17.08 Дополнительные построения в трапеции и параллелограмме

Продлим боковые стороны и трапеции до пересечения в точке . Тогда Следовательно, — равнобедренный и .

Так как соответственные углы (при и секущей ), то . Следовательно, — равнобедренный и .

Тогда Ч.т.д.

Пусть — трапеция с основаниями и . Проведём через точку прямую , параллельную прямой . Получим параллелограмм , а значит

Заметим, что в треугольнике угол равен

Отсюда — равнобедренный и .

Пусть — трапеция с основаниями и . Тогда по условию . Если точка — середина , то и — параллелограмм, так как отрезок равен и параллелен отрезку . По свойству параллелограмма получаем .

Тогда с учетом условия получаем . Таким образом, — прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена. Что и требовалось доказать.

Отметим на такую точку что тогда — параллелограмм и По условию По свойству параллелограмма а значит откуда с учетом равнобедренности отрезок — серединный перпендикуляр к Из этого следует, что — равнобедренный, тогда Далее имеем:

Тогда — равнобедренный и Таким образом,

Пусть и — середины и соответственно. Пересечём прямые и в точке . Так как , , , то , откуда . Тогда — равнобедренный, причём , из чего следует, что . Аналогично находим , значит, тупой угол параллелограмма равен , а острый — .

Из условия следует, что равнобедренный, следовательно, Также как накрест лежащие при и секущей

Проведем Тогда Следовательно, в отрезок — высота и биссектриса, значит, этот треугольник равнобедренный и

Также по определению четырехугольник — параллелограмм, следовательно, Тогда

Продлим до пересечения с лучом в точке . Тогда (, как накрест лежащие при и секущей , как вертикальные). Отсюда , . Заметим, что тогда . Так как , то в отрезок — медиана и высота, следовательно, этот треугольник равнобедренный. Тогда .

Предположим, что . Тогда как соответственные при этих параллельных прямых и секущей . Также как соотвественные при этих параллельных прямых и секущей , а как накрест лежащие при и секущей .

Тогда получаем, что , откуда . С другой стороны, — средняя линия в , откуда .

Следовательно, , то есть параллельные стороны четырехугольника равны. Значит, — параллелограмм, а не трапеция. Получили противоречие.

Достроим трапецию до параллелограмма: провередем через прямую, параллельную , — точка ее пересечения с прямой . — параллелограмм, следовательно, , .

Найдем косинус угла по теореме косинусов для треугольника :

Учитывая, что синус угла, меньшего 180, всегда неотрицателен, получаем

Тогда площадь трапеции можно записать следующим образом

Сделаем дополнительное постороение. Проведем через прямую, параллельную , — точка ее пересечения с прямой . Получаем и , следовательно, — параллелограмм. Тогда , .

Рассмотрим теперь треугольник , длины его сторон образует пифагорову тройку , следовательно, он прямоугольный с прямым углом . Пусть высота из на . Тогда можем записать площадь прямоугольного треугольника двумя способами

SBED = DB ⋅ DE = BE ⋅ HD ⇒ HD = = 7,2

Тогда площадь трапеции

SABCD = (BC + AD) ⋅ HD = 54

Пусть — точка пересечения биссектрис на основании трапеции. Точка лежит на двух биссектрисах, следовательно, она равноудалена от прямых , и . Опустим из перпендикуляры на и на . Тогда , причем (т.к. — биссектриса прямого угла, следовательно — прямоугольный равнобедренный.

Получили . Из прямоугольного треугольника с углом , равным , получаем

Тогда искомое основание

Пусть — высота трапеции с диагоналями и .

Проведем через вершину прямую, параллельную . Пусть она пересекает прямую в точке . Заметим, что — параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны (, ). Тогда и . Теперь рассмотрим треугольник . Его сторона равна сумме отрезков и , то есть , где — длина средней линии трапеции, которая равна полусумме оснований. По условию .

Заметим, что в треугольнике

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.

Проведем в треугольнике высоту . Заметим, что также будет являтся высотой трапеции , то есть . Но так как — высота прямоугольного треугольника , то

Продлим луч до пересечения с прямой в точке .

Рассмотрим треугольники и . В них как вертикальные, как накрест лежашие, образованные параллельными прямыми и и секущей , по условию. Значит, по второму признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, и .

Рассмотрим треугольник . В нем отрезок является высотой и медианой, значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

В трапеции имеем так как сторона — общая. Тогда имеем:

Для прямых и секущей получаем

Так как по условию равнобедренный, то

Следовательно, в равнобедренной трапеции угол при основании равен

Заметим, что рисунок именно такой, поскольку если то в сумма углов превысит

Проведем тогда четырехугольник — параллелограмм и Углы как соответственные при и секущей

Тогда в две стороны и равны и один из углов равен Следовательно, этот треугольник правильный, то есть

Тогда искомое оcнование трапеции равно

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке

Проведем тогда Значит,

Следовательно, Отсюда имеем:

Так как — параллелограмм, то Тогда

Замечание. В качестве самостоятельного упражнения предлагаем читателю подумать, почему точка не может принадлежать меньшему основанию.

Пусть в трапеции боковая сторона точка — середина стороны и

Проведем Кроме того, так как — трапеция. Тогда — параллелограмм по определению. Отсюда по свойству параллелограмма имеем:

Далее, прямая и проходит через середину отрезка Тогда по теореме Фалеса точка — середина отрезка и — средняя линия в треугольнике Следовательно, искомый отрезок равен

Пусть в трапеции — биссектриса пересекающая в ее середине — точке а продолжение стороны — в точке Тогда как накрест лежащие при и секущей Следовательно, — равнобедренный и

Далее имеем так как Следовательно, и

Заметим, что если и то Следовательно, ответ

Опустим из точки высоту на основание . Рассмотрим случаи, где может лежать точка .

Случай 1. Точка лежит на продолжении прямой за точку .

Заметим, что так как , то основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , лежит на луче . Тогда точка не может лежать на продолжении прямой за точку .

Случай 2. Точка лежит на отрезке .

Тогда треугольник прямоугольный, так как . По условию , так как — высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то есть катет лежит напротив угла .

Продим боковые стороны трапеции и до пересечения. Пусть они пересекаются в точке . Тогда в треугольнике имеем равенства

Значит, по сумме углов треугольника

Пусть — середина , — середина . Тогда точки , и лежат на одной прямой, то есть . Заметим, что — медиана прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, значит, . Аналогично — медиана прямоугольного треугольника , значит, . Следовательно,

Впомним, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то есть в трапеции длина этого отрезка равна по условию. Значит,

Случай 3. Точка лежит на продолжении прямой за точку .

Таким образом, треугольник является прямоугольным, так как . По условию , так как — высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то есть катет лежит напротив угла . Тогда угол трапеции равен

Продим боковые стороны трапеции и до пересечения. Пусть они пересекаются в точке . Тогда в треугольнике имеем равенства

Значит, по сумме углов треугольника

Таким образом, треугольник — равнобедренный, то есть .

Пусть — середина , — середина . Тогда точки , и лежат на одной прямой, то есть . Заметим, что — медиана треугольника , значит, .

Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему косинусов:

Аналогично — медиана треугольника , значит, . Следовательно,

а) Продлим прямую до пересечения с в точке . Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, так как как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей , как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей .

Тогда

Рассмотрим угол . Прямые и высекают на нем отрезки , , и такие, что

Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые и параллельны.

б) Продлим прямую до пересечения с в точке . Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, так как как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей , как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей .

Тогда

Рассмотрим угол . Прямые и высекают на нем отрезки , , и такие, что

Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые и параллельны.

Пусть — трапеция с основаниями и и , а биссектрисы углов и пересекаются в точке . Так как биссектриса отсекает от трапеции равнобедренный треугольник с прямым углом , то и .

Далее посчитаем углы:

Проведём высоту из вершины , она равна , а значит

Так как биссектриса отсекает от трапеции равнобедренный треугольник , то имеем: