Тема Текстовые задачи

03 Дроби

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124653

Наташа от дома до стадиона ходит пешком со скоростью $4$ км/ч. Однажды она отправилась из дома в обычное время, но поехала на велосипеде со скоростью $12$ км/ч. На стадион она приехала на $15$ мин раньше обычного. Чему равно расстояние от дома до стадиона?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Переведем минуты в часы:

$15$ мин. $15 1 = --= - 60 4$ ч.

Обозначим за $x$ расстояние от дома до стадиона в километрах

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Путь пешком	$4$	$x 4$	$x$

Путь на велосипеде	$12$	$1x2$	$x$

Примечание: Время находим по формуле: $S t= v-$

Исходя из таблицы, составим уравнение. Заметим, что разница во времени пути пешком и на велосипеде в $15$ минут.

$x− x-= 1 |⋅12 4 12 4$

$3x − x =3$

$2x =3$

$x= 3= 1,5 2$ км. — расстояние от дома до стадиона

Ответ:

$1,5$ км.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124654

Максим вышел из дома и направился к бассейну со скоростью $50$ м/мин. Через $4$ мин из дома вслед за ним вышел его брат Артём и пошёл к бассейну со скоростью $60$ м/мин. Найдите расстояние от дома до бассейна, если они пришли туда одновременно.

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ расстояние от дома до бассейна.

Составим таблицу:


	$v$ (м/мин)	$t$ (мин)	$S$ (м)

Максим	$50$	$x50$	$x$

Артем	$60$	$x- 60$	$x$

Примечание: Время находим по формуле: $t= S- v$

Исходя из таблицы, составим уравнение. Заметим, что разница между временем пути Максима и Артема равна $4$ минутам.

$x x 50− 60-=4 |⋅300$

$6x − 5x= 4⋅300$

$x= 1200$ м. $= 1$ км. $200$ м. — расстояние от дома до бассейна

Ответ:

$1$ км. $200$ м.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124655

Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью $40$ км/ч. Через $4$ ч из В в А выехал автомобиль со скоростью $60$ км/ч. Расстояние от А до В равно $250$ км. На каком расстоянии от пункта А автомобиль и автобус встретились?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Отметим за $x$ расстояние, которое проехал автобус до встречи с автомобилем. Тогда расстояние, которое проехал автомобиль равно $250− x$

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Автобус	$40$	$x40$	$x$

Автомобиль	$60$	$250−x 60$	$250− x$

Примечание: Время находим по формуле: $t= S- v$

Исходя из таблицы, составим уравнение. Заметим, что разница между временем пути автобуса и автомобиля равно $4$ часам.

$x 250− x 40− -60--= 4 |⋅120$

$3x − 2(250− x)= 4⋅120$

$3x − 500+ 4x = 480$

$5x =900$

$900 x= -5-=196$ км.

Ответ:

$196$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124656

Туристы отправляются на лодке вверх по реке на рыбалку и должны вернуться на базу через $4$ ч. Скорость лодки в стоячей воде $8$ км/ч, скорость течения реки $2$ км/ч. Туристы планируют провести на рыбалке $3$ ч. На какое максимальное расстояние они могут отплыть от базы?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Отметим за $x$ расстояние, на которое туристы могут отплыть.

Составим таблицу:

Пусть путь туда будет по течению, а обратно — против течения.


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

По течению	$8+ 2= 10$	$x10-$	$x$

Против течения	$8− 2= 6$	$x 6$	$x$

Примечание: Время находим по формуле: $t= S- v$

Исходя из условия понимаем, что на путь туда-обратно они должны потратить $4− 3 =1$ час. Тогда составим уравнение:

$x x 10+ 6 = 1 |⋅30$

$3x +5x= 30$

$8x =30$

$30 x= 8-= 3,75$ км. — расстояние, на которое могут отплыть туристы.

Ответ:

$3,75$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124657

Два велосипедиста одновременно выехали с базы на велотрек, куда им надо прибыть к определённому времени. Первый ехал со скоростью $15$ км/ч и успел приехать за $5$ мин до назначенного времени. Второй ехал со скоростью $12$ км/ч и опоздал на $4$ мин. На каком расстоянии от велотрека находится база?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ расстояние от базы до велотрека.

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

По течению	$15$	$x15-$	$x$

Против течения	$12$	$x- 12$	$x$

Примечание: Время находим по формуле: $t= S- v$

Исходя из условия разница во времени прибытия велосипедистов равна $5+4 =9$ мин. Переведем в часы: $9-= 3- 60 20$ ч. Теперь составим уравнение:

$x x 3 12− 15-= 20- |⋅60$

$5x − 4x= 3⋅3$

$x= 9$ км. — расстояние от базы до велотрека.

Ответ:

$9$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124658

Олег решил развивать выносливость и спланировал свою тренировку так: сначала он будет бежать $40$ мин по просёлочной дороге, а затем побежит по лесной тропе. И хотя путь по лесной тропе на $2$ км короче, он затратит на него на $5$ мин больше, так как придётся уменьшить скорость на $4$ км/ч. Какое расстояние планирует преодолеть Олег?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Переведем минуты в часы:

$40$ мин. $40 2 = --= - 60 3$ ч.

$45$ мин. $45 3 = 60= 4$ ч.

Пусть путь по проселочной дороге равен $x,$ тогда путь по лесной тропе равен $x− 2.$

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Проселочная дорога	$3x 2$	$2 3$	$x$

Лесная тропа	$43(x− 2)$	$34$	$x− 2$

Примечание: Скорость находим по формуле: $S v = t$

Теперь можем составить уравнение, учитывая условие, что скорость на лесной дороге на $4$ км/ч меньше:

$3x= 4(x− 2)+4 |⋅6 2 3$

$3⋅3x =2 ⋅4(x− 2)+4⋅6$

$9x =8x− 16+ 24$

$9x − 8x= 8$

$x= 8$ км. — путь по проселочной дороге

$8− 2 =6$ км. — путь по лесной тропе

Тогда всего Олег планирует пройти $8+ 6= 14$ км.

Ответ:

$14$ км.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124659

Получив премию, сотрудник фирмы решил положить её на счёт в банке. Он может открыть счёт с годовым доходом 8 %. Если бы банк выплачивал $11$ % годовых, то для получения такого же дохода потребовалось бы положить на счёт на $900$ р. меньше. Определите, сколько рублей составляла премия

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

При $8%$ годовых:

Пусть $x$ рублей — составляет премия, тогда $0,08x$ руб. доход с премией при $8%$ годовых

При $11%$ годовых:

$x− 900$ руб — потребовалось бы внести на счет при $11%$ годовых

Составим уравнение:

$0,08x= 0,11(x− 900)$

$0,08= 0,11x− 99$

$0,08x− 0,11x= −99$

$− 0,03x= −99$

$x= 3300$ руб. — премия

Ответ:

$3300$ руб.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124660

а) Сколько граммов воды надо выпарить из $80$ г. $6$ %-ного раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий $10$ % соли?

б) Сколько граммов $25$ %-ного сахарного сиропа надо добавить к $200$ г воды, чтобы получить $5$ %-ный раствор сахарного сиропа?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Исходный раствор:

Концентрация соли $= 6%= 0,06$

Общая масса $= 80$ г.

Масса соли $= 0,06⋅80= 4,8$ г.

За $x$ возьмем массу воды, которую нужно выпарить, тогда конечный раствор:

Концентрация: $=10% =0,1$

Общая масса $= 80− x$ г.

Масса соли $= 4,8$ г.

Составим уравнение по формуле концентрации вещества в растворе:

$K = М-асса вещества М асса раствора$

$0,1= -4,8- 80− x$

$0,1(80− x)= 4,8$

$80 − x= 4,8 0,1$

$80 − x= 48$

$x= 80 − 48= 32$ — г. воды нужно выпарить

б) Отметим за $x$ массу сахарного сиропа.

Сахарный сироп:

Концентрация $= 25%= 0,25$

Общая масса $= x$ г.

Масса сахара $=0,25x$ г.

Конечный раствор:

Концентрация $= 5% =0,05$

Общая масса $= 200+x$ г. (добавляем $200$ грамм воды)

Масса сахара: $0,25x$ г.

Составим уравнение по формуле концентрации вещества в растворе:

$М асса вещества K = М-асса-раствора$

$0,25x 0,05= 200+x-$

$0,05(200+ x)=0,25x$

$0,25x 200+ x= ----- 0,05$

$200+ x= 5x$

$4x =200$

$x= 50$ — г. сахарного сиропа надо добавить.

Ответ:

а) $32$ г.

б) $50$ г.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124661

Сколько граммов $75%$ -ного раствора кислоты надо добавить к $30$ г $15%$ -ного раствора этой же кислоты, чтобы получить $50%$ -ный раствор?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ массу раствора, которую надо добавить

Первый суммируемый раствор:

Концентрация $= 75%= 0,75$

Общая масса $= x$ г.

Масса кислоты $= 0,75x$ г.

Второй суммируемый раствор:

Концентрация $= 15%= 0,15$

Общая масса $30$ г.

Масса кислоты $0,15⋅30 =4,5$ г.

Итоговый раствор:

Концентрация $50% = 0,5$

Общая масса $30+x$ г.

Масса кислоты $0,75x+4,5$ г.

Составим уравнение по формуле концентрации вещества в растворе:

$K = М-асса вещества М асса раствора$

$0,5= 0,75x-+4,5 30+ x$

$0,5(30+ x)= 0,75x+ 4,5$

$15 +0,5x = 0,75x+ 4,5$

$0,75x− 0,5x= 15− 4,5$

$0,25x= 10,5$

$10,5- x= 0,25= 42$ — масса раствора, который надо добавить

Ответ:

$42$ г.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124662

Сколько граммов $30%$ -ного раствора соли надо добавить к $80$ г $12%$ -ного раствора этой же соли, чтобы получить $20%$ -ный раствор соли?

Источники: Алгебра. 8 класс - Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ г. массу раствора, который надо добавить

Первый суммируемый раствор:

Концентрация $= 30%= 0,3$

Масса раствора $= x$ г.

Масса соли $= 0,3x$ г.

Второй суммируемый раствор:

Концентрация $= 12%= 0,12$

Масса раствора $= 80$ г.

Масса соли $= 80 ⋅0,12= 9,6$ г.

Итоговый раствор:

Концентрация $20% = 0,2$

Масса раствора $80+x$ г.

Масса соли $0,3x+ 9,6$ г.

Составим уравнение по формуле концентрации вещества в растворе:

$K = М-асса вещества М асса раствора$

$0,2= 0,3x+9,6 80+x$

$0,2(80+ x)= 0,3x+ 9,6$

$16 +0,2x = 0,3+ 9,6$

$0,3x− 0,2x= 16− 9,6$

$0,1x= 6,4$

$6,4- x= 0,1 =64$ — г. раствора, который нужно добавить.

Ответ:

$64$ г.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124663

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого $20%,$ и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого $50%,$ получили раствор, содержащий $30%$ кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Источники: Решу ОГЭ, 314431 (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ и $y$ массу первого и второго раствора соответственно.

Первый раствор:

Концентрация $= 20%= 0,2$

Общая масса $= x$ г.

Масса кислоты $= 0,2x$ г.

Второй раствор:

Концентрация $= 50%= 0,5$

Общая масса $= y$ г.

Масса кислоты $0,5y$ г.

Раствор, получившийся при смешении:

Концентрация $= 30%= 0,3$

Общая масса $= x+ y$

Масса кислоты $0,3(x +y)$

Чтобы найти соотношение масс двух растворов, составим уравнение, учитывая, что масса кислоты получившегося раствора это сумма масс кислоты двух растворов:

$0,2x+ 0,5y = 0,3(x+ y)$

$0,2x+ 0,5y = 0,3x +0,3y |− (0,2x +0,3y)$

$0,2y = 0,1x |⋅10$

$2y =x |:y$

$x 2 y = 1$

Таким образом, первый и второй раствор были взяты в соотношении $2$ к $1$

Ответ:

$2 1$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124664

Расстояние между городами А и В равно $750$ км. Из города А в город В со скоростью $50$ км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью $70$ км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Источники: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (см. studfile.net)

Показать ответ и решение

Отметим за $x$ расстояние, которое проехал первый автомобиль, тогда второй автомобиль проехал $750− x.$

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Первый автомобиль	$50$	$5x0$	$x$

Второй автомобиль	$70$	$750−x 70$	$750− x$

Примечание: Время находим по формуле: $t= S- v$

$x-= 750-− x 50 70$

$7x =3750− 5x$

$12x =3750$

$x= 3750-=312,5 12$ км — расстояние от города А, на котором встретились автомобили.

Ответ:

$312,5$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124665

Два велосипедиста одновременно отправляются в $60−$ километровый пробег. Первый едет со скоростью на $10$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Решу ОГЭ, 338510 (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость первого велосипедиста равна $x +10.$

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Первый автомобиль	$x+ 10$	$6x+010-$	$60$

Второй автомобиль	$x$	$60 x$	$60$

Примечание: Время находим по формуле $t= S- v$

Опираясь на таблицу, составим уравнение, учитывая, что первый велосипедист приехал на $3$ часа раньше:

$60 60 x+-10-+3 =-x |⋅x(x+ 10)$

$60x+ 3x(x +10)= 60(x+ 10)$

$2 60x+ 3x + 30x =60x+ 600$

$2 3x + 30x− 600= 0 |:3$

$2 x +10x− 200 =0$

Найдем дискриминант уравнения:

$2 2 D= 10 − 4 ⋅(−200)= 100+ 800= 900= 30$

$−-10-+√900- -− 10+-30 20 x1 = 2⋅1 = 2 = 2 = 10$

$√ --- −-10-−--900- -− 10−-30 40 x2 = 2⋅1 = 2 = − 2 = −20$ — Скорость не может быть отрицательной

Таким образом, правильным ответом будет $10$ км/ч.

Ответ:

$10$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124666

Два автомобиля одновременно отправляются в $420$ -километровый пробег. Первый едет со скоростью, на $24$ км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на $2$ ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Решу ОГЭ, 353551 (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда $x− 24$ км/ч — скорость второго автомобиля

Составим таблицу:


	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)

Первый автомобиль	$x$	$42x0$	$420$

Второй автомобиль	$x− 24$	$420- x−24$	$420$

Опираясь на таблицу, составим уравнение, учитывая, что первый автомобиль прибыл к финишу на $2$ часа быстрее второго:

$420 420 -----−---= 2 x− 24 x$

$420x− 420x+420⋅24 ----x(x−-24)-----= 2$

$10080 -------= 2 |⋅x(x− 24) x(x − 24)$

$10080= 2x(x− 24) |− 10080$

$2x2− 48x− 10080= 0 |:2$

$x2 − 24x− 5040= 0$

Найдем дискриминант:

$D= (−24)2− 4⋅(−5040)= 576 +20160=20736= 1442$

$√----- x = −-(−24)−--20736-= 24−-144= −-120=− 60 1 2⋅1 2 2$ — Скорость не может быть отрицательной

$√----- x2 = −-(−24)+--20736-= 24+-144= 168= 84 2⋅1 2 2$

Таким образом, скорость первого автомобиля равна $84$ км/ч.

Ответ:

$84$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124667

В автобусе $60$ мест для пассажиров. Две пятых мест уже заняты. Сколько свободных мест в автобусе?

Источники: Демоверсия ВПР 5 класс, 2025 (см. 4vpr.ru)

Показать ответ и решение

Найдем две пятых мест:

$2 2⋅60 5⋅60= -5--= 2⋅12 =24$ — Места, которые уже заняты

Найдем количество свободных мест:

$60 − 24= 36$ — свободные места

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124668

В двух коробках $36$ карандашей. Во второй коробке карандашей в $3$ раза меньше, чем в первой. Сколько карандашей во второй коробке?

Источники: Демоверсия ВПР 5 класс, 2025 (см. 4vpr.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы найти число в три раза меньше, чем исходное, надо разделить его на $3:$

$36 --= 12 3$ — карандашей во второй коробке

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124669

Принтер печатает $72$ страницы за $3$ минуты. За сколько минут этот принтер напечатает $120$ страниц?

Источники: Демоверсия ВПР 5 класс, 2025 (см. 4vpr.ru)

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

$A$ — объем работы


	$v$ (стр/мин)	$t$ (мин)	$A$ (стр)

I	$732$	$3$	$72$

II	$120 x$	$x$	$120$

Примечание: скорость производства находим по формуле $v = S t$

Скорость принтера при производстве страниц одинаковая, можем составить уравнение:

$72 120 3-= -x-$

Запишем область допустимых значений:

$x⁄= 0$

$72 120 3-= -x- |⋅3x$

$72x =120⋅3$

$72x =360 |:72$

$360 x= ---=5 72$ — время, за которое принтер печатает $120$ страниц

Ответ: 55 минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124670

В конкурсе, состоящем из нескольких этапов, участвовало $63$ певца. Девятая часть участников вышла в финал. Сколько певцов не вышло в финал конкурса?

Источники: ВПР 5 класс, 2023 (см. math5-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы найти девятую часть от числа, надо разделить его на $9:$

$63 --= 7 9$ — количество певцов, которые вышли в финал

Тогда количество участников, которые не вышли в финал:

$63 − 7= 56$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#124671

Вал швейной машины за минуту делает $1380$ оборотов. Сколько оборотов сделал вал за $15$ секунд?

Источники: ВПР 5 класс, 2023 (см. math5-vpr.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

Примечание: $1$ минута равняется $60$ секундам

$A$ — объем работы


	$v$ (оборотов/сек)	$t$ (сек)	$A$ (оборотов)

I	$138600$	$60$	$1380$

II	$x- 15$	$15$	$x$

Скорость швейной машины не меняется, составим уравнение:

$1380 x ---= -- |⋅60 60 15$

$1380= 4x |:4$

$x= 1380-=345 4$ — оборотов делает швейная машина за $15$ секунд.

Ответ: 345

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124672

Попугай капитана Сильвера знает слова английского и испанского языков, причём английские слова составляют восемь семнадцатых его словарного запаса. Известно, что он знает $27$ испанских слов. Сколько всего слов знает попугай капитана Сильвера?