Тема 18. Задачи с параметром

18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18412

При каких $a$ уравнение

x2 +ax +1 ---x−-2-- = 0

имеет единственный корень?

Показать ответ и решение

Для того, чтобы уравнение имело единственный корень, нужно выполнение одной из следующий ситуаций:

1) числитель имеет один корень и он не совпадает с корнем знаменателя;

2) числитель имеет два корня и ровно один из них совпадает с корнем знаменателя.

Рассмотрим первую ситуацию. Тогда $D = a2− 4= 0,$ откуда $a= ±2.$ При $a= 2$ корень числителя $x= −1 ⁄=2,$ при $a = −2$ корень числителя $x = 1⁄= 2.$ Значит, подходят оба значения параметра.

Рассмотрим вторую ситуацию. Для того, чтобы понять, когда числитель и знаменатель имеют общие корни, решим систему из двух уравнений:

( 2 {x + ax +1 =0 (x − 2 = 0

Отсюда, подставляя второе уравнение в первое, получаем

4+ 2a+ 1= 0 ⇔ a =− 5 2

Следовательно, при найденном $a$ у числителя и знаменателя есть общий корень $x= 2.$ При этом у числителя два корня, поскольку $( )2 D = − 5 − 4 >0. 2$

Ответ:

${ 5} a ∈ ±2;−2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31816

Решите уравнение при всех значениях параметра $a$

∘ x+-8--- (25x +2a⋅5x+ a2)⋅ x+-3 − 2= 0

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности:

⌊(| x 2 |||{ (5 + a) =0 ⌊({ 5x = −a ||||( x−-2< 0 ||( ||| x+ 3 ⇔ ||⌈ −3< x< 2 |⌈x− 2 x =2 x+-3 =0

Неравенство $− 3 <x <2$ равносильно $1125-<5x < 25$ . Следовательно, если $( ) − a ∈ 1125;25$ , то уравнение имеет два решения $x= 2$ и $x =log5(−a)$ . Если $( ) − a⁄∈ 1125;25$ , то уравнение имеет одно решение $x= 2$ .

Ответ:

$a ∈(−25;−-1) ⇒ x= 2;log(−a) 125 5$

$[ -1- ) a∈(−∞; −25]∪ − 125;+∞ ⇒ x =2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38371

Найдите все $a$ , при которых уравнение

(x2+ x +2a2+ 1)2 = 8a2(x2+ x+ 1)

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x2+ x+ 1= t$ , тогда уравнение примет вид

(t+ 2a2)2 = 4t⋅2a2 ⇔ (t− 2a2)2 = 0 ⇔ t= 2a2

Тогда уравнение равносильно

( 1)2 2 3 x + 2 = 2a − 4

Данное уравнение имеет единственное решение, если правая часть равна нулю, то есть $√ - a= ±--6. 4$

Ответ:

$a = ±√6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1847

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых только одно из чисел $x= 6$ и $x= 7$ является решением неравенства

2 2 2 (x − 13x+ 42)⋅log3(10+ a (x − 6)− 7a(x− 6))≤ 0

Показать ответ и решение

Преобразуем данное неравенство к виду:

2 2 (x− 6)(x − 7)⋅log3(10 +a (x− 6)− 7a(x− 6) )≤ 0

Число $x= 6$ является решением неравенства при любом значении параметра $a$ , так как в этом случае неравенство равносильно

0 ⋅log310≤ 0 ⇔ 0 ≤0

Значит, необходимо найти те значения $a,$ при которых число $x =7$ не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при $x = 7$ не выполнено ОДЗ логарифма.

При $x= 7$ неравенство равносильно

2 2 0 ⋅log3(10 +a (7− 6)− 7a(7− 6) )≤ 0

Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно $0≤ 0,$ что верно. Значит необходимо, чтобы при $x= 7$ логарифм не был определен:

2 2 10+ a (7 − 6)− 7a(7− 6) ≤ 0 ⇒ 2 ≤ a≤ 5

Ответ:

$[2;5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17249

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 loga−3,5(4x + 9) =loga− 3,5(4(a− 3)x + 8)

имеет ровно два различных корня.

Показать ответ и решение

Поскольку неравенство $2 4x + 9> 0$ выполняется при всех $x,$ то уравнение равносильно системе

(| (| |{ a> 3,5 |{ a> 3,5 || a− 3,5 ⁄= 1 ⇔ || a⁄= 4,5 ( 4x2+ 9= 4(a− 3)x +8 ( 4x2− 4(a − 3)x+ 1 =0

Система имеет два различных корня, если квадратное уравнение имеет два различных корня и выполнены первые два условия. Тогда дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен:

16(a − 3)2− 16> 0 ⇔ a2− 6a+ 8> 0 (a − 2)(a− 4)> 0 ⇔ a∈ (−∞; 2) ∪(4;+ ∞ )

Учитывая первые два неравенства системы, получаем

4 <a < 4,5 или 4,5< a

Ответ:

$a ∈(4;4,5)∪ (4,5;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Верно решено неравенство $D >0,$ но допущена ошибка из-за неверного пересечения с допустимыми значениями параметра $a$	2
ИЛИ
с помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки

Сделан равносильный переход к системе или к квадратному уравнению с учётом ОДЗ	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36427

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 loga−6,5(x + 1)= loga−6,5((a − 5)x)

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения на параметр $a− 6,5> 0, a − 6,5⁄= 1.$ Тогда данное уравнение равносильно

({ 2 x + 1= (a− 5)x ⇔ x2− (a− 5)x +1 = 0 (x2+ 1> 0

Это уравнение имеет два различных корня, если

D =(a− 5)2− 4> 0 ⇒ a ∈(−∞; 3)∪(7;+∞ )

Отсюда, пересекая с ограничениями на $a,$ получаем

a ∈(7;+∞ )∖{7,5}

Ответ:

$a ∈(7;7,5)∪ (7,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Верно наложено условие существования двух различных решений, но по ходу исследования допущена ошибка	2

Выполнен равносильный переход к квадратному уравнению с учетом всех ограничений	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#758

При каких значениях параметра $a$ система

{ axy + x − y + 3 = 0 2 x + 2y + xy + 1 = 0

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x + 2y + xy + 1 = 0 ⇔ (1 + y)x = − (1 + 2y)

Заметим, что при $y = − 1$ данное уравнение принимает вид: $0 ⋅ x = 1$ , то есть не имеет решений. Следовательно, для всей системы $y = − 1$ не является решением. Тогда второе уравнение можно переписать в виде

1-+-2y- x = − 1 + y

и подставить это значение для $x$ в первое уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

2(2a + 1)y2 + (2a + 3)y − 1 = 0 (∗)

Для того, чтобы вся система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы полученное уравнение $(∗)$ относительно $y$ имело ровно одно решение, причем не равное $− 1$ .

1) Рассмотрим случай, когда уравнение $(∗)$ обращается в линейное, то есть когда $1 2a + 1 = 0 ⇔ a = − 2$ .

Тогда уравнение принимает вид $2y − 1 = 0$ , откуда $y = 12$ , следовательно, $x = − 43$ . Таким образом, данное значение параметра нам подходит.

2) При всех $a$ таких, что $2a + 1 ⁄= 0$ , уравнение $(∗ )$ является квадратным. Рассмотрим его дискриминант:

D = (2a + 3)2 + 4 ⋅ 2 (2a + 1 ) = 4a2 + 28a + 17

Рассмотрим случай, когда $D = 0$ , то есть $4a2 + 28a + 17 = 0$ . Решая это квадратное уравнение, получаем $√ -- a1 = − 3, 5 − 2 2$ , $√ -- a2 = − 3,5 + 2 2$ (заметим, что эти значения параметра подходят под условие $2a + 1 ⁄= 0$ ). При этих значениях параметра уравнение $(∗)$ имеет одно решение: при $a1$ это $1− √2 y = -2---$ ; при $a2$ это $1+√2- y = --2--$ .
Оба значения $y$ не равны $− 1$ , то есть подходят в первое уравнение. Значит, эти значения параметра $a$ нам подходят.

3) При всех значениях параметра, при которых $2a + 1 ⁄= 0$ и $D > 0$ . То есть $( √ -) √ -- a ∈ − ∞; − 3,5 − 2 2 ∪ (− 3,5 + 2 2;− 0, 5) ∪ (− 0,5;+ ∞ )$ .

Т.к. $D > 0$ , то уравнение $(∗)$ всегда имеет два различных корня.
Таким образом, если один из корней будет равен $− 1$ (который нам не подходит), то вся система снова будет иметь единственное решение. Найдем значения $a$ , при которых уравнение $(∗)$ имеет корень $y = − 1$ . Это значит, что при подстановке числа $− 1$ в данное уравнение оно должно обращаться в верное равенство, то есть

2 2(2a + 1) ⋅ (− 1) + (2a + 3) ⋅ (− 1) − 1 = 0 ⇔ a = 1

Это значение параметра подходит под условие $( √ -) √ -- a ∈ − ∞; − 3,5 − 2 2 ∪ (− 3,5 + 2 2;− 0,5) ∪ (− 0,5;+ ∞ )$ .

Можно сделать проверку: при $a = 1$ уравнение $(∗)$ принимает вид $6y2 + 5y − 1 = 0$ и действительно имеет корни $y1 = − 1$ , $y2 = 1 6$ .
$y1$ нам не подходит, а при $1 y2 = 6$ получаем $8 x = − 7$ .

Таким образом, ответ: $√-- √ -- a ∈ { − 3,5 − 2 2; − 3,5 + 2 2;− 12 ;1}$ .

Ответ:

$√ -- √ -- a ∈ {− 3,5 − 2 2;− 3,5 + 2 2;− 0,5;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#869

При каких $a$ имеет решения система

{ 32x+y + 3x+3y = 3 y (1)3x+3y a−2x 3 + 3 = 3

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменных: $3x = m, 3y = n$ . Тогда $m, n > 0$ . А также для удобства заменим $3a$ на $b > 0$ . Значит, необходимо найти те положительные $b$ , при которых новая система

(| m2n + mn3 = 3 { { m2n + mn3 = 3 1 b ⇒ 3 4 3 (т.к. m, n ⁄= 0) |( n + ------= --- m n − bmn + 1 = 0 m3n3 m2

имеет положительные решения.

Сделаем еще одну замену: $β = m2n, α = mn3, α,β > 0$ :

{ { α + β = 3 ⇔ β = 3 − α αβ − bα + 1 = 0 α2 + (b − 3)α − 1 = 0

Второе уравнение системы имеет дискриминант $D = (b − 3)2 + 4 > 0$ при всех $b$ . Значит, второе уравнение всегда имеет 2 корня. Заметим, что по теореме Виета произведение этих корней равно $− 1$ , значит, они разных знаков. Таким образом, всегда существует единственный $α1 > 0$ :

∘ ------------ 3 − b + (3 − b)2 + 4 α1 = ---------------------- 2

Значит, $∘ ------------ 3 + b − (3 − b)2 + 4 β1 = 3 − α1 = ---------------------- 2$ . Необходимо, чтобы и $β1$ был положительным. Таким образом:

( 3 + b − ∘ (3-−-b)2 +-4 ∘ ------------ |{ 3 + b > 0 ----------------------> 0 ⇔ (3 − b)2 + 4 < 3 + b ⇔ (3 − b)2 + 4 > 0 2 |( 2 2 (3 − b) + 4 < (3 + b)

Т.к. $b > 0$ , то и $3 + b > 0$ , а второе неравенство выполнено всегда (об этом говорилось выше). Значит, данная система равносильна неравенству

1 (3 − b)2 + 4 < (3 + b)2 ⇔ b > -- 3

Перейдем к $a$ : $a −1 3 > 3 ⇔ a > − 1$ .

При этих значениях $a$ оба числа $α1$ и $β1$ положительны. Можно найти само решение системы:

( ( ∘ ---) ( ∘ --2 ( ∘ -2- | α2 |||{ n = 5 α-1 |||{ 3y = 5 α1- |||{ y = log3 5 -1- β1 β1 ( β1) | ∘ -3- ⇒ | ∘ -3- ⇒ | ∘ β3- ||( m = 5 β1- ||( 3x = 5 β1- |||( x = log3 5 -1- α1 α1 α1

Ответ:

$a ∈ (− 1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#876

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (x + 2a )2 + (y + 3a + 1)2 = a + 1 3x − 4y = a − 1

имеет более одного решения.

Показать ответ и решение

Домножим первое уравнение на $16$ , а из второго выразим $4y$ :

{ 16(x + 2a )2 + (4y + 12a + 4)2 = 16(a + 1) 4y = 3x − a + 1

Подставим в первое уравнение $4y = 3x − a + 1$ , раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

25x2 + (130a + 30)x + (185a2 + 94a + 9 ) = 0.

Для того, чтобы изначальная система имела более одного решения, достаточно, чтобы полученное квадратное уравнение имело более одного решения (то есть два). Следовательно, дискриминант должен быть положителен:

D = − 16 ⋅ 100(a2 + a) > 0 ⇔ − 1 < a < 0.

Ответ:

$a ∈ (− 1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#997

Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение

a(a + 2) − a|x − 2| = (4x − x2 − 1)|x − 2 | − (4x − x2 − 1)(a + 2)

имеет ровно два корня.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

[ 2 2 2 x2 − 4x + 1 − a = 0 |x− 2|(4x − x − 1+a )− (a+2 )(4x− x − 1+a ) = 0 ⇔ (4x− x − 1+a )(|x− 2|− (a+2 )) = 0 ⇔ |x − 2| = a + 2

Рассмотрим каждое уравнение по-отдельности.

1) $2 2 x − 4x + 1 − a = 0 ⇔ (x − 2) = a + 3$ .
Таким образом, при $a < − 3$ уравнение не будет иметь решений, при $a = − 3$ будет иметь один корень $x = 2$ и при $a > − 3$ будет иметь два различных корня $√ ------ x = 2 ± a + 3$ .

2) $|x − 2| = a + 2$ .
При $a < − 2$ уравнение не будет иметь решений, при $a = − 2$ будет иметь один корень $x = 2$ и при $a > − 2$ будет иметь два различных корня $x = 2 ± (a + 2)$ .

Пусть уравнения имеют различные корни.

Видим, что случай “первое уравнение не имеет решений, а второе – два” невозможен (так как не может одновременно быть $a < − 3$ и $a > − 2$ ), случай “первое и второе уравнения имеют по одному корню” невозможен (так как не может одновременно быть $a = − 3$ и $a = − 2$ ). Возможен только случай “первое уравнение имеет два корня, а второе не имеет корней”. В этом случае нужно пересечь $a > − 3$ и $a < − 2$ и получим $a ∈ (− 3;− 2)$ .

Пусть уравнения имеют совпадающие корни.

Тогда единственный случай, который нужно рассмотреть – это когда оба уравнения имеют по два корня и оба корня одного совпадают с корнями другого.
Первое уравнение: $(x − 2)2 = a + 3,a > − 3$ ; второе уравнение: $|x − 2| = a + 2,a > − 2$ . Заметим, что если возвести обе части второго уравнения в квадрат, то получим, что левые части обоих уравнений одинаковы: $2 2 (x − 2) = (a + 2)$ . Следовательно, для того, чтобы уравнения имели одинаковые корни, нужно, чтобы и правые части совпадали:

√ -- 2 − 3 ± 5 (a + 2) = a + 3 ⇔ a = ----2----.

Так как в нашем случае $a > − 3$ и $a > − 2$ , то подходит только $√ -- −-3 +---5 a = 2$ .

Ответ:

$√- (− 3;− 2) ∪ { −3+2-5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1229

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых существует хотя бы один $x$ , удовлетворяющий системе

{ |x2 − 5x + 4| − 9x2 − 5x + 4 + 10x|x| = 0 2 x − 2(a − 1)x + a (a − 2) = 0

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. По теореме Виета корнями будут $x = a$ и $x = a − 2$ .
Заметим, что первое уравнение не зависит от $a$ . Решим его, раскрыв модули.

1) Если $x ≤ 0$ , то уравнение примет вид

4 x2 − 5x + 4 − 9x2 − 5x + 4 − 10x2 = 0 ⇔ x = − 1; x = -- 9

Так как $x ≤ 0$ , то подходит $x = − 1$ .

2) Если $0 < x < 1$ или $x > 4$ , то

2 2 2 x − 5x + 4 − 9x − 5x + 4 + 10x = 0 ⇔ x = 1; x = 4

Видим, что ни один из корней не подходит.

3) Если $1 ≤ x ≤ 4$ , то

2 2 2 − x + 5x − 4 − 9x − 5x + 4 + 10x = 0 ⇔ 0 = 0 ⇔ x ∈ ℝ

Следовательно, $x ∈ [1;4]$ .
Таким образом, решение первого уравнения: $x ∈ {− 1} ∪ [1; 4]$ .
Значит, исходная система равносильна:

{ x ∈ {− 1} ∪ [1;4] x ∈ {a − 2;a}

Для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы хотя бы один из $x ∈ {a − 2;a}$ удовлетворял $x ∈ {− 1} ∪ [1;4 ]$ . То есть

⌊ a − 2 = − 1 | | a = − 1 ⇔ a ∈ { − 1 } ∪ [1;6] |⌈ 1 ≤ a − 2 ≤ 4 1 ≤ a ≤ 4

Ответ:

$a ∈ {− 1} ∪ [1;6]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1751

Найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ------ x − a ⋅ (a(x2 + 1) + a2x + x) = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Разложим выражение в скобках на множители: $ax2 + a2x + a + x = ax(a + x) + (a + x) = (a + x )(ax + 1)$ .

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

( | x ≥ a ||{ ⌊ x + a = 0 || |⌈ ax + 1 = 0 (∗) |( x − a = 0

1) $a = 0 ⇒$ уравнение $(∗)$ не имеет решений, а вся система имеет одно решение $x = 0$ .

2) $a ⁄= 0$ . Тогда система равносильна:

( | x ≥ a ||| ⌊ { x1 = − a | || 1- ||| ⌈x2 = − a ( x3 = a

Данная система всегда имеет как минимум одно решение $x = a 3$ . Значит, для того, чтобы она имела ровно одно решение, необходимо, чтобы корни $x1$ и $x2$ не удовлетворяли $x ≥ a$ или совпадали с $x3$ :

⌊ ( { − a < a ⌊ { || 1- a > 0 || ( − a < a ⇒ |⌈ a > 0 ⇒ a > 0 ⌈ 1 − a = a = − -- a ∈ ∅ a

Ответ:

$a ∈ [0;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2204

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых решением неравенства

logx2−3x+2(a2x(x − 1)) > 1

является луч (может быть, открытый).

Показать ответ и решение

Данное неравенство равносильно:

$logx2−3x+2(a2x(x − 1)) > logx2− 3x+2(x2 − 3x + 2 ) ⇒$ по методу рационализации:

( x2 − 3x + 2 > 0 |||{ x2 − 3x + 2 ⁄= 1 | a2x(x − 1) > 0 ⇒ ||( 2 2 2 (x − 3x + 2 − 1)(a x(x − 1) − x + 3x − 2) > 0

( ||| x ∈ (− ∞;√1) ∪ (2; +∞ ) |||| 3 ±--5- { x ⁄= 2 x ∈ (− ∞; 0) ∪ (1; +∞ ) ⇒ |||| ||| a ⁄= 0 ( (x2 − 3x + 1)((a2 − 1)x2 − (a2 − 3 )x − 2 ) > 0

( 3+ √5 3+ √5 |{ x ∈ (− ∞; 0) ∪ (2;-2--) ∪ (-2--;+ ∞ ) a ⁄= 0 |( 2 2 2 2 (x − 3x + 1)((a − 1 )x − (a − 3)x − 2) > 0 (∗)

Назовем $√- √- x ∈ (− ∞; 0) ∪ (2; 3+2-5) ∪ (3+2-5;+ ∞ )$ — ОДЗ. Рассмотрим последнее неравенство $(∗)$ .

1) При $2 a − 1 = 0$ вторая скобка становится линейной и неравенство принимает вид:

( √ -- ) ( √-- ) (x2 − 3x + 1)(x − 1) > 0 ⇒ x ∈ 3-−---5;1 ∪ 3 +--5-;+ ∞ 2 2

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим ответ $( √ -- ) x ∈ 3 +---5;+ ∞ 2$ , то есть открытый луч.

Значит, значения $a = − 1;1$ нам подходят.

2) Пусть $a2 − 1 ⁄= 0$ , а также $a ⁄= 0$ (условие из системы).

Найдем корни уравнения $(a2 − 1)x2 − (a2 − 3)x − 2 = 0$ . $D = (a2 + 1)2 > 0$ при любых $a$ .

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных корня $2 x1 = 1; x2 = ------ 1 − a2$ .

Тогда выражение можно преобразовать:

$2 (a2 − 1)x2 − (a2 − 3)x − 2 = (a2 − 1)(x − ------)(x − 1) = ((a2 − 1)x + 2)(x − 1) 1 − a2$ .

Для того, чтобы решить неравенство $2 2 (x − 3x + 1)((a − 1)x + 2)(x − 1) > 0$ , необходимо рассмотреть два случая: когда $2 a − 1 > 0$ и $2 a − 1 < 0$ (от этого зависит первый знак в методе интервалов).

2.1) $a2 − 1 > 0$ . Тогда $x < 0 2$ , следовательно, метод интервалов для данного неравенства выглядит так:

$PIC$

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим объединение двух открытых лучей: $( √- ) x ∈ (− ∞; x2) ∪ 3+2-5;+ ∞$ , что нам не подходит.

2.2) $2 a − 1 < 0$ . Тогда $x2 > 0$ . Оценим точнее корень $x2$ :

$a2 > 0 ⇒ − a2 < 0 ⇒ 1 − a2 < 1$ , но в нашем случае также $a2 − 1 < 0 ⇒ 1 − a2 > 0$ .

Таким образом, $2 --2--- 0 < 1 − a < 1 ⇒ 1 − a2 > 2$ .

Таким образом, корень $x2$ может располагаться:

а) между $1$ и $√ -- 3 + 5 ------- 2$ ;

б) совпадать с $√ -- 3-+---5 2$ ;

в) быть больше $√ -- 3-+---5 2$ .

Посмотрим, как будет выглядеть метод интервалов в этих случаях:

$PIC$

Таким образом, в каждом из случаев а, б, в решение будет выглядеть как интервал или объединение двух интервалов, что после пересечения с ОДЗ не будет лучом. Следовательно, эти случаи нам не подходят.

Ответ:

$a = ±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2559

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ 2axy + 2x − 2y + 3 = 0 x + 2y + xy + 1 = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Распишем второе уравнение как $x (1 + y ) + 2(y + 1) − 1 = 0 ⇔ (y + 1)(x + 2) = 1$ .
Из данного равенства мы видим, что $x ⁄= − 2,y ⁄= − 1$ .
Выразим $y = -1-− 1 x+2$ и подставим в первое уравнение:

2 { 2 2(1-−-a)x--+-(9 −-2a)x-+-8 = 0 ⇔ 2(1 − a)x + (9 − 2a)x + 8 = 0 (∗) x + 2 x ⁄= − 2

1) Если $a = 1$ , то первое уравнение системы $(∗)$ становится линейным и $x = − 8⁄= − 2 7$ . Следовательно, вся система $(∗)$ , а значит и исходная система, имеет единственное решение.

2) Пусть $a ⁄= 1$ . Тогда первое уравнение системы $(∗)$ квадратное. Для того, чтобы оно имело решения, нужно, чтобы дискриминант $D ≥ 0$ :

( --] [ -- ) − 7 − 4√ 2 − 7 + 4√ 2 4a2 + 28a + 17 ≥ 0 ⇔ a ∈ − ∞; ---------- ∪ ----------;+ ∞ 2 2

2.1) Заметим, что если первое уравнение системы $(∗)$ имеет одно решение, то есть $D = 0$ , то этот корень не должен быть равен $− 2$ . Проверим это.
Если уравнение имеет одно решение, то $− 7 ± 4√2-- a = ---------- 2$ и это решение равно

9-−-2a-- x0 = − 4(1 − a )

Найдем, при каких $a$ $x0 = − 2$ :

− -9-−-2a- = − 2 ⇔ a = − 1- 4(1 − a) 6

Видим, что $√ -- − 1-⁄= −-7-±-4--2 6 2$ . Следовательно, при $√ -- a = −-7 ±-4--2 2$ первое уравнение системы $(∗)$ имеет одно решение, не равное $− 2$ , следовательно, и исходная система имеет одно решение.

2.2) Если первое уравнение имеет два решения, то есть

( √ -) ( √ -- ) a ∈ − ∞; −-7-−-4--2 ∪ − 7-+-4-2-;+∞ (∗∗), 2 2

то одно из этих решений должно быть равно $− 2$ (тогда система $(∗)$ будет иметь ровно одно решение, следовательно, и исходная система будет иметь одно решение).
Найдем, при каких $a$ первое уравнение имеет корень $x = − 2$ :

1- 2(1 − a) ⋅ 4 + (9 − 2a) ⋅ (− 2) + 8 = 0 ⇔ a = − 2

Это значение параметра входит во множество $(∗∗)$ . Следовательно, если первое уравнение имеет два (различных) корня (то есть при $a$ из множества $(∗∗)$ ), то лишь при $a = − 0,5$ один из корней будет равен $− 2$ . Следовательно, система $(∗)$ будет иметь одно решение, значит, и исходная система будет иметь одно решение.

Таким образом, система будет иметь единственное решение при

{ √ -} − 7 ± 4 2 a ∈ ---------- ∪ {− 0,5} ∪ {1 } 2

Ответ:

${ √ -} −-7-±-4--2 a ∈ 2 ∪ {− 0,5} ∪ {1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2566

Найдите все значения $a,$ при которых уравнение

2 x − 4x− 2|x− a|+2 +a = 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Способ 1 (алгебраический)

Данное уравнение равносильно

$pict$

Заметим, что если оба дискриминанта уравнений $(1)$ и $(2)$ отрицательны, то совокупность не будет иметь решений. Рассмотрим следующие случаи, где $D1$ и $D2$ — дискриминанты уравнений $(1)$ и $(2)$ соответственно.

1) $D1 = 0.$ следовательно, $a = 73.$

Тогда уравнение (1) имеет единственный корень $x= 3,$ который подходит под условие $7 x ≥ 3.$ При $7 a= 3$ дискриминант $D2 >0,$ следовательно, уравнение (2) имеет два корня $√- x =1 ± 233 .$ Заметим, что оба этих корня подходят под условие $7 x ≤ 3.$ Следовательно, вся совокупность имеет три решения. Этот случай нам не подходит.

2) $D2 = 0,$ следовательно, $a = 1.$

Тогда уравнение (2) имеет единственный корень $x= 1,$ который подходит под условие $x ≤1.$ При $a = 1$ дискриминант $D1 > 0,$ следовательно, уравнение (1) имеет два корня $x =5$ и $x= 1,$ причем оба подходят под условие $x≥ 1.$ Но, учитывая, что один из корней уравнения (1) совпал с корнем уравнения (2), совокупность будет иметь два решения: $x =1$ и $x= 5.$ Следовательно, этот случай нам подходит.

Мы рассмотрели случаи, когда один из дискриминантов равен нулю, теперь рассмотрим оставшиеся случаи, которые нам могут подойти.

3) $D1 > 0$ и $D2 <0.$ Тогда $a< 1.$

Следовательно, уравнение (1) имеет два корня $√----- x = 3± 7− 3a,$ уравнение (2) не имеет корней. Для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы оба получившиеся корня удовлетворяли условию $x≥ a.$ Для этого достаточно, чтобы меньший корень удовлетворял этому условию:

(| 3− a≥ 0 √ ----- { [ 7] 3 − 7− 3a≥ a ⇔ |( 7− 3a≥ 0 2 ⇔ a ∈(−∞; 1]∪ 2;3 7− 3a≤ (3− a)

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $a< 1,$ получаем итоговые подходящие значения для $a:$

a <1

4) $D1 < 0$ и $D2 >0.$ Тогда $a> 73.$

Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет два корня $√---- x = 1± a− 1.$ Для того, чтобы совокупность имела два решения, эти корни должны удовлетворять условию $x ≤a.$ Для этого достаточно, чтобы больший корень удовлетворял этому условию:

---- 1 +√ a− 1≤ a ⇒ a ∈{1}∪ [2;+ ∞)

Учитывая, что в нашем случае $7 a> 3,$ получаем подходящие значения для $a :$

a> 7 3

5) $D1 > 0$ и $D2 >0.$ Тогда $1< a < 73.$

Следовательно, оба уравнения имеют по два корня.

Пусть $√ ----- x1 =3 − 7− 3a,$ $√ ----- x2 = 3+ 7− 3a,$ $√---- x3 = 1− a − 1,$ $√---- x4 = 1+ a − 1.$

Заметим, что корни $x1$ и $x2$ симметричны относительно 3, а корни $x3$ и $x4$ — относительно 1, то есть $x2$ находится правее 3, $x3$ — левее 1. При значениях $7 1< a < 3$ корни $x2$ и $x3$ всегда будут удовлетворять условиям $x ≥ a$ и $x≤ a$ соответственно. Следовательно, чтобы совокупность имела два решения, корни $x1$ и $x4$ НЕ должны удовлетворять этим условиям соответственно:

{ √---- 1+ √a-−-1> a ⇒ a∈ (1;2) 3− 7 − 3a < a

Учитывая, что в нашем случае $1< a < 7, 3$ получаем окончательные подходящие значения для $a:$

1 < a< 2

Тогда исходное уравнение имеет ровно два решения при

( ) a∈ (− ∞;2)∪ 7;+ ∞ 3

Способ 2 (графический).

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых две точки вида $(x0;a0)$ , где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет две точки пересечения с множеством $S.$

Наше уравнение равносильно

⌊{ a≤ x || a= − 1(x − 3)2+ 7 ||{a > x 3 3 ⌈ 2 a= (x− 1) +1

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зеленой), изображенных на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$ , расположенных на прямой $a = x$ : $A(1;1),B(2;2).$

$PIC$

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x ≤ 1$ или $x≥ 2.$

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a = a0,$ если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S.$

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B,$ и лежащие выше прямой, проходящей через $C.$

Точка $C$ имеет координаты $(3; 73).$ Следовательно, $a < 2$ или $a> 73.$

Ответ:

$( 7 ) a ∈(−∞; 2)∪ 3;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения $a,$ но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения $a$	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2639

При каких значениях параметра $a$ система

{ (a− 2)x2+(4− 2a)x+ 3= 0 ax2− 4x+ a− 6 =0

имеет единственное решение? Найдите это решение.

Показать ответ и решение

Оба уравнения системы являются уравнениями квадратного типа. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент при $x2$ у какого-то из уравнений равен нулю.

1) $a= 2$ . Тогда первое уравнение примет вид $3= 0$ . Это уравнение не имеет решений, следовательно, и вся система не имеет решений. Следовательно, $a = 2$ нам не подходит.

2) $a= 0$ . Тогда второе уравнение имеет единственный корень $x = − 32$ . Проверкой убеждаемся, что этот корень не является корнем первого уравнения. Следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

3) $a⁄= 0;2.$ Тогда оба уравнения квадратные. Систему можно преобразовать: вычесть из второго уравнения первое и получить новую систему:

{ 2x2− 2(4 − a)x+ a − 9 = 0 ax2− 4x+ a− 6= 0 { a(2x+ 1)= 9− 2x2+8x a(x2+ 1) = 6+ 4x

Если $1 x = −2,$ то первое уравнение системы запишется в виде $9 a ⋅0= 2,$ что не имеет решений. Тогда можем выразить из обоих уравнений $a$ и приравнять:

9− 2x2+ 8x 6+ 4x 4 3 2 ---2x-+-1-- = x2+-1 ⇒ 2x − 8x + x + 8x− 3= 0 (∗)

Заметим, что $x = 1$ и $x= −1$ являются корнями этого уравнения. Следовательно, разделив в столбик $4 3 2 2x − 8x + x + 8x− 3$ на $2 (x − 1)(x+ 1)= x − 1$ , получим:

(x2− 1)(2x2 − 8x +3)= 0

Следовательно, все корни уравнения (*) — это $√ -- x = ±1;(4 ± 10):2$ .

4) Необходимо сделать проверку.

Если $x = 1$ , то $a = 5$ . Следовательно, система примет вид

{3x2− 6x+ 3= 0 2 5x − 4x− 1= 0

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень $x = 1$ .

Если $x = −1$ , то $a= 1$ . Тогда

{ 2 −x2 + 2x+ 3 =0 x − 4x− 5= 0

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень $x = −1$ .

Если $x = 2± ∘ 5- 2$ , то $a = 4∓ 4∘-2 5$ . Если бы уравнения исходной системы имели еще один общий корень, то это значило бы, что все коэффициенты одного уравнения во сколько-то раз больше соответствующих коэффициентов другого уравнения. Но при данных $∘ 2- a= 4∓ 4 5$ это не выполняется, например, для старших коэффициентов и свободных членов:

a-−-2⁄= --3- a a − 6

Следовательно, в случае $∘-- a = 4− 4 2 5$ уравнения также имеют ровно один общий корень $∘ -- x= 2+ 5 2$ ; при $∘ -- a= 4+ 4 2 5$ имеют единственный общий корень $∘ 5- x= 2 − 2$ .

Ответ:

$a = 1;x = −1$

$a= 5;x= 1$

$∘ -- ∘ -- a= 4− 4 25;x= 2+ 52$

$∘ 2- ∘ 5- a= 4+ 4 5;x= 2− 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2783

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 2 x--+-x--−-9a-x-−-2x-+--a x3 − 9a2x = 1

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю, тогда уравнение примет вид

x2-−-2x-+-a- -(x-−-1)2 +-a −-1- x3 − 9a2x = 0 ⇔ x(x − 3a )(x + 3a ) = 0

Заметим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. А уравнение $(x − 1)2 = 1 − a$ имеет корни тогда и только тогда, когда $1 − a ≥ 0$ . Следовательно, уже можно сказать, что при $1 − a < 0$ уравнение не будет иметь решений.
Пусть $1 − a ≥ 0$ . Тогда уравнение равносильно системе:

( 2 ||| (x − 1) = 1 − a { x ⁄= 0 |||( x ⁄= 3a x ⁄= − 3a

Назовем последние три уравнения системы ОДЗ.
Рассмотрим два случая:

1) $1 − a = 0$ . Тогда первое уравнение системы имеет единственное решение $x = 1$ . Заметим, что этот корень подходит под ОДЗ.

2) $1 − a > 0$ . Тогда первое уравнение системы имеет два корня: $√ ------ x1 = 1 − 1 − a$ и $------ x2 = 1 + √ 1 − a$ . Заметим, что оба эти корня симметричны относительно $1$ (причем $x1 < 1, x2 > 1$ ).
Следовательно, чтобы вся система имела ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один из этих корней не подходил под ОДЗ.

Рассмотрим отдельно случай, когда $a = 0$ . Тогда ОДЗ: $x ⁄= 0$ , а $-- x1 = 1 − √ 1 = 0$ , $x2 = 2$ . Этот случай нам подходит.

Пусть теперь $a ⁄= 0$ . Тогда нужно, чтобы:
I. $x1 = 3a$ . Тогда ввиду симметричности корней $x2 = 2 − 3a ⁄= − 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x2$ .
II. $x1 = − 3a ⇒ x2 = 2 + 3a ⁄= 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x2$ .
III. $x2 = 3a ⇒ x1 = 2 − 3a ⁄= − 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x1$ .
IV. $x2 = − 3a ⇒ x1 = 2 + 3a ⁄= 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x1$ .

Таким образом:

⌊ √------ 1 − 1 − a = 3a | √------ || 1 − 1 − a = − 3a | 1 + √1-−-a-= 3a ⌈ √------ 1 + 1 − a = − 3a

Первые два уравнения совокупности, учитывая, что $a ⁄= 0$ , не имеют решений, а третье и четвертое имеют решения $a = 59$ и $a = − 79$ .

Оба эти значения подходят под условие $1 − a > 0$ .

Таким образом, окончательный ответ:

{ } a ∈ − 7;0; 5;1 9 9

Ответ:

${ } − 79;0; 59;1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#17145

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 ∘ ----------- |x − a|= |x+ a| x2− 4ax+ 5a

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

$pict$

При $a∈ (0;+∞ )$ и первая, и вторая системы совокупности имеют решения, значит, весь этот промежуток нам не подходит.
При $a= 0$ имеется бесконечное число решений, следовательно, такое $a$ нам тоже не подходит.
При $a∈ (− 1;0)$ только вторая система имеет решение, причем ровно одно, такие $a$ нам подходят.
При $a∈ (− ∞;− 1]∖ {−5}$ обе системы имеют по решению, такие $a$ нам не подходят.
При $a= −5$ только первая система имеет решение, причем ровно одно, такое $a$ нам подходит.

Резюмируя, получаем ответ

a ∈{− 5}∪(−1;0)

Ответ:

$(−1;0)∪{− 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#17173

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 2 2 2 (3x − 3x + a +9) = 12a (x − x +3)

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

В правой части уравнения внесем множитель 3 в скобки, тогда получим:

2 2 2 2 2 (3x − 3x+ 9+ a ) = 4a(3x − 3x+ 9)

Сделаем замену $2 t =3x − 3x +9 :$

(t+ a2)2 =4a2t t2 +2a2t+ a4− 4a2t= 0 (t− a2)2 = 0

Видим, что это уравнение имеет ровно одно решение $t= a2$ при любом $a.$ Подставим $t= a2$ в замену. Тогда нам нужно найти $a,$ при которых уравнение

2 2 a = 3x − 3x + 9

имеет ровно одно решение.

Перенесем все слагаемые в одну часть:

3x2− 3x+ 9− a2 = 0

Это уравнение имеет одно решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

√33- D = 9− 12(9− a2) =0 ⇔ 12a2 =99 ⇔ a = ±-2--

Ответ:

${ √33- √33} a ∈ − 2 ; 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Неполное обоснование или незначительные неточности в обоснованиях	3

Верно исследовано полученное уравнение, но допущена вычислительная ошибка или сделан неравносильный переход	2

Верное сведение к исследованию путём введения новой переменной	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#20552

При каких значениях $a$ уравнение

2 5cos x− 3a cosx + 1 = 0

имеет ровно один корень на $[π ] 2;π$ ?

Показать ответ и решение

1 способ.

Заметим, что $cosx= 0$ не является решением этого уравнения, следовательно, можно разделить обе части равенства на $t= cosx$ и получим

1 b= 3a =5t+ t

Если исходное уравнение должно иметь ровно один корень на отрезке $[π ] 2;π ,$ то новое уравнение должно иметь один корень на полуинтервале $t∈[−1;0)$ (выше сказали, что $t⁄=0$ ).

Будем рассматривать параметр $b$ как переменную. Построим в системе координат $xOb$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;b0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $b$ принимает значение $b0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $b0$ параметра $b,$ при каждом из которых одна точка вида $(x0;b0)$ , $x0 ∈ℝ$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOb.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $b= b0$ имеет одну точку пересечения с множеством $S$ .

Множество $S$ представляет собой график функции $b(x)=5t+ 1t$ . Исследуем эту функцию:

2 b′ = 5− 12 = 5t2− 1 t t

Производная равна нулю в точках $t= ±√0,2$ , разрывна в точке $t=0$ , причем при $t∈[−1;− √0,2)$ производная положительна, следовательно, функция возрастает, а при $t∈ (−√0,2;0)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Таким образом, так как $b(− 1)=− 6$ , а при $t→ 0− 0$ имеем $b→ −∞$ , график функции $b= b(t)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

Розовым цветом показана область, в которой может находиться горизонтальная прямая $b= b0$ , чтобы иметь с графиком $b =b(t)$ на промежутке $t∈[−1;0)$ ровно одну точку пересечения.

Найдем $b= bA$ : $√--- √- b(− 0,2)= −2 5$ , следовательно, $√- bA =− 2 5.$

Найдем $b= bB$ : $b(−1)= −6$ , следовательно, $bB = −6.$

Таким образом, $b< −6$ или $√- b=− 2 5,$ откуда $a <− 2$ или $√- a =− 23 5.$

2 способ.

Для начала заметим, что если $[ ] x∈ π2;π$ , то $cosx∈ [− 1;0]$ .

Теперь сделаем замену $cosx= t$ , $− 1≤ t≤1$ , тогда $cos2x =t2$ и исходное уравнение равносильно системе:

$pict$

При этом, зная решение системы $t ∈[−1;0] 0$ , можно найти корень исходного уравнения, сделав обратную замену:

cosx= t0 ⇔ x =arccost0

То, что корень исходного уравнения лежит на промежутке $[π ;π] 2$ , равносильно тому, что решение системы лежит на промежутке $[−1;0]$ , так как

$pict$

Тогда количество корней в исходном уравнении на отрезке $[π;π] 2$ будет совпадать с количеством корней в системе

$pict$

Таким образом, достаточно найти такие значения $a$ , при которых система имеет ровно одно решение.

$pict$

Квадратное уравнение имеет корни (необязательно различные) при $D ≥ 0$ . Обозначим их за $t1$ и $t2$ . По теореме Виета произведение корней равно $1 t1⋅t2 = 5 > 0$ , то есть оба корня одного знака.

Для того, чтобы система имела решение, один из корней должен лежать на отрезке $[− 1;0]$ , т.е. он не может быть положительным. Тогда оба корня уравнения должны быть отрицательными.

При этом также по теореме Виета сумма корней равна $3a 5$ и должна быть отрицательной, откуда следует, что $a< 0$ .

Рассмотрим два случая: когда $D =0$ (корни совпадают) и когда $D > 0$ (корни различные):

$D = 0$ :

$pict$

При $a= − √20 3$ получим
$3a 3⋅ √20 √5 t= 10 =− --103- =− 5--∈[−1;0]$
Т.е. система имеет ровно одно решение.
$D > 0$ :

$pict$

При положительном дискриминанте уравнение имеет два различных отрицательных корня $√ -2--- t1 = 3a+-19a0-−20$ и $√--2-- t2 = 3a−-91a0-−20$ . При этом выполнено $t2 < t1 <0$ .
Если $t2 ≥ −1$ , то оба корня лежат на отрезке $[− 1;0]$ , т.е. система имеет два различных решения, что нам не подходит. Тогда $t2 < −1$ , т.е.

$pict$

Если $t1 < −1$ , то оба корня не принадлежат отрезку $[−1;0]$ , т.е. система не имеет решений, что нам также не подходит. Тогда $t1 ≥ −1$ , т.е.

$pict$

Получили, что в случае $D> 0$ решение будет единственным на отрезке при $a< −2$