Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .15 ДВИ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#92366Максимум баллов за задание: 7

Многочлен $f(x)= x4− 12x3 +ax2+ bx +81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение

f(x)=(x− c1)(x− c2)(x− c3)(x− c4)

с некоторыми положительными $c1,c2,c3,c4$ . Найдите все возможные значения $f(5)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что нам нужная какая-то ещё информация о коэффициентах и/или корнях. Какие красивые теоремы мы знаем о корнях многочлена?

Подсказка 2

Теорема Виета существует не только для квадратных трёчхленов! Если вы не помните её точную формулировку, то можно аккуратно раскрыть скобочки в разложении.

Подсказка 3

Итак, мы знаем точно чему числено равны сумма и произведение корней. А как ещё мы можем сравнить эти же выражения?

Подсказка 4

Из суммы можно красиво сделать среднее арифметическое, а из произведения – среднее геометрическое. В каком случае они равны?

Подсказка 5

Неравенство о средних говорит нам о том, что среднее арифметическое может быть равно среднему геометрическому только если равны все члены последовательности. Вот мы и установили корни!

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

По обобщенной теореме Виета получаем $c1+ c2 +c3+ c4 =12$ и $c1c2c3c4 = 81.$ Тогда получаем, что

c1 +c2+ c3+ c4 √ ------ -----4------= 4 c1c2c3c4

По неравенству о средних мы знаем, что равенство в таком неравенстве достигается только при $c1 = c2 =c3 = c4 = 124-= 3.$ Тогда получаем

f(5) =(5− 3)4 = 24 = 16.

Ответ: 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#92367Максимум баллов за задание: 7

Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно $√2,$ а до бокового ребра — $√3.$ Найдите объём пирамиды.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возможно, стоит взять какую-то более удобную точку, расстояния от которой относятся к данным в условии расстояниям известным образом. Это поможет нам упростить работу! Пусть такой точкой станет основание высоты пирамиды.

Подсказка 2

Итак, нам нужно установить что-то о связи между боковым ребром пирамиды и её основанием, после этого задача будет решать несложным счётом! Как это можно сделать? Чем тут помогут проведённые перпендикуляры-расстояния?

Подсказка 3

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общим катетом-высотой, известными отношениями двух других катетов (отрезки внутри квадрата) и известными высотами – хватит ли этого, чтобы найти отношение бокового ребра пирамиды и апофемы?

Подсказка 4

Осталось обозначить какой-нибудь буквой одно из рёбер пирамиды: внимательная работа с прямоугольными треугольниками поможет нам выразить через эту же переменную данные расстояния и добить задачу!

Показать ответ и решение

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Пусть $O$ — основание высоты этой пирамиды. Заметим, что расстояние от $O$ до плоскости $BSC$ равно удвоенному расстоянию от середины высоты до этой плоскости. Аналогично с расстоянием до бокового ребра $AS.$ Пусть $OQ$ — перпендикуляр к $AS,$ а $OP$ — перпендикуляр к апофеме $SH$ плоскости $BSC.$

$PIC$

Так как $H$ — середина $BC,$ то $BC ⊥OH.$ А также поскольку $SO$ — высота, то $BC ⊥ OS.$ Тогда $BC$ перпендикулярна $SOH,$ в частности, перпендикулярна и к $OP.$ Тогда получается, что $OP$ перпендикулярна к $SH,BC,$ а значит, $OP = 2√2$ как расстояние от основания высоты до боковой грани.

Положим, что $OH = x,$ тогда $AO = x√2$ так как в квадрате диагональ в $√2$ раз длиннее стороны. Теперь запишем отношения площадей прямоугольных треугольников $ASO$ и $SOH :$

- -SASO- -AO √ - AS-⋅OQ- AS-⋅2√-3 SSOH = OH = 2= SH ⋅OP = SH ⋅2√ 2

AS 2 SH-= √3-

Теперь пусть $AS =2a,$ тогда $√- SH =a 3.$ А из прямоугольного треугольника $SHC$ по теореме Пифагора $HC = a= OH = x.$ Теперь же из треугольника $SOH$ по теореме Пифагора: