a) То, что ряд $∞∑ an n=1$ сходится, по определению означает, что имеет предел последовательность его частичных сумм

S = a + a + ...+ a n 1 2 n

Причём нам дано, что

∃ lim S = A n→ ∞ n

Так как $∞ ∑ an = A n=1$ .

Аналогично, тот факт, что ряд $∑∞ bn n=1$ сходится, по определению означает, что имеет предел последовательность его частичных сумм

S˜ = b + b + ...+ b n 1 2 n

Причём нам дано, что

˜ ∃ nli→m∞ Sn = B

Далее, ясно, что для суммы рядов $∞ ∑ an n=1$ и $∞ ∑ bn n=1$ последовательность частичных сумм будет иметь вид

˜ (a1 + b1)+ (a2 + b2)+ ...+ (an + bn) = Sn + Sn

Но поскольку

˜ ∃nli→m∞ Sn = A,∃ lni→m∞ Sn = B

то по теореме о сумме пределов,

∃ lim Sn + S˜n = A + B n→ ∞

А это по определению означает, что ряд

∑∞ (an + bn) n=1

сходится, причём его сумма равна $A + B$ .

b) То, что ряд $∞∑ an n=1$ сходится, по определению означает, что имеет предел последовательность его частичных сумм

Sn = a1 + a2 + ...+ an

Причём нам дано, что

∃ lim Sn = A n→ ∞

Так как $∞∑ an = A n=1$ .

Но тогда понятно, что для ряда, умноженного на константу $∞ ∑ can n=1$ последовательность частичных сумм будет иметь вид

ca1 + ca2 + ...+ can = c(a1 + ...+ an) = cSn

Но поскольку $∃ lim Sn = A n→∞$ , то $∃ lim cSn = cA n→∞$ . (сходящаяся последовательность при умножении на константу тоже сходится). А это по определению означает, что ряд

∞ ∑ ca n n=1

сходится, причём его сумма равна $cA$ .

24 Ряды (признаки Коши, Даламбера, сравнения)