Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Подсказка 1

У нас одно уравнение и две неизвестных. Сначала попробуем преобразовать его в более удобный вид. Самое простое, что можно сделать — это попробовать выделить полные квадраты.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы имеем, что сумма квадратов равна нулю. А когда такое в принципе возможно?

Подсказка 3

Верно! Когда обе скобки под квадратами равны нулю. Осталось лишь решить несложную систему.

Подсказка 1

Раскроем скобки и попробуем сгруппировать слагаемые. Что можно заметить?

Подсказка 2

Посмотрим внимательно на такое выражение: x² + 2xy + y² + x² - 6x + 9 = 0. Какое действие хочется сделать?

Подсказка 3

Выделим полные квадраты! Сумма каких квадратов останется?

Подсказка 4

Получится (x + y)² + (x - 3)² = 0. А когда сумма двух квадратов может равняться нулю?

Подсказка 5

Получается, что каждое слагаемое равно 0. А значит, что x = 3 и y = -3.

Подсказка 1

Хочется разбить радикалы по парам. Как связаны подкоренные выражения в одной паре?

Подсказка 2

Они отличаются на x^2-2023x+1023130. Тогда хочется написать какую-то оценку...

Подсказка 3

Если это выражение больше 0, то левая часть больше правой, если же это выражение меньше 0, то левая часть меньше (при условии существования обеих частей). Когда тогда может достигаться равенство?

Подсказка 4

Только если x^2-2023x+1023130=0. Отсюда находим x, и не забываем проверить, что выражения существуют!

Подсказка 1

Мы видим, что здесь есть каждый из квадратов(х и у) и попарное произведение. Плюсом к этому есть часть (y+2)^2 - 4y+4. На какие мысли это может натолкнуть?

Подсказка 2

Да, это может натолкнуть на такую группировку (x-3y)^2+(y+2)^2=0. Так, то есть у нас два слагаемых, которые квадраты, и при этом их сумма равна 0. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 1

Относительно замен y,z,t - уравнение равноправно. Вот справа у нас 4 слагаемых второй степени, а слева - 3 слагаемых, условно, «второй степени» (то есть ху,xz,xt ). При этом, если мы увеличиваем х, то чаще всего увеличивается сильнее х^2, аналогично с у,z,t. Все это наталкивает нас на мысли о том, что левая часть как будто всегда больше или равна правой. Но если мы пытаемся решить задачу так, как это доказать?

Подсказка 2

Можно доказывать это просто используя какие-то неравенства и оценки. Однако в силу того, что здесь степени не больше 2, можно рассматривать это как квадратное уравнение относительно какой-нибудь переменной, ведь если то, что наш квадратный трехчлен всегда больше или равен 0, то его дискриминант всегда меньше или равен 0, и наоборот. Таким образом, можно доказать, что дискриминант нашего уравнения относительно какой-то переменной неположителен. Вот только относительно какой переменной? Мы, в теории, хотим, чтобы наш дискриминант получился симметричным, относительно переменных, которые в нём есть (с таким удобно работать). Значит, нужно решать относительно х

Подсказка 3

Дискриминант получится равным 2(yz+zt+ty-t^2-z^2-y^2)-(t^2+z^2+y^2). Ого, но ведь первая скобка - это достаточно популярная конструкция, такое выражение всегда отрицательно. Хмм… Вот только мы забыли, почему это так. А может быть, разложить как-то на сумму квадратов?

Подсказка 4

Действительно, это просто (y-t)^2+(z-t)^2+(z-y)^2 ≤ 0. При этом второе слагаемое в дискриминанте тоже неположительно, так как это сумма квадратов. Значит, весь дискриминант неположителен. Ура! Значит, остаётся понять, когда достигается равенство, и записать ответ!

Подсказка 1

Раскрывать два модуля? Ну, уж нет! Давайте решим красиво! Слева у нас x^2+1 есть, а справа – 2|x| – ни на что такие слагаемые не намекают вам?

Подсказка 2

Выделяем полный квадрат (напомню, x^2 = |x|^2 – квадрат и так убивает знак, так что модуль тут ничего не решает) и получаем уже стандартную напрашивающуюся оценку, тут же выдающую нам ответ!

Подсказка 1

В нашем уравнение есть слагаемые a²x² и 2ax(√2-1). Не намекают ли нам на то, что нужно собрать полный квадрат?

Подсказка

Как все удачно получилось: наше уравнение преобразовывается к (ax+√2-1)²+√(x-2)=0. Каждое слагаемое слева неотрицательно, но при этом в сумме дают 0. Когда такое бывает?

Подсказка 3

Верно, когда оба слагаемых равны нулю! Значит, нужно решить систему из двух уравнений: ax+√2-1=0 и x-2=0. Решите ее и найдите параметр a!

Подсказка 1

С первого взгляда очень страшное выражение: множество корней и модулей, — не совсем понятно, что с ними делать. Но как только видим справа ноль, сразу становится легче. Какое самое важное ограничение есть у корней, которое необходимо вспомнить?

Подсказка 2

Верно, все они неотрицательные! То есть задумаемся. Если хотя бы один из них не ноль, то тогда всё выражение точно больше нуля, и равенства не будет. Как теперь это можно переписать с точки зрения алгебры?

Подсказка 3

Да, можно записать как систему, что все три корня равны нулю. Теперь внимательно посмотрим на получившиеся уравнения. Первое из них содержит только одну переменную. Значит, его легко решим. В остальных уравнениях видим похожую идею, как в изначальном уравнении. Когда у нас произведение чисел равно нулю? Как можно это переписать?

Подсказка 4

Верно, это уже будет совокупность, что какое-то из них равно нулю. Далее применяя эти две идеи, можем решить и третье уравнение исходной системы. Осталось только верно записать решение и победа!

Подсказка 1

Присмотритесь к этому уравнению, тут есть произведение двух скобок. При этом, когда мы не знаем, как нормально решать уравнение(а мы не знаем - тут вообще уравнение относительно двух переменных и какая-то жуть), мы начинаем оценивать или заменять. Замена как будто не подходит, потому что две переменные(опять получим уравнение с двумя переменными, ну может чуть лучше выглядящее), а вот оценка очень даже просится.

Подсказка 2

Конечно, мы хотим оценить каждый из трехчленов константой снизу и получить константу в оценке. Главное чтобы сошлось! Но тут как ни странно сходится и мы получаем, что левая часть всегда больше или равна правой. Что это значит для нас и какие тогда корни уравнения?

Подсказка 1

Когда мы видим одинаковые вещи, то всегда полезно обозначить их как-то, так и писать меньше, вычисления проще и воспринимать приятнее.

Подсказка 2

Сразу видно некоторые корни уравнения, а может быть мы все их заметили? Как бы можно было бы доказать, что других корней нет?

Подсказка 3

Один из хороших и быстрых способов это показать, что одна из частей всегда больше или меньше другой, когда они не равны. Для удобства можно доказать, что каждое отдельное слагаемое левой или правой части всегда больше или меньше соответствующего слагаемого в другой части уравнения, а затем сложить все неравенства и получить необходимое, помните, что неравенства можно складывать всегда, когда у них знак смотрит в одну и ту же сторону!

Подсказка 4

Попробуйте доказать этот факт для 0 < t^2 < 1 и t^2 > 1, ведь при t^2 = 0 или t^2 = 1 получается тождество.

Подсказка 1

Коль скоро мы хотим доказать, что наше уравнение не имеет отрицательных корней (а мы хотим доказать именно это, потому что если они есть, как их предъявлять? Теорема о промежуточном значении не помогает). Как мы это можем доказывать? Либо мы хотим исследовать график функции и возиться с производными… А может быть лучше как-то преобразовать выражение, чтобы слева было что-то отрицательное, а справа что-то положительное или равное 0? Ведь если корней нет, то мы всегда можем так сделать(как минимум для многочлена!)

Подсказка 2

Один из способов - это (x^2 - 3)^2 = 4x^3 + 3x = x(4x^2 + 3). Что можно сказать про каждую из сторон равенства? Верно, левая часть больше или равна нуля, а вот правая наоборот строго меньше 0, потому как x<0, при этом, (4x^2 + 3) строго больше 0.

Подсказка 3

Значит, такое уравнение не имеет решений при х<0. Победа!

Подсказка 1

Ключом к решению этой задачи является правильно написанное ОДЗ! Поэтому для начала найдем ОДЗ нашего уравнения!

Подсказка 2

Верно, 0 ≤ x ≤ 1! А что можно сказать про (√x)²⁰¹⁶ и (√(x-1))²⁰¹⁶? Может мы их можем как-то оценить, учитывая наше ОДЗ?

Подсказка 3

Да, если есть число, которое меньше единицы, но больше нуля, то при возведении в степень это число будет уменьшатся! То есть, мы имеем: x¹⁰⁰⁸ < x и (1-x)¹⁰⁰⁸ < 1 — x! Таким образом, если x ≠ 0 и x ≠ 1, то решений нет! Осталось проверить случаи x = 1 и x = 0.

Подсказка 1

Уравнение на первый взгляд выглядит страшно, обычные действия из неравенств с модулями делать не хочется. Ещё и вопрос такой неприятный: решить при каждом значении a. Не раскрывать же модули! В общем, нужно подумать про какие-то нестандартные методы. Среди таких есть метод оценки, который часто используется в уравнениях с модулями, так как есть неравенства |a| + |b| >= |a + b| и |a| >= a.

Подсказка 2

Попробуем найти оценку. Заметим, что если сложить все подмодульные выражения слева, то получится 4030x. А это как раз то, что стоит справа! Мы же знаем, что сумма модулей не меньше, чем сумма подмодульных выражений, то есть уже получили некоторую оценку. Но ещё ведь есть лишние слагаемые без модулей, может, и их можно оценить?

Подсказка 3

Большое количество квадратов намекает на мысль, что здесь можно поискать квадраты суммы или разности. И они есть! Убедитесь, что слагаемые без модулей слева можно записать как 2(a - 2015)^2 + 2(x - 2015)^2. Теперь дело за малым. Слева выражение не меньше, чем справа, но нам нужно равенство. Тогда во всех неравенствах должно достигаться равенство, то есть квадраты должны быть равны нулю и сумма модулей должна быть равна сумме подмодульных выражений.

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.