Тема Количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Метод шаров и перегородок

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74090

На прямой отмечено $100$ точек. Сколькими способами из них можно выбрать $10$ точек так, чтобы никакие две выбранные точки не были соседними?

Подсказки к задаче

1 подсказка

Попробуйте переформулировать задачу так, чтобы она стала более тривиальной.

2 подсказка

Обратите внимание на точки, которые неотмечены. С какими точками проще работать, с отмеченными или с не отмеченными?

3 подсказка

Давайте расположим 90 не отмеченных точек на прямой. Сколько тогда есть способов расположить отмеченные точки?

Показать ответ и решение

Заметим, что НЕ отмеченных точек у нас $90,$ отмеченные точки мы можем ставить во все $89$ промежутков между ними и ещё в $2$ места по краям, значит всего нужно выбрать $10$ вариантов из $91.$

Ответ:

$C10 91$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#34014

В почтовом отделении продаются открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить в нем 10 открыток, если 1) нужно купить хотя бы по одной открытке каждого вида; 2) какие-то виды можно вообще не покупать?

Показать ответ и решение

1) Предположим, что мы уже купили какие-то 10 открыток. В таких задачах хочется представить объекты в каком-то более удобном виде, например, разложить их в удобном для восприятия виде. Разложим их на столе так, чтобы сначала подряд шли открытки 1-го вида, потом подряд открытки 2-го вида, в конце — открытки третьего вида. Теперь мы видим 10 открыток, между которыми как бы стоят невидимые разделители. Их две штуки: до первого разделителя лежат открытки первого вида, между вторым и третьим — второго вида, от второго и до конца — третьего вида. Таким образом, мы свели задачу к задаче расставить два разделителя среди 10 открыток.

В данному пункте эти разделители (обычно их называют перегородками, а метод — шары и перегородки) не могут стоять в начале и в конце, а также рядом. Поэтому для первого разделителя есть $9$ возможных мест, а для второго — $8$ различных мест. Порядок постановки разделителей нам не важен, поэтому ответ $9⋅8:2= 36$ .
2) Заметим, что открыток какого-то вида может и не быть вовсе — в этом случае два разделителя стоят рядом. Значит, мы видим следующую модель: нужно выбрать два места для разделителей, а остальные места заполнят открытки, причем их вид уже однозначно определяется из расположения разделителей. Сколько объектов у нас всего? Для каждого из двух разделителей и 10 открыток есть место, значит, два места для разделителей мы выбираем из $10+ 2= 12$ мест. Сколько таких способов? 12 способов — выбрать место для первого разделителя, 11 — для второго, и поделить на 2, так как разделители у нас одинаковые. Тогда ответ: $12⋅11 --2-- =66$ .

Ответ: 1) 36, 2) 66

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34017

Для проведения олимпиады преподаватели разбивают $70$ школьников следующим образом: список в алфавитном порядке разбивается на $4$ части, первая идет в первую аудиторию, вторая — во вторую и т. д. При этом в каждую аудиторию отправляется хотя бы один школьник. Сколькими способами можно произвести распределение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем представить эту ситуацию вживую. Пусть мы выстроили всех школьников по алфавиту в ряд. Тогда преподаватель стоит и говорит, чтобы все, кто левее Иванова идут в 1 аудиторию. Потом тоже самое делает для 2 аудитории. В третью аудиторию отправляются те, кто левее Петрова, а остальные соответственно в 4 аудиторию. Теперь подумаем, что же глобально делает учитель, распределяя учеников? Сколько раз он говорит ученикам левее пойти в нужную аудиторию?

Подсказка 2

Конечно, он просто берёт и "ставит" перегородки между ними, три раза говоря куда им идти. Но сколько всего есть мест, куда он может "поставить" перегородку(дать команду)?

Подсказка 3

Верно, он может дать в 69 местах команды, чтобы люди левее пошли в нужную аудиторию. Это просто все места между школьниками. Тогда осталось только посчитать количество способов расставить по 69 местам 3 перегородки.

Показать ответ и решение

Построим школьников в линию, например, по росту и зафиксируем их порядок. Теперь рассмотрим линию из $70$ белых шариков также слева направо по порядку.

На три из $69$ позиций между этими шариками поставим столбики-перегородки. Пусть школьники, соответствующие белым шарикам до первой перегородки, пойдут в первую аудиторию. Школьники после первой перегородки и до второй пойдут во вторую аудиторию. Аналогично с третьей аудиторией, и наконец, школьники, белые шарики которых находятся правее последней (третьей) перегородки, направятся в четвёртую аудиторию.

В итоге получили вариант рассадки $70$ школьников по аудиториям. Каждой расстановке $3$ перегородок на $69$ мест между шариками соответствует одна из рассадок. Других нет. Поэтому всевозможные способы рассадки определяются количеством способов выбрать $3$ места из $69.$ Это количество равно

69⋅68⋅67 C369 =-3-⋅2-⋅1--= 52394

Ответ:

$52394$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#34018

Для проведения олимпиады преподаватели разбивают $70$ школьников следующим образом: список в алфавитном порядке разбивается на $4$ части, первая идет в первую аудиторию, вторая — во вторую и т. д. (некоторые аудитории могут остаться пустыми). Сколькими способами можно произвести рассадку?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Казалось бы, обычная задача на 70 школьников (шариков)и 3 перегородки. Но, заметим, что случаи, когда какая-то аудитория пуста, трудно учесть правильно. А как можно по-другому "отгородить" шарики друг от друга?

Подсказка 2

Можно попробовать сделать это другими шарами! Заметим, что пустые части при это очень легко учитывать. Сколько же шаров нам понадобится?

Подсказка 3

Вместо трёх перегородок закрасим 3 шара - они будут "ограничителями" областей. Значит, шаров теперь 73. Осталось лишь посчитать, сколько способов у нас есть покрасить 3 особенных шара)

Показать ответ и решение

Построим школьников в линию, например, по росту и зафиксируем их порядок. Теперь рассмотрим линию из $73$ белых шариков также слева направо по порядку.

Ровно 3 шарика закрасим красным цветом. Останется $70$ шариков, которые можно поставить в соответствие школьникам в их зафиксированном порядке. Пусть школьники, соответствующие белым шарикам до первого красного в линии, пойдут в первую аудиторию. Школьники, соответствующие белым шарикам после первого красного до следующего красного в линии, пойдут во вторую аудиторию. Аналогично с третьей, и наконец, школьники, белые шарики которых находятся в линии правее последнего (третьего) красного, направятся в четвёртую аудиторию.

Если красные шарики стоят рядом, то в соответствующую аудиторию ни один школьник не сядет. Если красные шарики стоят в начале, то первую аудиторию никто не займёт, если в конце — последнюю никто не займёт.

В итоге получили вариант рассадки $70$ школьников по аудиториям. Каждой раскраске $3$ шариков из $73$ в красный цвет соответствует одна из рассадок. Других нет. Поэтому всевозможные способы рассадки определяются количеством способов выбрать $3$ шарика из $73$ на покраску. Это количество равно

C373 = 73⋅72⋅71= 62196 3 ⋅2 ⋅1

Ответ:

$62196$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#34019

Маше захотелось поиграть с книжками, так как читать она пока не умеет. Маша встала перед полкой с 15 книжками и решила разбить книги на три группы подряд идущих. Сколько способов у Маши это сделать?

Показать ответ и решение

По методу шаров и перегородок в данной задаче нас есть 2 перегородки и 15 книжек (шариков), перегородки не могут стоять в начале, в конце и рядом друг с другом. Значит, мы выбираем 2 места для них из $15− 1= 14$ (все промежутки между книжками). Следовательно, ответ $14⋅13 2$ .

Ответ: 14 • 13/2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#34021

15 депутатов выбирают председателя из 3 достойных кандидатур. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый депутат голосует ровно за одну кандидатуру и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждую кандидатуру?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем воспринимать голоса как шары. Голоса разбиваются на 3 группы для каждого кандидата. Сколько нужно перегородок?

Подсказка 2

Конечно, нужно ровно 2 перегородки! Дальше остается просто применить метод шаров и перегородок!

Показать ответ и решение

Выстроим 15 шариков в ряд и будем ставить между ними две перегородки. Количество шариков до первой перегородки будет соответствовать количеству голосов за первую кандидатуру, между первой и второй перегородкой — за вторую кандидатуру, оставшиеся — за третью. Если перегородки стоят в одном промежутке, то за вторую кандидатуру никто не проголосовал — таких вариантов $1 C 16 =16.$ Если же две перегородки стоят в двух разных местах между шариками (по краям тоже могут быть, поэтому всего 16 позиций), то способов их поставить $2 C 16 =8⋅15= 120.$

Ответ: 136

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#34022

В довольно большом кошельке депутата лежит по $15$ купюр достоинством в $1,2,5$ тысяч рублей. Сколькими способами можно из этих $45$ купюр выбрать $15?$ Купюры одного достоинства одинаковые.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы выбираем какое-то количество купюр достоинством в 1, какое-то - в 2, а оставшиеся купюры - добираем до общего количества в 15 штук. То есть мы должны найти количество способов выбрать x, y, z так, чтобы x+y+z = 15 и каждая из переменных не превышала 15. Как можно такое условие перенести на язык шаров и перегородок?

Показать ответ и решение

Нам нужно выбрать $15$ купюр, пусть из них $x$ номиналом в $1000$ рублей, $y$ — номиналом в $2$ тысячи рублей, $z$ — номиналом в $5$ тысяч рублей. Нужно понять, сколько есть способов выбрать такие тройки $(x,y,z)$ , что $x +y +z = 15$ с учётом того, что у нас есть ограничения $x≤ 15,y ≤15,z ≤ 15.$

Такая задача эквивалентна тому, чтобы расставить $2$ перегородки между $15$ шариками, причем перегородки могут стоять в начале, в конце или на одной и той же позиции (так как каждого вида купюр может быть любое количество от $0$ до $15$ , а каждого номинала имеется в достаточном количестве, то есть ограничения на количества купюр каждого вида у нас нет). Количество элементов в каждой из получившихся трёх групп (возможно, пустых) это и будут значения $x,y,z.$

Имеем $2 C16$ способов поставить две перегородки на разные позиции и ещё $16$ способов поставить две перегородки в одно и то же место (это соответствует разбиению на сумму с нулём купюр одного из номиналов или даже двух, если все шары находятся по одну сторону от перегородок). Итого $16⋅15 --2--+ 16= 120+ 16= 136$ .

Ответ:

$136$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#34023

Сколькими способами можно представить $1010$ в виде произведения трёх натуральных чисел, если произведения, отличающиеся порядком множителей, считаются различными?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

10^10 = 2^10 * 5^10. Тогда каждый из трех множителей имеет вид 2^a * 5^b. А что теперь можно воспринимать шарами?

Подсказка 2

Нам нужно распределить 10 двоек и 10 пятерок на три группы. Тогда можно решить отдельно задачу шаров и перегородок для двоек и пятерок, а затем перемножить результаты. Тогда красные и синие шары - двойки и пятерки. Сколько нужно перегородок для синих шаров?

Подсказка 3

Конечно, 2 перегородки, так как их надо распределить на 3 группы! Остается просто применить метод шаров и перегородок. Аналогично для красных шаров!

Показать ответ и решение

Разложим число $1010$ на множители: $1010 = 210⋅510,$ значит, каждый множитель имеет вид: $2a⋅5b,$ где $0 ≤a,b≤ 10.$ Следовательно, нам нужно распределить $10$ двоек и $10$ пятерок на три множителя, то есть как будто распределить $10$ красных шаров и $10$ синих шаров на $3$ группы.

Распределить $10$ шаров на $3$ группы — это то же самое, что и расставить $2$ перегородки между $10$ шарами на $11$ мест, причём 2 перегородки могут стоять в одном месте (тогда одна из групп будет пустой). Это можно сделать $2 10⋅11 C11+11= 2 + 11= 66$ способами.

Тогда, так как красные и синие шары мы распределяем независимо друг от друга, получаем ответ $2 66 = 4356.$

Ответ:

$4356$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77816

Каким числом способов можно разложить 30 яблок в 3 корзинки так, чтобы в первой корзинке лежало меньше яблок, чем во второй, во второй меньше, чем в третьей, и пустых корзинок не было?

Источники: Бельчонок - 2022, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение

a+ b+ c= 30.

Расставим $30$ единиц в ряд, выберем два промежутка между единицами и поставим в них по чёрточке. Число единиц слева от первой чёрточки равно $a$ (число яблок в первой корзине), справа от второй равно $c$ (число яблок в третьей корзине). Число способов выбрать два промежутка равно $29⋅28-= 406. 2$

Надо вычесть из этого числа количество случаев, когда среди чисел $a,b,c$ есть равные.

Пусть $a= b$ . Тогда $2a+ c= 30$ , это уравнение имеет $14$ ненулевых решений ( $2a$ чётное и может изменяться от $2$ до $28$ ). Аналогично будет по $14$ случаев, когда $b= c$ или $a= c.$

Итак, $406− 3⋅14 =364$ . Случай $a= b= c$ посчитан один раз в общем числе способов и три раза вычтен, а надо его исключить всего один раз, поэтому требуется прибавить $2.$

Число $364+ 2= 366$ равно числу упорядоченных троек различных $a,b,c$ . Но нужен порядок $a< b< c$ , поэтому разделим на число перестановок трёх элементов: $366- 6 = 61.$

Ответ: 61

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80163

В кошельке лежит по $15$ купюр достоинством в $1,2,5$ тысяч рублей. Сколькими способами можно из этих $45$ монет выбрать $15?$ Купюры одного достоинства одинаковые.

Показать ответ и решение

Пусть мы как-то выбрали $15$ купюр. Выложим их в линию следующим образом: сначала все купюры достоинством в $1$ тысячу, потом в $2$ тысячи, затем — в $5$ тысяч. Заметим, что этому выбору можно однозначно сопоставить способ расставить две перегородки между $15$ шарами (если считать купюры шарами).

Следовательно, нужно посчитать количество расстановок двух перегородок между двумя шарами, если перегородки могут стоять перед первым шаром или после последнего и в одном месте могут быть две перегородки.

Если перегородки в разных местах, то количество способов равно $2 C16,$ в противном случае — $1 C16.$ Значит, итоговый ответ равен $2 1 C16+ C16 = 136.$

Ответ:

$C2 + C1 = 136 16 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67079

За круглым столом разместились $18$ человек. Сколькими способами можно выбрать из этих людей троих, чтобы между любыми двумя из выбранных людей находилось бы еще по меньшей мере два человека?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте зафиксируем 1 человека на первом месте и посмотрим, как зависит количество способов от посадки 2-го и 3-го людей. Понятно, что если место 1 занято, то людей на местах 2, 3, 17 и 18 уже не выбрать.

Подсказка 2

Да, если 2 человека возьмем с места 4, то, чтобы выбрать 3 человека, есть места с 7 по 16, т.е. 10 способов. Если же 2 человек с места 5, то способов - 9. Продолжая в том же духе, получим, что для сидящего на первом месте человека есть определенное количество способов (которое равно сумме чисел от 1 до 10).

Подсказка 3

Так как мест 18, то и способов выбрать 1 человека тоже 18, значит 55 будем умножать на 18. Остается только заметить, что для первого человека мы посчитали все возможные расположения 2 и 3 людей, значит, нужно взять в 3 раза меньше способов (столько возможностей выбрать первого человека).

Показать ответ и решение

Первое решение.

Первого человека в тройку возьмём любого из 18. Дальше нужно выбрать второго и третьего. Пусть между первым и вторым при подсчёте по часовой стрелке сидит $x$ человек, между вторым и третьим — $y,$ между третьим и первым — $z.$

По условию должно выполняться $x ≥2,y ≥ 2,z ≥ 2.$ При этом $x +y +z = 15$ (если 3 человека выбрано, то 15 не выбраны). Если уменьшить каждую из переменных на единицу, то получаем уже уравнение в натуральных числах $X + Y +Z = 12.$ По методу шаров и перегородок оно имеет $2 11⋅10- C11 = 2 =55$ решений.

Итак, для каждого из 18 способов выбора первого есть 55 способов однозначно определить оставшихся двух людей. Но по условию задачи нас спрашивали количество троек без различия, кто в этой тройке первый. Поэтому $18 ⋅55$ нужно поделить на $3$ , ведь каждую тройку мы посчитали по три раза, когда какой-то человек являлся в ней первым.

55⋅318-= 11⋅53⋅2⋅9= 330

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пронумеруем места за столом по часовой стрелке от $1$ до $18.$

Посчитаем, сколько троек мы можем создать, если один из людей сидит на первом месте.

В этом случае мы не сможем взять людей, сидящих на $2,3,17$ и $18$ местах. То есть следующего мы сможем выбрать только $13$ способами. Если следующим мы выбираем человека, сидящего на $4$ месте, то следующего можно выбрать с $7$ по $16$ место, то есть $10$ способами; если вторым выбираем человека на $5$ месте, то третьего можно выбрать $9$ способами и т.д.

В итоге, если один из выбранных людей сидит на первом месте, то существует $10+ 9+8 +...+ 2+ 1= 55$ способов подобного выбора.

Общее количество выбора троих людей указанным в условии способом равно:

55⋅18= 330 3

Отметим, что после умножения $55$ на общее число людей, необходимо разделить на $3,$ так как в каждой тройке можно начинать выбор с любого из трех людей.

Ответ:

$330$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42188

Гномы Глоин, Оин и Траин нашли $70$ одинаковых драгоценных камней и хотят разделить их между собой так, что каждый из них получит не менее $10$ камней. Сколькими способами гномы смогут это сделать?

Источники: Муницип - 2018, Красноярский край, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, давайте поймём, что если у каждого гнома есть 10 камней, то есть и 9. Выдадим каждому гному 9 камней(они одинаковы, так что можно в любом порядке). После этого у нас осталось 43 камня, сколькими способами их можно разделить между тремя гномами, чтобы каждому достался хотя бы один?(из этих 43)

Подсказка 2

Для этого вспомним идею шаров и перегородок! Выложим 43 камня в ряд, тогда нам надо поставить между ними 2 перегородки, причем так, чтобы в каждой части был хотя бы один камень. Сколько способов поставить две перегородки?

Подсказка 3

Верно, для перегородок у нас есть ровно 42 места! В таком случае, ответом на задачу будет число сочетаний из 42 по 2.

Показать ответ и решение

Выдадим каждому гному по $9$ камней, а оставшиеся $43$ камня выложим в ряд. Чтобы разделить оставшиеся камни между гномами, достаточно расположить на $42$ места между камнями два разделителя. Глоин получит камни левее первого разделителя, Оин – камни между двумя разделителями, а Траин – камни правее второго разделителя. Число способов расположить эти два разделителя равно $42⋅41 2 = 861.$

Ответ: 861

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45523

Игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести очков. Петя случайным образом бросает на стол три игральных кости одновременно и считает сумму числа очков, выпавших на всех костях. Каждое значение $s$ этой суммы, расположенное от $3$ до $18,$ может появится с определенной вероятностью. Найти $s,$ при котором эта вероятность максимально возможная.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, воспользуемся приемом дополнения. Вероятность получить сумму s у нас такая же, как получить какую вероятность?

Подсказка 2!

Правильно, 21 - s, так как если вместо числа s выпадет число 7 - s, сумма будет ровно нужная. То есть можно рассмотреть только значения от 3 до 10!

Подсказка 3!

Интуитивно кажется, что наибольшее количество троек x1,x2,x3 соответствует максимальному S (его больше возможностей разбить на слагаемые), попробуйте разобраться с этим и обосновать!

Показать ответ и решение

Заметим, что вероятность получить значение $s$ такая же, как и вероятность получить значение $21− s,$ ведь соответствующие исходы для $s$ и $21− s$ можно разделить соответственно на пары троек $(a1,a2,a3)< − >(7− a1,7− a2,7 − a3),$ где $ai$ — число, выпавшее на $i$ -ом кубике, и $a1+a2+ a3 = s.$ Поэтому рассмотрим значения $s$ в пределах от $3$ до $10,$ а для $21− s$ вероятность будет такая же.

Итак, нужно понять, какому $s$ соответствует большее число троек $(a1,a2,a3),$ таких что $a1+ a2+ a3 =s,ai ∈{1;2;3;4;5;6}.$

Поставим в ряд $s$ шаров, между ними будет $s− 1$ позиций, куда мы будем ставить перегородки (на одну и ту же позицию ставить перегородки не разрешается). Количество шаров между перегородками и будет соответстовать $a1,a2,a3.$

Количество способов поставить перегородки равно $s−1 (s− 1)(s−2) C2 = ---2----$ (возрастающая функция от $s$ ).

При $s= 9$ при подсчёте мы получим $3$ различные перестановок тройки $(1;1;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6$ . При $s= 10$ получим $3$ различные перестановки тройки $(1;1;8)$ и $3!= 6$ перестановок тройки $(1;2;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6.$

Итак, подходящих троек при $s≤ 8$ будет $(s−1)(s−2) ---2----≤ 7⋅26= 21.$ при $s= 9$ их $8⋅27− 3= 25,$ при $s=10$ их $9⋅82 − 3− 6= 27.$

Наибольшая вероятность $2673$ достигается при $s= 10$ и $s=21− 10= 11.$

Ответ:

$s= 10,s =11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78842

Из множества 1, 2, …, 10 выбираются равновероятно три числа (возможно одинаковых). Какова вероятность того, что сумма этих чисел равна 10?

Источники: Иннополис-2017, отборочный тур, 11 класс (см. olymp.innopolis.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала запишем условие в виде равенства, то есть у нас получится x+y+z=10 для каких-то чисел от 1 до 10. Давайте если не сталкивались с такой идеей, попробуем до неё дойти сами. Представим число 10 так, что как будто у нас есть 10 шаров. Что нам надо будет сделать тогда с ними, чтобы наше равенство было верным?

Подсказка 2

Верно, нужно как-то разделить шары на три кучки — это будет равносильно нашему равенству. Понятно, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар. Допустим, мы выложили шары в ряд и делим на кучки перегородками. Сколько тогда есть в принципе вариантов разбить на кучки?

Подсказка 3

Да, нам нужно из девяти мест, которые есть между шарами, выбрать два. И это будут как раз те варианты, когда наше равенство верно. Теперь осталось только посчитать общее число вариантов и найти вероятность. Победа!

Показать ответ и решение

Нужно найти, сколькими способами можно решить уравнение

x1+ x2+x3 =10

где $x1,x2,x3 ∈ 1,2 ...,10$

Выпишем в ряд десять единиц и поставим между ними две перегородки (в разные места). Тогда $x1$ это число единиц до левой перегородки, $x2$ — между левой и правой, $x3$ — после правой. Так как единиц всего $10$ , то $x1 +x2+ x3 = 10$ . Заметим, что мест для расположения перегородок всего $9$ , а нам нужно выбрать только $2$ . Поэтому число решений уравнения равно $C2 = 36. 9$ Всего есть $103$ способов выбрать $3$ числа из $10$ . Значит итоговая вероятность равна $-36-. 103$

Ответ: 0.036

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#67078

Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из 50 саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? Саквояжи одного цвета считаются идентичными.

Источники: Ломоносов-2015, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче фигурируют такие факты: цвета - четыре, в сумме объектов - пятьдесят. То есть задача сводится к уравнению вида a + b + c + d = 50, где a, b, c, d ≥ 0 и эти буковки обозначают количество саквояжей определенного цвета. При такой формулировке чаще всего вспоминают задачу о шарах и перегородках, которая является прообразом данной и хорошо иллюстрирует метод решения подобных задач. Как можно расположить "перегородки"? Сколько их надо и где их можно поставить?

Подсказка 2

Ну конечно, если цвета 4, то "перегородок" - 3. Объектов, которые мы будем набирать, 50 + 3 перегородки = 53, что означает, что нам нужно поставить 3 перегородки на 53 любых места - здесь поможет буква С :)

Подсказка 3

Возможно, у вас возник вопрос, а не упустили ли мы моменты, когда саквояжей какого-то определенного цвета просто нет? Нет, не упустили, ведь мы дали для перегородок именно 53 места, что означает, что сами перегородки можно ставить рядом - тогда это будет означать, что саквояжей какого-то цвета действительно ноль, на то a, b, c, d ≥ 0, а не просто >0.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть шары — это саквояжи. Перегородки между ними — разбиение $50$ саквояжей по цветам. Рассмотрим случаи:

В первом случае в покупку входят саквояжи всех четырех цветов. Тогда поставим между $50$ шарами $3$ перегородки: число шаров, лежащих слева от первой перегородки, равно числу саквояжей первого цвета; число шаров, лежащих между первой и второй — второму и т.д. Мест для перегородок $49,$ поэтому в этом случае получаем $3 C49$ способов.

Во втором случае в покупке присутствуют саквояжи трёх из четырех цветов. Выбрать их $3 C4 =4$ способа. Ставим $2$ перегородки на $49$ мест — $2 C49$ способов. Итого в этом случае получаем $2 C49 ⋅4$ способов.

В третьем случае в покупку входят саквояжи двух цветов. Есть $2 C4 = 6$ их выбрать. Затем ставим одну перегородку между $50$ шарами: $1 C49$ способов. Итого в этом случае получаем $49⋅6.$

В четвертом случае в покупку входят саквояжи только одного цвета. Есть $4$ способа его выбрать

Суммируя способы во всех случаях, получаем $C349+ C249⋅4+ 49⋅6 +4 =23426$

Второе решение.

Старуха Шапокляк может взять школьную тетрадку в клетку и отметить там ряд из $53$ клеток. Затем в произвольных $3$ разных клетках этого ряда она ставит крестики. Передав этот листок продавцу, она ставит условие: число клеток, лежащее слева от первого крестика, равно числу саквояжей первого цвета; число клеток, лежащих между первым и вторым крестиком, равно числу саквояжей второго цвета, число клеток, лежащее правее третьего крестика, равно числу саквояжей $4$ -ого цвета. При этом, если левее первого крестика, между какими-либо двумя крестиками, или правее $4$ -го крестика нет клеток, значит, в покупке не будет саквояжей соответствующего цвета.

Тем самым число вариантов покупки равно числу способов расстановки $3$ крестика на $53$ различных позициях, то есть равно $C353 = 5503!!⋅3! = 53⋅522⋅⋅351= 23426.$

Ответ:

$23426$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#70305

Три пирата Джо, Билл и Том нашли клад, содержащий 80 одинаковых золотых монет, и хотят разделить их так, чтобы каждому из них досталось не менее 15 монет. Сколько существует способов это сделать?

Источники: ПВГ-2014, отборочный тур, 11 класс

Показать ответ и решение

Выдадим каждому пирату по $14$ монет, а оставшиеся $38$ монет выложим в ряд. Чтобы разделить оставшиеся монеты между пиратами, достаточно расположить на $37$ местах между монетами две перегородки. Тем самым, Джо получит монеты левее первой перегородки, Билл монеты между двумя перегородками, а Том - монеты правее второй перегородки. Число способов расположить эти перегородки: $2 37⋅36 C37 = 2$ .

Ответ: 666

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#70306

Сколько существует 23-значных чисел, сумма цифр которых равна восьми?

Источники: Физтех - 2014, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Частая ошибка в такой задаче — забыть, что первая цифра не может равняться нулю! Давайте это не забудем и сразу поставим на первое место цифру, которая не равна нулю. Тогда на оставшихся 22 местах надо расположить 7 единичек, как это можно сделать?

Подсказка 2

Да, простым числом сочетаний из 22 по 7 сделать не получится, так как мы используем не только единички. Вспомните метод, который часто помогает в таких задачах!

Подсказка 3

Верно, это метод шаров и перегородок! То есть, расположим в ряд 22 места и 7 единичек, то есть, всего есть 29 мест, куда можно поставить единичку! А нам нужно выбрать 7 мест.

Показать ответ и решение

Распределим между $23$ разрядами $7$ “единичек”, так как на первом разряде точно стоит хотя бы одна “единичка”. Ставим $22$ перегородки между $7$ шарами. Так как порядок выбора мест не важен, число способов: $29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23- 7!$

Ответ:

$29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23 7!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#70307

У Игоря Горшкова есть все семь книг про Гарри Поттера. Сколькими способами Игорь может расставить эти семь томов на три различные книжные полки так, чтобы на каждой полке стояла хотя бы одна книга? (Расстановки, которые отличаются порядком книг на полке, считаются различными.)

Источники: ПВГ - 2014, 9 класс

Показать ответ и решение

Расставим книги в ряд $7!$ способами, так как все они различны. Чтобы распределить книги по трем полкам, поставим две перегородки между 7 шарами. Кол-во способов расставить перегородки: $6⋅5 2$ , итого $6⋅5 2 ⋅7!$

Ответ: 75600

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80164

В классе $12$ учеников. Их нужно разбить на две группы (первую и вторую), состоящие из чётного числа учеников. Сколькими способами это можно сделать?

Показать ответ и решение

Если в первой группе $2x$ человек, $x∈ [1;5],$ то количество способов разбиения учеников в этом случае равно $C2x 12$ (выбрали $2x$ человек в одну группу, остальных — во вторую). Значит, чтобы получить ответ, нужно просуммировать полученную цешку при $2 4 6 8 10 2 4 6 x ∈[1;5]:C12+C 12+ C12+ C12 +C12 = 2(C12 +C12)+C 12 =2046.$

Ответ:

$C2 + C4 +C6 +C8 + C10= 2046 12 12 12 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#39645

$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?

Источники: Физтех-2011, отборочный тур, 9 (см. fizteh2013.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем перевести задачу на язык шаров и перегородок. В конце концов в протоколе у нас будет пять значений – количество голосов за каждого кандидата. И нам нужно найти количество таких протоколов. Хм... Какое тогда уравнение можно составить, чтобы в дальнейшем применить идею шаров и перегородок?

Подсказка 2

Верно, если за 1, 2, 3, 4 и 5 кандидата проголосуют соответственно a, b, c, d и e депутатов, то их сумма будет равна 19. И того, учитывая ограничения на количество голосов(проголосовавших депутатов) нам нужно найти количество таких пятёрок. Тогда с точки зрения шаров и перегородок, что нам нужно сделать?

Подсказка 3

Да, нам нужно расставить 4 перегородки в какое-то количество мест. Поймём теперь в какое. Надо не забыть, что перегородки могут стоять в начале и в конце(когда за кандидата никто не проголосовал, например) и рядом между собой(тогда за кандидата между ними 0 голосов). Итого у нас получается всего элементов 23 – это 20 мест для одной перегородки между шарами и по краям, но у нас ещё есть 3 перегородки, которые могут стоять рядом с нашими позициями, то есть ещё дополнительных 3 места.

Показать ответ и решение

Количество различных протоколов соответствует количеству различных упорядоченных пятёрок $(x ,x ,x ,x,x ) 1 2 3 4 5$ , таких что $x1+ x2+ x3+x4+ x5 = 19$ с учётом того, что у нас есть ограничения $x1 ≤ 19,x2 ≤ 19,x3 ≤ 19,x4 ≤19,x5 ≤19.$

Такая задача эквивалентна тому, чтобы расставить $4$ перегородки между $19$ шариками, причем перегородки могут стоять в начале, в конце или на одной и той же позиции (так как голосов каждого вида может быть любое количество от $0$ до $19$ , то есть ограничения на количество голосов, кроме уравнения - связки, у нас нет). Количество элементов в каждой из получившихся пяти группах между перегородками (возможно, каких-то пустых) это и будут значения $x1,x2,x3,x4,x5.$