Тема №21. Текстовые задачи

01 Задачи №21 из банка ФИПИ → 01.08 №21. Тип 8

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №21. текстовые задачи

Разделы подтемы Задачи №21 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55427Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 34+ x | -285- | 285 | |--------------|--------------|-34+-x--|--------| |П ротив течения | 34− x | -285- | 285 | --------------------------------34−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 19 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 36 часам. Составим уравнение:

-285-+ --285- + 19= 36 34+ x 34 − x --285- + -285-− 17= 0 34 +x 34− x 285(34−-x)+285(34+-x)− 17(34+-x)(34−-x) (34+ x)(34− x) =0 ( |{285(34 − x)+ 285(34 +x)− 17(34+ x)(34− x)= 0 |(x ⁄=− 34 x ⁄=34

Решим первое уравнение системы:

285(34− x)+285(34+ x)− 17(34+ x()(34− x))= 0 285⋅34− 285x +285 ⋅34 +285x− 17 342− x2 = 0 285⋅34⋅2− 17⋅342+ 17x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 17:

285⋅2⋅2− 342+ x2 = 0 2 x = 1156 − 1140 x2 = 16 [x= 4 x= −4

Корень $x = −4$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92515Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -132- | 132 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -132- | 132 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 21 час время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 32 часам. Составим уравнение:

-132-+ -132-+ 21= 32 x+ 5 x − 5 --132- + 132-− 11= 0 132+ 5 x− 5 132(x-−-5)-+132(x+-5)− 11(x−-5)(x-+5) (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 132(x − 5)+ 132(x + 5)− 11(x− 5)(x+ 5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= − 5

Решим первое уравнение системы:

132(x − 5) +132(x+ 5)− 11(x− 5)((x +5))=0 132x− 132⋅5+ 132x+ 132 ⋅5− 11 x2 − 25 = 0 132⋅2x − 11x2+ 11⋅25= 0

Разделим обе части уравнения на 11:

12⋅2x− x2+ 25= 0 2 x − 24x− 25= 0 (x−[25)(x +1) x= 25 x= −1

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93086Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 15+ x | -140- | 140 | |--------------|--------------|-15+-x--|--------| |П ротив течения | 15− x | -140- | 140 | --------------------------------15−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 11 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 32 часам. Составим уравнение:

-140-+ --140- + 11= 32 15+ x 15 − x --140- + -140-− 21= 0 15 +x 15− x 140(15−-x)+140(15+-x)− 21(15+-x)(15−-x) (15+ x)(15− x) =0 ( |{140(15 − x)+ 140(15 +x)− 21(15+ x)(15− x)= 0 |(x ⁄=− 15 x ⁄=15

Решим первое уравнение системы:

140(15− x)+140(15+ x)− 21(15+ x()(15− x))= 0 140⋅15− 140x +140 ⋅15 +140x− 21 152− x2 = 0 140⋅15⋅2− 21⋅152+ 21x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 21:

20⋅5⋅2 − 152+ x2 = 0 2 x = 225 − 200 x2 = 25 [x= 5 x= −5

Корень $x = −5$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93087Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 26+ x | -165- | 165 | |--------------|--------------|-26+-x--|--------| |П ротив течения | 26− x | -165- | 165 | --------------------------------26−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 5 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 18 часам. Составим уравнение:

--165- + -165-+ 5 =18 26 +x 26− x --165- + -165-− 13= 0 26 +x 26− x 165(26−-x)+165(26+-x)− 13(26+-x)(26−-x) (26+ x)(26− x) =0 ( |{165(26 − x)+ 165(26 +x)− 13(26+ x)(26− x)= 0 |(x ⁄=− 26 x ⁄=26

Решим первое уравнение системы:

165(26− x)+165(26+ x)− 13(26+ x()(26− x))= 0 165⋅26− 165x +165 ⋅26 +165x− 13 262− x2 = 0 165⋅26⋅2− 13⋅262+ 13x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 13:

11⋅26⋅2− 262+ x2 = 0 2 x = 676 − 660 x2 = 16 [x= 4 x= −4

Корень $x = −4$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93088Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 24+ x | -70-- | 70 | |--------------|--------------|-24+-x--|--------| |П ротив течения | 24− x | -70-- | 70 | --------------------------------24−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 8 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 14 часам. Составим уравнение:

--70- + -70--+ 8 =14 24 +x 24− x -70--+ --70- − 6= 0 24+ x 24− x 70(24−-x)+-70(24+-x)−-6(24-+-x)(24−-x) (24+ x)(24− x) = 0 ( |{70(24− x)+ 70(24+ x)− 6(24 +x)(24− x)= 0 |(x ⁄= −24 x ⁄= 24

Решим первое уравнение системы:

70(24− x)+ 70(24+ x)− 6(24 +(x)(24− x))= 0 70⋅24− 70x+ 70⋅24+ 70x− 6 242− x2 =0 70⋅24⋅2 − 6 ⋅242+ 6x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 6:

70⋅4⋅2 − 242+ x2 = 0 2 x = 576 − 560 x2 = 16 [x= 4 x= −4

Корень $x = −4$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93089Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 19+ x | -176- | 176 | |--------------|--------------|-19+-x--|--------| |П ротив течения | 19− x | -176- | 176 | --------------------------------19−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 1 час время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 20 часам. Составим уравнение:

--176- + -176-+ 1 =20 19 +x 19− x --176- + -176-− 19= 0 19 +x 19− x 176(19−-x)+176(19+-x)− 19(19+-x)(19−-x) (19+ x)(19− x) =0 ( |{176(19 − x)+ 176(19 +x)− 19(19+ x)(19− x)= 0 |(x ⁄=− 19 x ⁄=19

Решим первое уравнение системы:

176(19− x)+176(19+ x)− 19(19+ x()(19− x))= 0 176⋅19− 176x +176 ⋅19 +176x− 19 192− x2 = 0 176⋅19⋅2− 19⋅192+ 19x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 19:

176⋅1⋅2− 192+ x2 = 0 2 x = 361 − 352 x2 = 9 [x= 3 x= −3

Корень $x = −3$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93090Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -210- | 210 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -210- | 210 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 9 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 27 часам. Составим уравнение:

-210-+ -210--+9 = 27 x +4 x− 4 --210- + 210-− 18= 0 210+ 4 x− 4 210(x-−-4)-+210(x+-4)− 18(x−-4)(x-+4) (x− 4)(x +4) = 0 ( |{ 210(x − 4)+ 210(x + 4)− 18(x− 4)(x+ 4)= 0 |( x⁄= 4 x⁄= − 4

Решим первое уравнение системы:

210(x − 4) +210(x+ 4)− 18(x− 4)((x +4))=0 210x− 210⋅4+ 210x+ 210 ⋅4− 18 x2 − 16 = 0 210⋅2x − 18x2+ 18⋅16= 0

Разделим обе части уравнения на 6:

70x− 3x2+ 48 = 0 2 3x − 70x − 48 = 0 (x−⌊ 24)(3x+ 2) x = 24 ⌈x = − 2 3

Корень $2 x = −3$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93091Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -280- | 280 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -280- | 280 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 15 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 39 часам. Составим уравнение:

-280-+ -280-+ 15= 39 x+ 4 x − 4 --280- + 280-− 24= 0 280+ 4 x− 4 280(x-−-4)-+280(x+-4)− 24(x−-4)(x-+4) (x− 4)(x +4) = 0 ( |{ 280(x − 4)+ 280(x + 4)− 24(x− 4)(x+ 4)= 0 |( x⁄= 4 x⁄= − 4

Решим первое уравнение системы:

280(x − 4) +280(x+ 4)− 24(x− 4)((x +4))=0 280x− 280⋅4+ 280x+ 280 ⋅4− 24 x2 − 16 = 0 280⋅2x − 24x2+ 24⋅16= 0

Разделим обе части уравнения на 8:

35⋅2x− 3x2+ 48= 0 2 3x − 70x − 48 = 0 (x−⌊ 24)(3x+ 2) x = 24 ⌈x = − 2 3

Ответ: 24 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92283Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 21

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -216- | 216 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -216- | 216 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 5 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 23 часам. Составим уравнение:

-216-+ -216--+5 = 23 x +5 x− 5 -216-+ -216--− 18 =0 x +5 x− 5 216(x-−-5)-+216(x+-5)− 18(x−-5)(x-+5) (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 216(x − 5)+ 216(x + 5)− 18(x− 5)(x+ 5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= − 5

Решим первое уравнение системы:

216(x − 5) +216(x+ 5)− 18(x− 5)((x +5))=0 216x− 216⋅5+ 216x+ 216 ⋅5− 18 x2 − 25 = 0 216⋅2x − 18x2+ 18⋅25= 0

Разделим обе части уравнения на 18:

12⋅2x− x2+ 25= 0 2 x − 24x− 25= 0 (x−[25)(x +1) x= 25 x= −1

Ответ:

25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#25042Максимум баллов за задание: 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 22

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -80-- | 80 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -80-- | 80 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 23 часа время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 35 часам. Составим уравнение:

-80-+ --80--+ 23= 35 x+ 5 x − 5 -80--+ -80--− 12= 0 80+ 5 x − 5 80(x-−-5)-+80(x+-5)−-12(x−-5)(x-+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 80(x − 5)+ 80(x+ 5)− 12(x− 5)(x +5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

80(x − 5) +80(x+ 5)− 12(x− 5()(x + 5)) = 0 80x− 80⋅5+ 80x+ 80⋅5− 12 x2− 25 = 0 80⋅2x− 12x2+ 12 ⋅25 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

20⋅2x− 3x2+ 75= 0 2 3x − 40x − 75 = 0 (x−⌊ 15)(3x+ 5) x = 15 ⌈x = − 5 3

Корень $5 x = −3$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема