Тема №21. Текстовые задачи

01 Задачи №21 из банка ФИПИ → 01.09 №21. Тип 9

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №21. текстовые задачи

Разделы подтемы Задачи №21 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37873Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -132- | 132 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -132- | 132 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 5 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-132--− 132-= 5. x− 5 x+ 5

132-− -132-− 5= 0 x− 5 x +5 132(x+-5)−-132(x−-5)−-5(x-−-5)(x+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{132(x+ 5)− 132(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |(x ⁄= 5 x ⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

132(x+ 5)− 132(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 132x +132⋅5 − 132x+ 132⋅5− 5(x2− 52)= 0 132⋅5+ 132⋅5− 5x2+ 125 = 0 2 5x =132⋅10 +125 x2 = 132⋅2+ 25 x2 = 289 [ x = 17 x = −17

Корень $x = −17$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 17 км/ч.

Ответ: 17 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#54128Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -208- | 208 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -208- | 208 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 5 часов меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-208--− 208-= 5. x− 5 x+ 5

208-− -208-− 5= 0 x− 5 x +5 208(x+-5)−-208(x−-5)−-5(x-−-5)(x+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{208(x+ 5)− 208(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |(x ⁄= 5 x ⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

208(x+ 5)− 208(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 208x +208⋅5 − 208x+ 208⋅5− 5(x2− 52)= 0 208⋅5+ 208⋅5− 5x2+ 125 = 0 2 5x =208⋅10 +125 x2 = 208⋅2+ 25 x2 = 441 [ x = 21 x = −21

Корень $x = −21$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 21км/ч.

Ответ: 21 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55426Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -72-- | 72 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -72-- | 72 | --------------------------------x-− 3-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-72--− -72-= 2. x− 3 x+ 3

Разделим обе части уравнения на 2:

-36--− -36--=1 x − 3 x+ 3 -36-− -36--− 1= 0 x− 3 x +3 36(x +3)− 36(x− 3)− (x − 3)(x+ 3) ---------(x−-3)(x-+3)----------= 0 ( |{ 36(x+ 3)− 36(x − 3)− (x− 3)(x +3) =0 | x⁄= 3 ( x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

36(x +3)− 36(x− 3)− (x − 3)(x+ 3)= 0 36x+ 36⋅3− 36x+ 36⋅3− (x2− 32) = 0 2 2 36⋅3+ 36⋅3− x + 3 = 0 x2 = 36⋅6+ 9 x2 = 225 [ x = 15 x = −15

Корень $x = −15$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93092Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 2 | -297- | 297 | |--------------|--------------|-x-+2---|--------| |П ротив течения | x − 2 | -297- | 297 | --------------------------------x-− 2-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 3 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-297--− 297-= 3. x− 2 x+ 2

Разделим обе части уравнения на 3:

-99--− -99--=1 x − 2 x+ 2 -99-− -99--− 1= 0 x− 2 x +2 99(x +2)− 99(x− 2)− (x − 2)(x+ 2) ---------(x−-2)(x-+2)----------= 0 ( |{ 99(x+ 2)− 99(x − 2)− (x− 2)(x +2) =0 | x⁄= 2 ( x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

99(x +2)− 99(x− 2)− (x − 2)(x+ 2)= 0 99x+ 99⋅2− 99x+ 99⋅2− (x2− 22) = 0 2 99⋅2+ 99⋅2− x + 4 =0 x2 = 99⋅4+ 4 x2 = 100⋅4 [ x = 20 x = −20

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93093Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -288- | 288 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -288- | 288 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 3 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-288--− 288-= 3. x− 4 x+ 4

Разделим обе части уравнения на 3:

-96--− -96--=1 x − 4 x+ 4 -96-− -96--− 1= 0 x− 4 x +4 96(x +4)− 96(x− 4)− (x − 4)(x+ 4) ---------(x−-4)(x-+4)----------= 0 ( |{ 96(x+ 4)− 96(x − 4)− (x− 4)(x +4) =0 | x⁄= 4 ( x⁄= −4

Решим первое уравнение системы:

96(x +4)− 96(x− 4)− (x − 4)(x+ 4)= 0 96x+ 96⋅4− 96x+ 96⋅4− (x2− 42) = 0 2 2 96⋅4+ 96⋅4− x + 4 = 0 x2 = 96⋅8 +16 x2 = 784 [ x = 28 x = −28

Корень $x = −28$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 28 км/ч.

Ответ: 28 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93094Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 1 | -255- | 255 | |--------------|--------------|-x-+1---|--------| |П ротив течения | x − 1 | -255- | 255 | --------------------------------x-− 1-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-255-− -255--=2 x − 1 x+ 1 255-− -255-− 2= 0 x− 1 x +1 255(x+-1)−-255(x−-1)−-2(x-−-1)(x+-1)- (x− 1)(x +1) = 0 ( |{255(x+ 1)− 255(x− 1)− 2(x − 1)(x+ 1)= 0 |(x ⁄= 1 x ⁄= −1

Решим первое уравнение системы:

255(x+ 1)− 255(x− 1)− 2(x −( 1)(x+ 1))= 0 255x + 255 − 255x+ 255− 2 x2− 12 = 0 255+ 255 − 2x2 +2 = 0 2 2x = 512 x2 = 256 [x = 16 x = −16

Корень $x = −16$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93095Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -77-- | 77 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -77-- | 77 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-77--− -77--=2 x − 4 x+ 4 -77-− -77--− 2= 0 x− 4 x +4 77(x+-4)−-77(x-− 4)−-2(x−-4)(x+-4) (x− 4)(x +4) = 0 ( |{77(x+ 4)− 77(x− 4)− 2(x − 4)(x+ 4)= 0 |(x ⁄= 4 x ⁄= −4

Решим первое уравнение системы:

77(x+ 4)− 77(x − 4)− 2(x− 4()(x+ 4))= 0 77x +77⋅4 − 77x +77⋅4 − 2 x2− 42 = 0 77⋅4+ 77⋅4 − 2x2+ 32= 0 2 2x = 77⋅8+ 32 x2 = 77⋅4 +16 x2 = 324 [ x = 18 x = −18

Корень $x = −18$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93096Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 221 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -221- | 221 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -221- | 221 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-221-− -221--=2 x − 4 x+ 4 -221-− -221--=2 x − 4 x+ 4 221-- -221- x− 4 − x +4 − 2= 0 221(x+ 4)− 221(x− 4)− 2(x − 4)(x+ 4) ----------(x−-4)(x-+4)-----------= 0 ( |{221(x+ 4)− 221(x− 4)− 2(x − 4)(x+ 4)= 0 |x ⁄= 4 (x ⁄= −4

Решим первое уравнение системы:

221(x+ 4)− 221(x− 4)− 2(x − 4)(x+ 4)= 0 221x +221⋅4 − 221x+ 221⋅4− 2(x2− 42)= 0 2 221⋅4+ 221⋅4− 2x + 32= 0 2x2 = 221⋅8 +32 x2 = 221⋅4+ 16 x2 = 900 [ x = 30 x = −30

Корень $x = −30$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92275Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -192- | 192 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -192- | 192 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-192--− 192-= 4. x− 4 x+ 4

Разделим обе части уравнения на 4:

-48--− -48--=1 x − 4 x+ 4 -48-− -48--− 1= 0 x− 4 x +4 48(x +4)− 48(x− 4)− (x − 4)(x+ 4) ---------(x−-4)(x-+4)----------= 0 ( |{ 48(x+ 4)− 48(x − 4)− (x− 4)(x +4) =0 | x⁄= 4 ( x⁄= −4

Решим первое уравнение системы:

48(x +4)− 48(x− 4)− (x − 4)(x+ 4)= 0 48x+ 48⋅4− 48x+ 48⋅4− (x2− 42) = 0 2 2 48⋅4+ 48⋅4− x + 4 = 0 x2 = 48⋅8 +16 x2 = 400 [ x = 20 x = −20

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 20 км/ч.

Ответ:

20 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92276Максимум баллов за задание: 2

Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 4

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -210- | 210 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -210- | 210 | --------------------------------x-− 3-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-210--− 210-= 4. x− 3 x+ 3

Разделим обе части уравнения на 2:

-105-− -105--=2 x − 3 x+ 3 105-− -105-− 2= 0 x− 3 x +3 105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3) ----------(x−-3)(x-+3)-----------= 0 ( |{105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3)= 0 |x ⁄= 3 (x ⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3)= 0 105x +105⋅3 − 105x+ 105⋅3− 2(x2− 32)= 0 2 105⋅3+ 105⋅3− 2x + 18= 0 2x2 = 105⋅6 +18 x2 = 105⋅3 +9 x2 = 324 [ x = 18 x = −18

Корень $x = −18$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

Ответ:

18 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема