Тема Системы уравнений

01 Графический метод решения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#107920

В какой координатной четверти пересекаются графики уравнений $3x +4y = 11$ и $x− 2y =15?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Эту задачу можно решить как алгебраически, так и графически.

Первое решение.

Начнём с алгебраического решения. Решим систему:

({ ({ ({ 1 3x +4y = 11 ⇐⇒ 3x+ 4y = 11 ⇐⇒ x= 85 ( x− 2y =15| ⋅2 (2x− 4y = 30 ( y = −325

Решение системы — $(815;−325).$ Значит, данные нам прямые пересекаются в точке $(815;−3 25).$

$815 > 0,$ $− 325 < 0=⇒$ прямые пересекаются в $IV$ координатной четверти.

Второе решение.

Чтобы решить эту задачу графически, необходимо изобразить прямые $3x+ 4y =11$ и $x− 2y = 15$ и посмотреть, в какой координатной четверти они пересекутся:

$PIC$

Видно, что прямые пересекаются в $IV$ координатной четверти.

Ответ:

В $IV$ координатной четверти.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#107921

При каких значениях графики уравнений $x+ y = a$ и $3x+ y = 6$ пересекаются:

(a) на оси абсцисс;

(b) на оси ординат.

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Если графики $x+ y = a$ и $3x+ y = 6$ пересекаются на оси абсцисс, то $y =0.$ То есть наши уравнения выглядят, как $x= a$ и $3x= 6.$ Тогда $a= x= 2.$

Также мы могли бы решить эту задачу графически: $3x+ y = 6$ — прямая, проходящая через точки $(0;6)$ и $(2;0).$ А $x+ y = a$ — множество прямых, параллельных прямой $x+y =0.$ Чтобы выяснить, при каком значении $a$ графики наших уравнений пересекаются на оси абсцисс, мы могли перемещать линейку параллельно прямой $x+ y = 0,$ пока прямые $x+ y = a$ и $3x+ y = 6$ не пересекутся на оси абсцисс, а потом найти значение параметра $a:$

$PIC$

(b) Если графики $x +y =a$ и $3x+ y = 6$ пересекаются на оси ординат, то $x= 0.$ То есть наши уравнения выглядят, как $y = a$ и $y =6.$ Тогда $a= y = 6.$

Также мы могли бы решить эту задачу графически: $3x+ y = 6$ — прямая, проходящая через точки $(0;6)$ и $(2;0).$ А $x+ y = a$ — множество прямых, параллельных прямой $x+y =0.$ Чтобы выяснить, при каком значении $a$ графики наших уравнений пересекаются на оси ординат, мы могли перемещать линейку параллельно прямой $x +y =0,$ пока прямые $x +y =a$ и $3x+ y = 6$ не пересекутся на оси ординат, а потом найти значение параметра $a:$

$PIC$

Ответ:

(a) $a =2;$ (b) $a= 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#107922

При каком значении графики уравнений $2x− y = 5,$ $3x− 2y =3,$ $ax+ y = 16$ пересекаются в одной точке?

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Эту задачу можно решить как алгебраически, так и графически.

Первое решение.

Начнём с алгебраического решения. Выясним, где пересекаются графики первых двух уравнений, решив систему:

({ ({ ({ 2x− y = 5| ⋅2 ⇐ ⇒ 4x− 2y = 10 ⇐⇒ x = 7 (3x− 2y = 3 (3x− 2y = 3 (y =9

Графики первых двух уравнений пересекаются в точке $(7;9).$ График уравнения $ax +y =16$ также должен проходить через эту точку. Значит, если мы подставим вместо $x$ абсциссу этой точки, а вместо $y$ — ординату, то мы должны получить верное равенство:

a⋅7+ 9= 16

7a= 7

a= 1

Второе решение.

Теперь решим эту задачу графически. $2x− y = 5$ — прямая, проходящая через точки $(0;−5)$ и $(212;0).$ $3x − 2y = 3$ — прямая, проходящая через точки $(0;− 11) 2$ и $(1;0).$ $ax+ y = 16$ — прямая, проходящая через точку $(0;16).$ Изобразим графики первых двух уравнений и начнём вращать линейку около точки $(0;16)$ до тех пор, пока она не будет проходить через точку пересечения первых двух прямых, а потом найдём значение параметра $a:$

$PIC$

Ответ:

$a =1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#107923

При каких значениях $a$ графики уравнений параллельны?

(a) $x +y = 4$ и $ax+ 2y = 6;$

(b) $2x+ y = 3$ и $ax+ 2y = 6?$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

График $ax +2y = 6$ — множество прямых, проходящих через точку $(0;3).$

(a) График $x+y =4$ — прямая, проходящая через точки $(0;4)$ и $(4;0).$ Изобразим график этого уравнения и начнём вращать линейку около точки $(0;3)$ до тех пор, пока $x +y =4$ и $ax+ 2y = 6$ не будут параллельны, а потом найдём значение параметра $a:$

$PIC$

Таким образом, $a= 2.$

(b) График $2x+y =3$ — прямая, проходящая через точки $(0;3)$ и $1 (12;0).$ Прямые $2x +y =3$ и $ax+ 2y = 6$ никогда не будут параллельны, т. к. обе проходят через точку $(0;3),$ т. е. или пересекаются, или совпадают. Получается, таких $a$ не существует.

$PIC$

Ответ:

(a) $a =2;$ (b) $a∈ ∅.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#107924

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(1;5)$ и через точку пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y =|x− 2|.$

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

Для начала найдём точку пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y =|x− 2|.$ Это можно сделать как алгебраически, так и графически.

Начнём с алгебраического способа. Чтобы найти точку пересечения этих функций, решим систему:

({ ({ ({ ({ y = |x| ⇐ ⇒ y =|x| ⇐⇒ y = |x| ⇐ ⇒ y = 1 (y = |x− 2| (|x− 2|= |x| (x− 2= ±x (x =1

Таким образом, графики функций $y = |x|$ и $y = |x − 2|$ пересекаются в точке $(1;1).$

Также, чтобы найти точку пересечения этих двух функций, мы могли нарисовать графики функций $y =|x|$ и $y = |x− 2|$ и посмотреть, где они пересекутся.

⌊ ( ( | {y =x {y ≥ 0 || (y ≥0 — “галочка”, смотрящ ая вверх y = |x|⇐ ⇒ (y = ±x ⇐⇒ ||| ({y =− x и имеющая центр в (0;0) ⌈ ( y ≥0

⌊ ({ ( || y = x− 2 y = |x− 2|⇐⇒ { y ≥ 0 ⇐ ⇒ || ((y ≥ 0 — “галочка”, смотрящая вверх ( y = ±(x− 2) || {y = 2− x и имеющ ая центр в (2;0) ⌈ (y ≥ 0

$PIC$

Видно, что “галочки” пересекаются в $(1;1).$

Теперь нам необходимо написать уравнение прямой, проходящей через точки $A (1;5)$ и $(1;1).$ Это, опять же, можно сделать алгебраически и графически.

Временно запишем уравнение нашей прямой, как $ax+ by =c$ Оно должно проходить через точки $A(1;5)$ и $(1;1),$ значит, если мы поочерёдно подставим в уравнение координаты каждой из этих точек, равенство должно быть верным. Тогда имеет смысл следующая система:

( ( ( {a +5b= c ⇐⇒ { a+ b= c ⇐⇒ {a =c (a +b= c ( 4b=0 (b =0

Таким образом, наше уравнение выглядит, как $ax= a,$ то есть как $x= 1.$

Также мы могли найти коэффициенты этого уравнения графически. Для этого мы должны были изобразить точки $A(1;5)$ и $(1;1),$ нарисовать прямую, проходящую через них, и найти её уравнение:

$PIC$

Ответ:

$x =1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#107925

Используя графический способ, найдите число решений системы уравнений:

({ (a) y − |x|= 0 (|x|+ y = 3

( (b) {y− |x|+ 3= 0 (|x +1|− y = 0

( {y− |x|= 1 (c) (|x|+ y = 5

( {y− |x +2|= 0 (d) ( |x − a|− y = 0

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

⌊ ( ( | {y =x {y ≥ 0 ||| ((y ≥0 — “галочка”, смотрящ ая вверх y = |x|⇐ ⇒ (y = ±x ⇐⇒ || {y =− x и имеющая центр в (0;0) ⌈ ( y ≥0

⌊ ({ ( || y = x+ 3 y = −|x|+ 3⇐⇒ { y ≤ 3 ⇐⇒ || (( y ≤ 3 — “галочка”, смотрящая вниз ( y = ±x+ 3 ||⌈ { y = −x+ 3 и имеющая центр в (0;3) ( y ≤ 3

$PIC$

(b) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

⌊ ( ( | { y = x− 3 { y ≥ −3 ||| ( y ≥ −3 — “галочка”, смотрящая вверх y = |x|− 3⇐⇒ ( y = ±x− 3 ⇐⇒ || ({ y = −x− 3 и имею щая центр в (0;− 3) ⌈ ( y ≥ −3

⌊ ( ( | {y =x +1 {y ≥ 0 || (y ≥0 —“галочка”, смотрящ ая вверх y = |x+1|⇐ ⇒ ( ⇐⇒ ||| ({ и имеющ ая центр в (− 1;0) y = ±(x+ 1) ⌈ (y =− x− 1 y ≥0

$PIC$

⌊ ({ y = x+ 1 ({ || ( y = |x|+ 1⇐⇒ y ≥ 1 ⇐⇒ ||| ( y ≥ 1 — “галочка”, смотрящая вверх ( y = ±x+ 1 |⌈ { y = −x+ 1 и имеющ ая центр в (0;1) ( y ≥ 1

⌊ ( { y = x+ 5 ({ y ≤ 5 ||| ( y ≤ 5 — “галочка”, смотрящая вниз y = −|x|+ 5⇐⇒ ( ⇐⇒ || ({ и имеющая центр в (0;5) y = ±x+ 5 |⌈ y = −x+ 5 ( y ≤ 5

$PIC$

(d) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

⌊ ({ ( || y =x +2 y = |x+2|⇐ ⇒ {y ≥ 0 ⇐⇒ || ((y ≥0 —“галочка”, смотрящ ая вверх (y = ±(x+ 2) ||⌈ {y =− x− 2 и имеющ ая центр в (− 2;0) (y ≥0

( ⌊ {y = x− a ({ ||| ( y = |x− a|⇐⇒ (y ≥ 0 ⇐ ⇒ || (y ≥ 0 — “галочка”, смотрящая вверх y = ±(x− a) |⌈ {y = a− x и имеющ ая центр в (a;0) (y ≥ 0

При $a< −2$ “галочки” будут иметь ровно $1$ точку пересечения: левая ветвь “галочки” $y− |x +2|= 0$ пересекает правую ветвь “галочки” $|x− a|− y = 0.$

При $a= −2$ “галочки” будут совпадать.

При $a> −2$ “галочки” будут иметь ровно $1$ точку пересечения: правая ветвь “галочки” $y− |x +2|= 0$ пересекает левую ветвь “галочки” $|x− a|− y = 0.$

$PIC$

Ответ:

(a) $2;$ (b) $0;$ (c) $2;$ (d) при $a⁄= −2$ — $1$ решение, при $a= 2$ — бесконечно много решений.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#107926

Решить графически систему уравнений:

({ (a) 7x− 3y =− 26 ( y− 2x= 8

( (b) {|x|− y = 0 (x− y = −4

( {x − |y|= 0 (c) (2x− y = 3

( {x2− y2 = 0 (d) ( x+ 2y = 3

( { |y − 2x|=3 (e)( x− 2y = 0

( { x2− 2xy+ y2 = 4 (f)( |x+ y|=2

({ x2− y = 0 (g)( y− |x− 1|= 1

({ (h) y− |x +1|= 0 (|x|+ y = 1

Источники: Математическая вертикаль, подборка задач по теме "Системы линейных уравнений" (см. www.overleaf.com)

Показать ответ и решение

(a)

$PIC$

(b) Разберёмся, что за график имеет первое уравнение в системе, и изобразим графики:

( ⌊ {y =x ({ ||| ( y = |x|⇐ ⇒ (y ≥ 0 ⇐⇒ || (y ≥0 — “галочка”, смотрящ ая вверх y = ±x |⌈ {y =− x и имеющая центр в (0;0) (y ≥0

$PIC$

⌊ ({ ( | y = x x = |y|⇐⇒ { x≥ 0 ⇐⇒ ||| ((x≥ 0 — “галочка”, смотрящая вправо ( x= ±y || {y = −x и имеющая центр в (0;0) ⌈ (x≥ 0

$PIC$

(d) Разберёмся, что за график имеет первое уравнение в системе, и изобразим графики:

[ x2− y2 =0 ⇐⇒ (x− y)(x+ y)= 0⇐ ⇒ x= y x= −y

$PIC$

(e) Разберёмся, что за график имеет первое уравнение в системе, и изобразим графики:

[ y = 2x +3 |y− 2x|=3 ⇐⇒ y− 2x= ±3⇐ ⇒ y = 2x − 3

$PIC$

(f) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

[ x2− 2xy +y2 = 4⇐ ⇒ (x − y)2 = 4⇐⇒ x − y =±2 ⇐⇒ y = x+ 2 y = x− 2

[ y = 2− x |x+ y|= 2⇐ ⇒ x+ y = ±2⇐ ⇒ y = −x− 2

$PIC$

(g) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

x2 − y =0⇐ ⇒ y = x2 — парабола с ветвями вверх и верш иной в(0;0)

⌊ ( ( | { y = x {y ≥1 ||| ( y ≥ 1 — “галочка”, y = |x− 1|+1 ⇐⇒ (y =± (x − 1)+ 1 ⇐⇒ || ({ y = 2− x смотрящая вверх ⌈ ( и имеющая центр в (1;1) y ≥ 1

$PIC$

(h) Выясним, как будут выглядеть графики уравнений системы и изобразим их:

⌊ ({y =x +1 ({ || ( y = |x+1|⇐ ⇒ y ≥ 0 ⇐⇒ ||| (y ≥0 —“галочка”, смотрящ ая вверх (y = ±(x+ 1) |⌈ {y =− x− 1 и имеющ ая центр в (− 1;0) (y ≥0

⌊ ( {y =x +1 ({y ≤1 ||| (y ≤1 — “галочка”, смотрящая вниз y = −|x|+1⇐ ⇒ ( ⇐⇒ || ({ y =±x +1 |⌈ y =1 − x и имеющ ая центр в (0;1) (y ≤1

$PIC$

Ответ:

(a) $(−2;4);$ (b) $(− 2;2);$ (c) $(1;−1),$ $(3;3);$ (d) $(− 3;3),$ $(1;1);$ (e) $(−2;−1),$ $(2;1);$ (f) $(−2;0),$ $(0;−2),$ $(0;2),$ $(2;0);$ (g) $(−2;4),$ $(1;1);$ (h) бесконечно много решений вида $y = x+ 1$ при $x ∈[−1;0].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#107927

Решите систему уравнений:

({ 5x+2y =5 ( 2x+3y =13

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Графический способ решения систем линейных уравнений" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

( ( {5x+ 2y = 5| ⋅3 { 15x +6y = 15(1) (2x+ 3y = 13 | ⋅2 ⇐⇒ ( 4x+6y =26(2)

Вычтем $(2)$ из $(1):$

(15x+ 6y)− (4x+ 6y)= 15− 26

15x/+ /6y− 4x/+/6y = −11

11x =− 11

x= −1

Подставим $x =−1$ в $(1):$

15⋅(−1)+ 6y = 15

− 15 +6y = 15

6y = 30

y = 5

Получается, $x =− 1,$ $y =5.$

Второе решение.

Изобразим графики обоих уравнений и найдём точку их пересечения.

$5x +2y = 5$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(1;0),$ ось ординат — в $(0;212).$

$2x +3y = 13$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(612;0),$ ось ординат — в $(0;413).$

$PIC$

Получается, $x =− 1,$ $y =5.$

Ответ:

$(−1;5).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#107928

Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

({ 2x +y =3 ( x+2y =6

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Графический способ решения систем линейных уравнений" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

( ( { 2x +y =3 | ⋅2 { 4x+2y =6(1) ( x+ 2y =6 ⇐⇒ ( x+ 2y =6 (2)

Вычтем $(2)$ из $(1):$

(4x+ 2y)− (x+ 2y)= 6− 6

4x/+ /2y− x /−/ 2y =0

3x= 0

x= 0

Подставим $x =0$ в $(1):$

4⋅0+ 2y =6

2y = 6

y = 3

Получается, уравнение имеет единственное решение — $(0;3).$

Второе решение.

Изобразим графики уравнений и выясним, сколько у них точек пересечения.

$2x +y =3$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $1 (12;0),$ ось ординат — в $(0;3).$

$x+2y =6$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(6;0),$ ось ординат — в $(0;3).$

Уже видно, что система будет иметь единственное решение $(0;3),$ потому что обе прямые проходят через эту точку и не могут пересекаться в двух и более точках. Но для наглядности убедимся в этом, изобразив прямые:

$PIC$

Получается, уравнение имеет единственное решение — $(0;3).$

Ответ:

$1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#107929

Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

({ 2x +y =3 ( 2x +y =5

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Графический способ решения систем линейных уравнений" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

( { 2x+y = 3 ( 2x+y = 5 =⇒ 3= 5— противоречие

Система не имеет решений.

Второе решение.

Изобразим графики уравнений и выясним, сколько у них точек пересечения.

$2x +y =3$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(11;0), 2$ ось ординат — в $(0;3).$

$2x +y =5$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(21;0), 2$ ось ординат — в $(0;5).$

$PIC$

Прямые параллельны, система не имеет решений.

Ответ:

$0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#107930

Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

({ 2x+ y = 3 (x+ 0,5y =1,5

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Графический способ решения систем линейных уравнений" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

( ( {2x+ y = 3 {2x+ y = 3 (x +0,5y = 1,5| ⋅2 ⇐ ⇒ (2x+ y = 3 ⇐ ⇒ 2x +y =3

Система имеет бесконечно много решений вида $(x; 2x− 3).$

Второе решение.

Изобразим графики уравнений и выясним, сколько у них точек пересечения.

$2x +y =3$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в точке $(11;0), 2$ ось ординат — в точке $(0;3).$

$x+0,5y = 1,5$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в точке $(11;0), 2$ ось ординат — в точке $(0;3).$

Уже ясно, что прямые совпадут, т. к. две точки однозначно задают прямую. Но для наглядности убедимся в этом, изобразив прямые:

$PIC$

Прямые совпали. Системе удовлетворяют все точки, лежащие на получившейся прямой.

Ответ:

Бесконечно много решений вида $(x; 2x− 3).$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#107931

Решите системы уравнений графическим методом:

({ (a) x+ y = 6 ( x− y = 2

( (b){ x+ y = 7 ( 2x +2y = 14

( {2x− y = 3 (c) (y − 2x= 1

Источники: Фоксфорд.Учебник, "Графический способ решения систем линейных уравнений" (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

(a) Изобразим графики уравнений и выясним, где они пересекаются:

$x+y =6$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(6;0),$ ось ординат — в $(0;6).$

$x− y =2$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(2;0),$ ось ординат — в $(0;−2).$

$PIC$

Уравнение имеет единственное решение $(4;2).$

(b) Изобразим графики уравнений и выясним, где они пересекаются:

$x+y =7$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(7;0),$ ось ординат — в $(0;7).$

$2x +2y = 14$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $(7;0),$ ось ординат — в $(0;7).$

$PIC$

Прямые совпали. Системе удовлетворяют все точки, лежащие на получившейся прямой.

$2x − y =3$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $1 (12;0),$ ось ординат — в $(0;−3).$

$y− 2x =1$ — прямая, пересекающая ось абсцисс в $1 (−2;0),$ ось ординат — $(0;1).$

$PIC$

Прямые параллельны, система не имеет решений.

Ответ:

(a) $(4;2);$ (b) бесконечно много решений вида $(x;7− x);$ (c) система не имеют решений.