Тема №21. Текстовые задачи

01 Задачи №21 из банка ФИПИ → 01.10 №21. Тип 10

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №21. текстовые задачи

Разделы подтемы Задачи №21 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40196Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -56-- | 56 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -54-- | 54 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-56--+ -54--=5 x +5 x− 5 -56-+ -54--− 5= 0 x+ 5 x − 5 56(x−-5)+-54(x-+5)−-5(x−-5)(x+-5) (x+ 5)(x − 5) = 0 ( |{56(x− 5)+54(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

56(x− 5)+ 54(x +5)− 5(x−( 5)(x+ 5))= 0 56x − 280 +54x+ 270− 5 x2− 25 = 0 110x− 10− 5x2+ 125 =0 2 5x − 110x − 115 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 110 + 4⋅5⋅115= 12100+ 2300 = 14400 =120

Тогда

⌊ 110+ 120 [ |x = --2⋅5--- x = 23 ⌈ 110−-120- ⇔ x = −1 x = 2⋅5

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 23 км/ч.

Ответ: 23 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#55440Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -80-- | 80 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -60-- | 60 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 10 часов. Составим уравнение:

-80-+ -60--= 10. x+ 5 x − 5

Поделим обе части уравнения на 10:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93097Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -32-- | 32 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -24-- | 24 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 4 часа. Составим уравнение:

-32--+ -24-= 4. x+ 5 x− 5

Разделим обе части уравнения на 4:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (−14)2+4 ⋅15 = 196 + 60 = 256 = 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93098Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -40-- | 40 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -30-- | 30 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-40--+ -30-= 5. x+ 5 x− 5

Поделим обе части уравнения на 5:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93099Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -88-- | 88 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -72-- | 72 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 10 часов. Составим уравнение:

-88-+ -72--= 10. x+ 5 x − 5

Поделим обе части уравнения на 2:

-44--+ -36--=5 x +5 x− 5 -44-+ -36--− 5= 0 x+ 5 x − 5 44(x− 5)+ 36(x +5)− 5(x− 5)(x+ 5) ----------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{44(x− 5)+36(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

44(x− 5)+ 36(x +5)− 5(x− 5)(x+ 5)= 0 44x − 220 +36x+ 180− 5(x2− 25)= 0 2 80x − 40− 5x + 125= 0 5x2− 80x − 85 = 0 x2− 16x− 17= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D =162+ 4⋅17= 256+ 68= 324= 182

Тогда

⌊ |x = 16+-18- [x = 17 ⌈ 162− 18 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 17 км/ч.

Ответ: 17 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93100Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -52-- | 52 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -48-- | 48 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-52--+ -48--=5 x +5 x− 5 -52-+ -48--− 5= 0 x+ 5 x − 5 52(x−-5)+-48(x-+5)−-5(x−-5)(x+-5) (x+ 5)(x − 5) = 0 ( |{52(x− 5)+48(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

52(x− 5)+ 48(x +5)− 5(x−( 5)(x+ 5))= 0 52x − 260 +48x+ 240− 5 x2− 25 = 0 100x− 20− 5x2+ 125 =0 2 5x − 100x − 105 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 100 + 4⋅5⋅105= 10000+ 2100 = 12100 =110

Тогда

⌊ 100+ 110 [ |x = --2⋅5--- x = 21 ⌈ 100−-110- ⇔ x = −1 x = 2⋅5

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 21 км/ч.

Ответ: 21 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93101Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -84-- | 84 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -66-- | 66 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 10 часов. Составим уравнение:

-84-+ -66--= 10. x+ 5 x − 5

Поделим обе части уравнения на 2:

-42--+ -33--=5 x +5 x− 5 -42-+ -33--− 5= 0 x+ 5 x − 5 42(x− 5)+ 33(x +5)− 5(x− 5)(x+ 5) ----------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 ( |{42(x− 5)+33(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

42(x− 5)+ 33(x +5)− 5(x− 5)(x+ 5)= 0 42x − 210 +33x+ 165− 5(x2− 25)= 0 2 75x − 45− 5x + 125= 0 5x2− 75x − 80 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 752+ 4 ⋅5 ⋅80 = 5625 +1600= 7225= 852

Тогда

⌊ |x = 75+-85- [x = 16 ⌈ 725⋅−585 ⇔ x = −1 x = -2⋅5--

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93102Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -72-- | 72 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -54-- | 54 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 9 часов. Составим уравнение:

-72--+ -54-= 9. x+ 5 x− 5

Поделим обе части уравнения на 9:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42460Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -64-- | 64 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -48-- | 48 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 8 часов. Составим уравнение:

-64--+ -48-= 8. x+ 5 x− 5

Поделим обе части уравнения на 8:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92281Максимум баллов за задание: 2

Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -48-- | 48 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -42-- | 42 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-48--+ -42--=5 x +5 x− 5 -48-+ -42--− 5= 0 x+ 5 x − 5 48(x−-5)+-42(x-+5)−-5(x−-5)(x+-5) (x+ 5)(x − 5) = 0 ( |{48(x− 5)+42(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

48(x− 5)+ 42(x +5)− 5(x−( 5)(x+ 5))= 0 48x − 240 +42x+ 210− 5 x2− 25 = 0 90x − 30− 5x2+ 125= 0 2 5x − 90x − 95 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 90 +4 ⋅5⋅95= 8100 +1900= 10000= 100

Тогда

⌊ 90+ 100 [ | x= --2⋅5-- x= 19 ⌈ 90−-100 ⇔ x= − 1 x= 2⋅5

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 19 км/ч.

Ответ:

19 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема