Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Параметры на ПВГ

01. Вспоминай формулы
по каждой теме

02. Решай новые задачи
каждый день

03. Вдумчиво разбирай
решения

04. Готовиться с платформой
«Школково» — ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119860Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные $a,$ при каждом из которых неравенство

x y a√xy a y +x + x+ y ≥ 2 +2

выполняется при всех положительных $x$ и $y.$

Источники: ПВГ - 2025, 11.5(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Две переменные — это слишком сложно. Возможно получится оставить только одну? Выражения x/y + y/x и √(xy)/(x+y) ведь так друг на друга похожи.

Подсказка 2

Итак, скорее всего вы свели неравенство к виду t² + a/t ≥ a/2 + 4, где t ≥ 2. Функция слева непростая, поэтому придется исследовать её с помощью производной.

Подсказка 3

В задаче требуется выполнение при всех x, y. Это значит, что минимум функции на [2; +∞) должен быть не меньше числа из правой части.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85555Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

x 2 |2[tga]− 1| =[tga]+ 2

имеет рациональное решение $x$ . Здесь, $[t]$ - целая часть числа $t$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.6 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти все а, нужно сначала найти все возможные значения [tgа]. А чтобы целая часть тангенса не смущала, можно просто заменить её на некоторое целое число b.
Модуль наталкивает на рассмотрение нескольких случаев. Каких?

Подсказка 2

Если b = 0, b > 0 и b < 0. Первый совсем простой. Рассмотрим, когда b > 0, то есть b — натуральное. Попробуйте оценить правую часть выражения. Может ли х быть отрицательный?

Подсказка 3

Чтобы ответить на вопрос предыдущей подсказки, Вам поможет неравенство (b - 1)² ≥ 0.
Тогда можно сделать вывод, что х положительный. Значит, что можно сказать о простых делителях 2b - 1 и b² + 2?

Подсказка 4

Эти выражения имеют одни и те же простые делители! Тогда если p — некоторый общий простой делитель, то пусть b² + 2 = pN, а 2b - 1 = pM. Избавившись от b в левых частях уравнений полученной системы, получите уравнение в целых числах(*) и сделайте вывод, чему может быть равно p.

Подсказка 5

р = 3. Поэтому можно записать b² + 2 как 3^n, а 2b - 1 как 3^m, тогда, используя это, (*) уже совсем несложно решается.

Подсказка 6

Случай b < 0, решается аналогично, если сделать замену c = -b.
Останется лишь решить [tgа] = b для всех найденных значений b.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Решение:

Положим $b= [tga]$ . Тогда уравнение принимает вид $(|2b− 1|)x =b2+ 2,b∈ ℤ$ . Нужно найти все целочисленные значения $b$ , при которых существует рациональное решение $x$ .

При $b= 0$ решений нет. Рассмотрим вначале случай $b> 0$ , т.е. $b∈ℕ$ . Тогда поскольку при любом натуральном $b$

2 b + 2> 2b− 1 ≥1,

то можем считать, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Значит, числа $b2+ 2$ и $2b − 1$ имеют одни и те же простые делители.

Пусть $p$ - общий простой делитель этих чисел, тогда

{ b2+ 2= pN, 2b− 1= pM,

где $N$ и $M$ - натуральные. Исключая $b$ из левых частей уравнений этой системы, получаем

9= 4(b2 +2)− (2b− 1)(2b+1)= (4N − (2b+ 1)M )p.

Значит $(4N − (2b+1)M )$ - натуральное, а $p$ -делитель 9 , т.е. $p= 3$ . Поэтому

{ b2+ 2= pm, 2b− 1= pk,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(b2+ 2)− (2b− 1)(2b+ 1)= 4⋅3m − 3k+2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k− 2 ,

a $4⋅3m−k− 3k− 2$ не делится на 3 , то $k =2$ и $m = 3,b= 5,x= 32$ .

Для отрицательных $b$ решение проводится почти аналогично. Положим $c= −b$ . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

(2c+ 1)x =c2+ 2, c∈ ℕ.

Случай $c=1$ очевиден, поскольку решение $x= 1$ . Пусть $c∈ℕ,c≥ 2$ . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Опять предположив, что $p$ - общий простой делитель этих чисел, получим

{ c2+ 2= pN, 2c+ 1= pM,

и также сделаем вывод, что $p= 3$ . Поэтому

{ c2+ 2= 3m, 2c+ 1= 3k,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(c2+ 2)− (2c− 1)(2c+ 1)= 4⋅3m − 3k− 2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k+ 2 ,

а $4⋅3m−k− 3k+ 2$ не делится на 3 , то $k= 2$ и $4⋅3m−2− 32+2 =1$ или $4⋅3m−2 = 8$ , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: $[tga]= −1$ и $[tga]=5$ , решив которые приходим к ответу.

Ответ:

$a ∈[−π∕4+πn;πn)∪[arctg5+ πn;arctg6+ πn),n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#134573Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $α,$ при каждом из которых уравнение

x 2 |2[tgα]− 1| =[tgα]+ 2

имеет рациональное решение $x.$ Здесь $[t]$ — целая часть числа $t.$

Источники: ПВГ - 2024, 10.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будет удобно ввести замену b = [tgα].

Подсказка 2

Рассмотрите решения полученного после замены уравнений при b = 0 и при натуральном b. Сделайте выводы о представлении числа x дробью.

Подсказка 3

Попробуйте подставить отрицательный x и натуральное b. Обратите внимание, как себя ведут левая и правая части в связи с монотонностью при натуральном b.

Подсказка 4

Заметьте, что выполняется неравенство b² + 2 > 2b - 1 ≥ 1

Подсказка 5

Можем считать, что x = d/q, где d и q — натуральные числа, откуда b² + 2 и 2b - 1 имеют общие делители. Введите систему, в которой представьте b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения некоторых чисел.

Подсказка 6

Попробуйте получить какие-то замечания относительно представления чисел b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения. Для этого исключите b из левой части.

Подсказка 7

Домножьте выражение с b² + 2 на 4, а выражение с 2b - 1 — на 2b + 1. Потом вычтите второе из первого. Проанализуруйте полученное выражение, основываясь на делимости.

Подсказка 8

И b² + 2, и 2b - 1 представимы в виде степени некого простого числа.

Подсказка 9

Пусть p — общий простой делитель b² + 2 и 2b - 1. Найдите его точное значение и сделайте выводы о представлении b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения.

Подсказка 10

Найдите точные значения b² + 2 и 2b - 1, пользуясь свойствами делимости. Проделайте аналогичные рассуждения для b < 0.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Решение:

Положим $b= [tgα]$ . Тогда уравнение принимает вид

x 2 (|2b − 1|) = b + 2, b∈ℤ

Нужно найти все целочисленные значения $b,$ при которых существует рациональное решение $x.$

При $b= 0$ решений нет. Рассмотрим вначале натуральные $b.$ Тогда поскольку при любом натуральном $b$

2 b + 2> 2b− 1 ≥1,

то можем считать, что в представлении $x= dq$ числа $d$ и $q$ натуральные. Значит, числа $b2+2$ и $2b− 1$ имеют одни и те же простые делители.

Пусть $p$ — общий простой делитель этих чисел, тогда

{ b2+ 2= pN 2b− 1= pM

для натуральных $N$ и $M.$ Исключая $b$ из левых частей уравнений этой системы, получаем

9= 4(b2+2)− (2b− 1)(2b+ 1) =(4N − (2b+1)M)p

Значит, $(4N − (2b+ 1)M )$ — натуральное, а $p$ — делитель $9,$ т.е. $p= 3.$ Поэтому

{ b2 +2= pm 2b− 1= pk

для натуральных $m$ и $k,$ где $m > k.$ Так как

( ) 9= 4 b2+2 − (2b− 1)(2b+ 1) =

( ) ( ) = 4⋅3m − 3k+ 2 ⋅3k = 3k 4 ⋅3m −k− 3k − 2 ,

а $4⋅3m−k− 3k− 2$ не делится на $3,$ то $k= 2$ и $m = 3,b=5,x= 32.$ Для отрицательных $b$ решение проводится почти аналогично. Положим $c= −b.$ Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

(2c+ 1)x = c2+ 2, c∈ ℕ

Случай $c=1$ понятен, поскольку решение $x= 1.$ Пусть теперь $c$ натуральное и больше $1.$ Аналогично предыдущему показывается, что в представлении $d x= q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Опять предположив, что $p$ — общий простой делитель этих чисел, получим

{ c2+ 2= pN 2c+ 1= pM

и также сделаем вывод, что $p= 3.$ Поэтому

{ 2 m c +2= 3 2c+1= 3k

для натуральных $m$ и $k,$ где $m > k.$ Так как

m−k k 4⋅3 − 3 + 2

не делится на $3,$ а

(2 ) m ( k ) k k( m−k k ) 9= 4c + 2 − (2c− 1)(2c+ 1)= 4⋅3 − 3 − 2 ⋅3 =3 4⋅3 − 3 + 2 ,

то $k= 2$ и $4⋅3m −2− 32+ 2= 1$ или $4⋅3m −2 = 8,$ но последнее уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому все решения описываются уравнениями: $[tga]= −1$ и $[tga]= 5,$ решив которые приходим к ответу.

Ответ:

$a ∈[− π + πn;πn) ∪[arctg5+ πn;arctg6+πn),n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67953Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ,x ,x 1 2 3$ являются корнями уравнения $x3 +6x2+ 7x +1 =0.$ При каких значениях $a,b,c$ корнями уравнения $3 2 x + ax +bx+ c= 0$ являются числа $x1+x2,x2+ x3$ и $x3+ x1?$

Источники: ПВГ-2023, 10.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию достаточно очевидно, что нужно пользоваться именно теоремой Виета) Так что давайте находить коэффициенты по очереди. Что легче всего сейчас найти?

Подсказка 2

Сумму новых корней! Это будет просто 12. Дальше нужно постараться выразить оставшиеся выражения, которым равны новые коэффициенты, с помощью известных нам. Например, попробуйте выразить b с помощью попарных произведений и суммы корней изначального многочлена, а c - через все три выражения: сумму, сумму попарных произведений, и произведения корней.

Подсказка 3

Если b найти просто, то c последним коэффициентом могут быть трудности. Такое наблюдение: попробуйте вынести за скобки из всего этого выражения сумму изначальных корней)

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77785Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства

| 3 2 | | 3 2 | 2 |x + 2x + x+ a|+|x − 2x + x− a|<4x + 8x

представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.

Источники: ПВГ - 2022, 11.6 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сначала разобраться с модулями. Если сумма модулей меньше какого-то числа, то какие выводы можно сделать о модуле суммы и разности этих двух чисел?

Подсказка 2

Сумма - это максимум из всевозможных сумм и разностей двух чисел, взятых как с минусом, так и с плюсом(всего 4 комбинации). Значит, мы можем записать целых 4 неравенства, с которыми гораздо удобнее работать, так еще и без модулей. Что теперь можно сказать про a?

Подсказка 3

Порассуждаем, когда же ответов будет промежуток длины 1. Удобнее всего нарисовать отрезок и как-то ограничить и разобрать случаи a.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90866Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем не очень приятное выражение одновременно с x, arccos(x) и arcsin(x). Попробуйте немного улучшить вид нашего уравнения: выразить arcsin(x) через arccos(x), оставить всё, что связано с переменной x в левой части, а всё остальное перекинуть в правую.

Подсказка 2

Ясно, что обычными алгебраическими преобразованиями задачу не решить. А также мы имеем сильное ограничение на x в силу ОДЗ. Попробуйте оценить левую часть и понять, какие значения может принимать правая при любых b.

Подсказка 3

Итак, мы получили, что левая часть меньше π, а правая почти всегда может быть сколь угодно большим числом за счёт параметра b. Тогда нам нужно сделать так, чтобы b никак не мог менять правую часть. В каком же случае это выполняется?

Подсказка 4

Да, верно! Когда числитель правой части равен 0. Осталось лишь показать, что в этом случае всегда найдется корень.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#197364Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 10.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию уравнение должно иметь решение при любом b. Попробуйте выбрать такое значение b, при котором некоторые слагаемые сократятся.

Подсказка 2

Рассмотрите случай b = -1, а затем вспомните, чему равна сумма arcsin x + arccos x.

Подсказка 3

Теперь проверьте найденное значение a. Попробуйте подобрать такое x, при котором уравнение выполняется независимо от b.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39866Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 x + a|x− a|=8x − 15

имеет решение. Для каждого из найденных значений укажите число решений уравнения.

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что надо заметить в этой задаче, — это то, что, кажется, она нормально не решается аналитически. Значит, наверное, можно решить её графически! Если сделать одно преобразование, станет понятно, почему и как задача решается графически!

Подсказка 2

Конечно, надо оставить слагаемые с параметром в одной части уравнения, а остальные перекинуть в другую. Тогда в одной части образуется уравнение параболы, а в другой — понятный график модуля! Построим график параболы, а также подумаем, как меняется график модуля при изменении параметра. Может, это натолкнёт нас на интервалы для параметра, которые стоит рассматривать...

Подсказка 3

При a < 0 ветви у модуля идут вниз, а при увеличении параметра они постепенно поднимаются вверх и становятся всё ближе друг к другу! Кроме того, при увеличении параметра вершина модуля (a; 0) движется по оси абсцисс вправо. Тогда ключевыми точками будут a = 0, a = 3 и a = 5. Осталось только рассмотреть интервалы для параметра и в каждом из них узнать наличие решений, а также их количество :)

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Решение:

Уравнение можно переписать так:

2 a|x− a|= −x +8x− 15

График правой части представляет собой параболу $y =− x2+8x− 15$ ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках $(3;0)$ и $(5;0)$ . Рассмотрим теперь график левой части $y = a|x− a|$ при разных значениях параметра.

$a <0$ . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке $(a;0)$ , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
$a =0$ . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью $Ox.$ Пересечение нашли выше, получаем также два решения.
$0 <a <3$ . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь $x ≥a$ пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае
$a(x− a)= −x2+ 8x − 15,x− a≥0$

$x2+x(a− 8)+(15− a2)= 0,x ≥a$
Необходимо и достаточно проверить $x≥ a$ для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего
$8− a− ∘5a2−-16a-+4 ≥2a$

$∘ ---------- 8− 3a≥ 5a2 − 16a+ 4$

$(|{ 8− 3a≥0 5a2− 16a+ 4≥ 0 |( 64− 48a+ 9a2 ≥ 5a2− 16a+4$

$( 8 ||{ a≤ 3( 8−2√11] [8+2√11 ) || a∈ 0;--5---∪ ---5--;3 ( 4a2− 32a+ 60≥ 0 ⇐ ⇒ a∈(−∞, 3]∪ [5,+∞ )$
После пересечения остаётся только $( √--] a∈ 0;8−-2511-,$ потому что $√-- 8+25-11-> 8∕3.$
$a =3,a= 5$ . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( $3$ и $5$ ) больше модулей наклона касательных в $x= 3$ и $x= 5$ , которые равны $1.$
$3 <a <5$ . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.
$a >5$ . Решаем аналогично $0 <a <3$ , здесь $x≤ a$ , потому что пересекать может только левая ветка галочки.
$2 2 x − (a+ 8)x+ 15+ a = 0$
Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте
$[ √-- √--] − 3a2+ 16a+4 ≥0 ⇐ ⇒ a ∈ 8−-2-19,8+-2-19 3 3$

$( 8+2√19] a∈ 5,--3----$
Проверим $x ≤a$ для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

$8+ a+∘ −3a2+-16a-+4≤ 2a ⇐⇒ ∘−-3a2-+16a+-4≤ a− 8$
Должно быть $a≥ 8$ , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Ответ:

$a ∈(−∞; 8−2√11]∪ [3;5] 5$ :

При $8−2√11 a= ---5--,a =3,a= 5$ решение одно,

при прочих найденных решений два.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#100192Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Источники: ПВГ - 2020, 11.5 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как нам нужно, чтобы неравенство выполнялось при всех x, то какое крайнее значение левой части стоит рассмотреть? При каком знаменателе оно достигается?

Подсказка 2

Рассмотрите наибольшее значение левой части. Для этого нужно минимизировать знаменатель;) Можно пробовать его преобразовать так, чтобы найти геометрическую интерпретацию знаменателю.

Подсказка 3

Представьте подкоренные выражения в виде суммы квадратов. Каков геометрический смысл суммы корней?

Подсказка 4

Это сумма расстояний от двух точек до некоторой одной! А когда она достигает наименьшего значения?

Подсказка 5

Когда точки лежат на одной прямой ;)

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100193Максимум баллов за задание: 7

Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[−5;6]$ и после этого решает уравнение

3 2 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x +a+ 2= 0.

Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию становится понятно, что нам всё же придется искать корни кубического уравнения. Давайте тогда попробуем для начала найти хотя бы один из них. Попробуем разложить на множители выражение из условия.

Подсказка 2

Здорово, теперь мы знаем, что -1 — точно корень, вне зависимости от a. Получается, что нам хотелось бы добиться, чтобы у оставнегося квадратного уравнения был как миниму 1 целый корень, отличный от -1.

Подсказка 3

После деления выражения на (x+1) выразите a через выражения с x. Так как мы хотим добиться целого x, имеет смысл выделить целую часть.

Подсказка 4

Вспомните, что a тоже целое! Каким тогда будет x, если он присутствует в дроби 8/(3x-1)?

Подсказка 5

Если х целое, оно будет обязательно делителем 8. Отсюда несложно разобрать случаи a.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80267Максимум баллов за задание: 7

Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

|| sin21(2a)|| || −4tg(3a)|| ( -π)2( -π) ||x− 2 ||+ |x− 2 |+a a +12 a− 12 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По-видимому, нормальным решением уравнения здесь и не пахнет... Когда кажется, что все печально, в голову приходит супер-мысль: вспомнить про метод оценки! У нас слева стоит сумма двух модулей и какое-то выражение. Тогда рассчитывать на решения стоит тогда, когда это выражение неположительное...

Подсказка 2

Оно неположительно, когда 0≤a≤π/12 или a=-π/12. У нас имеется сумма двух модулей, поэтому очень хочется воспользоваться неравенством |x|+|y|≥|x-y|...

Подсказка 3

В силу монотонности синуса 1/sin²2a≥1/sin²(π/6)=4 при a∈(0;π/12], а также -4tg3a<0. Поэтому модуль разности наших модулей будет больше 15. Покажите, что при a∈(0;π/12] выражение a(a+π/12)²(a-π/12) не будет превосходить 1 и доведите решение до конца!

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Разберите ошибки с репетитором

Первое занятие бесплатно. Преподаватель объяснит трудные задания варианта

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#113664Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать выражение в левой части?

Подсказка 2

Примените метод вспомогательного аргумента, введя f(b) = √(sin⁴b + cos⁴b).

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что косинус по модулю не превосходит единицу.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#167295Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $n= 1,2,...,9$ уравнение

( 2 ( 7πn) ( 7πn) ) log2sin πx+ 6 + log2sin πx+ 6 + 0,5 ⋅

( ) ( ) ⋅log2 9⋅34x2−6x− 2⋅32x2−3x+2+ 17 = 3log2sin πx+ 7πn- + 1,5 6

имеет решение?

Источники: ПВГ - 2019

Сообщить об ошибке

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Решение:

Сделаем замену:

( 7πn) log2sin πx+ 6 =a,

ограничение на $sin:$ $( ) sin πx + 7π6n > 0$ и ограничение на $a:$ $a≤ 0.$

И сделаем еще одну замену:

32x2−3x+1 = t>0

Тогда

t2− 6t+ 17= (t− 3)2+ 8

Следовательно,

2 log2(t− 3) + 8≥ 3

Получим выражение:

( ) a2+ a+ 1 ⋅log2((t− 3)2+8)= 3a+ 3 2 2

Пусть

log ((t− 3)2+ 8)= b 2

Тогда $b ≥3.$

Уравнение теперь выглядит как квадратное относительно $a,$ так как $b⁄=0:$

ba2+ (b− 3)a+( b− 3) = 0 2 2

Запишем дискриминант:

(b 3) D =(b− 3)2− 4b 2 −2 = 9− b2 ≥0

Значит, $b$ одновременно $− 3≤ b≤ 3$ и $b ≥3,$ это возможно только при $b= 3,$ в таком случае

t=3

32x2−3x+1 = 31

Подставим $b= 3$ в уравнение:

( ) 3a2+ (3− 3)a+ 32 − 32 = 0

Получили, что $a= 0.$

Найдем значения $x:$

2x2− 3= 0

Откуда $x= 0$ или $3 x = 2.$

И сделаем обратную замену для $a:$

( ) log2sin πx+ 7πn = 0 6

( 7πn-) sin πx+ 6 = 1

πx+ 7π6n= π2 +2πk

Сократим на $π$ и выразим $x,$

6x= 12k +3− 7n, k ∈ℤ

Выше получили, что $x= 0$ или $3 x = 2,$ тогда

⌊ ⌈0= 12k +3 − 7n 9= 12k +3 − 7n

В первом случае $n$ должен делиться на $3$ и быть нечетным, то есть подойти могут только $3$ или $9,$ во втором случае $n$ должен делиться на $3$ и быть четным, то есть подойти может только $6.$

Проверим эти числа:

⌊ |0 =12k+ 3− 7⋅3 ||0 =12k+ 3− 7⋅9 ⌈9 =12k+ 3− 7⋅6

⌊18= 12k || |⌈60= 12k 48= 12k

В первом случае $k ∕∈ℤ,$ не подходит, в двух других $k∈ ℤ,$ $k= 5$ во втором случае и $k= 4$ в третьем, подходит. Тогда значения $n,$ при которых уравнение имеет решения — числа $6$ и $9.$

Ответ: 6, 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45584Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)
Видим, что у нас степень везде х, а в основаниях степени двойки. Что тогда можно сделать, чтобы облегчить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.

Подсказка 3

Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?

Подсказка 4

Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Решение:

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80266Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно пустое) решений неравенства

(2 2 ) log2 x +4ax+ 4a − a < 2,

меньше 2.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу видно, что логарифм можно выкинуть (не забыв при этом про одз). Хочется также собрать квадрат, чтобы не таскать за собой много слагаемых: (x+2a)²-a. Какие неравенства будут эквиваленты изначальному, при отбрасывании логарифма?

Подсказка 2

Все верно, a<(x+2a)²<4+a. Мы имеем два квадратных неравенства, что не очень удобно при нахождении промежутков решения. Будет легко, если мы будем иметь только одно неравенство. Давайте так и сделаем, и для начала рассмотрим случай a≤0...

Подсказка 3

При таком условии на a существенным будет только неравенство (x+2a)²<4+a, которое равносильно |x+2a|<√(4+a), при a≥-4. Давайте теперь посмотрим на случай a≥0. Каковы промежутки решения неравенств √a<|x+2a|<√(4+a)?

Подсказка 4

У левого неравенства решением будет x<-√a-2a и x>√a-2a, а у правого -2a-√(4+a)<x<-2a+√(4+a). Видно, что пересечением будут интервалы -2a-√(4+a)<x<-√a-2a и √a-2a<x<-2a+√(4+a). Вам остается лишь найти a, при которых сумма их длин не больше 2!

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90122Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых неравенство

alog3x+ log1∕2x >1

имеет решения, причем среди решений нет больших $1.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выглядит немного громоздко, поэтому давайте попробуем преобразовать её. Вспомним формулу перехода к новому основанию и вынесем общую часть.

Подсказка 2

Один из множителей содержит скобку a - log₂3. Давайте разберём три случая для значений a, когда эта скобка равна нулю, меньше или больше нуля, и решим задачу.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90802Максимум баллов за задание: 7

Укажите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2+ 2y2+2y(x− a)+ a2 = 0 2−2−y⋅log x <1 2

имеет решения, и найдите эти решения.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно рассмотрите первое уравнения, можно ли его красиво преобразовать? Аккуратная работа с ФСУ позволит нам установить соотношения между х, у и а.

Подсказка 2

Итак, подставляя полученные соотношения, мы получаем интересное неравенство, но как его решить? Попробуйте показательную функцию отправить в правую часть, а логарифм — в левую. Что можно сказать о полученном неравенстве?

Подсказка 3

Оцените возрастание/убывание функций с каждой стороны, чтобы сделать вывод о количестве пересечений и примерном виде графиков этих функций. Так мы получим решения для х.

Подсказка 4

Осталось воспользоваться найденными в начале соотношениями между х и а, чтобы установить искомые значения параметра!

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#114019Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x?$

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся с дробью в степени и попробуем оценить её значение. Как связаны числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2x - 1 и исследуйте дробь!

Подсказка 3

Оцените t² + 4 по неравенству о средних. В каком отрезке тогда лежит значение всей дроби?

Подсказка 4

Значение дроби по модулю не превышает 1/4! Тогда можно оценить и число, лежащее между a и b ;)

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32859Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении $a$ решите уравнение

|x− 1|+ |x+ 1|+|x− 2|+ |x +2|+ |x− 3|+ |x+3|+ ...+ +|x− 2015|+|x+2015|+2x2+ 2a2+ 40302− 8060x − 8060a =4030x.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение на первый взгляд выглядит страшно, обычные действия из неравенств с модулями делать не хочется. Ещё и вопрос такой неприятный: решить при каждом значении a. Не раскрывать же модули! В общем, нужно подумать про какие-то нестандартные методы. Среди таких есть метод оценки, который часто используется в уравнениях с модулями, так как есть неравенства |a| + |b| >= |a + b| и |a| >= a.

Подсказка 2

Попробуем найти оценку. Заметим, что если сложить все подмодульные выражения слева, то получится 4030x. А это как раз то, что стоит справа! Мы же знаем, что сумма модулей не меньше, чем сумма подмодульных выражений, то есть уже получили некоторую оценку. Но ещё ведь есть лишние слагаемые без модулей, может, и их можно оценить?

Подсказка 3

Большое количество квадратов намекает на мысль, что здесь можно поискать квадраты суммы или разности. И они есть! Убедитесь, что слагаемые без модулей слева можно записать как 2(a - 2015)^2 + 2(x - 2015)^2. Теперь дело за малым. Слева выражение не меньше, чем справа, но нам нужно равенство. Тогда во всех неравенствах должно достигаться равенство, то есть квадраты должны быть равны нулю и сумма модулей должна быть равна сумме подмодульных выражений.

Сообщить об ошибке

Подсказки

Ответ и решение

Сообщить об ошибке