, которое у нас получилось с условием различных цифр. Проверим его на делимость нашей тройке:

$1+0+ 2+ 3= 6...3,$ значит, $1023...3.$

(b) Пятизначное число, кратное $9.$

Целое число будет делиться на $9,$ если сумма входящих в его состав цифр делится на $9.$ Нам нужно наименьшее пятизначное число, тогда пусть оно будет начинаться с $“1”.$ Чем меньше последующие цифры будут в разрядах, тем лучше:

1+ 0+ 2+ a+b =3 +a+ b

В сумме цифр мы должны получить либо $9,$ либо $18$ и т. д.

Если $3+a +b= 9,$ то $a+ b= 6.$ $6$ мы можем получить как сумму $(1 + 5),$ $(2 + 4),$ $(3 + 3),$ но в этих случаях у нас есть числа, которые будут повторяться, поэтому сумма наших цифр не может равняться $9.$

Если $3+a +b= 18,$ то $a+ b= 15.$ $15$ мы можем получить как сумму $(6 + 9),$ $(7 + 8),$ $(8 + 7),$ $(9 + 6).$ Конечно, нам выгоднее будет взять пару, где сначала идет $“6”,$ потом $“9”.$

В итоге получили число $10269.$

Чтобы число было кратно двум, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Признак делимости на $3$ мы уже знаем. Нам нужно шестизначное число $------ 102 34a$ ( $0,$ $1,$ $2,$ $3$ и $4$ расставили так, чтобы у нас было меньшее число).

$1+0+ 2+ 3+ 4+a =a +10,$ где $a$ — чётное число.

Методом подбора у нас должна получиться сумма, кратная $3.$

10 +b= 12=⇒ b= 2—повтор

10+b= 15=⇒ b= 5— нечётная

10+ b= 18 =⇒ b= 8— подходит

Получили число $102348.$

(d) Четырёхзначное число, кратное $5$ и $9.$

Чтобы число было кратно $5,$ оно должно оканчиваться на $“0”$ или $“5”.$ На первые позиции мы обычно ставим $10,$ и так как $“0”$ уже использовали, то в конце явно будет стоять $“5”:$

----- 1 0a5

Также оно должно делится на $9,$ т.е. нам нужно сделать так, чтобы сумма цифр была кратна $9.$ $1+ 0+ a+5 =6 +a.$ Вместо $“a”$ подставим $3,$ чтобы сумма равнялась $9.$

Получим число $1035.$

Ответ:

(a) $1 023;$ (b) $10269;$ (c) $102348;$ (d) $1035.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#107428

Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры $1,$ $2$ и $4.$ Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное $3.$ Может ли Дима помешать ему это сделать?

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 95 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Для наглядности распишем ходы мальчиков: Первый ход Ромы (Р), второй ход Димы (Д) и так далее:

Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р, Д, Р.

Дима (Д) может помешать Роме записать число, кратное трём. Для этого Дима должен выбирать новую цифру так, чтобы сумма предыдущих цифр была кратна трём. Тогда Рома сам же испортит делимость. Если Рома пишет число $1,$ Дима дописывает число $2.$ Если Рома пишет число $2,$ Дима дописывает число $1.$ Если Рома пишет число $4,$ Дима дописывает число $2.$

Один из возможных примеров игры:

$1,$ $2,$ $2,$ $1,$ $4,$ $2,$ $1,$ $2,$ $2,$ $1,$ $4,$ $2,$ $1,$ $2,$ $2,$ $1,$ $4,$ $2,$ не сможет сделать число кратным $3.$

Ответ:

Может.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#107429

Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $* 74*$ делилось нацело на $18.$ Найдите все решения.

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 91 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа $*74*:$ $7+ 4+ ∗+∗ =11+ ∗+ ∗.$ Число должно быть кратным $18,$ значит, оно должно делиться на $9$ и быть чётным.

Если его последняя цифра равна $0,$ то сумма цифр числа равна $11+ ∗.$ Тогда первая цифра числа — $7.$ Имеем число $7740.$

Если его последняя цифра равна $2,$ то сумма цифр числа равна $13+ ∗.$ Тогда первая цифра числа — $5.$ Имеем число $5742.$

Если его последняя цифра равна $4,$ то сумма цифр числа равна $15+ ∗.$ Тогда первая цифра числа — $3.$ Имеем число $3744.$

Если его последняя цифра равна $6,$ то сумма цифр числа равна $17+ ∗.$ Тогда первая цифра числа — $1.$ Имеем число $1746.$

Если его последняя цифра равна $8,$ то сумма цифр числа равна $19+ ∗.$ Тогда первая цифра числа — $8.$ Имеем число $8748.$

Ответ:

Всего $5$ решений: $1746;$ $3744;$ $5742;$ $7740;$ $8748.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#107430

К числу $34$ припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно $45.$ Сколько решений имеет задача?

Источники: Математика, 6 класс, Мерзляк А. Г., № 92 (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа $*34*:$ $3+ 4+ ∗+∗ =7+ ∗+ ∗$

Число должно быть кратным $45,$ значит, оно должно делиться на $9$ и оканчиваться $0$ или $5.$ Получим числа $2340;$ $6345.$

Ответ:

Всего $2$ решения: $2340,$ $6345.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#107431

Учитель написал на доске число $123456.$ Петя стер одну цифру, и оставшееся число стало делиться на $3.$ Какую цифру мог стереть Петя?

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Сначала найдем сумму цифр числа $123456:$

. 1+ 2+ 3+4 +5+ 6= 21..3

Теперь проверим, какую цифру можно стереть, чтобы оставшаяся сумма делилась на $3.$

Если стереть $1:$ $21 − 1= 20$ (не делится на $3).$

Если стереть $2:$ $21 − 2= 19$ (не делится на $3).$

Если стереть $3:$ $21 − 3= 18$ (делится на $3).$

Если стереть $4:$ $21 − 4= 17$ (не делится на $3).$

Если стереть $5:$ $21 − 5= 16$ (не делится на $3).$

Если стереть $6:$ $21 − 6= 15$ (делится на $3).$

Ответ:

Петя мог стереть цифры $3$ или $6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#107432

У Сергея было $1974$ рубля. Он решил купить $9$ тетрадей, и после покупки у него осталось $3$ рубля. Могла ли у него остаться такая сумма, если тетради стоят одинаково и цена каждой тетради делится на $9?$ Сколько рублей стоила одна тетрадь? Цена тетради выражена целым числом.

Источники: Авторская задача, Арсенова Ю. А.

Показать ответ и решение

Сначала найдём, сколько денег Сергей потратил на тетради. У Сергея было $1974$ рубля, и после покупки у него осталось $3$ рубля. Значит, он потратил: $(1974 − 3= 1971)$ рубль.

Проверим, делится ли $1971$ на $9.$ Сумма цифр числа $1971:$ $(1+ 9+ 7+1 =18).$ Поскольку $18$ делится на $9,$ $1971$ делится на $9$ нацело.

Теперь найдем, сколько стоила одна тетрадь. Если он купил $9$ тетрадей, то цена одной тетради будет: $1971:9= 219$ рублей.

Ответ:

Могла; одна тетрадь стоила $219$ рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#117957

Какой признак делимости числа на $3?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Число делится на $3,$ если сумма всех его цифр делится на $3.$

Ответ: Сумма его цифр делится на 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#117958

Какой признак делимости числа на $9?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Число делится на $9,$ если сумма всех его цифр делится на $9.$

Ответ: Сумма цифр делится на 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#117959

Если число делится на $9,$ то оно:

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Так как $9= 3⋅3,$ то любое число, делящееся на $9,$ обязательно делится и на $3.$

Ответ: Всегда делится на 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#117960

Какое из чисел всегда делится и на $3,$ и на $9?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$18$ делится и на $3,$ и на $9.$

Ответ: Число, сумма цифр которого равна 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#117961

Может ли число делиться на $3,$ если сумма его цифр равна $10?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Число $10$ не делится на $3,$ значит исходное число не делится на $3.$

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#117963

Если к числу, делящемуся на $9,$ приписать справа $0,$ будет ли новое число делиться на $9?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Приписывание $0$ не меняет сумму цифр, значит делимость на $9$ сохраняется.

Ответ: Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#117964

Какое из чисел делится на $3?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$1+ 2+ 4= 7$ не делится на $3,$ значит $124$ не делится на $3.$
$3+ 5+ 7= 15$ делится на $3,$ значит $357$ делится на $3.$
$5+ 8+ 9= 22$ не делится на $3,$ значит $589$ не делится на $3.$
$6+ 2+ 2= 10$ не делится на $3,$ значит $622$ не делится на $3.$

Ответ: 357

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#118094

Какое наименьшее число нужно прибавить к $247,$ чтобы получить число, делящееся на $9?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$2+ 4+ 7= 13.$ Ближайшее число, кратное $9$ – $18.$ То есть $18− 13 =5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#118095

Найдите сумму цифр наименьшего четырёхзначного числа, делящегося на $3.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Наименьшее четырёхзначное число – $1000,$ оно не делится на $3.$ Следующее число – $1001,$ тоже не делится на $3.$ Затем, $1002,$ сумма его цифр: $1+ 0+ 0+2 =3.$