Способ 1 (алгебраический)

Данное уравнение равносильно

Заметим, что если оба дискриминанта уравнений $(1)$ и $(2)$ отрицательны, то совокупность не будет иметь решений. Рассмотрим следующие случаи, где $D1$ и $D2$ — дискриминанты уравнений $(1)$ и $(2)$ соответственно.

1) $D1 = 0.$ следовательно, $a = 73.$

Тогда уравнение (1) имеет единственный корень $x= 3,$ который подходит под условие $7 x ≥ 3.$ При $7 a= 3$ дискриминант $D2 >0,$ следовательно, уравнение (2) имеет два корня $√- x =1 ± 233 .$ Заметим, что оба этих корня подходят под условие $7 x ≤ 3.$ Следовательно, вся совокупность имеет три решения. Этот случай нам не подходит.

2) $D2 = 0,$ следовательно, $a = 1.$

Тогда уравнение (2) имеет единственный корень $x= 1,$ который подходит под условие $x ≤1.$ При $a = 1$ дискриминант $D1 > 0,$ следовательно, уравнение (1) имеет два корня $x =5$ и $x= 1,$ причем оба подходят под условие $x≥ 1.$ Но, учитывая, что один из корней уравнения (1) совпал с корнем уравнения (2), совокупность будет иметь два решения: $x =1$ и $x= 5.$ Следовательно, этот случай нам подходит.

Мы рассмотрели случаи, когда один из дискриминантов равен нулю, теперь рассмотрим оставшиеся случаи, которые нам могут подойти.

3) $D1 > 0$ и $D2 <0.$ Тогда $a< 1.$

Следовательно, уравнение (1) имеет два корня $√----- x = 3± 7− 3a,$ уравнение (2) не имеет корней. Для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы оба получившиеся корня удовлетворяли условию $x≥ a.$ Для этого достаточно, чтобы меньший корень удовлетворял этому условию:

(| 3− a≥ 0 √ ----- { [ 7] 3 − 7− 3a≥ a ⇔ |( 7− 3a≥ 0 2 ⇔ a ∈(−∞; 1]∪ 2;3 7− 3a≤ (3− a)

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $a< 1,$ получаем итоговые подходящие значения для $a:$

a <1

4) $D1 < 0$ и $D2 >0.$ Тогда $a> 73.$

Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет два корня $√---- x = 1± a− 1.$ Для того, чтобы совокупность имела два решения, эти корни должны удовлетворять условию $x ≤a.$ Для этого достаточно, чтобы больший корень удовлетворял этому условию:

---- 1 +√ a− 1≤ a ⇒ a ∈{1}∪ [2;+ ∞)

Учитывая, что в нашем случае $7 a> 3,$ получаем подходящие значения для $a :$

a> 7 3

5) $D1 > 0$ и $D2 >0.$ Тогда $1< a < 73.$

Следовательно, оба уравнения имеют по два корня.

Пусть $√ ----- x1 =3 − 7− 3a,$ $√ ----- x2 = 3+ 7− 3a,$ $√---- x3 = 1− a − 1,$ $√---- x4 = 1+ a − 1.$

Заметим, что корни $x1$ и $x2$ симметричны относительно 3, а корни $x3$ и $x4$ — относительно 1, то есть $x2$ находится правее 3, $x3$ — левее 1. При значениях $7 1< a < 3$ корни $x2$ и $x3$ всегда будут удовлетворять условиям $x ≥ a$ и $x≤ a$ соответственно. Следовательно, чтобы совокупность имела два решения, корни $x1$ и $x4$ НЕ должны удовлетворять этим условиям соответственно:

{ √---- 1+ √a-−-1> a ⇒ a∈ (1;2) 3− 7 − 3a < a

Учитывая, что в нашем случае $1< a < 7, 3$ получаем окончательные подходящие значения для $a:$

1 < a< 2

Тогда исходное уравнение имеет ровно два решения при

( ) a∈ (− ∞;2)∪ 7;+ ∞ 3

Способ 2 (графический).

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых две точки вида $(x0;a0)$ , где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет две точки пересечения с множеством $S.$

Наше уравнение равносильно

⌊{ a≤ x || a= − 1(x − 3)2+ 7 ||{a > x 3 3 ⌈ 2 a= (x− 1) +1

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зеленой), изображенных на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$ , расположенных на прямой $a = x$ : $A(1;1),B(2;2).$

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x ≤ 1$ или $x≥ 2.$

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a = a0,$ если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S.$

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B,$ и лежащие выше прямой, проходящей через $C.$

Точка $C$ имеет координаты $(3; 73).$ Следовательно, $a < 2$ или $a> 73.$

18.27 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)