Уравнение адиабаты. Политропические процессы. Теплоемкость газа —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24822

Идеальному газу, находящемуся в вертикальном цилиндре под невесомым подвижным поршнем, сообщают количество теплоты $Q = 300$ Дж. Внутренняя энергия газа при этом увеличивается на $ΔU = 200$ Дж. Найдите изменение объёма газа и определите его молярную теплоёмкость при постоянном объёме. Внешнее атмосферное давление равно $PA = 100$ кПа.

Показать ответ и решение

Процесс изобарический, поэтому работа газа равна $PA ΔV$ . Из первого начала термодинамики следует:

Q = ΔU + PA ΔV

Следовательно:

Q-−--ΔU-- ΔV = PA = 1 л

Изменение внутренней энергии равно:

PA-ΔV-- ΔU = νcVΔT = cV R

Следовательно:

cV = ΔU--R--= 2R PAΔV

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29538

Гелий из состояния с температурой $T1 = 200$ К расширяется в процессе $pV 2 = const$ ( $p$ — давление, $V$ — объём газа) с постоянной теплоёмкостью $C$ . От газа отвели количество теплоты $Q = 415$ Дж, и конечный объём газа стал вдвое больше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоёмкость $C$ .

Показать ответ и решение

1) Найдем конечное давление газа

2 2 p1V1 = p2V2

Так как $V2 = 2V1$ , то

p p1V1 = 4p2V1 ⇒ p2 = -1- 4

Воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева

pV pV = νRT ⇒ T = --- νR

Для $T1$

T1 = p1V1- νR

Для $T2$

p V p V T T2 = -2--2= -1-1-= -1-= 100 К νR 2νR 2

2) Теплоемкость можно найти по формуле:

Q Q 2Q C = ----= --------= ---= 4,15 Д ж/ К ΔT T1 − T1- T1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29539

Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2 (см. рисунок), где его давление $p$ меняется прямо пропорционально объёму $V$ , совершает работу $A$ . Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2–3, в котором его теплоёмкость $C$ остаётся постоянной и равной $C = R ∕2$ ( $R$ – газовая постоянная). Какую работу $A23$ совершит гелий в процессе 2–3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?

Показать ответ и решение

Так как в процессе 1–2 давление зависит линейно от объема, то

p1V2 = p2V1 (1)

Тогда работа газа в этом процессе равна

1 1 1 A1 −2 = -(p1 + p2)(V2 − V1) = -(p2V2 − p1V1 + p1V2 − p2V1 ) = -(p2V2 − p1V1) 2 2 2

Или с учетом уравнения Клапейрона–Менделеева

pV = νRT

A1 −2 = R-(T2 − T1) = A 2

Запишем первый закон термодинамики

3 Q = ΔU + A2 −3 = CΔT ⇒ C (T3 − T2) = --νR (T3 − T2) + A2−3 2

Откуда $A2−3$ , с учетом, что $T3 = T1$ и $ν = 1$

R 3 A2 −3 = --(T3 − T2) − -R (T3 − T2) = R (T2 − T1) = 2A 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29540

С некоторым количеством одноатомного идеального газа проводят процесс, в котором его теплоемкость остается постоянной, а газ совершает работу $A$ ( $A > 0$ ). Затем с этим же газом проводят изохорический процесс, в котором к нему подводят количество теплоты $3 Q = --A 4$ , а его температура возвращается к первоначальному значению. Определить молярную теплоемкость газа в первом процессе. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль $⋅$ К) известна. Получает или отдает газ энергию в первом процессе в результате теплообмена?
(«Росатом», 2020, 10)

Показать ответ и решение

Пусть начальная температура газа в первом процессе – $T1$ , конечная – $T2$ . Тогда в первом процессе газ получает количество теплоты $C ν(T2 − T1)$ ( $C$ – молярная теплоемкость газа в первом процессе, $ν$ – количество вещества газа). Поэтому первый закон термодинамики для первого процесса дает

C ν(T − T ) = 3-νR (T − T ) + A (∗) 2 1 2 2 1

Второй процесс, происходящий с газом – изохорический, с начальной температурой $T 2$ , конечной – $T 1$ . И поскольку в нем не совершается работа, а газ – одноатомный, количество теплоты, сообщенное газу в этом процессе, определяется соотношением

Q = 3νR (T − T ). 2 1 2

При этом по условию это количество теплоты – положительное, поэтому $T > T 2 1$ (в первом процессе газ охлаждается, во втором нагревается). Выражая из этой формулы разность температур и подставляя ее в (*), получим

C = 3R Q-−-A-- 2 Q

Используя теперь данные условия задачи ( $Q = 3 ∕4$ A), найдем

1- C = − 2R = − 4, 16 Дж/ (м оль⋅ К)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29541

Чему равна теплоёмкость одного моля одноатомного идеального газа в процессе сжатия газа, в котором его давление убывает пропорционально объёму? Ответ обосновать.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11)

Показать ответ и решение

Запишем уравнение процесса 1 $→$ 2 в виде $p = αV$ . Количество теплоты в таком процессе, в соответствии с 1-ым Началом термодинамики $Q12 = A12 + ΔU$ . Площадь под диаграммой процесса – площадь трапеции:

p1 + p2 α 2 2 A12 = -------(V2 − V1 ) = -(V 2 − V1 ). 2 2

Изменение внутренней энергии

3- 3α- 2 2 ΔU = 2(p2V2 − p1V1) = 2 (V 2 − V1 ).

Следовательно, $A12 = 1ΔU 3$ , и поэтому $Q12 = 4ΔU. 3$ Для одного моля $ΔU = 3R ΔT 2$ . Значит,

Q12 = 2RΔT ⇒ C = 2R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#29542

При расширении одного моля одноатомного идеального газа зависимость его абсолютной температуры от произведённой им работы оказалась линейной:

T = T0 − bA-- R

(здесь $R$ – универсальная газовая постоянная). При каких значениях b теплоёмкость газа в этом процессе отрицательна?
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11)

Показать ответ и решение

Согласно 1 Началу термодинамики, изменение внутренней энергии газа

3- ΔU = Q − A = 2R ΔT

(здесь $Q$ – количество теплоты, подведенной к газу). По условию $A = − R-(T − T ) = − R-ΔT. b 0 b$ Следовательно, $( ) 3- 1- Q = 2 − b R.$ Из этого соотношения находим теплоемкость

( ) C = -Q--= 3-− 1- R. ΔT 2 b

Таким образом, $C < 0$ при $0 < b < 2-. 3$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#29543

Постоянное количество гелия участвует в процессе, в котором его давление сначала остаётся постоянным, затем возрастает в n = 2 раза так, что его объём изменяется пропорционально давлению, а затем снова остаётся постоянным. Зная, что конечная температура гелия в k = 1,2 раза больше начальной, и что полное количество теплоты, которым гелий обменялся с окружающими телами в этом процессе, равно нулю, найдите отношение максимального и минимального объёма гелия в этом процессе.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11 )

Показать ответ и решение

Заданный процесс 1 $→$ 2 $→$ 3 $→$ 4 состоит из изобары (молярная теплоемкость $Cp = 5-R 2$ ), процесса с $p = αV$ ( $C = 2R$ ) и еще одной изобары. Таким образом, температуры состояний удовлетворяют соотношению

5 5 -R (T2 − T1) + 2R (T3 − T2 ) + -R (T4 − T3 ) = 0. 2 2

Из этого соотношения следует, что

5T4 + T2 − T3 − 5T1 = 0.

По условию $T4 = kT1$ , а в процессе 2 $→$ 3 давление возрастает в $n$ раз, и во столько же раз возрастает объем, поэтому

1-- 2-1- 2 T3 = νR p3V3 = n νR p2V2 = n T2.

Объединяя эти соотношения, найдем, что

5(k − 1) T T2 = ---2-----T1 = -1. n − 1 3

С учетом этого и характера процессов $V V2 = --1 3$ , $2 V3 = 2V2 = --V1 3$ и $3 V4 = -V1. 5$ Таким образом, $Vmax = V1$ и $Vmin = V2$ . Значит

V V n2 − 1 -max- = -1-= ---------= 3 Vmin V2 5(k − 1)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#29544

В некотором тепловом процессе объем одноатомного идеального газа зависит от температуры по закону $−5∕2 V = αT$ , где $α$ – известная постоянная. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе. Получает или отдает газ теплоту, если его объем возрастает?
(«Росатом», 2020, 11 )

Показать ответ и решение

Пусть газ получает в рассматриваемом процессе малое количество теплоты $δQ$ , а изменение температуры газа составило $ΔT$ (обе эти величины являются алгебраическими, могут быть как положительными, так и отрицательными). Первый закон термодинамики для рассматриваемого процесса дает

δQ = 3νR ΔT + pΔv (∗) 2

Изменение объема газа $ΔV$ можно найти из зависимости $V (T )$ , давление газа $p$ – из закона Клапейрона-Менделеева

dV 5 νRT ΔV = ---ΔT = − -αT − 7∕2ΔT, p = -----. dT 2 V

Поэтому из (*) получаем связь количество теплоты и изменения температуры в рассматриваемом процесс

δQ = − νR ΔT

И, следовательно, молярную теплоемкость

-δQ-- C = νΔT = − R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29545

В некотором процессе над газом совершена работа $A ′$ = 100 Дж, при этом его внутренняя энергия возросла на $ΔU = 80$ Дж, а температура увеличилась на $Δt = 10$ $∘ C$ . Найдите среднюю теплоёмкость газа в этом процессе.
(Всеросс., 2018, МЭ, 11)

Показать ответ и решение

Из первого начала термодинамики следует

′ ΔQ = ΔU − A .

С другой стороны: $ΔQ = C ΔT$ где $C$ – средняя теплоемкость, а $ΔT = Δt$ . Отсюда получаем:

ΔU − A ′ C = ---------= − 2 Д ж/ К ΔT

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#29546

Газообразный гелий нагревается (непрерывно повышается температура) от температуры $T0$ в процессе, в котором молярная теплоёмкость газа зависит от температуры T по закону

C = αR T-, T0

где $α$ – неизвестная численная константа.
1) Найти $α$ , если известно, что при нагревании до температуры $T1 = 5T0 ∕4$ газ совершил работу, равную нулю.
2) Найти температуру $T2$ , при достижении которой газ занимал минимальный объём в процессе нагревания.
. («Физтех», 2016, 10–11 )

Показать ответ и решение

Рассмотрим малые изменения $δ$ . Из первого начала термодинамики

δQ = dU + δA,

Или

νCdT = νCV dT + δA

где $Q$ – количество теплоты, $dU$ – изменение внутренней энергии, $δA$ – работа, $ν$ – количество вещества, $C V$ – молярная теплоемкость при постоянном объеме, $dT$ – изменение температуры.
1) Тогда с учетом условия

T 3 ναR --dT = ν--RdT = δA T0 2

Так как

∫T1 | | ||T-2||T1 T12−-T-20 T dt = | 2 | = 2 . T0 T0

и

∫T1 dA = 0. T0

то

ν αR (T2 − T 2) 3 -------1----0- = -νR (T1 − T0) + 0. 2 2

С учетом условия $5 T1 = --T0 4$ , то $4 α = --. 3$
2) Так как по условию $T 0$ – минимальная температура (происходит нагрев), то при минимальном объеме $ΔA = 0$ и

ν (C − CV )ΔT = ΔA = 0,

т.е. $3- 4T-- C = CV = 2R = 3T0R.$ Отсюда $9- T2 = 8T0.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#29547

В некотором процессе молярная теплоёмкость газообразного гелия возрастает прямо пропорционально температуре T:

C (T) = 3RT-, 4T1

где $T 1$ – начальная температура газа, $R$ – молярная газовая постоянная. Какую работу $A$ совершат $ν$ – молей газа к тому моменту, когда его объём станет минимальным в указанном выше процессе?
(Всеросс., 2000, ОЭ, 10 )

Показать ответ и решение

При увеличении температуры газов от $T1$ до $T2 = 2T$ , теплоемкость газа возрастет до $C (T2) = CV$ , его внутренняя энергия увеличивается на $3 ΔU = ν-R (T2 − T1), 2$ а количество теплоты, подведенной к газу, окажется равным $2 2 ΔQ = ν 3R T2-−-T-1. 8 T1$ В соответствии с первым началом термодинамики работа, совершенная газом,

A = ΔQ − ΔU = − ν 3RT1. 8

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#29548

Герметичный сосуд заполнен двухатомным идеальным газом. После значительного повышения температуры часть молекул диссоциировала на атомы, при этом удельная теплоёмкость всего газа возросла на 10%. Какая часть молекул диссоциировала? Теплоёмкость одного моля двухатомного идеального газа при неизменном объёме $CV = 2,5R$ .
(МОШ, 2016, 11 )

Показать ответ и решение

Пусть $m$ – масса всей смеси, $α$ – коэффициент диссоциации, тогда $αm$ – масса диссоциированных молекул. Удельная теплоёмкость одноатомного газа:

C1 = 3R-. 2 μ

, двухатомного:

5 R C2 = -----, 2 2μ

где $μ$ – молярная масса одноатомного газа. Удельная теплоёмкость смеси равна:

3 R 5 R C = αC1 + (1 − α)C2 = α ⋅----+ (1 − α) ⋅----- 2 μ 2 2μ

По условию $C = 1,1C2$ . Откуда получаем: $α = 0,5$ Из определения количества вещества получаем:

( ) N--- -ν- ν-- ν-- ν = NA = ν μ ⇒ N = νμNA ⇒ N дис α νμ NA = 0, 67 ⋅ NA

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#29549

Над молем идеального многоатомного газа проводят круговой процесс, который, будучи изображённым на $p,$ $V$ – диаграмме, при некотором масштабе имеет вид окружности. Центр окружности имеет координаты ( $p 0$ , $V 0$ ), диаметр вдоль оси давлений равен $2Δp$ , а диаметр вдоль оси объёмов — $2ΔV$ .
1) Найдите все пары диаметрально противоположных точек окружности, в которых теплоёмкости одинаковы. Вычислите эти теплоёмкости.
2) Сравните теплоёмкости двух произвольных диаметрально противоположных точек, лежащих во 2 и 4 квадрантах окружности (см. рисунок); другими словами, определите, в какой из этих точек теплоёмкость больше и почему.
Примечание. Считайте, что теплоёмкость газа при постоянном объёме не зависит от T.
(Всеросс., 2016, финал, 11 )

Показать ответ и решение

Рассмотрим моль идеального газа. По определению его теплоёмкость

dQ- dU--+-pdV- C = dt = dT (1)

Для идеального газа:

dU = CV dT RdT = pdV + V dp.

Выразим теплоёмкость:

pdV R C = CV + R ----------- = CV + -----V-dp- pdV + V dp 1 + ----- p dV

В любых диаметрально противоположных точках A и B касательная к окружности имеет один и тот же наклон:

( dp ) ( dp ) --- = --- (2 ) dV A dV B

Значит, теплоёмкости могут быть равны либо когда $dp∕dV$ обращается в ноль, либо бесконечность, чему соответствует $C = Cp$ и $C = CV$ соответственно, либо когда:

VA-= V0. pA p0

то есть когда точки A, B и центр окружности лежат на одной прямой, идущей из начала координат. Значит

Перерисуем процесс в безразмерных осях координат (см. рис.). Проведём прямую через точки A и B. Построим касательную к графику в точке B. Она будет перпендикулярна прямой AB. Таким образом, если угловой коэффициент прямой AB равен k, то угловой коэффициент касательной будет равен $′ k = − 1∕k$ , следовательно:

dp∕Δp V ∕ ΔV dp V ( Δp )2 --------= − --0---- ⇒ --- = − --0 ---- dV∕ΔV p0∕Δp dV p0 ΔV

Теплоёмкость $C$ равна:

---------T---------- C = CV + ( )2 ( )2 1 − V0- Δp-- p0 ΔV

Если $p0∕V0 = Δp ∕ΔV$ , то $c = ± ∞$ точки касания принадлежат изотермам.
Сравним теплоёмкость в точках C и D, лежащих во 2 и 4 квадрантах соответственно. Поскольку

( ) ( ) dp- = -dp > 0 dV C dV D

то теплоёмкость больше там, где отношение $V ∕p$ меньше:

VC ∕pC < VD ∕pD

Получается, в нашем случае $CC > CD$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#29550

Точка $K$ – это точка на $pV$ -диаграмме, описывающая состояние постоянного количества одноатомного идеального газа. Угол наклона изотермы в этой точке к оси $V$ равен $α$ . Каков угол наклона адиабаты в этой же точке к оси $V$ ? Ответ обосновать.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11 )

Показать ответ и решение

В изотермическом процессе $pV = const$ , поэтому $Δ (pV ) = pΔV + V Δp = 0.$ откуда для угла наклона изотермы получим

Δp--|K = − pk-= − tg(α ). ΔV Vk

В адиабатическом процессе

δQ = p ΔV + 3-Δ(pV ) = 5-pΔV + 3-V Δp = 0. 2 2 2

поэтому угол наклона адиабаты $β$ точке К определяется из соотношения

Δp 5p 5 tg(β ) = − ---|K = − --k-= --tg(α). ΔV 3Vk 3

Значит,

( ) 5 β = arctg -tgα 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#29551

$ν = 2$ моля неона сначала адиабатически сжали, совершив над ним работу $A = 2$ Дж, а затем изохорически нагрели, сообщив ему количество теплоты $Q = 3$ Дж. В результате давление неона увеличилось на 0,1%. Найти с ошибкой не более 3 К начальную температуру неона. Универсальная газовая постоянная $R ≈ 8,31$ Дж/(моль $⋅$ K)
(«Покори Воробьёвы горы!», 2017, 10–11)

Показать ответ и решение

Так как общее увеличение давления в двух процессах оказалось очень малым, то относительные изменения параметров состояния в обоих процессах можно считать малыми. При адиабатическом сжатии $δQ = 0$ , и, согласно первому началу термодинамики,

3 3 3 δp1 pδV + -(pδV + Vδp ) = 0 ⇒ a = − pδV = --Vδp = -pV ----, 2 5 5 p

и с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона

3 δp1 δp1 5A A = --νRT ----⇒ ----= ------. 5 p p 3νRT

При изохорическом нагревании

3- 3- δp2- δp2- -2Q--- Q = 2 V δp2 = 2pV p ⇒ p = 3νRT .

Так как $δp = δp1 + δp2,$ то

( ) −1 δp- 5A--+-2Q- 5A--+-2Q- δp- p = 3νRT ⇒ T = 3νR p ≈ 321 К

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#29552

Моль гелия из начального состояния с температурой $T = 300$ К расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные изменения давления $Δp ∕p$ , объёма $ΔV ∕V$ и температуры газа $ΔT ∕T$ малы. Найти работу $A$ , совершённую газом, если относительное изменение его давления $Δp ∕p = − 1∕120$ .
(МФТИ, 1999)

Показать ответ и решение

По условию, изменение объема газа мало, поэтому для адиабатического процесса элементарная работа равна

A = pΔV = − CV ΔT.

Изменения давления $Δp$ , объема $ΔV$ и температуры $ΔT$ связаны уравнением состояния

(p + Δp )(V + ΔV ) = R (T + ΔT )

Пренебрегая произведением малых величин $Δp ΔV$ , находим

pΔV + V Δp = R ΔT

Исключим из последнего равенства $VΔp$ с помощью уравнения состояния:

V Δp = pV-Δp = RT Δp- V p

и воспользуемся выражением для работы:

A + RT Δp-= -R-CV ΔT = -R-A. p CV CV

Окончательно получаем

A = --CV----RT Δ- = 12, 5 Д ж CV + R p

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#29553

Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в которых находится по одному молю гелия при температуре $T0 = 200$ К. В левой части цилиндра на некоторое время включается нагреватель. Поршень перемещается. В конечном состоянии температуры в левой и правой частях цилиндра отличаются в три раза. Найдите количество теплоты $Q$ , переданное нагревателем газу. Известно, что давление $p$ и объём $V$ газа в правой части цилиндра связаны соотношением $p3V5 = const$ (адиабатический процесс)
(МФТИ, 2008)

Показать ответ и решение

Пусть начальные состояния: $p0$ , $V0$ , $T0$ – у обоих половин, а конечные $p1,2$ , $V1,2$ , $T1,2$ – соответственно.
По условию

T3 = 3T2 ⇒ p1V1 = 3p2V2

Запишем первое начало термодинамики.

Q = 3R (T1 − T0) + A. 2

для первой половины ( $A$ – работа газа.)

3 0 = -R (T2 − T0) − A 2

для второй. Тогда сложим, получаем

3 3 Q = -R (T1 − T0 + T2 − T0) = -R (4T2 − 2T0) = 3R (2T2 − T0) 2 2

Так как в конечном состоянии $p1 = p2$ , то

V = 3V ⇒ 4V = 2V ⇒ V = V0. 1 2 2 0 2 2

Уравнение адиабаты

( )5 p3 V5 = p3 V0- ⇒ p3 ⋅ 32 = p3 ⇒ p = p 3√32.- 0 0 1 2 0 1 1 0

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

√3--- V0- T2- √3-- p0 32 ⋅ 2 = RT2 p0V0 = RT0 ⇒ T0 = 4T0.

Подставим в первое начало термодинамики

√3-- √3--- Q = 3R(2 4 − 1)T0 = 3RT0 ( 32 − 1 ) ≈ 11 к Дж

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#29554

Для адиабатического увеличения давления $ν = 2$ молей гелия на 0,5% потребовалось совершить над гелием работу $A = 12,46$ Дж. Найти начальную температуру гелия. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль $⋅$ K).
(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 10–11)

Показать ответ и решение

В адиабатическом процессе $δQ = 0$ . Заданное в условии изменение давления можно считать малым, и поэтому

δQ = p0δV + 3δ (pV ) ≈ 5-p0δV + 3V0δp = 0 2 2 2

(гелий мы рассматриваем как одноатомный идеальный газ). Из этого соотношения находим, что работа над гелием

3 3 δp A ≈ − p0δV ≈ 5-V0δp = 5-p0V0p--. 0

гласно условию, $δp- -1-- p = 200$ , а из уравнения состояния $p0V0 = νRT0.$ Поэтому

--3-- 1000A-- A ≈ 1000 νRT0 ⇒ T0 ≈ 3νR ≈ 250 К

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#29555

В теплоизолированном сосуде под массивным поршнем, на котором лежит куча песка, находится одноатомный идеальный газ. Объём газа $V$ , давление $p$ . Песок (по одной песчинке) снимают с поршня, и объём газа медленно увеличивается вдвое. Какой была бы кинетическая энергия поршня в тот момент, когда объём газа вырос вдвое, если бы песок сняли с поршня весь сразу? Атмосферное давление отсутствует.
Указание. В адиабатическом процессе давление и объём идеального газа связаны соотношением $γ pV = const$ , где $γ$ – известное число ( $γ > 1$ ).
(«Росатом», 2016, 11)

Показать ответ и решение

Конечное давление газа найдем по закону адиабатического процесса

γ γ pV = p1(2V ) .

Отсюда находим

p p1 = --- 2γ

Очевидно работа, совершенная газом в этом процессе, равна изменению его внутренней энергии

( ) 3- 3- --1-- A = U1 − U2 = 2(pV − p12V ) = 2pV 1 − 2 γ−1

Поскольку поршень массивный, то и при снятии всего песка сразу, он будет перемещаться достаточно медленно, и процесс будет равновесным. Поэтому во втором процессе газ совершит ту же самую работу. Но если в первом случае она тратилась на увеличение потенциальной энергии поршня и песчинок, которые оказались поднятыми на разные высоты, теперь она будет израсходована на изменение потенциальной и кинетической энергии поршня

A = (2M gh − M gh) + Ek, (∗)

где $M$ – масса поршня, $h$ – высота расположения поршня над дном сосуда в начальном состоянии. С другой стороны, в конечном состоянии (после снятия песка) давление газа равно давлению поршня

M g p1 = ---- S

где $S$ – площадь сечения сосуда. Поэтому формулу (*) можно привести к виду

pV A = (p12V − p1V) + Ek = p1V + Ek = --γ + Ek 2

Отсюда находим

( ) ( ) pV 3 1 pV 3 4 Ek = A − --γ = -pV 1 − -γ−1- − --γ = pV --− -γ- 2 2 2 2 2 2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Закон адиабатического процесса	2

Первый закон термодинамики для процесса	2

Сказано, когда процесс будет равновесный и чему будет равна работа газа в этом случае	2

Формула связи силы и давления	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#29556

Горизонтальный сосуд с идеальным одноатомным газом разделён на две части подвижным вертикальным поршнем, не проводящим тепло. Вначале давление в сосуде было равно $p0$ , а температура – $T 0$ . Нагревая газ в левой части сосуда до температуры $T + ΔT 0$ , исследуют зависимость давления в системе p от параметра $x = ΔT ∕T0$ . Эта зависимость при малых $x$ оказалась линейной: $p = p0(1 + αx$ ) с параметром $α = 0,5$ . Найдите отношение $k = ν1∕ν2$ количеств газа в левой и правой частях сосуда. Температура в правой части сосуда поддерживается постоянной, трением между поршнем и стенками сосуда можно пренебречь.
(МОШ, 2010, 11)