18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Преобразуем систему:

Заметим, что в первом уравнении совокупности не является решением, следовательно, можно разделить обе части равенства на и получить тем самым

Назовем множеством множество точек плоскости которые лежат на гиперболе или на прямой но не ниже прямой Для того, чтобы понять, как выглядит множество на плоскости, нужно найти точки пересечения графиков и Для этого нужно решить систему

Получаем точки

Следовательно, множество на плоскости выглядит следующим образом:

Нужно, чтобы прямая имела две точки пересечения со множеством Отметим граничные положения прямой

:

проходит через точку тогда система имеет 1 решение;

между и :

система имеет 2 решения;

:

проходит через точку тогда система имеет 2 решения;

между и :

система имеет 3 решения;

:

касается нижней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;

между и :

система имеет 1 решение;

:

касается верхней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;

выше :

система имеет 3 решения.

Определим, при каких точка принадлежит прямой

Определим, при каких точка принадлежит прямой

Определим, при каких прямая касается гиперболы Тогда уравнение

должно иметь одно решение. Следовательно,

Следовательно, ответ

Система имеет два решения, если уравнение

имеет два решения. Преобразуем это уравнение:

Его дискриминант должен быть больше нуля:

Пусть тогда неравенство примет вид

Рассмотрим случай Тогда Следовательно, этот случай нам не подходит. Значит, Тогда можно разделить обе части неравенства на и получим

Рассмотрим функцию Найдем ее производную:

Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:

Следовательно, так как а то график функции выглядит схематично следующим образом:

Следовательно, существует единственная точка в которой и тогда решением неравенства будет промежуток Подбором с учетом находим Следовательно, решением неравенства будут То есть

Сделаем замену

Графиком функции является «корыто»:

Графиком функции является «корыто»:

Таким образом, имеем

и

Следовательно, получаем на плоскости девять областей, на которые прямые и разбивают эту плоскость:

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):

Тогда

(2,3):

Тогда

(3,3):

Тогда

(1,2):

Тогда

(2,2):

Тогда

(3,2):

Тогда

(1,1):

Тогда

(2,1):

Тогда

(3,1):

Тогда

Таким образом, график первого уравнения таков:

Заметим, что второе уравнение исходной системы можно записать в виде

Следовательно, графиком этого уравнение при всех является пучок прямых, проходящих через точку Изобразим граничные положения прямой

Тогда нам подходят

I:

прямая касается части окружности Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой равно радиусу этой окружности:

Следовательно,

II:

прямая проходит через точку

III:

прямая проходит через точку

IV:

прямая касается части окружности Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой равно радиусу этой окружности:

Следовательно,

Получаем ответ

Перепишем уравнение в виде

Полученная система должна иметь единственное решение

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке и радиусом

Второе уравнение задает «уголок», вершина которого движется по оси . Ордината вершины уголка равна При ветви уголка направлены вверх, а при ветви уголка направлены вниз, а при уголок вырождается в горизонтальную прямую, а

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.

Координаты точек Описание случаев:

(1)

Уголок проходит через точку

(2)

Уголок проходит через точку

(3)

Уголок проходит через точку

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай 1:

Случай 2:

Тогда при уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай 3:

При этом уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай 4. Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен, следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при

Перепишем уравнение в виде

График полученной совокупности представляет собой объединение части параболы соответствующей и части параболы соответствующей Следовательно, может получиться одна из четырех картинок:

 

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4. :

 

Этот рисунок задается следующим условием:

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это значит, что обе параболы должна пересекать ось абсцисс, поскольку тогда ось абсцисс будет находиться выше прямой 1. Кроме того, значение должно быть положительно, поскольку тогда ось абсцисс будет ниже прямой 2. Следовательно, имеем условия:

В итоге получаем следующую систему:

Отсюда получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения при

Уравнение равносильно системе

Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев:

— уравнение имеет единственный корень, то есть причем этот корень больше то есть удовлетворяет неравенству

— уравнение имеет два корня и то есть причем ровно один из корней больше а другой соответственно

Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем его:

1.

Тогда уравнение имеет единственный корень

В этом случае

Заметим, что следовательно, нам подходит.

2.

Тогда уравнение имеет два корня

Следовательно, нам необходимо, чтобы

Решим первую систему:

Тогда вторая система преобразуется в

Следовательно, в этом случае нам подходят при этом условие выполнено.

Объединив все подходящие значения параметра, получим окончательно

Сделаем замену Тогда система примет вид

Заметим, что числу не соответствует ни одного числу соответствует ровно один числу соответствует ровно два Также заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно, исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно одно из них имеет вид с а у остальных решений координата отрицательна.

Так как то из системы получаем, что

Следовательно, систему можно переписать в виде

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, система имеет решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:

1.

Тогда система имеет одно решение , причем

Следовательно, при получаем Этот случай нам подходит.

При получаем Этот случай нам не подходит.

2.

Следовательно, система имеет два решения и (решения симметричны в силу симметричности системы ). Нам нужно, чтобы . То есть то есть произведение корней квадратного уравнения должно быть отрицательно:

Эти значения параметра удовлетворяют условию

Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ

1 способ. Графический. В системе координат

Преобразуем первое и второе уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

а второе уравнение примет вид

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первого и второго уравнений соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно четыре точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Причем выполнены следующие требования:

две точки принадлежат множеству то есть графику функции

(назовем их — «точки уголка»);

две точки принадлежат множеству то есть графику, задаваемому системой

(назовем их — «точки дуги»);

точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по четырем точкам где причем точки и принадлежат а точки и — или наоборот.

Преобразуем уравнение

Таким образом, графиком уравнения является ломаная

Графиком системы является дуга окружности с центром в точке радиуса включая точки и (если быть точнее, дуга является полуокружностью), находящаяся правее прямой Точки — точки пересечения прямой с окружностью

Изобразим множества и на координатной плоскости:

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые, находящиеся в закрашенной области: между прямой проходящей через точку и прямой проходящей через точку включая положение прямой То есть ответом будут Дейсвительно, если упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой со множеством то мы получим четыре точки причем точки с абсциссами и лежат на дуге а точки с абсциссами и — на ломаной

Найдем ординаты точек и

— точка пересечения окружности с прямой находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

— точка пересечения окружности с прямой находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее кординаты ищутся из системы:

Значит,

Тогда ответ

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и какие это корни.

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют условию и различны:

Таким образом, при первое уравнение имеет два различных корня.

 

Рассмотрим второе уравнение.

Полученная система имеет два различных корня, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию Следовательно, дискриминант уравнения должен быть положителен, а число должно располагаться в I или II месте, то есть левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если — абсцисса вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей системой:

Следовательно, при второе уравнение имеет два различных корня.

Значит, при

оба уравнения имеют по два различных корня.

 

Далее будем вести рассуждения при (чтобы существовали корни обоих уравнений).

Корни первого уравнения найдены, корни второго уравнения ищутся из то есть это числа и Заметим, что Пусть — корни второго уравнения. Заметим также, что при .

Определим, при каких корни перемежаются (между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения). Возможны две ситуации.

1.

Следовательно,

Так как то следовательно, неравенство не имеет решений.

2.

Следовательно,

(решили систему при ).

Пересекая полученные значения с получаем итоговый ответ

Уравнение равносильно совокупности

Корни уравнения (1) — числа

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При уравнение (2) примет вид

Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь максимум два корня — это и Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид То есть они ему удовлетворяют. Следовательно, нам подходит и является первой частью ответа.

Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

Получаем, что числа и — «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом и — решения, если они удовлетворяют (1’), — решение, если удовлетворяет (2’).

Определим при которых каждое из чисел удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим при которых каждое число является хорошим или плохим.

Число — хорошее, если выполнено неравенство

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех чисел ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как

1.

Пусть

Тогда — хорошие, — плохое. Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть

Тогда — хорошие и — хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, — вторая часть ответа.

Далее пусть все три числа различны, то есть

Составим для удобства табличку:

 

1.

Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

2.

Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

3.

Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно

Уравнение равносильно

1.

Пусть . Тогда совокупность имеет вид

Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда совокупность имеет вид

Видим, что для любого число — решение совокупности, а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы совокупность имела единственное решение, нужно, чтобы числа и совпадали или они были различны, но тогда не удовлетворяло неравенству, находящемуся с ним в системе.

Следовательно, ответ:

Разделим обе части исходного уравнения на положительное при всех выражение

1.

Если то уравнение примет вид Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда мы имеем показательное уравнение которое имеет единственный корень

Этот корень существует, так как и по условию то есть удовлетворяет ОДЗ логарифма. Следовательно, этот корень должен лежать в отрезке значит,

Применим метод рационализации для обоих неравенств:

Решим первое неравенство:

Таким образом, решением первого неравенства будут

Решим второе неравенство:

Таким образом, его решением будут

Пересечем решения, учитывая, что и Получим

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет вид

и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех

Исследуем функцию Ее производная равна

В зависимости от знака выражения производная имеет один нуль, два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.

Пусть Тогда

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной и нарисуем схематично график функции

Мы не знаем, как располагается отрезок относительно точек и . Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

Тогда в силу симметрии точек и относительно ровно как и точек и имеем Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

В пересечении с получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

Тогда Схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Сделаем замену тогда первое неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Пересекая с получаем подходящие значения параметра :

2.

Пусть тогда следовательно, график функции схематично выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Пересекая с получаем

Следовательно, ответ:

Первое уравнение: при задает окружность с центром в точке и радиуса при задает точку при задает пустое множество. Следовательно, так как система должна иметь решения, нам не нужно рассматривать только последний случай.

1)

Пусть Тогда Проверим, удовлетворяют ли координаты точки второму уравнению:

Получили неверное равенство, следовательно, при система не имеет решений.

2)

Про первое уравнение мы уже сказали выше. Второе уравнение задает прямую

Окружность и прямая имеет единственную точку пересечения, когда прямая касается окружности. Значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

 

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой

Подставим наши значения:

Оба значения удовлетворяют условию

Следовательно,

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке График — уголок (при ), вершина которого находится в точке левая ветвь задается уравнением правая ветвь задается уравнением или прямая (при ). При ветви уголка направлены вниз, при — вверх. Так как график находится в верхней полуплоскости, то при графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть Так как график параболы симметричен относительно прямой а график уголка — относительно прямой то при изменении от до сначала уголок правой ветвью коснется параболы, а затем правая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой. Далее левая ветвь уголка коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой) и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки касания будет положительной, то этот случай нам подходит.

Запишем условия касания и

Корнями первого уравнения являются Нам подходит так как именно при нем мы получаем положительный Заметим, что абсцисса точки касания следовательно, как говорилось выше, этот случай нам подходит.

Пусть Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках, одна из которых имеет положительную абсциссу. Следовательно, необходимо, чтобы абсцисса второй точки была неположительной. Тогда произведение абсцисс этих точек должно быть неположительно. Запишем уравнение, из которого могут быть найдены абсциссы точек пересечения левой ветви уголка и параболы:

Произведение корней должно быть неположительно, значит,

Пересечем полученные значения с Для этого сравним числа:

Следовательно, Значит, после пересечения получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно три положительных корня при

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке График — уголок (при ), вершина которого находится в точке левая ветвь задается уравнением правая ветвь задается уравнением или прямая (при ). При ветви уголка направлены вниз, при — вверх. Так как график находится в верхней полуплоскости, при графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть В силу того, что график параболы симметричен относительно прямой а график уголка — относительно прямой при изменении от до сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из них положительна, а второй — неположительна, а правая ветвь касается параболы.

1)

Проверим, возможна ли первая ситуация.

Определим при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два решения при

Следовательно, его дискриминант

Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения положительно:

Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с параболой. Для этого найдем при котором правая ветвь касается параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй ситуации):

Корни первого уравнения Нам подходит так как именно при нем мы получаем положительный Следовательно, при правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при — касается параболы, при — имеет две общие точки с параболой.

Значит, наша ситуация задается следующими

Это первая часть ответа.

2)

Проверим, возможна ли вторая ситуация.

Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна, а второй — неположительна, при Правая ветвь касается параболы при Следовательно,

Это вторая часть ответа.

По условию Функция определена при всех Найдем производную функции

Нули производной:

В зависимости от того, равен или не равен параметр нулю, второе уравнение совокупности является линейным или квадратичным. Поэтому рассмотрим эти два случая.

1)

Тогда совокупность примет вид

Производная имеет вид

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — первая часть ответа.

2)

Тогда второе уравнение совокупности квадратное. Его дискриминант равен Следовательно, нужно по отдельности рассмотреть случаи, когда дискриминант меньше нуля, равен нулю или больше нуля.

2.1)

Тогда производная имеет один нуль — это а выражение при всех Следовательно, знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — вторая часть ответа.

2.2)

Тогда нуль второго уравнения совокупности — это Следовательно, производная имеет вид Знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — третья часть ответа.

2.3)

но также Тогда второе уравнение совокупности имеет два нуля: Заметим, что по теореме Виета из произведение сумма следовательно, Тогда производная имеет вид и знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет две точки минимума — это и Так как то Следовательно, необходимо, чтобы

Рассмотрим параболу Она имеет направленные вверх ветви и две точки пересечения с осью абсцисс. Чтобы больший корень уравнения был больше 1, достаточно, чтобы хотя бы один корень был больше 1. Это задается следующими условиями (сразу укажем в них, что ):

Следовательно, — четвертая часть ответа.

Объединяя все подходящие значения параметра, получаем итоговый ответ:

Перепишем неравенство в виде

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первой и второй системы соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых существует точка вида , принадлежащая множеству решений изображенному на плоскости

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством хотя бы по одной точке с абсциссой, принадлежащей промежутку

Рассмотрим две функции

Тогда множество решений первой системы состоит из точек, находящихся внутри уголка но снаружи параболы Множество решений второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка, но внутри параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат множеству

Для того, чтобы правильно изобразить множество необходимо найти точки пересечения уголка и параболы. Для левой ветви уголка получаем

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке

Для правой ветви уголка получаем

Следовательно, правая ветвь уголка пересекает параболу в двух точках. В итоге получаем, что множество выглядит следующим образом:

Видим, что для любой горизонтальной прямой где существует точка, абсцисса которой лежит в отрезке лежащая в закрашенной области. Следовательно, ответ:

Перепишем неравенство в виде

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первой и второй системы соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых все точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по отрезку на котором расположены точки, абсциссы которых лежат в промежутке

Рассмотрим две функции

Тогда множество решений первой системы состоит из точек, находящихся внутри уголка и внутри параболы Множество решений второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка и снаружи параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат множеству

Для того, чтобы правильно изобразить множество необходимо найти точки пересечения уголка и параболы. Для левой ветви уголка получаем

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке

Для правой ветви уголка получаем

Следовательно, правая ветвь уголка пересекает параболу в двух точках. В итоге получаем, что множество выглядит следующим образом:

— точка пересечения прямой с параболой, — точка пересечения прямой с уголком. Видим, что все горизонтальные прямые где или или пересекают множество по множеству, содержащему в себе отрезок где Следовательно, ответ: