Тема Системы уравнений

02 Система линейных уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130596

Решите систему уравнений:

{ x+ y = 3 x− y = 1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Сложим оба уравнения:

$(x+ y)+ (x− y)= 3+1$

Это упрощается до:

$2x =4$

Решим для $x :$

$4 x= 2 = 2$

Теперь подставим значение $x$ в одно из уравнений, например, в первое:

$2+y =3$

Решим для $y :$

$y = 3− 2 =1$

Ответ:

$x =2,$ $y =1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130597

Решите систему уравнений:

{ x +2y = 5 −x +7y = 13

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Первое уравнение можно выразить через $x$ :

$x= 5− 2y$

Подставим это значение $x$ во второе уравнение:

$− (5− 2y)+7y = 13$

Упростим уравнение:

$− 5+2y+ 7y = 13$

$9y − 5= 13$

Добавим $5$ к обеим сторонам:

$9y =18$

Решим для $y$ :

$y = 189-= 2$

Теперь подставим значение $y$ обратно в первое уравнение:

$x+2(2)=5$

$x+4 =5$

Решим для $x :$

$x= 5− 4 =1$

Ответ:

$x =1,$ $y =2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130598

Решите систему уравнений:

{ 3 − 4= 1 2x 5 y x − y = 4,5

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Умножим первое уравнение на $xy :$

$3y − 4x= xy$

Умножим второе уравнение на $xy :$

$2y − 5x= 4.5xy$

Перепишем уравнения

Теперь у нас есть система:

$({ 3y− 4x= xy (2y− 5x= 4.5xy$

Из первого уравнения выразим $y :$

$3y =xy+ 4x$

$y(3− x)= 4x$

$y = 43−xx$

Теперь подставим это во второе уравнение:

$( ) ( ) 2 43x−x − 5x =4.5x 43x−x$

$8x-− 5x = 18x2 3− x 3−x$

Умножим обе стороны на $3− x$ (при условии, что $x ⁄=3$ ):

$8x − 5x(3− x)= 18x2$

Раскроем скобки:

$8x − 15x+ 5x2 =18x2$

Переносим все в одну сторону:

$5x2− 10x= 18x2$

$0= 18x2− 5x2+10x$

$2 0= 13x + 10x$

Решим уравнение:

$2 13x + 10x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(13x+ 10)= 0$

Таким образом, $x= 0$ или $13x+ 10= 0$

Решим $13x+ 10 =0 :$

$10 13x =−10 =⇒ x= −13$

Теперь подставим $10 x= −13$ :

$10 40 40- 40 y = 43−(−(−1310)) = 3−+1130 =-−39+1310 = −4193= − 4409 13 13 13 13 13$

Ответ:

$x =− 10,y = − 40 13 49$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130599

Решите систему уравнений:

{ -6- +-5- =1 -x3+y -x2−y x+y − x−y = −1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $a= x+ y$ и $b= x− y.$ Тогда система уравнений примет вид:

${ 6 + 5 = 1 a3 − 2b = − 1 a b$

Теперь умножим каждое уравнение на $ab$ для устранения дробей:

Первое уравнение:

$6b+ 5a= ab$

Второе уравнение:

$3b− 2a= −ab$

Теперь у нас есть система:

${ ab− 6b− 5a = 0 ab+ 3b+ 2a = 0$

Теперь выразим $ab$ из первого уравнения:

$ab =6b+ 5a$

Подставим это значение во второе уравнение:

$6b+ 5a+ 3b +2a= 0$

Соберем подобные:

$9b+ 7a= 0$

Отсюда выразим $b:$

$b=− 7a 9$

Теперь подставим $b$ обратно в первое уравнение:

$( 7 ) ( 7) a− 9a − 6 − 9a − 5a= 0$

Упростим:

$7 2 42- − 9a + 9 a− 5a= 0$

Приведем все к общему знаменателю:

$7 2 42- 45 − 9a + 9 a− 9 a= 0$

Соберем подобные:

$7 2 3 − 9a − 9a =0$

Вынесем $1 − 9a:$

$− 19a(7a+ 3)=0$

Таким образом, $a= 0$ или $7a+ 3= 0.$ Если $a= 0,$ то $x+ y = 0,$ что не подходит, так как $a$ не может быть равным нулю. Решим второе уравнение:

$7a +3= 0 =⇒ a =− 37$

Теперь подставим $a$ в выражение для $b :$

$( ) b=− 79 − 37 = 39 = 13$

Теперь у нас есть:

$x+y =− 37, x− y = 13$

Решим эту систему. Сложим два уравнения:

$(x+ y)+ (x− y)= − 37 + 13$

Сначала найдем общий знаменатель для правой части:

$− 37 + 13 = −291 + 271 = − 221$

Таким образом, получаем:

$2x =− 221 =⇒ x= −211$

Теперь подставим $x$ в одно из уравнений, например, в $x+ y = − 37 :$

$− 121-+y =− 37$

Перепишем $− 3 7$ с общим знаменателем $21:$

$− 3+ 9-= −y 7 21$

$y = 6 21$

$y = 2 7$

Ответ:

$x =− 1,y = 2. 21 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#130600

Решите систему уравнений:

{ 4x+ 5y =12+ 5√7 2x− √7y = −1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

начнем со второго уравнения и выразим $x:$

$√ - 2x − 7y =− 1$

$√ - 2x =− 1+ 7y$

$−1+√7y x= 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$(−1+√7y) √- 4 2 +5y =12+ 5 7$

$√- √- 2(−1+ 7y)+ 5y =12+ 5 7$

$√- √ - − 2+2 7y+ 5y = 12+ 5 7$

$√ - √- 2 7y+5y = 12+ 5 7+ 2$

$√ - √- 2 7y+5y = 14+ 5 7$

$√- √- (2 7+ 5)y = 14 +5 7$

$√- y = 142+√57+75$

Теперь подставим значение $y$ обратно в выражение для $x:$

$√- x= −1+2-7y$

Подставим $y :$

$√- √- x= −1+-7⋅142√+57+75- 2$

Теперь упростим это выражение. Сначала найдем $√7y :$

$√7y = √7(1√4+5√7) = 14√√7+35 2 7+5 2 7+5$

Теперь подставим это в выражение для $x:$

$−1+14√√7+35 x= ----227+5-$

$√- √- x= −1(2-72(+25)√+71+45)-7+35$

$x= −2√7−-5+√14√7+35-= 12√7√+30- 2(2 7+5) 2(2 7+5)$

$6√7+15- x= 2√7+5$

Таким образом, мы нашли значения $x$ и $y :$

$6√7+15 14+5√7 x= 2√7+5 , y = 2√7+5$

Ответ:

$x = 6√7√+15, y = 14√+5√7 2 7+5 2 7+5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#130601

Решите систему уравнений:

{ y− x= 1 x+ |y|= 1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = x+1$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$x+|x+ 1|= 1$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x+ 1.$

Случай $1:$ $x+ 1≥ 0$ (то есть $x≥ −1$ )

В этом случае $|x+ 1|=x +1.$ Подставим это в уравнение:

$x+(x+ 1)= 1$

$2x +1= 1$

$2x =0 =⇒ x= 0$

Теперь подставим $x= 0$ в выражение для $y :$

$y = 0+1 =1$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(0,1)$

Случай $2:$ $x+ 1< 0$ (то есть $x< −1$ )

В этом случае $|x+ 1|=− (x +1)= −x− 1.$ Подставим это в уравнение:

$x− (x+ 1)= 1$

Упростим:

$x− x − 1 =1 =⇒ −1= 1$

Это равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ:

$(x,y)= (0,1)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#130602

Решите систему уравнений:

{ y+x =3 3|y|− x =1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = 3− x$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$3|3− x|− x= 1$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $3− x.$

Случай $1:$ $3− x≥ 0$ (то есть $x≤ 3$ )

В этом случае $|3− x|=3 − x.$ Подставим это в уравнение:

$3(3− x)− x =1$

$9− 3x− x= 1$

$9− 4x= 1$

$− 4x =1 − 9 =⇒ − 4x = −8 =⇒ x= 2$

Теперь подставим $x= 2$ в выражение для $y :$

$y = 3− 2 =1$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(2,1)$

Случай $2:$ $3− x< 0$ (то есть $x> 3$ )

В этом случае $|3− x|=− (3− x)= x− 3.$ Подставим это в уравнение:

$3(x− 3)− x =1$

$3x − 9− x= 1$

$2x − 9= 1$

$2x =1 +9 =⇒ 2x =10 =⇒ x =5$

Теперь подставим $x= 5$ в выражение для $y :$

$y = 3− 5 =− 2$

Таким образом, в этом случае мы получили еще одно решение:

$(x,y)=(5,−2)$

Ответ:

$(2,1) и (5,−2).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#130603

Решите систему уравнений:

{ |y|+x =2 3x+ |y|=4

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $|y|:$

$|y|=2 − x$

Теперь подставим это значение $|y|$ во второе уравнение:

$3x +(2− x)=4$

$3x +2− x= 4$

$2x +2= 4$

$2x =2 =⇒ x= 1$

Теперь подставим $x= 1$ обратно в выражение для $|y|:$

$|y|=2 − 1= 1$

Теперь у нас есть два возможных значения для $|y|:$

$y = 1 или y =− 1$

Ответ:

$(1,1) и (1,−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#130604

Решите систему уравнений:

{ y+ |x|= 5 x +4y = 5

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = 5− |x|$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$x+4(5− |x|) =5$

$x+20− 4|x|= 5$

$x− 4|x|+ 20= 5$

$x− 4|x|= −15$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $x.$

Случай $1:$ $x≥ 0$

В этом случае $|x|= x.$ Подставим это в уравнение:

$x− 4x =− 15$

$− 3x =− 15 =⇒ x= 5$

Теперь подставим $x= 5$ обратно в выражение для $y :$

$y = 5− |5|= 5− 5= 0$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(5,0)$

Случай $2:x< 0$

В этом случае $|x|= −x.$ Подставим это в уравнение:

$x− 4(−x)= −15$

$x+4x =− 15$

$5x =− 15 =⇒ x= −3$

Теперь подставим $x= −3$ обратно в выражение для $y :$

$y = 5− |− 3|= 5− 3= 2$

Таким образом, в этом случае мы получили еще одно решение:

$(x,y)=(−3,2)$

Ответ:

$(−3,2),(5,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#130615

Решите систему уравнений:

{ y+ |x|= 2 3x+ y = 4

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = 2− |x|$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$3x +(2− |x|) =4$

$3x +2− |x|= 4$

$3x − |x|+ 2= 4$

$3x − |x|= 2$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $x.$

Случай $1:x≥ 0$

В этом случае $|x|= x.$ Подставим это в уравнение:

$3x − x =2$

$2x =2 =⇒ x= 1$

Теперь подставим $x= 1$ обратно в выражение для $y :$

$y = 2− |1|= 2− 1= 1$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(1,1)$

Случай $2:x< 0$

В этом случае $|x|= −x.$ Подставим это в уравнение:

$3x − (−x)= 2$

$3x +x =2$

$4x =2 =⇒ x= 12$

Однако, это значение $x$ не удовлетворяет условию $x< 0.$ Таким образом, в этом случае решений нет.

Ответ:

$(1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130616

Решите систему уравнений:

{ 2|x|+3y = 8 2x− |y|= −4

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$8−2|x| 3y =8 − 2|x| =⇒ y = 3$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$||8−2|x||| 2x −| 3 |= −4$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $y.$

Случай $1:y ≥ 0$

В этом случае $|y|= y.$ Подставим это в уравнение:

$8−2|x| 2x −--3--= −4$

$6x − (8− 2|x|)= −12$

$6x − 8+ 2|x|= −12$

$6x +2|x|= −12+ 8$

$6x +2|x|= −4$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x.$

Подслучай $1.1 :x≥ 0$

В этом случае $|x|= x) :$

$6x +2x= −4 =⇒ 8x =− 4 =⇒ x= − 12$

Это значение не удовлетворяет условию $x≥ 0.$

Подслучай $1.2 :x< 0$

В этом случае $|x|= −x:$

$6x − 2x= −4 =⇒ 4x =− 4 =⇒ x= −1$

Теперь подставим $x= −1$ обратно в выражение для $y :$

$y = 8−-2|3−1|= 8−23⋅1-= 8−32= 63 = 2$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(−1,2)$

Случай $2:y < 0$

В этом случае $|y|= −y.$ Подставим это в уравнение:

$2x + 8−2|x|= −4 3$

$6x +(8− 2|x|)= −12$

$6x +8− 2|x|= −12$

$6x − 2|x|= −12− 8$

$6x − 2|x|= −20$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x.$

Подслучай $2.1 :x≥ 0$

В этом случае $|x|= x:$

$6x − 2x= −20 =⇒ 4x =− 20 =⇒ x= −5$

Это значение не удовлетворяет условию $x≥ 0.$

Подслучай $2.2 :x< 0$

В этом случае $|x|= −x:$

$20 5 6x +2x= −20 =⇒ 8x =− 20 =⇒ x= −8 = −2$

Теперь подставим $5 x= −2$ обратно в выражение для $y :$

$8− 2|− 5| 8−2⋅5 y =--3-2-= --32-= 8−53-= 33 = 1$

Но $y < 0$ следовательно решений в этом случае нет.

Ответ: (-1;2)

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130617

Решите систему уравнений:

{ x+y =2 |3x− y|=1

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = 2− x$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$|3x− (2− x)|=1$

$|3x− 2+x|= 1 =⇒ |4x − 2|= 1$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $4x− 2.$

Случай $1:4x− 2 ≥0$

В этом случае $|4x− 2|= 4x− 2.$ Подставим это в уравнение:

$4x − 2= 1$

$3 4x =3 =⇒ x= 4$

Теперь подставим $x= 34$ обратно в выражение для $y :$

$y = 2− 34 = 84 − 34 = 54$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(34,54)$

Случай $2:4x− 2 <0$

В этом случае $|4x− 2|= −(4x− 2)=− 4x +2.$ Подставим это в уравнение:

$− 4x +2= 1$

$− 4x =− 1 =⇒ 4x= 1 =⇒ x= 14$

Теперь подставим $x= 14$ обратно в выражение для $y :$

$y = 2− 14 = 84 − 14 = 74$

Таким образом, в этом случае мы получили еще одно решение:

$(x,y)=(14,74)$

Ответ:

$(3,5),(1,7) 4 4 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130619

Решите систему уравнений:

{ |x − 2|+ |y− 5|=1 y− |x− 2|=5

Источники: OnlineMSchool, Система линейных уравнений с 2-мя неизвестными. (см. ru.onlinemschool.com)

Показать ответ и решение

Начнем со второго уравнения и выразим $y :$

$y = 5+|x− 2|$

Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$|x− 2|+ |(5+ |x − 2|)− 5|= 1$

$|x− 2|+ |x− 2|= 1$

$2|x− 2|= 1$

$1 |x− 2|= 2$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x− 2.$

Случай $1:x− 2≥ 0$ (то есть $x ≥2$ )

В этом случае $|x− 2|=x − 2.$ Подставим это в уравнение:

$x− 2 = 12$

$x= 2+ 12 = 52$

Теперь подставим $x= 52$ обратно в выражение для $y :$

$y = 5+|x− 2|= 5+ 12 = 102 + 12 = 112$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(52,112 )$

Случай $2:x− 2< 0$ (то есть $x < 2$ )

В этом случае $|x− 2|=− (x − 2)= 2− x.$ Подставим это в уравнение:

$2− x = 12$

$− x= 12 − 2 =⇒ −x = 12 − 42 = − 32$

Теперь подставим $x= 32$ обратно в выражение для $y :$

$y = 5+|x− 2|= 5+ |32 − 2|= 5+ |32 − 42|= 5+ 12 = 102 + 12 = 112$

Таким образом, в этом случае мы получили еще одно решение:

$(x,y)=(32,112 )$

Ответ:

$(5,11),(3,11) 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130620

Решите систему уравнений:

{ |x − 1|+y =4 x− |y− 2|=3

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первого уравнения и выразим $y :$

$y = 4− |x− 1|$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$x− |(4− |x− 1|)− 2|= 3$

$x− |(4− 2− |x− 1|)|= 3 =⇒ x− |2 − |x− 1||=3$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $2− |x − 1|.$

Случай $1:2− |x− 1|≥0$ (то есть $|x − 1|≤ 2$ )

В этом случае $|2− |x − 1||= 2− |x − 1|.$ Подставим это в уравнение:

$x− (2− |x − 1|) =3$

$x− 2 +|x− 1|= 3$

$|x− 1|=3+ 2− x =⇒ |x− 1|= 5− x$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x− 1.$

Подслучай $1.1 :x− 1 ≥0$ (то есть $x≥ 1$ )

В этом случае $|x− 1|=x − 1 :$

$x− 1 =5 − x$

$2x =6 =⇒ x= 3$

Теперь подставим $x= 3$ обратно в выражение для $y :$

$y = 4− |3− 1|= 4− 2= 2$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(3,2)$ 4 Подслучай $1.2:x− 1< 0$ (то есть $x< 1$ )

В этом случае $|x− 1|=− (x − 1)= 1− x:$

$1− x =5 − x$

$1= 5$

Это равенство неверно, следовательно, в этом подслучае решений нет.

Случай $2:2− |x− 1|<0$ (то есть $|x− 1|> 2$ )

В этом случае $|2− |x − 1||= |x− 1|− 2.$ Подставим это в уравнение:

$x− (|x− 1|− 2) =3$

$x+2 − |x− 1|= 3$

$x− |x− 1|= 1$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x− 1.$

Подслучай $2.1 :x− 1 ≥0$ (то есть $x≥ 1$ )

В этом случае $|x− 1|=x − 1 :$

$x− (x− 1)= 1$

$1= 1$

Это равенство верно для всех $x ≥1.$ Однако, мы также должны учитывать условие $|x − 1|> 2,$ что означает:

$x− 1 >2 =⇒ x> 3$

Таким образом, в этом подслучае решения будут:

$x> 3 и y = 4− (x− 1)=5 − x$

Подслучай $2.2 :x− 1 <0$ (то есть $x <1$ )

В этом случае $|x− 1|=− (x − 1)= 1− x.$ Подставим это в уравнение:

$x− (1− x)= 1$

$x− 1 +x =1 =⇒ 2x − 1= 1$

$2x =2 =⇒ x= 1$

Однако, это значение не удовлетворяет условию $x <1.$ Таким образом, в этом подслучае решений нет.

Ответ:

$(x,5− x)$ при $x≥ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#130629

Решите систему уравнений:

{ |x+ 2|+ |y|= 2 y+ 2= |x+2|

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем со второго уравнения и выразим $y :$

$y = |x+ 2|− 2$

Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$|x+ 2|+ ||x+ 2|− 2|= 2$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $x+ 2.$

Случай $1:x+ 2≥ 0$ (то есть $x ≥− 2$ )

В этом случае $|x+ 2|=x +2.$ Подставим это в уравнение:

$(x+ 2)+|(x+2)− 2|=2$

$x+2 +|x|= 2$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $x.$

Подслучай $1.1 :x≥ 0$

В этом случае $|x|= x:$

$x+2 +x =2$

$2x +2= 2 =⇒ 2x =0 =⇒ x= 0$

Теперь подставим $x= 0$ обратно в выражение для $y :$

$y = |0+ 2|− 2= 2− 2= 0$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(0,0)$

Подслучай $1.2 :−2≤ x< 0$

В этом случае $|x|= −x:$

$x+2 − x =2$

$2= 2$

Это равенство верно для всех $x$ в диапазоне $− 2≤ x< 0.$ Таким образом, в этом подслучае решения будут:

$y = |x+ 2|− 2= (x+ 2)− 2= x$

Таким образом, для $− 2≤ x< 0$ у нас есть множество решений:

$(x,y)=(x,x) для − 2≤ x< 0$

Случай $2:x+ 2< 0$ (то есть $x < −2$ )

В этом случае $|x+ 2|=− (x +2)= −x− 2.$ Подставим это в уравнение:

$(−x − 2)+ |y|= 2$

$− x− 2 +|y|= 2 =⇒ |y|=x +4$

Так как $x< −2,$ то $x +4 <2.$ Таким образом, $|y|=x +4$ может быть только положительным, и мы можем записать два подслучая.

Подслучай $2.1 :y ≥0$

В этом случае $|y|= y :$

$y = x+4$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$(x+ 4)+2 =− x− 2$

$x+6 =− x− 2$

$2x =− 8 =⇒ x= −4$

Теперь подставим $x= −4$ обратно в выражение для $y :$

$y = −4+ 4= 0$

Таким образом, в этом случае мы получили решение:

$(x,y)=(−4,0)$

Подслучай $2.2 :y < 0$

В этом случае $|y|= −y :$

$− y = x+4 =⇒ y = −x− 4$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$(−x − 4)+ 2= −x− 2$

$− x− 2 =− x− 2$

Это равенство верно для всех $x.$ Однако, мы также должны учитывать условие $x< −2.$ Таким образом, в этом подслучае у нас есть множество решений:

$y = −x− 4 для x <− 2$

Ответ:

$(x,y)= (x,x) для − 2≤ x< 0$

$y = −x− 4 для x <− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#130630

Решите систему уравнений

( x +z =4 |{ |( y +z =5 x+ 2y+ 4z =17

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с первых двух уравнений, чтобы выразить $z$ через $x$ и $y.$

Из уравнения $1$ выразим $z :$

$z = 4− x$

Из уравнения $2$ выразим $z :$

$z = 5− y$

Теперь приравняем выражения для $z :$

$4− x =5 − y$

$y− x =1$

Теперь выразим $y$ через $x :$

$y = x+1$

Теперь подставим выражения для $y$ и $z$ в третье уравнение:

$x+2(x+ 1)+4(4− x)= 17$

$x+2x +2+ 16− 4x =17$

$x+18= 17$

$− x= −1 =⇒ x= 1$

Теперь подставим значение $x= 1$ в уравнение для нахождения $y :$

$y = 1+1 =2$

Теперь подставим значение $x= 1$ в уравнение для нахождения $z :$

$z = 4− 1 =3$

Таким образом, мы нашли значения $x,y$ и $z :$

$(x,y,z)= (1,2,3)$

Ответ:

$(x,y,z)= (1,2,3)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#130631

Решите систему уравнений

{ x+1= y−2= z−1 2 1 −1 3x− 2y+z − 3= 0

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Для решения данной системы уравнений начнем с первого уравнения:

$x+1 y−2 z−1 2 = 1 = − 1 = k$

где $k$ —– некоторое значение. Из этого равенства можем выразить $x,y$ и $z$ через $k :$

$x+1 2 = k$ $⇒ x+ 1= 2k$ $⇒ x =2k − 1$

$y−2 1 = k$ $⇒ y− 2= k$ $⇒ y =k +2$

$z−-1 −1 = k$ $⇒ z− 1 =− k$ $⇒ z = −k+ 1$

Теперь подставим выражения для $x,y$ и $z$ в второе уравнение:

$3x − 2y+ z− 3= 0$

Подставим $k :$

$3(2k− 1)− 2(k+2)+ (− k+ 1)− 3= 0$

$6k − 3− 2k− 4− k +1− 3= 0$

$(6k− 2k− k)+ (−3− 4+1 − 3)= 0$

$3k − 9= 0$

Решим это уравнение:

$3k =9 ⇒ k= 3$

Теперь подставим значение $k$ обратно, чтобы найти $x,y$ и $z :$

$x= 2k − 1 =2(3)− 1= 6− 1= 5$

$y = k+2 =3 +2= 5$

$z = −k+ 1= −3+ 1= −2$

Таким образом, решение системы уравнений:

$(x,y,z)= (5,5,−2)$

Ответ:

$(x,y,z)= (5,5,− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#130632

Решите систему уравнений:

(| x +y+ z = 6 |||{ | y+z +t= 9 |||( z+t+ x= 8 t+x+ y = 7

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Мы можем сложить все четыре уравнения:

$(x+ y+ z)+(y+ z+ t)+ (z +t+ x)+(t+x +y)= 6+ 9+ 8+7$

$3x +3y+ 3z+3t= 30$

$x+y +z+ t= 10$

$x= (x +y+ z+ t)− (y+z +t)$

$x= 10 − 9$

$x= 1$

$y = (x+ y+ z+ t)− (z+t+ x)$

$y = 10 − 8$

$y = 2$

$z = (x+ y+ z+ t)− (t+ x+ y)$

$z = 10− 7$

$z = 3$

$t=(x+ y+ z+t)− (x +y+ z)$

$t=10− 6$

$t=4$

Ответ:

$(x,y,z,t)= (1,2,3,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130635

Решите систему уравнений:

{ 8x+7y =79 −6x − 8y = −62

Источники: Математушка, Задачи ЕГЭ по математике (см. www.matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Сначала умножим первое уравнение на $3$ и второе уравнение на $4,$ чтобы коэффициенты при $x$ стали одинаковыми:

({ 3(8x+ 7y)= 3(79) (4(−6x− 8y) =4(−62)

Это дает:

( {24x+ 21y = 237 (3) (− 24x − 32y = −248 (4)

Теперь сложим уравнения:

$(24x+ 21y)+ (− 24x − 32y)=237− 248$

$21y− 32y = −11$

$− 11y = −11$

$y = 1$

Теперь подставим значение $y$ в одно из исходных уравнений, например, в уравнение $1 :$

$8x +7⋅1= 79$

$8x +7= 79$

$8x =72$

$x= 782= 9$

$x= 9, y = 1$

Ответ:

$(9;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#130637

Решите систему уравнений:

{ 3x +8y = −19 −10x+ y = −75

Источники: OnlineMSchool, Система линейных уравнений с 2-мя неизвестными. (см. ru.onlinemschool.com)

Показать ответ и решение

Сначала выразим $y$ из уравнения $2:$

$y = −75+10x$

Теперь подставим выражение для $y$ в уравнение $1 :$

$3x +8⋅(−75+ 10x)= −19$

$3x − 600+ 80x =− 19$

$83x− 600= −19$

$83x =581$

$581 x= 83-$

$x= 7$

Теперь подставим значение $x$ обратно в уравнение для нахождения $y :$

$y = −75+10⋅7$

$y = −75+70= −5$

$x= 7, y = −5$

Ответ: (7;-5)