Тема Логика

03 Множества и операции над ними

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125230

Дано множество $X = {3,6,8,14,17}.$ Какие из следующих утверждений истинны?

1.: $∅ ⊂X$
2.: $21∈∕X$
3.: ${8,21} ∈X$
4.: ${6,14} ⊂X$
5.: $3 ∈X$
6.: $X ⊂ ∅$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Проверим каждое утверждение:

1.: $∅ ⊂X :$ Пустое множество является подмножеством любого множества. Истинно.
2.: $21∈∕X :$ Число $21$ не является элементом множества $X.$ Истинно.
3.: ${8,21} ∈X :$ Множество ${8,21}$ не является элементом множества $X.$ В $X$ содержатся только отдельные числа, а не множества. Ложно.
4.: ${6,14} ⊂X :$ Все элементы множества ${6,14}$ содержатся в множестве $X.$ Истинно.
5.: $3 ∈X :$ Число $3$ является элементом множества $X.$ Истинно.
6.: $X ⊂ ∅:$ Множество $X$ не может быть подмножеством пустого множества, так как содержит элементы. Ложно.

Ответ:

Истинны утверждения $1,2,4 и 5.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125231

Дано множество $X = {−51;−31;−8;−3;8;40;49}.$ Выберите его подмножество, содержащее целые числа, кроме натуральных.

1.: ${−51;−31;− 8;−3;8;40;49}$
2.: ${8;40;49}$
3.: ${−51;−31;− 1}$
4.: ${−31;−8;− 3}$
5.: ${−31;−3;8}$
6.: ${−65;−8;− 3}$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Натуральные числа - это положительные целые числа. Нам нужно подмножество $X,$ содержащее только отрицательные целые числа.

1.: Содержит и положительные и отрицательные числа. Не подходит.
2.: Содержит только положительные числа. Не подходит.
3.: $− 1$ не принадлежит $X.$ Не подходит.
4.: Содержит только отрицательные числа, и все они принадлежат $X.$ Подходит.
5.: Содержит и положительные и отрицательные числа. Не подходит.
6.: $− 65$ не принадлежит $X.$ Не подходит.

Ответ:

${−31;−8;− 3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125232

Даны два множества $X = {4,15,28,31,39}$ и $Y ={11,15,21,31,39}.$ Укажите элементы множества $X ∩ Y.$

1.: ${15,31,39}$
2.: ${4,11,21,28}$
3.: ${4,11,15,21,28,31,39}$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Пересечение множеств $X ∩Y$ - это множество, содержащее элементы, принадлежащие одновременно и $X,$ и $Y.$

$4 ∈X,$ но $4 ∕∈ Y.$
$15∈ X$ и $15∈ Y.$
$28∈ X,$ но $28 ∕∈Y.$
$31∈ X$ и $31∈ Y.$
$39∈ X$ и $39∈ Y.$
$11∈ Y,$ но $11 ∕∈ X.$
$21∈ Y,$ но $21 ∕∈ X.$

Следовательно, $X∩ Y ={15,31,39}.$

Ответ: {15, 31, 39}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125233

$X$ - множество букв в слове «теорема», $Y$ - множество букв слова «аксиома». Сопоставьте данные.

Операции:

$X ∩ Y$
$X ∪ Y$
$X ∖Y$
$Y ∖X$

Возможные ответы:

1.: {о, м, а}
2.: {т, е, р}
3.: {т, е, о, р, м, а, к, с, и}
4.: {к, с, и}

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Сначала определим множества $X$ и $Y :$

$X = {т,е,о,р,е,м,а}$
$Y = {а,к,с,и,о,м,а}$

Теперь найдем результаты операций:

$X ∩ Y$ (пересечение): элементы, которые есть и в $X,$ и в $Y :$ ${о,м,а}$
$X ∪ Y$ (объединение): все элементы из $X$ и $Y$ (без повторений): ${т,е,о,р,м,а,к,с,и}$
$X ∖Y$ (разность): элементы, которые есть в $X,$ но нет в $Y :$ ${т,е,р}$
$Y ∖X$ (разность): элементы, которые есть в $Y,$ но нет в $X :$ ${к,с,и}$

Ответ:

$X ∩ Y$ - {о, м, а} (1)
$X ∪ Y$ - {т, е, о, р, м, а, к, с, и} (3)
$X ∖Y$ - {т, е, р} (2)
$Y ∖X$ - {к, с, и} (4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125234

Укажите сумму всех элементов множества остатков при делении на $7$ не равных нулю.

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Множество остатков при делении на $7$ - это ${0,1,2,3,4,5,6}.$ Нам нужно исключить $0.$ Таким образом, множество остатков не равных нулю - это $X ={1,2,3,4,5,6}.$

Сумма элементов множества $X$ равна:

$1+2+ 3+ 4+ 5+6 =21.$

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125235

Дано множество $X = {− 3,8,25}$ и $Y = {−3,6,8,12,25,39},$ где $Y$ является универсальным множеством. Найди дополнение множества $X$ до множества $Y,$ то есть $-- X.$ Элементы множества указывай в порядке возрастания.

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Дополнение множества $X$ (обозначается $X-)$ до универсального множества $Y$ - это множество элементов, которые принадлежат множеству $Y,$ но не принадлежат множеству $X.$ В данном случае, универсальным множеством является $Y.$ Таким образом, $-- X = Y ∖X.$

$− 3 ∈X$ и $− 3∈Y,$ следовательно, $-- − 3 ∕∈ X.$
$6 ∈Y,$ но $6 ∕∈X,$ следовательно, $-- 6 ∈X.$
$8 ∈X$ и $8∈Y,$ следовательно, $-- 8∈∕X.$
$12∈ Y,$ но $12 ∕∈ X,$ следовательно, $-- 12∈X.$
$25∈ X$ и $25∈ Y,$ следовательно, $-- 25 ∕∈X.$
$39∈ Y,$ но $39 ∕∈ X,$ следовательно, $39∈X.$

Таким образом, $-- X ={6,12,39}.$

Ответ: {6, 12, 39}

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125236

Укажи множество корней уравнения $− 13,9x− 4x2 = 0.$ Решение уравнения начинай с вынесения общего множителя за скобки.

1.: ${0;−3,475}$
2.: ${−3,475}$
3.: ${−0,29}$
4.: $∅$
5.: ${0;−0,29}$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(−13,9− 4x)= 0$

Теперь, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

1) $x= 0$

2) $− 13,9− 4x =0$

$− 4x =13,9$

$13,9- x= − 4 =− 3,475$

Таким образом, множество корней уравнения - это ${0;−3,475}.$

Ответ: {0; -3,475}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125237

Укажи произведение элементов множества объединения корней уравнений $(− 6− x)(x+ 2)(2x − 12)(14− x)=0$ и $2x =x2.$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдем корни первого уравнения: $(−6 − x)(x +2)(2x− 12)(14− x) =0$ Корни: $x =− 6, 1$ $x =− 2, 2$ $x =6, 3$ $x = 14. 4$ Множество корней первого уравнения: $X ={−6,−2,6,14}.$

Теперь найдем корни второго уравнения: $2 2x= x$ Перенесем все члены в одну сторону: $2 x − 2x= 0$ Вынесем общий множитель $x :$ $x(x− 2) =0$ Корни: $x5 =0,$ $x6 = 2.$ Множество корней второго уравнения: $Y = {0,2}.$

Найдем объединение множеств корней: $X ∪ Y = {−6,−2,0,2,6,14}.$

Найдем произведение элементов множества объединения: $(−6)⋅(− 2)⋅0⋅2⋅6⋅14= 0$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125238

Из множеств $A = {1,4,7,10,13},$ $B = {1,−2,10,13,16,21},$ $C = {7,10,13,21,23}$ получили множество $D = (A ∩B )∩C.$ Укажи количество элементов нового множества.

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдем пересечение множеств $A$ и $B :$ $A ∩B = {1,10,13}$

Теперь найдем пересечение множества $(A∩ B)$ и множества $C :$ $D = (A ∩B)∩ C ={1,10,13}∩{7,10,13,21,23}= {10,13}$

Количество элементов в множестве $D$ равно $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125239

Отметь множество, являющееся пересечением двух числовых промежутков $[−1;4]$ и $[− 3;1].$

1.: $− 1 ≤x ≤4$
2.: $− 3 ≤x ≤1$
3.: $1 ≤x ≤4$
4.: $− 1 ≤x ≤1$
5.: $− 3 ≤x ≤−1$
6.: $∅$

Источники: Якласс, Операции над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Пересечение двух числовых промежутков - это множество всех чисел, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно.

Промежуток $[−1;4]$ включает все числа от $− 1$ до $4$ включительно. Промежуток $[−3;1]$ включает все числа от $− 3$ до $1$ включительно.

Общие числа для обоих промежутков лежат в диапазоне от $− 1$ до $1$ включительно. Таким образом пересечение - $[−1;1],$ что соответствует $− 1≤ x≤ 1.$

На числовой прямой это можно представить так:

$x−1−431$

Ответ:

$− 1≤ x≤ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125240

Задайте множество таких натуральных чисел, для которых все три утверждения верные:

1.: число не меньше, чем $5;$
2.: число не больше, чем $12;$
3.: число чётное.

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Натуральные числа - это положительные целые числа. Условие $1$ означает, что число должно быть больше или равно $5.$ Условие $2$ означает, что число должно быть меньше или равно $12.$ Условие $3$ означает, что число должно быть четным.

Итак, нужно найти все четные числа от $5$ до $12$ включительно.

Перечислим числа, удовлетворяющие условиям:

$5$ - нечетное, не подходит.
$6$ - четное, подходит.
$7$ - нечетное, не подходит.
$8$ - четное, подходит.
$9$ - нечетное, не подходит.
$10$ - четное, подходит.
$11$ - нечетное, не подходит.
$12$ - четное, подходит.

Таким образом, искомое множество - ${6,8,10,12}.$

Ответ: {6, 8, 10, 12}

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#125241

Задайте перечислением элементов множество всех четырёхзначных чисел, сумма цифр которых равна $10,$ а произведение цифр равно $27.$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно найти четырехзначные числа $abcd$ такие, что:

1.: $a +b+ c+d =10$
2.: $a ⋅b⋅c⋅d= 27$

Разложим $27$ на простые множители: $27= 3⋅3⋅3⋅1.$ Значит, набор цифр должен быть $1,3,3,3$ или $1,1,3,9.$

Если цифры $1,3,3,3:$ $1+ 3+ 3+3 =10.$ И $1⋅3⋅3⋅3= 27.$ Тогда числа: $1333,3133,3313,3331$
Если цифры $1,1,3,9:$ $1+ 1+ 3+9 =14⁄= 10.$ Значит этот вариант не подходит.

Значит, наш ответ будет таким: ${1133,1313,1331,3113,3131,3311}$

Ответ: {1133, 1313, 1331, 3113, 3131, 3311}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#125242

Задача про Равные множества. Даны множества:

А — множество нечётных двузначных натуральных чисел, не больших 25;
B — множество чётных натуральных чисел, больших 12, но меньших 26;
C = {11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25};
D = {14; 16; 18; 20; 22; 24; 26}.

Есть ли среди данных множеств равные?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Зададим множества A и B перечислением элементов.

Множество A состоит из нечётных двузначных натуральных чисел, не больших $25.$ Это значит числа должны быть:

нечётными;
двузначными;
натуральными;
не больше $25.$

Получаем: $A = {11;13;15;17;19;21;23;25}.$

Множество B состоит из чётных натуральных чисел, больших $12,$ но меньших $26.$ Это значит числа должны быть:

чётными;
натуральными;
больше $12;$
меньше $26.$

Получаем: $B = {14;16;18;20;22;24}.$

Множества C и D уже заданы перечислением элементов:

$C = {11;13;15;17;19;21;23;25};$
$D = {14;16;18;20;22;24;26}.$

Теперь сравним множества:

$A = {11;13;15;17;19;21;23;25}$ и $C = {11;13;15;17;19;21;23;25}.$ Следовательно, $A = C.$
$B = {14;16;18;20;22;24}$ и $D ={14;16;18;20;22;24;26}.$ Следовательно, $B ⁄= D.$

Ответ: Да, A=C.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125243

Даны множества:

А — множество различных букв слова «ромашка»,
В — множество различных букв слова «мошкара»,
С — множество различных букв слова «кошка».

Есть ли среди данных множеств равные?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Не забываем, что множество содержит только различные элементы.

Множество A (буквы слова «ромашка»): $A = {р,о,м,а,ш,к}.$
Множество B (буквы слова «мошкара»): $B = {м,о,ш,к,а,р}.$
Множество C (буквы слова «кошка»): $C = {к,о,ш,а}.$

Теперь сравним множества:

Сравним A и B: $A = {р,о,м,а,ш,к}$ и $B ={м,о,ш,к,а,р}.$ Содержат одни и те же элементы, только в разном порядке. Следовательно, $A = B.$
Сравним A и C: $A = {р,о,м,а,ш,к}$ и $C = {к,о,ш,а}.$ Множество $A$ содержит буквы "р"и "м которых нет в $C.$ Следовательно, $A ⁄= C.$
Сравним B и C: $B = {м,о,ш,к,а,р}$ и $C = {к,о,ш,а}.$ Множество $B$ содержит буквы "м"и "р которых нет в $C.$ Следовательно, $B ⁄= C.$

Среди данных множеств, $A =B$

Ответ: A=B

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#125244

Сколько элементов содержит множество различных шестизначных натуральных чисел, у которых каждая следующая цифра на $1$ меньше предыдущей?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы шестизначное число было натуральным, все его цифры должны быть от $0$ до $9,$ и первая цифра не должна быть $0.$ Кроме того, каждая следующая цифра должна быть на $1$ меньше предыдущей.

Перечислим возможные шестизначные числа, удовлетворяющие условию:

$987654$
$876543$
$765432$
$654321$
$543210$

Таким образом, существует $5$ таких чисел.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#125821

Сколько элементов в множестве двузначных натуральных чисел, которые при делении на сумму цифр числа дают неполное частное $7$ и остаток $3?$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Пусть двузначное число имеет вид $ab= 10a +b,$ где $a$ и $b$ - цифры от $0$ до $9,$ причем $a⁄= 0.$ Сумма цифр числа равна $a+ b.$ По условию, при делении $ab$ на $a+ b$ получается неполное частное $7$ и остаток $3.$ Это можно записать как:

$10a+ b= 7(a +b)+3$

Раскроем скобки: $10a+ b=7a+ 7b+ 3$

Перенесем все члены с $a$ и $b$ в левую часть: $10a− 7a+ b− 7b= 3$ $3a − 6b= 3$

Разделим обе части уравнения на $3:$ $a− 2b= 1$

Выразим $a$ через $b:$ $a= 2b+1$

Так как $a$ и $b$ - цифры от $0$ до $9,$ то нужно найти все возможные значения $b,$ при которых $a$ также будет цифрой. Кроме того, $a$ не может быть равно $0,$ так как это первая цифра двузначного числа.

Переберем значения $b$ от $0$ до $9 :$

Если $b =0,$ то $a =2 ⋅0 +1= 1.$ Число $ab=$ 10.
Если $b =1,$ то $a =2 ⋅1 +1= 3.$ Число $ab=$ 31.
Если $b =2,$ то $a =2 ⋅2 +1= 5.$ Число $ab=$ 52.
Если $b =3,$ то $a =2 ⋅3 +1= 7.$ Число $ab=$ 73.
Если $b =4,$ то $a =2 ⋅4 +1= 9.$ Число $ab=$ 94.
Если $b >4,$ то $a >9,$ что невозможно.

Теперь проверим, какие из полученных чисел удовлетворяют условию задачи:

Для числа 10: Сумма цифр $1+ 0= 1.$ $10∕1 =10$ (частное $10,$ остаток $0).$ Не подходит.
Для числа 31: Сумма цифр $3+ 1= 4.$ $31∕4 =7$ (частное $7,$ остаток $3).$ Подходит.
Для числа 52: Сумма цифр $5+ 2= 7.$ $52∕7 =7$ (частное $7,$ остаток $3).$ Подходит.
Для числа 73: Сумма цифр $7+ 3= 10.$ $73∕10= 7$ (частное $7,$ остаток $3).$ Подходит.
Для числа 94: Сумма цифр $9+ 4= 13.$ $94∕13= 7$ (частное $7,$ остаток $3).$ Подходит.

Соответствуют условию числа: $31, 52, 73, 94.$

Следовательно, множество содержит $4$ элемента.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125822

Сколько различных подмножеств имеет множество $A = {1;2;3;4}?$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Перечислим все подмножества множества $A :$

Подмножества, содержащие $0$ элементов: $∅$
Подмножества, содержащие $1$ элемент: ${1},{2},{3},{4}$
Подмножества, содержащие $2$ элемента: ${1;2},{1;3},{1;4},{2;3},{2;4},{3;4}$
Подмножества, содержащие $3$ элемента: ${1;2;3},{1;2;4},{1;3;4},{2;3;4}$
Подмножества, содержащие $4$ элемента: ${1;2;3;4}$

Пересчитаем все подмножества: $1$ (пустое множество) $+ 4+6 +4+ 1= 16.$

Для множества из $n$ элементов количество подмножеств равно $n 2 .$ В нашем случае $n = 4,$ значит, количество подмножеств равно $4 2 = 16.$

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#125823

Даны множества: $A ={1;2;3;4};$ $B = {2;3;5;6};$ $C ={3;4;6;7}.$ Найдите $A ∩B$ и $A∩ B∩ C.$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#125824

Пусть А — множество различных букв слова «пирамида», В — множество различных букв слова «тетраэдр», С — множество различных букв слова «октаэдр». Сколько элементов в пересечении этих трёх множеств?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Сначала определим множества A, B и C, состоящие из различных букв слов:

A (пирамида): $A = {п,и,р,а,м,д}$
B (тетраэдр): $B ={т,е,р,а,д}$
C (октаэдр): $C = {о,к,т,а,э,д,р}$

Теперь найдем пересечение этих трех множеств: $A ∩B ∩C.$ Это множество, содержащее только те элементы, которые присутствуют во всех трех множествах.

Буква "а"присутствует во всех трех множествах.
Буква "д"присутствует во всех трех множествах.
Буква "р"присутствует во всех трех множествах.
Других общих букв нет.

Следовательно, $A∩ B∩ C = {а,д,р}.$

Количество элементов в пересечении трех множеств равно $3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#125825

Пусть А — множество чисел промежутка $[−4;1],$ В — множество чисел промежутка $(−1;3),$ C — множество чисел промежутка $[2;5).$ Найдите $A ∪B ∪C.$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Необходимо найти объединение трех числовых промежутков: $A,$ $B$ и $C.$ Объединение множеств содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

$A= [− 4;1]:$ Все числа от $− 4$ до $1$ включительно. $B = (−1;3):$ Все числа от $− 1$ до $3,$ не включая $− 1$ и $3.$ $C = [2;5):$ Все числа от $2$ до $5,$ включая $2,$ но не включая $5.$

Нарисуем числовую прямую и отметим на ней эти промежутки:

$PIC$

Ответ: [-4; 5)